II Prova - Matematica Classe V Sez. Unica

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1 Liceo Scientifico Paritario R. Bruni Padova, loc. Ponte di Brenta, /6/19 II Prova - Matematica Classe V Sez. Unica Soluzione Problemi. Risolvi uno dei due problemi: Problema 1. Si considerino le seguenti funzioni:! f ( x)= ax x + b e g( x)= ( ax + b)e x x. i. Provare che, comunque siano scelti i valori di a e b in! con a, la funzione g ammette un massimo e un minimo assoluti. Determinare i valori di a e b in corrispondenza dei quali i grafici delle due funzioni f e g si intersecano nel punto A ; 1 ( ).! Si assuma, d ora in avanti, di avere a = 1 e b = 1. ii. Studiare le due funzioni così ottenute, verificando che il grafico di g ammette un centro di simmetria e che i grafici di f e g sono tangenti nel punto B( ; 1). Determinare inoltre l area della regione piana S delimitata dai grafici delle funzioni f e g. Si supponga che nel riferimento Oxy le lunghezze siano espresse in metri (m). Si considerino tre fili conduttori rettilinei disposti perpendicolarmente al piano Oxy e passanti rispettivamente per i punti P 1 ( ; ), P ( ; 1) e P ( ; 1 ).! I tre fili sono percorsi da correnti continue di intensità i 1 =, A, i e i. Il verso di i 1 è indicato in figura mentre gli altri due versi non sono indicati. iii.!stabilire come varia la circuitazione del campo magnetico, generato dalle correnti i 1, i e i, lungo il contorno di S, a seconda dell intensità e del verso di i e i.! Si supponga, in assenza dei tre fili, che il contorno della regione S rappresenti il profilo di una spira conduttrice di resistenza R =, Ω. La spira è posta all interno di un campo magnetico uniforme di 1 di 15

2 intensità B = 1,5 1 T perpendicolare alla regione S. Facendo ruotare la spira intorno all asse x con velocità angolare ω costante, in essa si genera una corrente indotta la cui intensità massima è pari a 5, ma. iv. Determinare il valore di ω. Risoluzione. i. Provare che, comunque siano scelti i valori di a e b in! con a, la funzione g ammette un massimo e un minimo assoluti. Determinare i valori di a e b in corrispondenza dei quali i grafici delle due funzioni f e g si intersecano nel punto A ; 1 ( ). D g =! e g è continua nel suo dominio; poi g( x) x b a. Inoltre la funzione ammette un asintoto orizzontale di equazione y = : ax + b lim g( x)= lim x ± x ± e = ± x x + :=H lim x ± a ( x 1)e =. x x Mi aspetto quindi che la funzione decresca fino a un certo valore, poi cresca intersecando l asse x in ( ; b a) e a un certo altro valore decresca per tendere a per le x che vanno a +. A conferma di ciò basta studiare il segno della derivata prima: ( )=( ax + ( a b)x + a + b)e x x e g ( x) ax ( a b)x ( a + b) g x ( a b) ( a + b) + a ( x a b)+ ( a + b) + a, ovvero la funzione ammette un a a ( minimo (assoluto) x m = a b) ( a + b) + a a e un massimo (assoluto) ( x M = a b) ( a + b) + a, a,b! con a (si noti che il discriminante non è mai a negativo). A( ; 1) G f 1= a + b a + b = ; A( ; 1) G g 1= ( a + b)e a + b = 1. Mettendo le due condizioni a sistema trovo che a = 1 e b = 1. ii. Studiare le due funzioni così ottenute, verificando che il grafico di g ammette un centro di simmetria e che i grafici di f e g sono tangenti nel punto B( ; 1). Determinare inoltre l area della regione piana S delimitata dai grafici delle funzioni f e g. Considero la funzione f ( x)= x x 1 il cui grafico è una parabola di vertice V 1 ; 5 ( ) e concavità verso l alto (è convessa), ovvero f ammette un minimo (assoluto) V. Tale funzione ammette due zeri in x = 1± 5. di 15

