Numeri e tecniche di calcolo nella Terra fra i due fiumi

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1 Numeri e tecniche di calcolo nella Terra fra i due fiumi La terra fra i due fiumi Linea di costa nel III millennio Area di influenza delle prime città stato sumere (IV-III millennio a. C.) Area di influenza degli Accadi all epoca di Sargon I (350 a. C.) Confini del regno di Hammurabi ( a. C.)

2 Tavola cronologica L arte sumerica non ha come fine la ricerca estetica del bello, ma nasce come manifestazione dello spirito religioso che permea ogni realtà. Staticità Ripetizione Stendardo di Ur (metà III millennio a.c., BM) mosaico di conchiglie, lapislazzuli e calcare rosso che rappresenta scene di guerra

3 La statua di Gudea (Lagash, Mesopotamia, 130 a.c.) Sulla tavoletta in grembo a Gudea è incisa la rappresentazione planimetrica di un edificio. Posti a fianco del disegno vi sono un regolo graduato e un asta arcuata, forse un compasso a corda. Louvre In base alla ricostruzione del progetto di Gudea, a partire dal disegno e prendendo come riferimento la larghezza delle porte di accesso valutata in due o tre metri, l intero edificio avrebbe dovuto avere una lunghezza di circa 100 metri e una larghezza di 40. (Manzone, Navale 1988)

4 L elemento architettonico più caratteristico dell architettura mesopotamica è la Ziggurat, torre a terrazze. [1850] [194] Ziggurat di Ur sulla cui sommità era costruito il tempio dedicato al dio della luna Nanna (L. Woolley) P. Bruegel il Vecchio (1563) La Ziggurat di Babilonia, la Torre di Babele, constava di 7 terrazze. Era alta 90 metri e all ultimo piano c era la cella del Dio Marduk. Torre di Babele Tavoletta (9 a. C) con la pianta e le misure, Ricostruzione di Wiseman

5 Gilgamesh, V re della I dinastia di Uruk Ercole sumerico I giorni dell uomo sono contati: qualunque cosa egli faccia non è altro che vento L epopea di Gilgamesh affronta i grandi temi dell umanità: angoscia davanti alla morte, desiderio dell immortalità e la vana ricerca della felicità. Gilgamesh, VIII sec a. C. Parigi, Louvre Gilgamesh contro il toro celeste (sigillo cilindrico accadico) Fonti per la matematica mesopotamica circa 300 tavolette di argilla scritte in caratteri cuneiformi risalenti a tre periodi: a.c. Epoca paleobabilonese a. C. Epoca Seleucide ( a. C.) Tavole di calcolo Tavole di problemi Tavole di moltiplicazione, tavole di inversi, elenchi di misure con passaggi da un unità di ordine inferiore a una di ordine superiore e viceversa, tavole di potenze, tavole di radici quadrate,ecc. con o senza soluzione ricette di calcolo niente simbolismo nessuna dimostrazione

6 I contributi decisivi allo studio delle tavolette matematiche risalgono però solo agli anni Neugebauer, Thureau-Dangin, Bruins Lettera di Pietro della Valle (161), uno dei primi esempi di caratteri cuneiformi pervenuti in Europa. Roccia di Behistun con iscrizione trilingue G.F. Grotefend H.C. Rawlinson J. Oppert, F. Thureau-Dangin contribuirono alla decifrazione della la scrittura cuneiforme ( ) H.C. Rawlinson Caratteri delle matematiche mesopotamiche La matematica non è intesa come un attività speculativa astratta, ma un prodotto sociale generato dai bisogni di una società in continua espansione. Nasce e si sviluppa nei templi come strumento per l amministrazione della città (costruzione di edifici e canali, computo dei giorni necessari per condurre a termine un lavoro, divisione di eredità, calcolo di interessi, riscossione di imposte, ) I problemi hanno perlopiù una veste concreta e sono classificati a seconda del tipo di soluzione. Questo è dovuto alla funzione didattica dei testi e mostra una certa consapevolezza della generalità, anche se non c è alcuna esigenza dimostrativa. sistema di numerazione sessagesimale posizionale calcolo algebrico : soluzione di problemi riconducibili a equazioni di 1 e grado, particolari equazioni di grado superiore al, particolari sistemi

