SISTEMI DI NUMERAZIONE

Transcript

1 Università degli Studi di Roma Tor Vergata Facoltà di Ingegneria Corso di Ingegneria Medica SISTEMI DI NUMERAZIONE Come nei calcolatori sono rappresentati i numeri Numeri I numeri rappresentano il modo simbolico per descrivere su un supporto qualunque valori quantitativi. Fin dall antichità gli esseri umani hanno avuto bisogno di quantificare cose ed eventi. Anche gli animali hanno un loro modo di quantificare e qualificare Ci sono popolazioni che ancora usano solo rappresentazioni limitate a piccoli valori Molte popolazioni hanno ideato proprie modalità di rappresentazione delle quantità Slide 2 di 85 1

2 Numerali Numerale è una stringa di simboli che rappresentano un numero 124 BF189 AH MCMLXXXVIII (1988) Il valore non è definibile se non si conoscono le regole che sono state definite per le modalità di rappresentazione NUMERI Maya - Babilonesi - Egizi - Etruschi Sistemi additivi e sistemi posizionali Slide 3 di 85 Numerazione Maya Slide 4 di 85 2

3 Numerazione Babilonese Slide 5 di 85 Numerazione Egizia Slide 6 di 85 3

4 SISTEMI ADDITIVI Sistemi di numerazione Sono basati su un set di simboli base Il valore del numero risulta dalla somma o differenza di una sequenza di tali simboli posizionati in modo opportuno Nella rappresentazione è insita una operazione matematica non costante Risulta a volte impossibile rappresentare tutti i numeri Per i Maya ci sono 20 simboli base costituiti da 3 ripetuti Per i Babilonesi 60 costituiti da 2 simboli ripetuti Per i romani i simboli base sono 7 (I V X L C D M) Slide 7 di 85 Sistemi di numerazione NUMERAZIONE ROMANA I II III IV V VI VII simboli usati e loro peso I uno V cinque X dieci L cinquanta C cento D cinquecento M mille Il simbolo può avere valore positivo o negativo a secondo che preceda un simbolo minore o uguale oppure segua un simbolo di peso maggiore. IV (4=-1+5) VI (6=5+1) XL (40=-10+50) LX (60=50+10) Poi ci sono altre regole.. Slide 8 di 85 4

5 Numerazioni additive In questo tipo di rappresentazione è insita una operazione matematica diversa (- o +) da svolgere nella decodifica di ogni singola unità numerica. Le unità numeriche sono rappresentate da un numero di simboli diversi VII = = 7 D VIII = = 8 D XXX = = 30 D CXXX = = 130 D XC = = 90 D CD= = 400 D 3 simboli 4 simboli 3 simboli 4 simboli 2 simboli 2 simboli Slide 9 di 85 NUMERAZIONE ROMANA M CM LXXX VIII (1988) M = 1000 settore migliaia CM = 900 ( ) settore centinaia LXXX = 80 ( ) settore decine VIII = 8 ( ) settore unità Sono presenti vari settori Settore unità da I a IX (da 1 a 9) Settore decine da X a XCIX (da 10 a 99) Settore centinaia da C a CM (da 100 a 999) Settore migliaia da M a MMMCM (da 1000 a 3999) IV = IV *1000= 4000 L = L *1000 = Slide 10 di 85 5

6 Sistemi di numerazione SISTEMI POSIZIONALI o Arabi Vi troviamo due condizioni fondamentali: 1 - E definito un insieme di simboli base 2 - Ad ogni simbolo è associato un peso, che NON cambia mai. Il valore del numero è funzione del valore assegnato al simbolo e della posizione in cui il simbolo stesso si trova nel numerale SIMBOLOGIA della CIFRA decimale Slide 11 di 85 Criterio di rappresentazione-numeri Naturali Il peso di ogni singolo simbolo è relazionato al precedente ed al successivo dall aggiunta o dalla sottrazione del peso unitario = 4 = precede 4 5 segue Giunti all ultimo simbolo di una sequenza di somma si ricomincia dal primo simbolo con il riporto di una unità nella PRIMA colonna a sinistra (incremento di significatività) = 0 con il riporto di 1 = = [9+1=0 con il riporto di 1 che sommato a 1(decine) da 2(decine)] = 20 e così via fino a = [(9+1=0 unità con il riporto di 1(decine) che sommato a 9 da 0 con il riporto di 1(centinaia)] = 100 Slide 12 di 85 6