3 Studio la funzione g( x)= ( x 1)e x x. D g =! e = g( 1) ±g( 1)= e. g( x) x 1 e g( x)= x = 1. lim g( x)= a : y =. O x ± g ( x)= ( 1 ( x 1) )e x x e g ( x) x 1 funzione ammette un punto di minimo m 1 1 ; e M 1+ 1 ; e! 1,71; 1,17 ( ). ( ) x 1+1, ovvero la!(,9; 1,17) e un massimo Poiché g ( x)= ( x 1) ( x 8x +1)e x x, studiando il segno provo che la funzione g ammette tre punti di flesso F 1 1 ; 9e!,1; 1,11 ( ), F ( 1; ) e F 1+ ; 9e!( 1,87; 1,11) e che è convessa in 1 ; 1 1+ ; +. I grafici delle due funzioni sono riportati qui sotto. Nel grafico è riportato anche la retta tangente a G f e a G g in B: è la stessa retta t, infatti f ( )= 1= g ( ). S = ( g( x) f ( x) )dx = ( x 1)e x x dx ( x x 1)dx = 1 ( x)e x x dx + ( x x 1)dx = 1 x ex x + x + x =. di 15

4 iii. Stabilire come varia la circuitazione del campo magnetico, generato dalle correnti i 1, i e i, lungo il contorno di S, a seconda dell intensità e del verso di i e i. Basta utilizzare il Teorema di Ampere Γ B = µ i CONC. Osservo che il filo attraversato da i non è concatenato a S, perciò l intensità e il verso di tale corrente è ininfluente. Se i è entrante come i 1 allora la circuitazione è sicuramente non nulla (il segno è convenzionale). Se invece hanno verso opposto allora la circuitazione si annulla per i = i 1 (se i < i 1 allora la circuitazione ha lo stesso segno del caso precedente, se i > i 1 allora la circuitazione ha segno opposto). iv. Determinare il valore di ω. Per la Legge di Faraday-Lenz si ha i( t)= 1 dφ B R dt i( t)= BSω sin( ωt). L intensità è massima quando il seno assume il suo valore massimo (che è 1), R ovvero i MAX = BSω R ω = Ri MAX BS ( ), 5 1 = ( 1,5 1 ) = 1 = 5, 1 rad s. di 15

5 Problema. Un condensatore piano è formato da due armature circolari di raggio R, poste a distanza d, dove R e d sono espresse in metri (m). Viene applicata alle armature una differenza di potenziale variabile nel tempo e inizialmente nulla. All interno del condensatore si rileva la presenza di un campo magnetico! B. Trascurando gli effetti di bordo, a distanza r dall asse di simmetria del condensatore, l intensità di! B, espressa in tesla (T), varia secondo la legge: B =! B = kt ( t + a ) r, con r R, dove a e k sono costanti reali positive e t è il tempo trascorso dall istante iniziale, espresso in secondi (s). i. Dopo aver determinato le unità di misura di a e k, spiegare perché nel condensatore è presente un campo magnetico anche in assenza di magneti e correnti di conduzione. Qual è la relazione tra le direzioni di B! e del campo elettrico E! nei punti interni al condensatore?! Si consideri, tra le armature, un piano perpendicolare all asse di simmetria. Su tale piano, sia C la!circonferenza avente centro sull asse e raggio r. ii. Determinare la circuitazione di B! lungo C e da essa ricavare!che il flusso di E!, attraverso la superficie circolare delimitata da C, è dato da φ ( E! )= kπr 1 µ ε t + a + 1 a. Calcolare la ddp tra le armature del condensatore. A quale valore tende B al trascorrere del tempo? Giustificare la risposta dal punto di vista fisico. Per a >, si consideri la funzione f :!! definita da f ( t)= t ( t + a ). 5 di 15