7 La casa delle tavolette = la scuola Gli scribi costituivano una categoria di specialisti di alto livello con competenze linguistiche, matematiche e metrologiche Erano potenti funzionari dello stato con varie specializzazioni. È documentata l esistenza di scribi donne Scribi, VIII sec. a.c. Scuole paleobabilonesi ( a.c.): Nippur, Uruk, Ur, Mari, Ebla Materie di studio: lingua, grammatica e letteratura sumerica, matematiche, legislazione, musica Metodo: copiare liste di parole (alberi, animali, oggetti, località, divinità, stelle, ), copiare vocabolari bilingui sumero-accadico, risolvere problemi basandosi su quelli risolti dal maestro [Sjöberg 1976] Ricopiare testi modello costituiva una parte essenziale del programma di studi delle scuole paleobabilonesi ( a.c.). Molti testi contenevano elenchi e tabelle... Eseguendo questi compiti di ricopiatura, lo studente si esercitava nella scrittura cuneiforme e al tempo stesso accumulava una piccola biblioteca personale di tavolette [Friberg 1984] - testi didattici, dizionari bilingui - esercizi di scolari su piccole tavolette ovali che su un lato riportano lo scritto del maestro e dall altro il compito dello studente - testi letterari sulla scuola - testo d esame Fine III millennio a.c., Louvre

8 L origine dei segni numerici e le bullae di argilla con gettoni Bulla con gettoni, Susa, ca 3300 a.c., Louvre 4 mucche 70 montoni Le bullae molto probabilmente servivano nelle transazioni commerciali. I gettoni contenuti descrivevano la merce inviata. Rompendo la bulla l acquirente poteva verificare se la merce corrispondeva. Successivamente si iniziò ad imprimere sulla superficie della bulla i vari gettoni Bassa Mesopotamia, 3100 a. C Passaggio dai gettoni ai simboli numerici Alcuni tipi di gettoni

9 Sistema di numerazione sumerico (0 a. C.) Sistema di numerazione additivo, sessagesimale basato sull uso congiunto della base e 10 uomo Esisteva anche il termine šar-gal (= grande šar) per indicare ( 3 ), ma non il simbolo Colonna = 80 montoni = 166 capretti Tavoletta sumerica, 300 a. C.

10 La più antica divisione, 650 a. C. 1 granaio d orzo 7 silà Ogni uomo riceve I suoi uomini? silà d orzo rimasti 1 granaio d orzo = = silà = silà : 7 Il problema è il seguente: Il contenuto di un granaio d orzo (3 300 silà) è distribuito fra gli operai. Ciascuno riceve 7 silà e ne rimangono 3. Quanti sono gli operai? Come ha trovato la soluzione lo scriba? Probabilmente con una serie di divisioni successive con opportune conversioni da un unità a quella immediatamente inferiore. [Guitel 1963] resto pari a resto 5 30 pari a 30 0 resto 0 pari a 0 resto 6 pari a resto 1 10 pari a 10 1 resto La risposta è

11 Origine della base Teone di Alessandria (IV sec.), J. Wallis (1693): ha 1 divisori: 1,, 3, 4, 5, 6, 10, 1, 15, 0, 30, M. Cantor (1880): il numero dei giorni dell anno arrotondato a 3 avrebbe suggerito la divisione del cerchio in 3 parti e il fatto che il lato dell esagono regolare inscritto è uguale al raggio avrebbe portato alla base G. Kewitsch (1904): è la combinazione naturale di due sistemi più antichi uno in base 10 e uno in base 6 O. Neugebauer (197): il sistema metrologico è all origine della base, infatti una grandezza di unità può essere suddivisa senza difficoltà in dieci modi: in, 3, 4, 5, 6, 10, 1, 15, 0, 30 parti uguali Conteggio sulle dita Così si arriva a 59 e il contare le decine sulla seconda mano spiegherebbe la base ausiliaria 10 Evoluzione della scrittura Verso il si assiste a un processo di astrazione che porta ad utilizzare i due soli segni da cui il nome cuneiforme. La scrittura si ottiene per impressione uccello a. C. pesce spiga di orzo