7 Rappresentazioni numeriche - polinomiali Sistema decimale 24 D = 2x10 (1) + 4x10 (0) = Foneticamente..mila..cento..anta 4735 D = 4x10 (3) + 7x10 (2) + 3x10 (1) + 5x10 (0) = La costruzione di un qualsiasi numero può essere effettuata aggiungendo allo 0 più a destra l unità tenendo presente che ogni volta che si arriva a 9, l ulteriore valore è dato dall aggiunta (riporto) nella colonna a sinistra di 1 e reazzerando il simbolo a destra. Esempio: migliaia centinaia decine unità Perché gli uomini hanno scelto un sistema decimale! Perché hanno 10 dita! Slide 13 di 85 Sistema decimale-numeri Naturali Tutti gli infiniti valori interi positivi sono ottenuti da combinazioni ordinate di un numero definito di cifre. Ogni singola cifra assume quindi un peso nel numero, che è funzione della sua posizione D = 7* * * * mila 9 cento 2 decine 4 unità (venti quattro) 4735 D = 4* * * * mila 7 cento 3 decine 5 unità (trenta cinque) D = 3* * * * *10 0 Slide 14 di 85 7

8 SISTEMI DI NUMERAZIONE RIPORTO 1 ma con errore OVERFLOW Slide 15 di 85 Realizziamo ora, come esempio una nostra base numerica del tutto arbitraria formata da solo 3 simboli & di peso 0 $ di peso 1 di peso 2 Numerazione ternaria Base 3 Base 10 scriviamo i valori che possiamo rappresentare con quattro cifre partendo da zero si ottiene la seguente tabella dove nella colonna di sinistra è rappresentato il numero espresso con la nostra base ternaria, mentre nella colonna di destra il numero espresso in base decimale Slide 17 di 85 8

9 L elettronica nel calcolo Elettronicamente si possono realizzare dispositivi in grado di effettuare operazioni matematiche. Dispositivi analogici Sommatore Amplificatore Integratore Derivatore Moltiplicatore Questa tecnologia è però imprecisa e risente in modo pesante di varie condizioni al contorno Alimentazione, temperatura, rumore elettromagnetico, caratteristiche dei singoli componenti nel tempo. Slide 18 di 85 Rappresentazione Binaria Anche i calcolatori sono realizzati con tecnologie elettroniche ma le modalità con cui rappresentano le informazioni sono diverse. I circuiti che li compongono vengono fatti funzionare come interruttori elementari, dando così luogo a due soli stati possibili circuito APERTO o CHIUSO 0 o 1 Falso o Vero Dato che si tratta di una convenzione potremmo stabilire la corrispondenza 0=Chiuso 1=Aperto 0 = Falso 1=Vero Slide 19 di 85 9

10 Circuito base costituito da un solo elemento Ingresso non definito Uscita non definita Ingresso alto Ingresso basso V cc 0 Uscita alto V grd 1 Uscita basso Circuito disattivato aperto Circuito attivato chiuso Slide 20 di 85 Rappresentazione Binaria Questa condizione può essere sfruttata per definire una base di numerazione diversa da quella decimale con una base di due soli simboli che possiede le stesse proprietà e segue le stesse regole dell algebra. Con opportuni insiemi di interruttori e circuiti adeguati si possono Rappresentare e memorizzare i numeri e altro Rappresentare operazioni da svolgere Slide 21 di 85 10

11 Nel sistema binario il set di simboli base è composto solo da 0 e 1 Utilizzando ad esempio una combinazione di 4 cifre binarie ( interruttori ) Rappresentazione Binaria Perché i computer adottano un sistema binario! Perché un circuito può avere 2 soli stadi stabili aperto o chiuso! ottine quattrine duine Decimale Unità Slide 23 di 85 Rappresentazione Binaria Il valore della combinazione sarà allora : 1011 B 1* * * *2 0 = B binario = 11 D decimale Così come per il sistema decimale, possiamo stabilire di lavorare con un numero prefissato di cifre 999 tre cifre cinque cifre 9 una cifra La singola cifra prende il nome di BIT (Binary Digit) cifra binaria Slide 24 di 85 11