6 iii. Verificare che la funzione F( t)= 1 t + a 1 a è la primitiva di f il cui grafico passa per l origine. Studiare la funzione F,!individuandone eventuali simmetrie, asintoti, estremi. Provare che F presenta due flessi nei punti di ascisse t = ± a e determinare le pendenze delle rette tangenti al grafico di F in tali punti. iv. Con le opportune motivazioni, dedurre il grafico di f da quello di F, specificando cosa rappresentano le ascisse dei punti di flesso di F per la funzione f. Calcolare l area della regione compresa tra il grafico di f, l asse delle ascisse e le rette parallele all asse delle ordinate passanti per gli estremi della funzione. Fissato b >, calcolare il valore di b f ( t)dt.! b Risoluzione. i. Dopo aver determinato le unità di misura di a e k, spiegare perché nel condensatore è presente un campo magnetico anche in assenza di magneti e correnti di conduzione. Qual è la relazione tra le direzioni di! B e del campo elettrico! E nei punti interni al condensatore? Per consistenza dimensionale a dev essere misurato in s. Poiché B( t)= quanto appena detto su a ho che T = k s s m k = Ts m. kt ( t + a ) r, per Poiché c è una ddp ΔV variabile, il campo elettrico! E all interno del condensatore è variabile ( E = ΔV d ) e quindi varia il flusso del campo elettrico all interno del condensatore. Per il Teorema di Ampere-Maxwell la variazione del flusso del campo elettrico genera un dφ campo magnetico secondo la relazione Γ B = ε µ E. dt Le linee di forza del campo elettrico vanno dall armatura carica positivamente a quella carica negativamente; le linee di forza del campo magnetico sono circonferenze concentriche all asse di simmetria del condensatore. Si conclude che la direzione di! B è perpendicolare alla direzione di! E. ii. Determinare la circuitazione di B! lungo C e da essa ricavare!che il flusso di E!, attraverso la superficie circolare delimitata da C, è dato da φ ( E! )= kπr 1 µ ε t + a + 1 a. Calcolare la ddp tra le armature del condensatore. 6 di 15

7 A quale valore tende B al trascorrere del tempo? Giustificare la risposta dal punto di vista fisico. ( ) Γ B = B( t) πr = πktr. Dal Teorema di Ampere-Maxwell ricavo l espressione del flus- t + a so del campo elettrico: ε µ dφ E dt = Γ B dφ E dt = πkr ε µ ( ) dτ φ E = πkr τ τ + a ε µ t ΔV = E d ΔV = φ E S d ΔV = φ E = πkr 1 ε µ τ + a k 1 dε µ t + a 1 a. t t ( t + a ) φ E = πkr 1 ε µ t + a 1 a. lim B ( t )= lim t + t + kt ( t + a ) r = lim kr =. Il risultato è prevedibile in quanto il condensato- t + t re tende a caricarsi del tutto e quindi la densità σ di carica che si deposita sulle armature tenderà a stabilizzarsi (la velocità di variazione della densità di carica tende a zero) e così il campo elettrico E = σ ε e così il suo flusso φ E = E πr. iii. 1 Verificare che la funzione F( t)= t + a 1 è la primitiva di f il cui grafico passa a per l origine. Studiare la funzione F,!individuandone eventuali simmetrie, asintoti, estremi. Provare che F presenta due flessi nei punti di ascisse t = ± a e determinare le pendenze delle rette tangenti al grafico di F in tali punti. f ( t)= F ( t) f ( t)= t + a ( ) 1 1 a f ( t)= 1 ( t + a ) t f ( t)= t ( t + a ). Studio la funzione F. D F =! e t! si ha F( t)= F( t) ovvero la funzione è pari. F( t) t + a a t t =. lim F( t)= 1 a F ammette un asintoto orizzontale di equazione y = 1 a. t ± F ( t) t F è crescente per t < e ammette un punto di massimo (assoluto) ( ). M ; 7 di 15