12 Sistema di numerazione sessagesimale posizionale babilonese Fa la sua comparsa nell ambiente colto all inizio del II millennio a.c. come strumento per la matematica e poi (in epoca Seleucide) per l astronomia matematica. I numeri da 1 a 59 sono scritti in modo additivo con la base ausiliaria 10, per i numeri superiori a è utilizzato il principio di posizione (il valore del simbolo dipende dal posto che occupa) Nel nostro sistema di numerazione decimale 4818 = = = 4 10 = = = Nel sistema di numerazione sessagesimale posizionale 1, 0, 18 ; 0

13 1, 0, 18 ; , 40, 50 ; = = Manca lo zero sia in posizione mediale che finale. Comparirà solo in epoca Seleucide Testo V di Susa = , Ci troviamo davanti a due tipi di ambiguità: - una derivante dalla mancanza dello zero - l altra derivante dalla difficoltà di sapere come devono essere raggruppati i segni Lo zero è la cifra più importante. È un colpo di genio fare di un nulla qualcosa, attribuendogli un nome e creando un simbolo per esso [Van der Waerden 1954]

14 La tavola di moltiplicazione di un sistema di numerazione in base n ha (n-1) prodotti La tavola di moltiplicazione del sistema in base comporta 3481 prodotti. In realtà i matematici Babilonesi non costruirono sistematicamente tutte queste tavole, ma ne costruirono altre Fronte Retro 50 5 = 150 = = = 50 = = Tavola di moltiplicazione per 5 (ca 10 a.c.) [TMS, 35] Ci sono pervenute numerose tavole di moltiplicazione, di quadrati (n a-rán), di radici quadrate (n -e n íb-si 8 ), di radici cubiche (n 3 -e n ba-si 8 ), di somme di quadrati e di cubi, di inversi (igi n gál-bi 1/n),...

15 La divisione La divisione viene effettuata moltiplicando il dividendo per l inverso del divisore = 1 0 = = 6 0;30 0;0 0; = = ;1 0;40 0;50 L inverso di ogni numero regolare, cioè contenente cioè solo i fattori, 3, 5 ( i fattori primi di ) è esprimibile con una frazione sessagesimale finita 1 : 8 0 0, ,15 = 15/1000 = 1/8 0;7,30 = 1 : 8 0 0; 7, = = = 1 8

16 1 16 = 1 16 = 15 4 = = = ;3,45 Le frazioni sessagesimali sono poste sullo stesso piano degli interi. Questo è notevole se si pensa che il sistema di numerazione indiano (che diviene il nostro) concerneva solo l espressione degli interi e si passò assai tardi alla nozione di frazioni decimali che cominciarono a diffondersi in Europa solo alla fine del 500 [S. Stevin, De Thiende, 1585] Gli inversi dei numeri irregolari come 7, 11, 13, danno luogo a frazioni sessagesimali infinite periodiche Nella più antica tavola di inversi (1800 a.c. circa) ci sono gli inversi dei numeri da a. Quando si tratta di calcolare gli inversi di 7, 11, 13, 59 lo scriba scrive che tali numeri non hanno inverso. In YBC 1059 (Yale) c è il calcolo approssimato degli inversi di numeri irregolari, per es. 1/59 0;1,1,1 [MCT, 16]

17 1 : 7 0 0, : ; 8, 34, 17, Tabella di inversi di numeri compresi fra 1 e 3 [MKT, I, 14-] Louvre AO 6456 Igi 3 gál-bi 0

18 Approssimazione di, circa 1800 a.c. YBC 789 MCT,4-43 Sul lato del quadrato è scritto 30 e sulla diagonale sono segnati i numeri 1; 4, 51, 10 e 4; 5, 35. La diagonale è ottenuta così: 4; 5, 35 = 30 1; 4, 51, ; 5, 35 = 30 1; 4, 51, 10 B AC = 30 1; 4, 51, 10 = 1, A C 30 approssimazione molto buona di Questa tavoletta da sola non dimostra che i Babilonesi conoscessero il teorema di Pitagora nella sua generalità, ma esistono altre tavolette in cui questo teorema viene usato in modo palese [p. e. MCT,14]