12 Rappresentazione Binaria Con 4 cifre decimali si conta da 0 a 9999 avendo a disposizione combinazioni Con k cifre a disposizione posso rappresentare (10 k ) numeri e si conta da 0 a (10 k -1) Con 4 cifre binarie si conta da 0 a 1111 (15 D ) avendo a disposizione 16 combinazioni (2 4 ) Con 8 cifre binarie da 0 a (255 D ) avendo a disposizione 256 D combinazioni (2 8 ) Con k cifre a disposizione posso rappresentare (2 k ) numeri e si conta da 0 a (2 k -1) Slide 25 di 85 Ripetizione dei simboli OTTINE QUATTRINE DUINE Slide 26 di 85 12

13 Numero di rappresentazioni Con 4 bit si ottengono 16 diverse configurazioni 2 4 Il quesito può essere posto anche in modo diverso Se ho bisogno di disporre fino a K (configurazioni o K-1 valori) quante cifre binarie devo utilizzare? Dato che 2 4 = 16 2 n = K n >= log 2 K (parte intera superiore di) n, numero di cifre binarie necessarie per rappresentare un determinato numero di combinazioni decimali K in binario K= =10 6 combinazioni log 2 K = 19, cifre binarie (bit) n = log 2 (10 D ) (D-1 cifre decimali rappresentabili) Slide 27 di 85 Conversione Decimale - Binario La conversione da decimale a base 2 si attua attraverso divisioni successive per due ed utilizzando la presenza del resto (intero superiore del decimale), per costruire la sequenza di BIT. 73 D 73 / 2 = 36,5 resto 1 1+ LSB 36 / 2 = 18 no resto / 2 = 9 no resto / 2 = 4,5 resto / 2 = 2 no resto / 2 = 1 no resto / 2 = 0,5 resto = fine ( ) 0 0 MSB LSB = CIFRA MENO SIGNIFICATIVA MSB= CIFRA Più SIGNIFICATIVA BINARIA Slide 28 di 85 13

14 Rappresentazioni leggibili dall'essere umano Nella simbologia attuale per la rappresentazione dei numeri e per la loro più facile leggibilità è stata adottata la convenzione di separare gruppi di cifre con il simbolo "." punto notazione europea oppure "," virgola notazione anglosassone. Es. il numero si scrive oppure 1,324,734 ed hanno lo stesso significato Allo stesso modo per migliorare la leggibilità dei numeri binari fino agli anni '60 fu adottata la stessa metodologia associare a combinazioni di tre cifre binarie un solo simbolo decimale. Così il numero binario (B) (peso 307) diventa e dalla tabella slide 27 lo possiamo scrivere oppure 463 (O) ottale Ottale identifica una base numerica formata da solo otto simboli (111 peso massimo corrisponde al peso 7 decimale) Slide 29 di Codifica Ottale La numerazione ottale, base 8 (otto simboli pesati) per rappresentare in modo più sintetico i numeri binari. Pensiamo a come rappresentiamo i numeri decimali XXX.XXX.XXX.XXX,XXX ottale ottale ottale ottale Slide 30 di 85 14

15 Codifica Esadecimale La numerazione esadecimale base 16 (sedici simboli pesati) nasce per la necessità di rappresentare un numero binario di 4 cifre, con un unico simbolo pesato, i 6 pesi che hanno valori superiori al 9, dal 10 al A B C D E F Slide 31 di 85 Rappresentazioni leggibili dall'essere umano Ad un certo punto si sono accorti che sei cifre binarie erano insufficienti per rappresentare il numero di combinazioni necessario per le crescenti esigenze, si è così passati ad una nuova convenzione, raggruppare quattro cifre binarie Così il numero binario (B) (peso 307) diventa e dalla tabella slide 27 successiva lo possiamo scrivere oppure (H) esadeciale oppure 133 (H) Esadecimale identifica una base numerica formata da sedici simboli ABCDEF Slide 32 di 85 15

