Maturità Scientifica anno scolastico Sessione Ordinaria Problema N 1

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1 Maturità cientifica anno scolastico essione Ordinaria Problema N i considerino le seguenti funzioni f a + b e +. g a b e Provare che, comunque siano scelti i valori di a e b in con a 0, la funzione g( ) ammette un massimo ed un minimo assoluti. Determinare i valori di a e b in corrispondenza dei quali i grafici delle due funzioni f ( ) e g( ) si intersecano nel punto (,) a + b g a + b e e dom g ( ) A. a + b g lim lim ± ± e Comportamento della funzione agli estremi del dominio Per calcolare tale limite applico il teorema di De l Hospital: lim lim a + b lim a g e e 0 ( ) ± ± ± Questo ci consente di affermare che la funzione proposta a + b g a + b e è continua e e finita in. Il teorema di Weierstrass ci garantisce l esistenza di un massimo e di un minimo assoluti per la funzione g a + b e. Per determinare i massimi ed i minimi della funzione occorre calcolare la derivata prima della a + b g a + b e. e funzione g a e + a + b e a + a b + a + b e g 0 a + a b + a + b 0 Il delta di questa equazione è sempre positivo Questa equazione ammette sempre due radici reali e distinte in quanto il suo delta è sempre positivo essendo la somma di due quadrati ( a b) a( a b) a ab b a ( a b) 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina di 5

2 Maturità cientifica anno scolastico essione Ordinaria Problema N Queste due radici reali sono le ascisse dei punti di massimo e di minimo assoluti come dimostrato in precedenza. iano σ γ i rispettivi grafici delle funzioni f ( ) e g( ). A A (,) σ f a + b 0 (,) γ g ( a b) e + a b a+ b e + 0 Il sistema da risolvere è: a+ b a+ b b a a+ a b a a a b i assuma. d ora in avanti, di avere a e b. tudiare le due funzioni così ottenute, verificando che il grafico di g( ) ammette un centro di simmetria e che i grafici di f ( ) e g( ) sono tangenti nel punto ( 0;) B. Determinare inoltre l area della regione piana delimitata dai grafici delle funzioni f ( ) e g( ). Posto a b le funzioni da studiare diventano: f ( ) g e La funzione f è una parabola ad asse verticale il cui vertice coincide col punto 5 V ;. La parabola incontra gli assi cartesiani nel punti B( ;0, ), 5 C ;0, 5 D + ;0. 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina di 5

3 Maturità cientifica anno scolastico essione Ordinaria Problema N tudiamo la funzione g ( ) e utilizzando i risultati ottenuti in precedenza. dom g ( ) g lim lim lim 0 e e ( ) ± ± ± y 0 (asse delle ascisse) è l asintoto orizzontale della funzione. 0 y ( 0; ) B 0 y ( ) e 0 E ( ; 0) g( ) > 0 ( g( ) < 0 ) se > ( < ) Monotonia della funzione ed eventuali punti estremanti ( ) + g 0 g e + 0 ± _ + _ g + O O + e N ; immagine geometrica del minimo assoluto e M + ; immagine geometrica del massimo assoluto Concavità della funzione ed eventuali punti di flesso ( 6 ) ( ) g + + e e g 0 ( )( ) 0 ± 6 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina di 5

4 Maturità cientifica anno scolastico essione Ordinaria Problema N 6 punto di flesso ascendente + 6 punto di flesso ascendente punto di flesso discendente Le immagini geometriche dei punti di flesso della funzione g( ) sono: 6 6e F ; ( ; 0 ) F 6 6e F + ; I punti MNFF,,, sono simmetrici rispetto al punto F ( ; 0 ) e questo ci consente di affermare che il grafico della funzione g( ) è simmetrico rispetto al punto Adesso dimostriamo quanto affermato in precedenza. F ; Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina di 5

5 Maturità cientifica anno scolastico essione Ordinaria Problema N + X y + Y 0 cioè X y Y sono le equazioni di una simmetria di centro F ( ; 0 ). Per dimostrare che il grafico della funzione g( ) è simmetrico rispetto al punto F basta con e y con y e, effettuati tutti i calcoli, ritrovare l espressione y e g. ( ) ( ) y ( + ) e + y e e g Due curve sono tangenti in un punto se in tale punto ammettono la stessa tangente. Poiché entrambi i grafici passano per il punto B( 0; ) basta verificare che risulta f + f 0 g ( ) e g 0 ; 0 y è l equazione della tangente comune. Per calcolare l area della regione finita di piano delimitata dalle curve σγ, basta calcolare il seguente integrale definito: 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina 5 di 5

