III. La matematica delle civiltà mesopotamiche

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1 III. La matematica delle civiltà mesopotamiche La terra fra i due fiumi Linea di costa nel III millennio Area di influenza delle prime città stato sumere (IV-III millennio a. C.) Area di influenza degli Accadi all epoca di Sargon I (350 a. C.) Confini del regno di Hammurabi ( a. C.) 1

2 Tavola cronologica L arte sumerica non ha come fine la ricerca estetica del bello, ma nasce come manifestazione dello spirito religioso che permea ogni realtà. Staticità Ripetizione Stendardo di Ur (metà III millennio a.c., BM) mosaico di conchiglie, lapislazzuli e calcare rosso che rappresenta scene di guerra

3 L elemento architettonico più caratteristico dell architettura mesopotamica è la Ziggurat, torre a terrazze. [1850] [194] Ziggurat di Ur sulla cui sommità era costruito il tempio dedicato al dio della luna Nanna (L. Woolley) P. Bruegel il Vecchio (1563) La Ziggurat di Babilonia, la Torre di Babele, constava di 7 terrazze. Era alta 90 metri e all ultimo piano c era la cella del Dio Marduk. Torre di Babele Tavoletta (9 a. C) con la pianta e le misure, Ricostruzione di Wiseman 3

4 Gilgamesh, V re della I dinastia di Uruk Ercole sumerico I giorni dell uomo sono contati: qualunque cosa egli faccia non è altro che vento L epopea di Gilgamesh affronta i grandi temi dell umanità: angoscia davanti alla morte, desiderio dell immortalità e la vana ricerca della felicità. Gilgamesh, VIII sec a. C. Parigi, Louvre Gilgamesh contro il toro celeste (sigillo cilindrico accadico) Fonti per la matematica mesopotamica circa 300 tavolette di argilla scritte in caratteri cuneiformi risalenti a tre periodi: a.c. Epoca paleobabilonese a. C. Epoca Seleucide ( a. C.) Tavole di calcolo Tavole di problemi Tavole di moltiplicazione, tavole di inversi, elenchi di misure con passaggi da un unità di ordine inferiore a una di ordine superiore e viceversa, tavole di potenze, tavole di radici quadrate,ecc. con o senza soluzione ricette di calcolo niente simbolismo nessuna dimostrazione 4

5 Lettera di Pietro della Valle (161), uno dei primi esempi di caratteri cuneiformi pervenuti in Europa. G.F. Grotefend H.C. Rawlinson J. Oppert, F. Thureau-Dangin contribuirono alla decifrazione della la scrittura cuneiforme ( ) H.C. Rawlinson Roccia di Behistun con iscrizione trilingue I contributi decisivi allo studio delle tavolette matematiche risalgono però solo agli anni Neugebauer, Thureau-Dangin, Bruins Caratteri delle matematiche mesopotamiche La matematica non è intesa come un attività speculativa astratta, ma un prodotto sociale generato dai bisogni di una società in continua espansione. Nasce e si sviluppa nei templi come strumento per l amministrazione della città (costruzione di edifici e canali, computo dei giorni necessari per condurre a termine un lavoro, divisione di eredità, calcolo di interessi, riscossione di imposte, ) Ricopiare testi modello costituiva una parte essenziale del programma di studi delle scuole paleobabilonesi ( a.c.). Molti testi contenevano elenchi e tabelle... Eseguendo questi compiti di ricopiatura, lo studente si esercitava nella scrittura cuneiforme e al tempo stesso accumulava una piccola biblioteca personale di tavolette [Friberg 1984] la veste concreta dei problemi è dovuta alla funzione didattica dei testi la classificazione dei problemi a seconda del tipo di soluzione è sintomo di consapevolezza della generalità 5

6 L origine dei segni numerici e le bullae di argilla con gettoni Bulla con gettoni, Susa, ca 3300 a.c., Louvre 4 mucche 70 montoni Le bullae molto probabilmente servivano nelle transazioni commerciali. I gettoni contenuti descrivevano la merce inviata. Rompendo la bulla l acquirente poteva verificare se la merce corrispondeva. Successivamente si iniziò ad imprimere sulla superficie della bulla i vari gettoni Bassa Mesopotamia, 3100 a. C Passaggio dai gettoni ai simboli numerici Sistema di numerazione sumerico (3000 a. C.) Sistema di numerazione additivo, sessagesimale misto, basato sull uso congiunto della base 60 e 10 uomo Esisteva anche il termine šar-gal ( grande šar) per indicare (60 3 ), ma non il simbolo 6