16 Altre tipologie di rappresentazione Rappresentazione numeri uso del separatore OTTALE binario set simboli definito S 2. S 1. S 0 ESADECIMALE binario set simboli definito Z 2. Z 1. Z 0 Slide 33 di 85 Posizione delle cifre e peso / Codifica 8 cifre Decine M Unità M Centin. K Decine K Unità K Centinaia Decine Unità BINARIO 128-ine 64-ine 32-ine 16-ine Ottine Quattrine Duine Unità OTTALE ine 4096-ine 512-ine 64-ine Ottine Unità ine 8 7 ine ine 64-ine 32-ine 16-ine Ottine Quattrine Duine Unità ESADECIMALE ine ine 256-ine 16-ine Unità ine ine ine Slide 34 di 85 16

17 Numerazione Esadecimale Un numero esadecimale è composto dai 10 simboli numerici e da 6 lettere che assumo pesi da 10 a 15 per un totale di 16 diversi simboli numerici Così il numero base 16 A3CD H = A* * C* D*16 0 = = 10* * * *1 = È uguale al numero base 10 Dec, 8 Ottale, 2 Bin A3CD H A3CD H = D = O A3CD H = B Calcolatrice Slide 35 di 85 Conversione Decimale - Ottale La conversione da decimale a base 8 si attua attraverso divisioni successive per sedici prelevando il resto simboli pesati. 895 D quoziente parte intera 895 / 8 = 111 resto = 7( *8) 7 LSD 111 / 8 = 13 resto = 7 (111-13*8) 7 13 / 8 = 1 resto = 5 (13-1*8) 5 1 / 8 = fine resto = 1 1 MSD ( ) LSD = CIFRA MENO SIGNIFICATIVA MSD= CIFRA Più SIGNIFICATIVA 1*8^3 + 5*8^2 + 7*8^1 + 7 = = 895 Slide 36 di 85 17

18 Conversione Decimale - Esadecimale La conversione da decimale a base 16 si attua attraverso divisioni successive per sedici prelevando il resto simboli pesati. 895 D quoziente parte intera 895 / 16 = 55 resto = 15 (895-55*16) F LSD 55 / 16 = 3 resto = 7 (55-3*16) 7 3 / 16 = 0 resto = 3 3 MSD 0 = fine (3 7 F) 3*16^2 + 7*16^1 + F = = 895 LSD = CIFRA MENO SIGNIFICATIVA MSD= CIFRA Più SIGNIFICATIVA Slide 37 di 85 Relazione tra binario ottale ed esadeciale Essendo le basi tutte multiplo di 2 le rappresentazioni sono ottenibili organizzando la sequenza di bit originari in blocchi di 4 o 3 bit e sostituendo ai blocchi la loro rispettiva cifra binario 24 bit bit raggruppati 4 a 4 A D. 3 Esadecimale bit raggruppati 3 a Ottale Si sottolinea che queste rappresentazioni sono esclusivamente legate alla leggibilità umana (quando necessario) IL COMPUTER UTILIZZA SOLO LA RAPPRESENTAZIONE BINARIA Slide 38 di 85 18

19 Potremmo fare di meglio con le codifiche? Scopo rappresentare un numero con un minor numero di cifre Targhe automobilistiche AF 739 KH Per leggerle in modo numerico corretto AFKH 739 Decimale Definito il set di simboli dell alfabeto inglese di cui si utilizzano solo 22 simboli per non creare ambiguità (sono escluse I,O,Q,U) La targa iniziale sarà AA 000 AA Che equivale a AAAA 000 = DECIMALE Avendo assegnato il peso 0 al simbolo A Slide 39 di 85 PESO DELLE LETTERE SE NUMERALIZZATE Simbolo Peso A 0 B 1 C 2 D 3 E 4 F 5 G 6 H 7 J 8 K 9 Simbolo Peso L 10 M 11 N 12 P 13 R 14 S 15 T 16 V 17 W 18 X 19 Simbolo Peso Y 20 Z 21 Base a 22 simboli Numerazione slide 40 - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 40 di 85 19