6 Maturità cientifica anno scolastico essione Ordinaria Problema N g f d ( ) e + + d e e d e d e 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina 6 di 5

7 Maturità cientifica anno scolastico essione Ordinaria Problema N Problema di fisica Teorema della circuitazione di Ampere La circuitazione del vettore campo magnetico B, calcolata lungo un percorso C chiuso qualsiasi, è uguale al prodotto della permeabilità magnetica μ o per la corrente totale i c somma algebrica di tutte le correnti concatenate col percorso. Per una sola corrente abbiamo: C (B) μ i o Per più correnti concatenate abbiamo: C (B) μ i +i + +i μ i μ i n o n o s o c s i supponga che nel riferimento Oy le lunghezze siano espresse in metri ( m ). i considerino tre fili conduttori rettilinei disposti perpendicolarmente al piano Oy e passanti rispettivamente per i punti P ;0, P ;, P ;. I fili sono percorsi da correnti continue di intensità i,0 A, i e i. Il verso di i è indicato in figura mentre gli altri due versi non sono indicati. tabilire come varia la circuitazione del campo magnetico, generato dalle correnti i, i e i, lungo il contorno di, a seconda dell intensità e del verso di i e i. 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina 7 di 5

8 Maturità cientifica anno scolastico essione Ordinaria Problema N tabilito il verso di percorrenza della linea chiusa su cui si calcola la circuitazione del campo magnetico, la corrente concatenata con la linea è assunta con segno positivo se circola nel verso indicato dal pollice della mano destra quando le altre dita sono avvolte nel verso della linea; in caso contrario è assunta con segno negativo E concatenata con una linea chiusa ogni corrente che attraversi una qualunque superficie, anche non piana, avente come contorno la linea considerata Abbiamo: i A, P ;0, P ;, P ; risultano concatenate col contorno γ. 9 g e e, 06 0,5< 0, 5< <,06 La circuitazione del campo magnetico lungo il percorso chiuso ABCDA, con il quale la corrente i che genera il campo non è concatenata, è nulla Percorrendo la linea chiusa in senso antiorario, la corrente concatenata i, uscente dal foglio, è positiva; la corrente concatenata i, entrante, è negativa. La corrente totale concatenata con la linea è i ci-i. tabiliamo quali delle tre corrente f 0,5 Questo ci consente di affermare che sono concatenate col contorno γ soltanto le correnti i e i. La corrente i, non essendo concatenata col contorno γ, non influisce sul calcolo della circuitazione del vettore B. C( B) µ ( A+ i ) o 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina 8 di 5

9 Maturità cientifica anno scolastico essione Ordinaria Problema N Per stabilire i segni delle tre correnti orientiamo in senso orario il contorno γ. Risulta sicuramente positiva la corrente i A> 0. e i ha lo stesso segno di e i ha segno opposto rispetto ad i e quindi ha verso uscente abbiamo: C( B) µ ( A i ) + > 0 i (ha verso entrante) abbiamo: C( B) µ ( A+ i ) o o C( B ) > 0 C( B ) < 0 ( A i ) µ + > 0 i > A o ( A i ) µ + < 0 i < A o e i A abbiamo: C( B) µ ( A A) 0 o e orientiamo il contorno γ in verso antiorario otteniamo risultati opposti. 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina 9 di 5

10 Maturità cientifica anno scolastico essione Ordinaria Problema N La rotazione della spira attorno all asse genera nella spira un flusso del vettore B B B B ωt che varia secondo la legge: Φ cosα cos avendo supposto che all istante t 0 il piano della spira coincida col piano Oy e che α ωt è l angolo formato dal vettore B con la normale al piano della spira. Abbiamo calcolato in precedenza : La variazione nel tempo del flusso del vettore B concatenato col circuito genera in esso una corrente indotta la cui f.e.m. vale: dφ B d f B t B t dt dt ( cosω ) ωsinω Il suo valore massimo si ottiene se risulta sinω t fma Bω la relazione i f R ci consente di scrivere: f i R V ma ma 5 0 0, 0 fma Bω ω f B 0 ma, 5 0 rad 0,05 s 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina 0 di 5