7 Tavoletta sumera del 850 a. C. In un primo tempo le tavolette erano scritte secondo linee verticali da destra a sinistra 15 vo la til i 40 s. di? 60 s. di? 30 s. di grano 15 sacchi di orzo Firma? 15 vo la til i 145 sacchi vari Verso il 600 a. C. i segni subirono una rotazione di 90 in senso antiorario e vennero disposti in linee orizzontali da sinistra a destra Colonna montoni maschi capretti Tavoletta sumerica 300 a. C. 7

8 La più antica divisione, 650 a. C. 1 granaio d orzo silà silà 1 granaio d orzo 7 silà Ogni uomo riceve I suoi uomini? : silà d orzo rimasti Come ha trovato la soluzione lo scriba? Probabilmente con una serie di divisioni successive con opportune conversioni da un unità a quella immediatamente inferiore. [Guitel 1963] : resto pari a resto pari a resto 600 pari a 0 60 resto 6 60 pari a resto 1 10 pari a 10 1 resto La risposta è

9 Sistema di numerazione sessagesimale posizionale Fa la sua comparsa nell ambiente colto all inizio del II millennio a.c. come strumento per la matematica e più tardi per l astronomia I numeri da 1 a 59 sono scritti in modo additivo con la base ausiliaria 10, per i numeri superiori a 60 è utilizzato il principio di posizione Manca lo zero sia in posizione mediale che finale Testo V di Susa Ci troviamo davanti a due tipi di ambiguità: - una derivante dalla mancanza dello zero - l altra derivante dalla difficoltà di sapere come devono essere raggruppati i segni Lo zero è la cifra più importante. È un colpo di genio fare di un nulla qualcosa attribuendogli un nome e creando un simbolo per esso [Van der Waerden] 9

10 Fronte Retro Tavola di moltiplicazione per 5 (ca 1600 a.c.) [TMS, 35] Ci sono pervenute numerose tavole di moltiplicazione, di quadrati (n a-rá n), di radici quadrate (n -e n íb-si 8 ), di radici cubiche (n 3 -e n ba-si 8 ), di somme di quadrati e di cubi, di a n al variare di n, di inversi (igi n gál-bi 1/n),... Cilindro A 7897 [MCT, 4-5] tavole di moltiplicazioni combinate 10

11 La divisione La divisione viene effettuata moltiplicando il dividendo per l inverso del divisore. L inverso di ogni numero regolare, cioè contenente cioè solo i fattori, 3, 5 ( i fattori primi di 60) è esprimibile con una frazione sessagesimale finita ;30 0;0 0; ;1 0;40 0; ;3,45 Le frazioni sessagesimali sono poste sullo stesso piano degli interi, fatto notevole se si pensa che il sistema di numerazione indiano (che diviene il nostro) concerneva solo l espressione degli interi e si passò assai tardi alla nozione di frazioni decimali che cominciarono a diffondersi in Europa solo alla fine del 500 [S. Stevin, De Thiende, 1585] 11

12 Gli inversi dei numeri irregolari come 7, 11, 13, danno luogo a frazioni sessagesimali infinite periodiche Nella più antica tavola di inversi (1800 a.c. circa) ci sono gli inversi dei numeri da a 60. Igi 30 la metà [di 60] è 30 3 Igi 0 la terza parte [di 60] è Igi nu la cinquantanovesima parte [di 60] non c è 1 Igi 1 la sessantesima parte [di 60] è 1 Quando si tratta di calcolare gli inversi di 7, 11, 13, 59 lo scriba scrive che tali numeri non hanno inverso. In YBC 1059 (Yale) c è il calcolo approssimato degli inversi di numeri irregolari, per es. 1/59 0;1,1,1 [MCT, 16] Tabella di inversi di numeri compresi fra 1 e 3 [MKT, I, 14-] Louvre AO 6456 Igi 3 gál-bi 0 1

13 Approssimazione di, circa 1800 a.c. YBC 789 MCT,4-43 Sul lato del quadrato è scritto 30 e sulla diagonale sono segnati i numeri 1; 4, 51, 10 e 4; 5, 35. La diagonale è ottenuta così: 4; 5, ; 4, 51, ; 5, ; 4, 51, 10 B AC 30 1; 4, 51, 10 1, A C 30 approssimazione molto buona di Questa tavoletta da sola non dimostra che i Babilonesi conoscessero il teorema di Pitagora nella sua generalità, ma esistono altre tavolette in cui questo teorema viene usato in modo palese [p. e. MCT,14] 13