20 La targa e il suo valore (peso) AF 739 KH AFKH 739 (A* F* K* H*22 0 ) = (0* * *22 + 7*1) = 2625 La posizione più a sinistra dei numeri alfabetici (posizione delle unità alfabetiche) cambia ogni 1000 nuove immatricolazione in quanto tale colonna non è la meno significativa del numero complessivo Il risultato finale in decimale sarà quindi 2625 * = AF KH 739 è la esima auto immatricolata Il massimo valore rappresentabile ZZ 999 ZZ ZZZZ999 = cifre contro 9 cifre decimali A=0, F=5, H=7, K=9 vedi tabella slide precedente Numerazione slide 41 - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 41 di 85 Numerici Codifica dei dati Tipologia dei dati Numeri naturali interi razionali - irrazionali 0,1,2,3,4,5,. ; -5,-4,-3,,0,1,2,3,4,5,.; ½ ; ¼, 1/8, 1/10 \ 1/3 0,5 ; 0,25 ; 0,125 ; 0,1 ; \ 0,3333 ; Pgreco Non numerici (Alfabetici o Alfanumerici) A a B b C c é ì ~ Š µ ä { } Й П, 00150, Codifica di informazioni complesse (giorni settimana, mesi anno, patologie,..) Istruzioni +, -, *, /, carica, deposita, trasferisci, confronta, salta, salta su condizione,.. Slide 42 di 85 20

21 Rappresentazione a numero finito di bit Nell utilizzo dei sistemi informatizzati è di questione fondamentale stabilire il numero di bit (cifre) da utilizzare per la rappresentazione dei numeri. Tale numero di bit ci permette di stabilire il massimo \ minimo valore rappresentabile per rilevare le condizioni di errore di UNDERFLOW OVERFLOW Es ,8974 Numeri non rappresentabili per mancanza di cifre decimali per mancanza di cifre significative <0,1 > Slide 43 di 85 Errori di rappresentazione Numeri a precisione finita numero di cifre stabilite es. 2 es. numero di cifre definito a priori (es. 2) = 03? (103) errore chiusura o overflow) 0,33-1/3 = 0, errore di underflow) Associazione nelle operazioni (Proprietà associativa) =? 70+(80-60)= = 90 (70+80)-60 = = -10 Errori di arrotondamento / troncamento È possibile rappresentare esattamente un numero decimale? SI - Se la parte decimale è multiplo di frazioni di 2 fino al numero di bit che uso per la rappresentazione binaria multiplo di ½ per 1 bit o ¼ per 2 bit o 1/8 per 3 bit etc Slide 44 di 85 21

22 Rappresentazione dei decimali I decimali si rappresentano con lo stesso criterio posizionale con cui rappresentiamo gli interi. S 2 * S 1 * S 0 *10 0 +S -1 *10-1 +S -2 *10-2 +S -3 *10-3 (D) (B) ½ ¼ 1/8 1/16.. 0,5 0,25 0,125 0, ,1011 B = ,5 + 0, ,0625 5,6875 D Rappresentazione in virgola fissa esempi Slide 45 di 85 Pesi cifre binarie Slide 46 di 85 22

23 Numeri interi I numeri interi sono l estensione ai valori negativi dei numeri naturali Si rappresentano con il segno (meno) davanti al numero Per i numeri espressi in binario scritto su carta non ci sono problemi è la stesso meccanismo, ma (pensiamo al supporto elettronico) Rappresentazione con bit di segno + = 0 - = 1 Rappresentazione complemento ad 1 (obsoleto) Rappresentazione complemento a 2 Slide 47 di 85 Rappresentazione con bit di segno 1 bit in più Se usiamo 5 bit, 1 bit per il segno e 4 bit per il numero Intervallo [-15, +15] È poco usata per l elevata complessità della circuiteria da realizzare Doppia rappresentazione dello zero Slide 48 di 85 23