11 Maturità cientifica anno scolastico essione Ordinaria Problema N La somma t + b è possibile solo se sono fra loro omogenee le grandezze t e a. Per questo motivo la grandezza a rappresenta un tempo e va misurata in secondi. { a} { t} sec Per determinare l unità di misura della grandezza k bisogna ricorrere all analisi dimensionale: kt B r ( t + a ) B t + t k t r [ k] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] B t B t t L L 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina di 5

12 Maturità cientifica anno scolastico essione Ordinaria Problema N { } { } { } k { } B t T s telsa sec ondo L m metro In base all ipotesi di Mawell, il campo elettrico variabile nel tempo presente fra le armature del condensatore genera un campo magnetico indotto. Le linee del campo magnetico sono mostrate nei due casi in cui il campo elettrico, d intensità crescente, sia diretto (a) verso l alto e (b) verso il basso Ogni qual volta in una certa regione di spazio c è un campo elettrico variabile nel tempo nasce in quella stessa zona di spazio un campo magnetico anch esso variabile nel tempo. Mawell riteneva che una variazione del campo elettrico E creasse una corrente di spostamento i s il cui valore era: d dφ( E) iε s o dt La corrente di spostamento i t ε s o d dφ (E) dt produce un effetto magnetico simile a quello generato dal movimento delle cariche elettriche di un conduttore. i genera così un campo magnetico indotto variabile. Le linee del campo magnetico generato dalla corrente di spostamento sono circonferenze concentriche con l asse di simmetria del condensatore. I vettori E e B sono perpendicolari fra loro in ogni punto. 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina di 5

13 Maturità cientifica anno scolastico essione Ordinaria Problema N La differenza di potenziale variabile, produce, tra le piastre del condensatore, un campo elettrico variabile il quale, a sua volta, genera un campo magnetico variabile e così di seguito. d d n dφ ( E) La quarta equazione di Mawell C.. c( B) µ o ik + εo, nel caso previsto dal problema k dt d d dφ ( E) diventa C.. c( B) µε o o dt π kt C ( B) π rb r.. c ( t + a ) d d dφ ( E) dt e C.. c B µε o o dφ( E) C.. c( B) kπ r t dt d d µε µε o o o o ( t + a ) d Φ ( E) µε kπ r t t o o 0 ( t + a ) dt + d kπ r t kπ r t + a kπ r Φ ( E) ( t a ) d( t a ) µε o o µε o o µε o o t + a t 0 t 0 kπr Φ (E) - + με o o t +a a 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina di 5

14 Maturità cientifica anno scolastico essione Ordinaria Problema N kπr Φ (E) - + με o o t +a a Φ π ( E ) E r E π r k π r E µε - + t + a o o a k E - + µε o o t + a a La differenza di potenziale tra le armature di un condensatore piano si calcola applicando la seguente formula: V Ed V kd - a t + a µε o o t t t lim B kr lim kr lim kr lim kr lim 0 t t t ( t + a ) t + t + t + 6 t + t + kd kd lim V lim - costante t + µε t + o o a t a + µε o oa e la differenza di potenziale agli estremi del condensatore si mantiene costante il campo elettrico tra le sue armature è costante e non genera nessun campo magnetico. In questa situazione non c è corrente di spostamento. F t - t +a a Per verificare che la funzione basta dimostrare che F ( t) f ( t) t. è la primitiva della funzione f t - t ( t +a ) t F ( t) D ( t + a ) ( t + a ) t f t a + ( t a ) 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina di 5

15 Maturità cientifica anno scolastico essione Ordinaria Problema N F t - t +a a tudiamo la funzione dom F F 0-0 t +a a t + a a t + a a a t + a t 0 t 0 F 0 Il grafico della funzione F passa per l origine degli assi cartesiani F( - t) - - F t a - + a t + a a ( t) i tratta di una funzione pari; il suo grafico è simmetrico rispetto all asse delle ordinate. 0 F t < t 0 i tratta di una funzione non positiva. Comportamento della funzione agli estremi del dominio lim F( t) lim - - t + t + t a a + a completo del grafico della funzione la retta di equazione F è l asintoto orizzontale a tudio della monotonia della funzione e calcolo di eventuali punti estremanti t F t f t t t + a ( t + a ) ( t) 0 F t 0 punto di massimo assoluto F ( 0) 0 massimo assoluto ( 0,0) O immagine geometrica del massimo assoluto 0 + _ O t F t f t tudio della concavità della funzioni e calcolo di eventuali punti di flesso 5 5 F ( t) f ( t) D t( t + a ) ( t + a ) t( t + a ) t ( t + a ) t ( t + a ) ( t) 0 F t a 0 t ± a 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina 5 di 5