8 F ( t) ( ) t ( t + a ) t t + a ( t + a ) t a t ( t + a ) ( t + a ) t + a a t a, ovvero la funzione è convessa per t < a t > a e ammette due punti di flesso ± a; 6 a. Le rette tangenti al grafico di F nei punti di flesso hanno pendenza F ± a = a. Il grafico della funzione F è il seguente: iv. Con le opportune motivazioni, dedurre il grafico di f da quello di F, specificando cosa rappresentano le ascisse dei punti di flesso di F per la funzione f. Calcolare l area della regione compresa tra il grafico di f, l asse delle ascisse e le rette parallele all asse delle ordinate passanti per gli estremi della funzione. Fissato b >, calcolare il valore di b f ( t)dt. b F ( t) f ( t), quindi dove F è crescente f è positiva, dove F è decrescente f è negativa, dove F ammette un estremale relativo f si annulla. F ( t) f ( t), quindi dove F è convessa f è crescente, dove F è concava f è decrescente, dove F ammette un flesso f ammette un punto stazionario. 8 di 15

9 Poiché f è dispari, t M = t m per cui t m t M f ( τ)dτ una funzione dispari definita in!. Allora, b!, f ( t)dt =. =. Tale condizione vale in generale: sia f b b 9 di 15

10 Questionario. Risolvi quattro degli otto quesiti: ( ), dove d! e p è 1. Una data funzione è esprimibile nella forma f ( x)= p( x) x + d un polinomio. Il grafico!di f interseca l asse x nei punti di ascisse e 1/5 ed ha come asintoti le rette di equazione x =, x = e y = 5. Determinare i punti di massimo e di minimo relativi della funzione f.! Risposta. Dapprima determino il valore di d: sapendo che la funzione f ammette due asintoti verticali di equazione x = e x =, deve accadere che ± ( ) + d = d = 9. Poiché la funzione f ammette un asintoto orizzontale di equazione y = 5 deve accadere ( ) p x che lim = 5, ovvero che il polinomio p deve avere grado : x + x 9 p ax + bx + c a,b,c!, a. Quindi lim = 5 a = 5. x + x 9 ( x)= ax + bx + c, Poiché per ipotesi ( ; ), ( 1 5; ) G f, ricavo che c = e che b = b = 1. Dunque f ( x)= 5x 1x. Per determinare i punti estremali della funzione basta studiare x 9 il segno della sua derivata prima: f ( ( x)= 1x 1) ( x 9) x( 5x 1x) f ( x)= 6 ( x 15x +18) f ( x)= 6 x 6 x 9 x 9 x 9 ( ) ( ) ( )( x ) ( ) e f ( x) x x 6 ; la funzione f ammette quindi un minimo relativo m( 6; f ( 6) )=( 6; ) e un massimo relativo M( ; f ( ) )=( ; 1). Il risultato è confrontato anche dal grafico della funzione al seguito riportato. 1 di 15

11 11. È assegnata la funzione g( x)= x n 1 = x + x + x 5 + x 7 +!+ x 17 + x 19. Provare n=1 che esiste un solo x! tale che g( x )=. Determinare inoltre il valore di g( x) lim x + 1,1.! x ( ) e g x Risposta. g( x)= x 1+ x + x + x 6 +!+ x 16 + x 18 ( )= x = 1+ x +!+ x 18 = =. Ma la seconda equazione non ammette soluzioni in! visto che 1+ ( x +!+ x 18 ) 1+ = 1; rimane quindi un unica soluzione: x =. ( ) g x lim x + 1,1 = + 1+ x + 5x +!+ 17x x 18 x + :=H lim x + 1,1 x ln1,1 = := H 6x + x +! x x 17 lim x + 1,1 x ln := H := H 1,1 := H 19! lim x + 1,1 x ln 19 1,1 = 19! ( + ) ln 19 1,1 = (applicando il Teorema di de l Hospital 19 volte).. Tra tutti i parallelepipedi rettangoli a base quadrata, con superficie totale di area S, determinare quello per cui la somma delle lunghezze degli spigoli è minima. Risposta. In riferimento alla figura, ho che S = x + xy y = S x x (con < x < S ). La somma delle lunghezze degli spigoli è data dalla funzione s = 8x + y s( x)= 6x + S x. Per determinare il minimo studio il segno della derivata prima di s: s ( x)= 6 S x e s ( x) x S 6, ovvero la funzione ammette un minimo per x = y = S S 6 1 S 6 = S 6, ovvero ottengo un cubo. S 6 e. Dati i punti A( ; ; 1) e B( ; ; 1), provare che il luogo geometrico dei punti P dello spazio, tali che PA = PB, è costituito da una superficie sferica S, e scrivere la sua equazione cartesiana. Verificare che il punto T 1; 8; 7 determinare l equazione del piano tangente in T a S. ( ) appartiene a S e 11 di 15

