Scienza dei Materiali 1 Esercitazioni

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1 Scienza dei Materiali 1 Esercitazioni 5. Nucleazione e crescita ver. 1.1

2 ESERCIZI

3 Ex 5.1. Raggio critico Cu Calcolare il raggio critico e il numero di atomi nel nucleo critico per la solidificazione omogenea del rame (fcc) con un T = 26 K. (a 0 = 61.5 pm, T m = 1085 C, H f = kj/cm, γ = 1.77x10-5 J/cm 2 ) Svolgimento Dati: a 0 = 61.5 pm T = 26 K T m = 108 C = K H f = kj/cm γ = 1.77x10-5 J/cm 2 Sappiamo che dal bilancio delle energie di OLUME e di SUPERFICIE per un nucleo in crescita, esiste una dimensione critica sotto la quale il nucleo è instabile e sopra la quale la crescita è energeticamente favorita. Il raggio del nucleo avente dimensione critica è calcolabile come: r γ T = H T 2 m f r = 1.25 nm Si rammenta che le temperature DEONO essere espresse in Kelvin

4 Ex 5.1. Raggio critico Cu Calcoliamo ora il volume di tale nucleo: 4 = π ( r ) = 8.17 nm... ed il volume di una singola a di rame: = a 0 = nm Nel nucleo critico avremo perciò un numero di e cristalline pari a: n = n = 174 e quindi, essendo la struttura fcc, un numero di atomi quattro volte superiore nat = 4n = 4 Risultato: r = 1.25 nm n at = 696

5 Ex 5.2. Raggio critico Ni Calcolare il raggio critico e il numero di atomi nel nucleo critico per la solidificazione omogenea del nickel (fcc). (a 0 = 56 pm, T m = 1726K, H f = kj/cm, γ = 2.55x10-5 J/cm 2 ) Svolgimento Dati: a 0 = 56 pm T m = 1726 K H f = kj/cm γ = 2.55x10-5 J/cm 2 Il problema non fornisce il valore del sottoraffreddamento applicato. Sappiamo però che per avere nucleazione omogenea, si deve in genere operare con un raffreddamento superiore a 0.2 T m ovvero, nel nostro caso: T = 0.2 T m = 45 K Calcoliamo immediatamente il raggio critico: r γ T = r H T = 926 pm 2 m f

6 Ex 5.2. Raggio critico Ni Come nel problema precedente, calcoliamo il volume del nucleo critico e quello di una a: 4 = π ( r ) =.2 nm = a 0 = nm Nel nucleo critico avremo perciò un numero di e cristalline pari a: n = n = 74.5 e quindi, essendo la struttura fcc, un numero di atomi quattro volte superiore nat = 4n = 4 Mentre il numero di e potrebbe (in teoria) anche non essere intero (il nucleo è una sfera), il numero di atomi è necessariamente un intero! Risultato: r = 926 pm n at = 296

7 Ex 5.. Nucleazione Ni Quanti atomi dovrebbero spontaneamente aggregarsi per avere la nucleazione omogenea del nickel (fcc) con un sottoraffreddamento di 22 C? (a 0 = 56 pm, T m = 1726K, H f = kj/cm, γ = 2.55x10-5 J/cm 2 ) Svolgimento Dati: a 0 = 56 pm T m = 1726 K H f = kj/cm γ = 2.55x10-5 J/cm 2 T = 22 K Con un sottoraffreddamento così esiguo, il raggio critico è piuttosto grande: r γ T = r H T = 14.5 nm 2 m Il volume di tale nucleo è pari a: f 4 = π ( r ) = 128 nm

8 Ex 5.. Nucleazione Ni mentre quello della a è: = a = nm 0 Nel nucleo critico avremo un numero di e cristalline pari a: n = n = 2.8x10 5 e quindi, essendo la struttura fcc, un numero di atomi quattro volte superiore nat = 4n = 4 Si capisce quindi come un elevato sottoraffreddamento sia sempre necessario per far avvenire la nucleazione in maniera omogenea! Risultato: n at = 1.14 milioni

9 Ex 5.4. Nucleazione Ag alutare il sottoraffreddamento per avere nucleazione omogenea, la dimensione del nucleo critico e il numero di atomi in esso contenuto nel caso di nucleazione dell argento. Con un sottoraffreddamento di 25 C, quanti atomi dovrebbero spontaneamente aggregarsi affinché ciò avvenga? (a 0 = pm, T m = 962 C, H f = 965 J/cm, γ = 1.26x10-5 J/cm 2 ) Svolgimento Dati: a 0 = pm T m = 962 C = 125 K H f = 965 J/cm γ = 1.26x10-5 J/cm 2 Per avere nucleazione omogenea dobbiamo avere un raffreddamento di almeno 20% T m e quindi: T = 0.2 T m = 247 K = 247 C ATTENZIONE alla conversione tra K e C. Parliamo di variazione di temperatura e non di valore assoluto di temperatura!

10 Ex 5.4. Nucleazione Ag Calcoliamo il raggio critico: r γ T = r H T = 1. nm 2 m 4 = π ( r ) f Abbiamo ora i parametri sufficienti per calcolare il volume del nucleo critico ed il volume di a: = 9. nm = a 0 = nm Nel nucleo critico avremo perciò un numero di e cristalline pari a: n = n = 17 e quindi, essendo la struttura fcc, un numero di atomi pari a: n at = 4n = 4 n at = 548

11 Ex 5.4. Nucleazione Ag Con un ragionamento analogo si può stabilire la dimensione del nucleo critico che si ha con un sottoraffreddamento di soli 25K ed il numero di atomi presenti in tale nucleo. Risultato: T = 247 C r = 1. nm n at = 548 con un T = 25 C si ha invece: r = 12.9 nm n at = 5.x10 5

12 FINE