16 Maturità cientifica anno scolastico essione Ordinaria Problema N + a O _ a O + t F ( t) a t punto di flesso discendente a t punto di flesso ascendente a F ± a a a a a + a ordinata dei due punti di flesso A a, a B a, a immagini geometriche dei due punti di flesso a t : y a a inflessionali a t : y + a a equazioni delle due tangenti 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina 6 di 5

17 Maturità cientifica anno scolastico essione Ordinaria Problema N f t F t t Otteniamo il grafico della funzione f ( t) F ( t) dal grafico della funzione considerazioni: F( t ) funzione pari f ( t) F ( t) funzione dispari f ( t ) > 0 t ],0[ in tale intervallo la funzione f ( t ) < 0 t ] 0, + [ in tale intervallo la funzione F t è strettamente crescente F t è strettamente decrescente F ( 0) 0 è un massimo assoluto per la funzione F( t ) e quindi f F della funzione f ( t) F ( t) passa per l origine degli assi cartesiani. F t in base alle seguenti Il grafico Gli estremi della funzione f ( t) F ( t) coincidono con i flessi della funzione F t. Questo ci consente di affermare che a t ± sono punti di massimo e di minimo assoluti a lim F( t) costante f ( t) F ( t) t della funzione f ( t) F ( t) lim 0 t 0 è l asintoto orizzontale del grafico t 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina 7 di 5

18 Maturità cientifica anno scolastico essione Ordinaria Problema N La funzione f ( t ) è la derivata prima di F( t ) che è una funzione pari; ne deriva che f ( t ) è una funzione dispari. Inoltre i punti stazionari della funzione f ( t ) si trovano in corrispondenza dei punti di flesso della funzione F( t ). L andamento del grafico della funzione f ( t) F ( t) è il seguente: Ricordando che il grafico della funzione f ( t) F ( t) è simmetrico rispetto all origine degli assi cartesiani possiamo scrivere: 0 a a f ( t) dt F( 0) F 0 + a a a a + a a 6 a a 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina 8 di 5

19 Maturità cientifica anno scolastico essione Ordinaria Problema N f(t) F(t) f ( t) t ( t + a ) M a a t t t A B f(t) N F(t) F ( t) t + a a t a 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina 9 di 5

20 Maturità cientifica Anno colastico essione Ordinaria Quesiti Una data funzione è esprimibile nella forma f p + d, dove d e p ( ) è un polinomio. Il grafico di f interseca l asse nei punti di ascisse 0 e 5 ed ha come asintoti le rette di equazione, e y 5. Determinare i punti di massimo e di minimo relativi della funzione f. f ( 0) f 0 5 lim f 5. p a 5 con a( ) polinomio che verifica la relazione Essendo + d + 9 ± le equazioni dei due asintoti verticali avremo: Questo ci consente di scrivere la funzione proposta nella seguente maniera: lim f 5 a - 5 f -9 a lim f lim lim a lim lim a lim lim a lim a a( ) 5 La funzione proposta diventa: f dom f { ±} ± e y 5 gli asintoti del grafico della funzione ( )( ) ( ) + ( 9) ( 9) f f ( ) Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina 0 di 5

21 Maturità cientifica Anno colastico essione Ordinaria Quesiti f 0 6 punto di minimo relativo N ( 6,) immagine geometrica del minimo relativo f 6 minimo relativo punto di massimo relativo f massimo relativo M, immagine geometrica del massimo relativo + + O O O O ( 9) + O O f y - f y5 5 9 M N O 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina di 5