12 Risposta. Sia P x; y; z ( ) un generico punto soddisfacente l equazione del luogo; allora ( ) PA = PB PA = PB ( x ) + y + ( z +1) = ( x + ) + ( y ) + ( z 1) x + y + z +1x 8y 6z +1 = ( x +1x + 6)+ ( y 8y +16)+ ( z 6z + 9)= = ( x + 6) + ( y ) + ( z ) = 8, ovvero ottengo l equazione della superficie sferica di centro C( 6; ; ) e raggio. Verifico che T S: ( 1+ 6) + ( 8 ) + ( 7 ) =? =? 8 SÌ Sia π : ax + by + cz + d =, a,b,c,d! non contemporaneamente nulli, il piano tangente a S in T. Allora ( a; b; c)= π! = CT ""! = ( ; ; ) e quindi ( 1) d = d = 1. Concludo che π : x y z + 5 =. 5. Si lanciano dadi con facce numerate da 1 a 6.!! i. Qual è la probabilità che la somma dei numeri usciti non superi 5?! ii. Qual è la probabilità che il prodotto dei numeri usciti sia multiplo di? iii. Qual è la probabilità che il massimo numero uscito sia? Risposta. i. Considero la VA discreta S: Somma di numeri usciti. È richiesto di calcolare P( S = S = 5). Per avere S = deve necessariamente uscire sempre 1, ii. iii. P( S = )= = 1. Per avere S = 5 devono necessariamente uscire sempre tre 6 1 e un (che può uscire nel primo, nel secondo, nel terzo o nel quarto dado), P( S = 5)= = 6. Dunque P( S = S = 5)= P( S = )+ P( S = 5)= 5 6!,9%. Considero la VA discreta P: Prodotto di numeri usciti. È richiesto di calcolare P( P = n, n!). Affinché ciò accada in almeno un dado deve uscire o o 6. Conviene utilizzare l evento complementare, ovvero P( P n, n!), che accade quando non esce mai né né 6: P( P n, n!)= = Dunque P( P = n, n!)= = " 8,5%. Affinché il massimo numero uscito sia deve accadere uno dei seguenti casi: esce esattamente un e non esce né un 5 né un 6: escono esattamente due e non esce né un 5 né un 6: = 18 6 ; = 5 6 ; 1 di 15