19 Plimpton 3 (1800 a.c., MCT, 38-39) La tavoletta mostra un elenco ordinato di numeri relativi a 15 terne pitagoriche, cioè terne di numeri interi che soddisfano la relazione a + b = c La I colonna della tavoletta presenta i valori corrispondenti al rapporto b a mentre la II e la III i valori di b e di c, rispettivamente. L ultima colonna indica invece semplicemente i numeri d ordine, da 1 a 15, delle terne. a + b = c Numeri d ordine c b a = = 9409=97 È possibile che i Babilonesi conoscessero il meccanismo di formazione della terne pitagoriche : a = uv b = u c = u v + v u e v u > v interi Euclide, Elementi, X,8.1

20 Tavoletta AO 6484 (epoca Seleucide) Somma dei quadrati dei naturali da 1 a 10 (MKT, I, 99) Quadrati da 1 volte 1 fino a 10 volte 10, 100 Qual è il numero? Tu moltiplichi 1 per 1/3, trovi 1/3 Tu moltiplichi 10 per /3, trovi 0/3. 1/3 + 0/3, trovi 7. Tu moltiplichi 7 per 55, trovi 385. Il numero è = 7 55 = n n( n + 1) + n = S = n = n( n + 1)(n + 1) 6 5 n = Lurje n = cubetto unitario 4 cubetti unitari 9 cubetti unitari 16 cubetti unitari 5 cubetti unitari La somma dei cubetti unitari del solido a scalini rappresenta la somma dei quadrati dei numeri da 1 a 5. Assemblando tre di questi solidi ottengo un parallelepipedo di dimensioni 5 (5+1) 5 più una scala formata da ( ) cubetti unitari. n( n + 1) 3S = n( n + 1) n + = n( n + 1) = (n + 1) n n+1 n

21 Bibliografia essenziale BOYER C., 1980, Storia della matematica, Mondadori, Milano, Cap. 3. CARDONA G.R., 1986, Storia universale della scrittura, Mondadori, Milano. FRIBERG J., 1984, Numeri e misure nei primi documenti scritti, Le Scienze 188, pp GIACARDI L., 1987, Sistema di numerazione e calcolo algebrico nella Terra tra i due fiumi, in AA.VV., L alba dei numeri, Dedalo, Bari. GIACARDI L., ROERO C.S., 1979, La matematica delle civiltà arcaiche. Egitto, Mesopotamia, Grecia, Stampatori, Torino, Cap. 3. KLINE M., 1991, Storia del pensiero matematico, Torino, Einaudi, I, Cap. 1 LIVERANI M., 1988, Antico oriente. Storia, società, economia, Laterza, Bari MOSCATI S., 1978, Antichi Imperi d Oriente, Newton Compton, Roma NEUGEBAUER O., 1974, Le scienze esatte nell'antichità, Feltrinelli, Milano. PETTINATO G., 1988, Babilonia, centro dell Universo, Rusconi, Milano. PICHOT A., 1991, La nascita della scienza. Mesopotamia, Egitto, Grecia antica, Dedalo, Bari, Cap. I. SCHMANDT-BESSERAT D., 1978, Gli antecedenti della scrittura, Le Scienze 10, pp I testi cuneiformi BRUINS E.M., RUTTEN M., 1961, Mémoires de la Mission Archéologique en Iran, Tome XXXIV, Textes matbématiques de Suse, Librairie orientaliste Paul Geuthner, Paris. NEUGEBAUER O., 1973, Mathematische Keilschrift-Texte, I, II, III, Reprint, Springer Verlag, Berlin. NEUGEBAUER O., SACHS A., 1945, Mathematical Cuneiform Texts, American Oriental Society, New Haven. THUREAU-DANGIN, F., 1938, Textes mathématiques babyloniens, E.J. Brill, Leiden.