22 Maturità cientifica Anno colastico essione Ordinaria Quesiti E assegnata la funzione esiste un solo valore o del seguente limite 00 n Provare che n g tale che risulti g( ) 0 lim g +, ( ) g. 0 0 è l unica soluzione di tale equazione in quanto il polinomio o. Determinare inoltre il valore g ( ) , essendo somma di quantità positive, non si annulla mai. Quindi esiste un solo valore o 0 tale 0 0 che risulti g( ) g o Per calcolare il limite Per calcolare bisogna ricordare la seguente proprietà sull ordine degli infiniti: Quando + l infinito a è di ordine superiore rispetto all infinito d se a > e d > 0 d L infinito di un esponenziale ( a ) è di ordine superiore rispetto all infinito di una potenza ( ) g per g lim lim 0 +, +, Possiamo ottenere lo stesso risultato ricorrendo al teorema degli zeri di una funzione TEOREMA (di esistenza degli zeri) N 7: e f ( ) è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [, ] allora a b f ( ) a b, se risulta f ( a) f ( b) ], [: 0. o o < 0, e f ( ) è anche strettamente crescente o strettamente decrescente in [, ] * a b abbiamo: ] a, b[: f ( ) o o 0 cioè esiste ed è unico il punto o interno all'intervallo [ a, b ] per il quale risulta f ( o ) 0. g( ) g g( ) funzione dispari ed agli estremi del suo dominio assume valori opposti come si deduce facilmente dalla relazione: lim g ± La funzione proposta si annulla almeno una volta in ± 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina di 5

23 Maturità cientifica Anno colastico essione Ordinaria Quesiti g > g( ) è una funzione strettamente crescente in e, quindi, in tale intervallo si annulla una sola volta. Possiamo calcolare il limite lim g +,, che si presenta nella forma indeterminata, ricordando che la derivata di ordine n + di un qualsiasi polinomio di grado n è nulla. Infatti la derivata seconda di un polinomio di primo grado è nulla, la derivata terza di un polinomio di secondo grado è nulla e così di seguito. Per calcolare lim g +, possiamo applicare la regola di De L Hospital. Ricordando che la derivata di ordine n del polinomio g( ) si annulla possiamo scrivere: n n g g g g 0 lim lim lim lim 0 +, + ln,, + ln,, + ln,, Fra tutti i parallelepipedi rettangoli a base quadrata, con superficie totale di area, determinare quello per il quale la somma delle lunghezze degli spigoli è minima. La somma s di due variabili numeriche positive ed y, avente prodotto p esse assumono valori uguali, cioè: a costante, è minima quando y p costante +, y, p R s + y è minima per y ia il lato del quadrato base del parallelepipedo e b la sua altezza. y 8 +b è la funzione da rendere minima. Risulta: + b b 0 > essendo e b variabili numeriche positive. 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina di 5

24 Maturità cientifica Anno colastico essione Ordinaria Quesiti > 0 0 < < 6 b b y y 6+ La variabile y avente prodotto p 6 6 costante, somma delle due variabili numeriche positive 6 ed, è minima quando le due variabili assumono valori uguali, cioè quando risulta: b Il parallelepipedo richiesto è un cubo. Possiamo trovare lo stesso risultato utilizzando le derivate. 6 y ( ) 6+ y 6 y punto di 6 minimo assoluto in quanto risulta y La somma delle lunghezze degli spigoli vale: > 0 0, 6 y Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina di 5

25 Maturità cientifica Anno colastico essione Ordinaria Quesiti Dati i punti A(,0, ) e B(,,), provare che il luogo geometrico dei punti P dello spazio, tali che risulti PA PB, è costituito da una superficie sferica e scrivere la sua equazione cartesiana. Verificare che il punto T ( 0,8,7) appartiene ad e determinare l equazione del piano α tangente in T ( 0,8,7) ad. PA PB PA PB ( ) + ( y 0) + ( z+ ) ( + ) + ( y ) + ( z ) y z z y y z z y +z +-8y-6z+0 a b c i tratta di una sfera di centro,, ( 6,,) C e raggio a b c r + + d r Verifichiamo che il punto T ( 0,8,7) appartiene alla sfera. Un punto appartiene ad una superficie quando le sue coordinate verificano l equazione della superficie T Il vettore N ai+ bj+ ck ( abc,, ) è un vettore perpendicolare al piano di equazione a + by + cz + d 0. P P i + y y j+ z z k y y z z (,, ) sono le componenti cartesiane del vettore P P. ( P P) N e quindi a( ) b( y y ) c( z z ) 0 per il punto (,, ) + + rappresenta l equazione del piano passante 0 P y z e perpendicolare al vettore N. Il vettore CT T C (, y, z ) (,,) T C T C T C è perpendicolare al piano α passante per il punto T e tangente alla superficie. 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina 5 di 5