13 escono esattamente tre e non esce né un 5 né un 6: escono esattamente quattro : Dunque la probabilità richiesta vale 1 = = ! 1,5%. = 1 6 ; 6. Una spira di rame, di resistenza R =, mω, racchiude un area di cm ed è immersa in un campo magnetico uniforme, le cui linee di forza sono perpendicolari alla superficie della spira. La componente del campo magnetico perpendicolare alla superficie varia nel tempo come indicato in figura. Spiegare la relazione esistente tra la variazione del campo che induce la corrente e il verso della corrente indotta. Calcolare la corrente media che passa nella spira durante i seguenti intervalli di tempo:! a) da, ms a, ms; b) da, ms a 5, ms; c) da 5, ms a 1 ms.! Risposta. La relazione tra la variazione del campo magnetico e del verso della corrente indotta è il Teorema di Lenz, nel quale si afferma che il verso della corrente indotta è tale da opporsi alla variazione del flusso del campo magnetico che l ha generata. Nel caso in esame, poiché la superficie rimane costante e così la sua inclinazione rispetto al campo magnetico, la variazione di flusso si ha solo per la variazione del campo magnetico; specificatamente, quando il campo magnetico diminuisce il verso della corrente elettrica che attraversa la spira sarà tale da generare un campo magnetico dello stesso verso del campo magnetico preesistente; viceversa, quando il campo magnetico aumenta il verso della corrente elettrica che attraversa la spira sarà tale da generare un campo magnetico del verso opposto rispetto a quello del campo magnetico preesistente. i a = 1 Δφ a = 1 (, 1 ) ( 1 ) = 5, 1 A = 5 ma ; R Δt a 1 1 ( ) 1 ( ) i b = 1 Δφ b = 1, 1 = 1,5 1 1 A = 15 ma ; R Δt b 1 1 ( ) 1 ( ) i c = 1 Δφ c = 1, 1 =, 1 A = ma. R Δt c 1 5 1! 1 di 15

14 ! 7. In laboratorio si sta osservando il moto di una particella che si muove nel verso positivo dell asse x di un sistema di riferimento ad esso solidale. All istante iniziale, la particella si trova nell origine e in un intervallo di tempo di, ns percorre una distanza di 5 cm. Una navicella passa con velocità v =,8c lungo la direzione x del laboratorio, nel verso positivo, e da essa si osserva il moto della stessa particella. Determinare le velocità medie della particella nei due sistemi di riferimento. Quale intervallo di tempo e quale distanza misurerebbe un osservatore posto sulla navicella?! Risposta. La velocità media rispetto al laboratorio è u = Δs Δt =,5 1 1 = 1,5 1 8 m s = c =,c. La velocità propria della navicella è v =,8c, quindi la velocità media rispetto alla navicella è u = u v 1 u v u = 1,7 1 8 m s = c =,58c. c Si attendeva un valore negativo in quanto la navicella si muove nella stessa direzione e verso della particella ma con velocità pressoché doppia. Calcolo il tempo proprio: Δt = γδt Δt = Δt γ =, 1 9 1, = = = 1,8 ns. L intervallo di tempo che indica la durata dell evento visto dalla navicella è Δ t = γ Δt Δ t = 1, ,58 = =, ns. Lo spazio percorso dalla particella per un osservatore sulla navicella è Δ s = u Δ t = = 8 cm. 6 Osservazione: si poteva rispondere al quesito utilizzando anche le trasformazioni di Lorentz; all istante iniziale t = la particella si trova nell origine, ovvero x =. Posto sulla navicella un osservatore misurerebbe un intervallo di tempo, dalle trasformazioni di Lorentz, Δ t = t t = γ t vx c t = 1 1 =, 1 9 s =, ns, dove ( ) c x = = Δx x = Δx, e una distanza pari a Δ s = u Δ t = = c (, 1 9)=,8 1 1 m = 8 cm. 8. Un protone penetra in una regione di spazio in cui è presente un campo magnetico uniforme di modulo B =! B = 1, mt. Esso inizia a muoversi descrivendo una traiettoria ad elica cilindrica, con passo costante Δx = 8,1 cm, ottenuta dalla composizione di un moto circolare uniforme di raggio r = 1,5 cm e di un moto rettilineo uniforme. Determinare il modulo del vettore velocità e l angolo che esso forma con! B. 1 di 15

15 Risposta. Assumo che il protone compia un MRU lungo l asse x e un MCU lungo l asse y. Quindi v x = Δx Δt e v y = ebr m p v y πr (da ev y B = m p ). Ma Δt = T = = πm p, da cui r v y eb v x = ebδx πm p. Dunque v = = arctan πr Δx = 6. v x + v y = eb πm p ( Δx) + ( πr) = 1,16 1 m s e ϑ = arctan v y = v x 15 di 15