24 Rappresentazione complemento a 1 Se usiamo 4 bit, 1 bit per il segno e 3 bit per il numero Intervallo [-7, +7] Per cambiare di segno si complementa bit a bit Doppia rappresentazione dello zero [-2 n-1 +1, +2 n-1-1] Il complemento si ottiene cambiando 0 in 1 e 1 in 0 per ogni cifra binaria 0101 complementato ad Slide 49 di 85 Rappresentazione complemento a 2 I valori negativi sono ottenuti complementando il valore positivo e sommando 1 Con 4 bit (1+3) Intervallo [-8, +7] UNICA rappresentazione dello zero [-2 n-1, +2 n-1-1] Slide 50 di 85 24

25 Rappresentazione complemento a 2 Intervallo più esteso di una unità Intervallo asimmetrico Intervallo [-8, +7] Il segno è associato alla sola cifra più significativa Si rappresentano i numeri (-2 n-1 +2 n ) Esempio complem = = = *(-2 3 )+ 0*(2 2 )+ 1*(2 1 ) +0*(2 0 ) = = -6 Slide 51 di 85 Interpretazione grafica numeri negativi Numeri reali positivi Con la codifica in C'2 ottiene una rappresentazione dei numeri negativi come continuazione rettilinea passante per lo 0 Negativi segnati Negativi C 1 e C 2 Slide 52 di 85 25

26 Operazioni algebriche Somma A+B+C+D+E = Risultato A+B=x x+c=y y+d=z z+e=r Sottrazione A-B-C-D=Risulatato A-(B+C+D) = Risultato B+C=x x+d=y A-y=R Moltiplicazione A * B = Risultato A+A+A+A+A+A.B volte = Risultato B+B+B+B+B..A volte = Risultato oppure. Divisione A / B = Risultato (procedura con somme e sottrazioni) Viene sempre eseguita una operazione alla volta Slide 53 di 85 Moltiplicare o dividere per la base In base 10 moltiplicare per 10 equivale ad effettuare lo spostamento di tutte le cifre di una posizione verso sinistra mentre dividere equivale a uno spostamento verso destra In base 2 vale la stessa regola quando si moltiplica o divide per potenze di 2 base 10 con 5 cifre cifra 4 cifra 3 cifra 2 cifra 1 cifra x / x 100 Errore Overflow / 100 base 2 con 5 cifre x / x 4 Errore Overflow / 4 Slide 54 di 85 26

27 in decimale Moltiplicare e dividere per la base /10 = /10 = 1234 /10 = *10 = 1230 *10 = 12300*10= Le cifre vengono spinte di una posizione verso destra se divido mentre vengono spinte verso sinistra se moltiplico In binario accade lo stesso Num B / /10 = /10 = *10 = *10 = Da 6 cifre a 3 Da 3 cifre a 6 Da 6 cifre a 4 Da 4 cifre a 6 Attenzione agli errori di troncamento Slide 55 di 85 Operazione somma Regole della somma: 0+0 = = = = 0 con riporto di 1 Le operazioni di somma possono aver bisogno di 1 bit in più (una cifra più significativa) Sommare i due numeri e a 5 bit riporti = = (21) 53 con il 6 bit 21 con cinque bit Slide 56 di 85 27

28 Operazioni-Somma Le operazioni matematiche nel sistema binario si eseguono con le identiche modalità del sistema decimale Errore di overflow su numeri definiti positivi OVERFLOW 173 D 101 D 274 D 274 D > 255 D Slide 57 di 85 Operazioni prodotto Le operazioni di prodotto possono aver bisogno di 2*n bit dove n è il numero bit stabiliti per la rappresentazione Moltiplicare i due numeri 111 e 011 a 3 bit * = * 3 = 21 Moltiplicare i due numeri 111 e 111 a 3 bit 7 * 7 = 49 3 bit = = Risultato 6 bit Slide 58 di 85 28

29 Regole della sottrazione: 0-0 = = = = 1 con prestito di 1 Sottrazione Le operazioni di sottrazione possono aver bisogno di 1 bit in più per il prestito 1 1 prestiti = 13 = Slide 59 di 85 Operazioni - sottrazione I numeri naturali non ammettono i negativi non è possibile sottrarre un valore più piccolo ad uno più grande Il minuendo deve essere sempre maggiore del sottraendo per non avere la condizione di overflow che porta con se il segno 15 6 = prestiti = prestiti Slide 60 di 85 29