26 Maturità cientifica Anno colastico essione Ordinaria Quesiti ( T C) ( P T) 0 è l equazione vettoriale del piano α con (,, ) ( y z ),, + 0, 8, 7 0 ( + 0) + ( y 8) + Utilizzando la relazione a( ) b( y y ) c( z z ) 0 cioè: ( ) ( y ) ( z ) T T T P yz e T C N z 7 0 -y-z otteniamo lo stesso risultato di prima, y-z+50 i lanciano dadi con facce numerate da a 6. Qual è la probabilità che la somma dei numeri usciti non superi 5? Qual è la probabilità che il prodotto dei numeri usciti sia multiplo di? Qual è la probabilità che il massimo numero uscito sia? La probabilità p( A ) di un evento aleatorio A coincide col rapporto tra il numero m dei casi favorevoli all evento A ed il numero n dei casi possibili nell ipotesi che essi siano tutti equiprobabili. In formule abbiamo: m p( A ) con m n n 0 p A n,k k D n disposizioni con ripetizione di n elementi di classe k. Qual è la probabilità che la somma dei numeri usciti non superi 5? Il numero dei casi possibili nel lancio dei dadi con le facce numerate da a 6 è uguale al numero delle disposizioni con ripetizione di 6 elementi di classe : n 6 96 I casi favorevoli sono 5, precisamente quando i lanci danno i seguenti risultati: d d d d d+ d + d+ d Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina 6 di 5

27 Maturità cientifica Anno colastico essione Ordinaria Quesiti ( d, d, d, d ), ( d, d, d, d ), ( d, d, d, d ) ( d, d, d, d ) ( d, d, d, d ), 5 p A 0, Qual è la probabilità che il prodotto dei numeri usciti sia multiplo di? E il prodotto dei numeri di ciascuna faccia dei dadi in ciascun lancio è multiplo del p E p d d d d k con k E nel lancio dei dadi il prodotto non è multiplo del I casi favorevoli sono 56 e la sua probabilità vale: ( ) 56 p E p( E) p( d d d d k) p( E) 0, Qual è la probabilità che il massimo numero uscito sia? E il massimo numero uscito è almeno la faccia di un dado presenta il numero e le facce degli altri dadi non presentano né il numero 5 né il numero 6. A i numeri usciti sono tutti minori o uguali a a lancio avvenuto la faccia di ciascuno dei dadi presenta il numero, o il numero, o il numero o il numero. I casi favorevoli sono le disposizioni con ripetizione di elementi di classe : D, 56 p A B tutti i numeri delle facce dei dadi presentano numeri minori o uguali a I casi favorevoli sono le disposizioni con ripetizione di elementi di classe : D, 8 I casi favorevoli all evento E sono: p B cioè quando almeno la faccia di un dado presenta il numero - tutti i numeri delle facce dei dadi presentano numeri minori o uguali a 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina 7 di 5

28 Maturità cientifica Anno colastico essione Ordinaria Quesiti p( E ) p( A B) 0, Altra risoluzione Il problema delle prove ripetute si presenta quando consideriamo un evento E che ha probabilità p costante di verificarsi in qualsiasi prova effettuata e vogliamo calcolare la probabilità che ha tale evento (detto anche successo) di verificarsi h su n prove effettuate e di non verificarsi n h volte nel caso di insuccesso, con 0 h n. n pnh, ( E) p q h h n h n! h p q h! n h! n h pn,h ( E ) probabilità che l evento E si verifichi h volte in n prove probabilità che in n prove si abbiano h successi ed n-h insuccessi. Lanciare dadi equivale a lanciare un dado quattro volte di seguito, equivale ad affermare che si sono effettuate prove. L evento E il massimo numero uscito è almeno la faccia di un dado presenta il numero e le facce degli altri dadi non presentano né il numero 5 né il numero 6 cioè presentino uno dei tre seguenti numeri,, Tale evento può essere considerato caome la somma dei seguenti eventi fra loro incompatibili: A ogni dado presenta il numero n h n h 0 6 p p( A ) 6 A un dado presenta il numero, gli altri tre dadi presentano uno dei tre seguenti numeri,, n h p 6 6 q p( A ) 6 6 A due dadi presentano il numero, gli altri due dadi presentano uno dei tre seguenti numeri,, 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina 8 di 5

29 Maturità cientifica Anno colastico essione Ordinaria Quesiti n h p 6 6 q p( A ) 6 6 A tre dadi presentano il numero, il quarto dado presenta uno dei tre seguenti numeri,, n h p 6 6 q p( A ) 6 6 ( ) p A p A A A A p A p A p A p A p A p A Una spira di rame, di resistenza R,0mΩ, racchiude un area di 0cm ed è immersa in un campo magnetico uniforme, le cui linee di forza sono perpendicolari alla superficie della sfera. La componente del campo magnetico perpendicolare alla superficie varia nel tempo come indicato in figura. 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina 9 di 5

30 Maturità cientifica Anno colastico essione Ordinaria Quesiti piegare la relazione esistente tra la variazione del campo che induce la corrente e il verso della corrente indotta. Calcolare la corrente media che passa nella spira durante i seguenti intervalli di tempo: (a) da 0,0ms a,0 ms (b) da,0 ms a 5,0ms (c) da 5,0ms a 0ms R Ω Ω m 0 Φ B 0cm 0 m L'induzione elettromagnetica è quel fenomeno scoperto da Faraday nel 8 in base al quale una variazione nel tempo del flusso del vettore B concatenato con un circuito genera in esso una corrente indotta. L'induzione elettromagnetica è governata da due leggi: la legge di Faraday- Newman e la legge di Lenz. La legge di Faraday-Newman afferma che la f.e.m. indotta è direttamente proporzionale alla variazione di flusso del vettore B [ Φ B ] concatenato col circuito ed inversamente proporzionale al tempo t in cui tale variazione si verifica: ΔΦ B Φf B -Φi B dφ B f Δt t - t dt f i La legge di Lenz afferma che la corrente indotta f produce un campo magnetico che si R oppone alla causa che ha generato la corrente stessa. Questo significa che se la f.e.m.. indotta ε è generata da un aumento (diminuzione) del Φ B concatenato col circuito, la corrente indotta genera un campo magnetico indotto B i che fa diminuire (aumentare) il Φ B. Le due leggi scritte contemporaneamente assumono la forma: ΔΦ B Φf B -Φi B Φi B -Φf B dφ B f - - Δt t - t t - t dt f i f i che rappresenta la legge di Lenz-Faraday-Newmann. 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina 0 di 5

31 Maturità cientifica Anno colastico essione Ordinaria Quesiti B B i Φ B <0 e il flusso del campo magnetico diminuisce ( ΔΦ B <0) la corrente indotta deve generare un campo magnetico indotto B i che si oppone alla variazione di tale flusso. Questo significa che il campo magnetico indotto rallentare la diminuzione del flusso del vettore B. B i deve avere lo stesso verso del campo magnetico B in modo da B B i Φ B >0 e il flusso del campo magnetico aumenta ( ΔΦ B >0) la corrente indotta deve generare un campo magnetico indotto B i che si oppone alla variazione di tale flusso. Questo significa che il campo magnetico indotto B i deve avere verso rispetto al campo magnetico B in modo da rallentare l aumento del flusso del vettore B. (a) da 0,0ms a,0 ms R m 0 Ω Ω 0cm 0 m t ms 0 s Φ B ( i f ) ( f i) B B i R t t 0 0 ( 0, 0 ) 0, 0,05 A A 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina di 5

32 Maturità cientifica Anno colastico essione Ordinaria Quesiti (b) da,0 ms a 5,0ms ( i f ) ( f i) ( 0, 0,) 0 B B 0 i R t t ,, 0,5 A 8 (c) da 5,0ms a 0ms ( i f ) ( f i) B B 0 0, 0 i R t t ,6 0,0 A 0 0 A In laboratorio si sta osservando il moto di una particella che si muove nel verso positivo dell asse di un sistema di riferimento ad esso solidale. All istante iniziale, la particella si trova nell origine e in un intervallo di tempo ns percorre una distanza di 5cm. Una navicella passa con velocità v 0,80c lungo la direzione del laboratorio, nel verso positivo, e da essa si osserva il moto della stessa particella. Determinare le velocità medie della particella nei due sistemi di riferimento. Quale intervallo di tempo e quale distanza misurerebbe un osservatore posto sulla navicella? 9 t ns 0 s d 5cm,5 0 m v 0,8c c 5 iano ed due sistemi di riferimento inerziali rispetto ai quali uno stesso evento è caratterizzato rispettivamente dalle coordinate spazio-temporali (,y,z,t ) e ( ),y,z,t. upponiamo che nell istante iniziale tt 0 gli assi cartesiani siano coincidenti e che il sistema sia in moto verso destra rispetto ad con velocità avente modulo v. 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina di 5