30 Svolgere (13-6) = -(7) prestiti cambiare segno Operazioni - sottrazione Scambio degli operandi Cambio segno Complemento 2 C'2 C' = = prestiti (-8+1) negativi (8 +1) positivi Se non definisco di lavorare con i numeri negativi il suo valore è sbagliato Slide 61 di 85 A B=C La sottrazione prevede un minuendo A un sottraendo B un risultato differenza C 9 4 = = 1 5 Sottrazione svolta come somma Lo stesso risultato si ottiene sommando il minuendo A al complemento del sottraendo B alla base numerica ed eliminando il riporto Complemento a 9 o a 2 6 è il complemento a 10 di (+1) = 3+1 = = = è il complemento a 10 di (+1) = 1+1 = 2 Slide 62 di 85 30

31 Complemento alla base numerica Il complemento alla base numerica si ottiene con il complemento a (Base-1) su ogni singola cifra e sommando 1 alla sequenza ottenuta In decimale si effettua il complemento a 9 Complemento nella numerazione decimale = C' 9 (9-7) (9-8) (9-9) +1 = = = Se il minuendo è maggiore del sottraendo = ( )= - (+108) 722 C' 9 (9-7) (9-2) (9-2) +1 = =278 - ( ) = -(1 108) Slide 63 di 85 Sottrazione Nella numerazione binaria effettuare il complemento a due equivale a trasformare gli 1 in 0 e gli 0 in 1 e sommare 1 al risultato B (11 D ) il suo C2s è B + 1 B = B (-11 D ) Operazione da svolgere decimale Operazione svolta in complemento con base 10 Operazione da svolgere binario Complemento a 2 del sottraendo Operazione svolta in complemento con base 9 6 = (3+1) = = (1001+1) 1010 c' = = (87+1) = = ( ) c' = Slide 64 di 85 31

32 Numerali Un numerale è una stringa di cifre (sequenza di simboli) che può rappresentare un numero solo se viene specificata la base. Lo stesso numerale può rappresentare più valori se considerato scritto su basi numeriche diverse base base decimale [ centouno mila centodieci ] Valore decimale se. 46 D se letto come binario naturale -17 D se letto in complemento a 1-18 D se letto in complemento a D se letto in ottale D se letto in esadecimale Slide 65 di 85 Conversioni tra basi numeriche diverse La conversione tra basi numeriche diverse si può eseguire utilizzando la formula standard già vista in precedenza: Indicando con S il simbolo della base di origine, con c il valore del simbolo nella base di destinazione, con B valore nella base di destinazione: (S n-1 S n-2.. S 2 S 1 S 0 ) D = c n-1 x B n-1 + c n-2 x B n c 1 x B 1 + c 0 x B D = 5 x x x 10 0 base D = 101 x x x base D = 101 x x x D = D = dieci bit di codifica Slide 66 di 85 32

33 cn-2n-3cnxbxbxb0-1n-21 Conversioni tra basi numeriche diverse Osserviamo la relazione c n-1 x B n-1 + c n-2 x B n c 1 x B 1 + c 0 x B 0 c n-1 x B n-1 + c n-2 x B n c 1 x B 1 + c 0 x xbn-1n-1cn-2xb 1BProcedendo con divisioni successive con il divisore pari alla base B n-2.c1 1c0 c. c Bcc B c B.. n -2 n -3 n -1 n -2 1 I resti C 0 C 1 C 2 C n-1 sono i valori da assegnare alla colonna i-esima del numero nella base B Ad ogni ripetizione il resto rappresenta il valore per quella cifra nella nuova base c Slide 67 di 85 Conversioni tra basi numeriche diverse Esempio: 439 D da convertire in binario Slide 68 di 85 33

34 Conversioni tra basi numeriche diverse Esempio: 573 D da convertire in ottale Slide 69 di 85 Conversioni tra basi numeriche diverse Esempio: 573 D da convertire in esadecimale Slide 70 di 85 34