33 Maturità cientifica Anno colastico essione Ordinaria Quesiti e la velocità v è sufficientemente piccola rispetto alla velocità della luce, allora possiamo applicare le seguenti trasformazioni di Galileo: vt y y z z t t e la velocità v è confrontabile con la velocità della luce, allora dobbiamo applicare le trasformazioni di Lorentz: vt γ ( vt) v c y y z z v t v t c γ t c v c con v γ c v velocità di rispetto ad 5 γ v 6 c 5 6 γ c 5 c 5 d,5 0 8 m 5 vm vo,5 0 c 8 t 0 s velocità media della particella rispetto al sistema 8 8 v 0,8c 0,8 0, 0 m velocità della navicella rispetto al sistema s Componendo relativisticamente possiamo calcolare la velocità v m che un osservatore solidale con la navicella attribuisce alla particella: 5 5 c c vm v 5 5 v m c c 0,57,998 0,7 0 vm v 5 c 0 c 5 c 8 8 m s Nel sistema di riferimento la particella si muove nel verso opposto rispetto all asse del sistema 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina di 5

34 Maturità cientifica Anno colastico essione Ordinaria Quesiti 5 9 γ ( d vt) 0, 5 c 0 0,8m 5 c 0,5 vd t γ t 0 0, 0 s c c 5c All interno della navicella il tempo misurato è t 9, la distanza misurata è:, 0 s 0,8m 0,8m Un protone penetra in una regione di spazio nella quale è presente un campo magnetico uniforme B di modulo B B, 00 mt. Esso inizia a muoversi descrivendo una traiettoria a elica cilindrica, con passo costante 8,cm, ottenuta dalla composizione di un moto circolare uniforme di raggio r 0,5cm e di un moto rettilineo uniforme. Determinare il modulo del vettore velocità e l angolo che esso forma con B. 8,cm 0,8m r 0,5cm 0,05 m B mt 0 T Quando il protone attraversa la regione sede del campo magnetico B costante si muove lungo una traiettoria elicoidale con una velocità v che forma un angolo ϑ col vettore B. Decomponiamo la velocità vettoriale v in due componenti; una, v //, parallela al vettore B ; l altra, v vy perpendicolare al vettore B. Il protone mentre ruota in un piano perpendicolare al campo magnetico B per effetto della velocità v compie anche una traslazione parallela a B a causa v y della presenza della velocità v // v. In definitiva il protone, mentre ruota con moto circolare uniforme intorno alla direzione del vettore B trasla contemporaneamente con moto rettilineo uniforme lungo la direzione del vettore B descrivendo un elica cilindrica con asse parallelo al campo magnetico B. Quando il protone compie un giro completo nel tempo T percorre, nello stesso tempo, il tratto 8,cm 0,8m con velocità v// v costante. Risulta: v// v T v 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina di 5

35 Maturità cientifica Anno colastico essione Ordinaria Quesiti Il moto circolare uniforme è generato dalla forza di Lorentz f e v B il cui modulo vale: f e v B sin90 e v B La forza di Lorentz è una forza centripeta e vale: v f m a c m r e v B m p r v m v p r eb reb v v π ω r r m T p π r T r e B m π πm p T v// v v// eb T eb v p m p 9 0,8, v 5, ,8,67 0 m s 9 0,05, v,0 0 7,76 0 m s v v v 5,8 0,0 0,7 0 m + + s ( ) 9, ,8 r 7 mp p, eb m v v + v + 0,05 +,7 0 s v v tgα v.0 0 0,,78 v 5,8 0 5,8 tgα a arctg,78 60, e, C mp, kg c 8,998 0 m s 09 Maturità cientifica Prova di Matematica Pagina 5 di 5