35 Conversioni tra basi numeriche diverse Esempio: 6837 D da convertire in esadecimale Slide 71 di 85 Rappresentazioni numeriche Nell ambito dei numeri abbiamo la necessita di rappresentare numeri diversi dagli interi che sono un sottoinsieme di.. Complessi ( 7 + 4i) Reali Razionali (1/2, 3/4, 7/8) Interi (4,11,93) Di quante cifre abbiamo bisogno? 3, oppure 3,14 oppure 3, cifre 3 cifre 5 cifre Dove si trova la virgola? Slide 72 di 85 35

36 Rappresentazione in virgola mobile (floating point) Risulta molto spesso più agevole rappresentare i numeri in formato diverso (normalizzato); in particolare con la virgola nella prima posizione utile a rappresentare un certo numero di cifre. La virgola viene spostata fintantoché la cifra delle unità è 0 (rappresentazione scientifica) mentre la prima cifra decimale è la cifra più significativa del numero, il tutto moltiplicato per una potenza di 10 elevata al numero di passi di cui si è spostata la virgola. Esponente con segno positivo quando si sposta verso sinistra, negativo quando si sposta verso destra 3726,567 = 3, * 10 3 oppure Mantissa Esponente Mantissa Esponente 0, * 10 4 Slide 73 di 85 Rappresentazione in virgola mobile (floating point) D 0, D - 0, D x 10 7 D 0, D x 10-5 D segno negativo segno positivo mantissa mantissa 7 esponente positivo -5 esponente negativo Slide 74 di 85 36

37 Rappresentazione in virgola mobile Lo stesso vale per la numerazione binaria tutti i numeri sono espressi in base ,01 B 0, B 0, dec x 2-3 0, dec - 0, B x 10 B 101 (5) 0, B x 10 B 1101 Complemento a 2 1, B 0, B 1 segno - 0 segno B mantissa B mantissa 101 (5) esponente positivo 1101 (-3) esponente negativo Slide 75 di 85 Numero di bit per le rappresentazioni Numeri in singola precisione 32 bit 24 per la mantissa il primo con segno 8 per l esponente di cui il primo è il segno Si rappresentano i numeri tra e e bit mantissa 0 7 bit esponente Modello ISO (internationl Organization for Standardization) OSI (Open System Interconnection protocols) e standard IEEE segno 8 bit esponente 23 bit mantissa Rappresentazione con bias pari a 127 per i valori 1 a 127 negativi e 128 a 254 positivi Slide 76 di 85 37

38 Eccesso o bias a 127 Questa rappresentazione permette di confrontare direttamente gli esponenti senza il segno per stabilire il più grande o piccolo I valori negativi sono il complemento ad 1 dei numeri positivi Slide 77 di 85 Numero di bit per le rappresentazioni Numeri in doppia precisione 64 bit 53 per la mantissa il primo con segno 11 per l esponente Si rappres. i numeri tra e e Numeri in quadrupla precisione 128 bit 113 per la mantissa il primo con segno 15 per l esponente Slide 79 di 85 38

39 Esempio non standardizzato 52,6975 0, x 10 D ,1011 x 10 B 0 convertito in binario shift della virgola calcolo dell esponente 0, x 10 B = 64 riconversione in decimale 0, D x 64 D = 52, S Mantissa 23 bit S Esponente 7 bit Slide 80 di 85 Esempio IEEE ,6975 0, x 10 D ,1011 x 10 B 0 (-128) convertito in binario shift della virgola calcolo dell esponente con codifica bias 0, x 10 B ( ) = 64 riconversione in decimale 0, D x 64 D = 52, S Esponente 8 bit Mantissa 23 bit Slide 81 di 85 39

40 Esempio di somma in virgola mobile Supponiamo di voler sommare i valori 5,5 e 2,625 = 8, ,1 * ,5 5,5 2,625 10,101 * , ,125 0,1011 * ,10101 * ,1011 * , * Risultato binario 1, * Risultato 0, * 16 = 8,125 0, * _ (0,5 + 0, ) * 16 Decimale Binario Rappres. scientifica Allineamento esponenti somma Con la mantissa a sei bit 0,5 *16= 8 Troncamento 0, * , , , Slide 82 di 85? Domande? Slide 83 di 85 40

41 Università degli Studi di Roma Tor Vergata Facoltà di Ingegneria Corso di Ingegneria Medica Fine Lezione 3 41