14 Plimpton 3 (1800 a.c., MCT, 38-39) La tavoletta mostra un elenco ordinato di numeri relativi a 15 terne pitagoriche, cioè terne di numeri interi che soddisfano la relazione a + b c La I colonna della tavoletta presenta i valori corrispondenti al rapporto b a mentre la II e la III i valori di b e di c, rispettivamente. L ultima colonna indica invece semplicemente i numeri d ordine, da 1 a 15, delle terne. Le terne sono tutte primitive (con a e b primi fra loro) tranne la 11 a e la 15 a a + b c Numeri d ordine c b a È possibile che i Babilonesi conoscessero il meccanismo di formazione della terne pitagoriche : a uv b u c u v + v u e v u > v interi Euclide, Elementi, X,8.1 14

15 Tavoletta AO 6484 (epoca seleucide) Somma dei quadrati dei naturali da 1 a 10 Quadrati da 1 volte 1 fino a 10 volte 10: 100 Qual è il numero? Tu moltiplicherai 1 per 1/3: 1/3 Lurje 1948 Tu moltiplicherai 10 per /3: 0/3. 1/3 + 0/3: 7. Tu moltiplicherai 7 per 55: 385. Il numero è n n( n + 1) n 1 i n( n + 1)(n + 1) i n n cubetto unitario 4 cubetti unitari 9 cubetti unitari 16 cubetti unitari 5 cubetti unitari La somma dei cubetti unitari del solido a scalini rappresenta la somma dei quadrati dei numeri da 1 a 5. Assemblando tre di questi solidi ottengo un parallelepipedo di dimensioni 5 (5+1) 5 più una scala formata da ( ) cubetti unitari. n( n + 1) 3S n( n + 1) n + n( n + 1) (n + 1) n n+1 n 15

16 Il calcolo algebrico in Mesopotamia Il simbolismo algebrico è assente. Le incognite del problema sono espresse con termini tratti dalla geometria, ma sono usati in modo del tutto astratto: lunghezza uš larghezza sag area a-sa Vengono affrontate equazioni di grado, particolari equazioni di grado superiore al, particolari sistemi - metodo del completamento del quadrato - metodo della semisomma e della semidifferenza - uso sistematico di identità notevoli xy P - riduzione di problemi quadratici alla forma x + y S Identità notevoli usate dai babilonesi e loro visualizzazione geometrica (a + b) a +ab+b (a + b)(a - b) a -b (a - b) a -ab+b (a + b) -(a -b) 4ab (a + b) + (a - b) (a +b ) Formidabili calcolatori 16

17 Traduzione Interpretazione Ho addizionato la superficie e x +x 3/4 (0;45 45/60) il lato del mio quadrato: 0;45 Tu porrai 1 l unità 1 60/60 Tu dividerai in due l unità: 1/ 30/60 0;30 Tu moltiplicherai 0;30 e 0;30 (1/) 1/4 : 0;15 Tu aggiungerai 0;15 a 0;45 3/4 + 1/4 x +x + 1/4 1 è il quadrato di 1 (x+1/) 3/4 + 1/4 1 0;30 che tu hai moltiplicato, lo sottrai da 1 0;30 è il lato del quadrato 1 x / (0;30) Si calcolava solo la radice positiva Problema 1, BM metodo del completamento del quadrato x x 3 + x x Problema 9, BM metodo della semisomma e semidifferenza Traduzione Interpretazione Ho sommato la superficie dei miei due quadrati: 1,40, l uno x + y 1300 ( 1,40) x y 10 supera l altro di 10 Tu dividerai in due 1,40, tu (x + y )/ 650 (10,50) scriverai 10,50 Tu dividerai in due 10 : 5 (x y )/ 5 Tu moltiplicherai 5 per 5 : 5 ((x y )/) 5 Tu sottrarrai 5 da 10,50: 10,5 (x + y )/ - ((x y )/) 65 (10,5) Questo è il quadrato di 5 x + y x y 5 Scriverai 5 due volte Utilizzo due volte (x + y )/ 5 Aggiungerai il 5, che hai x + y x y moltiplicato, al primo 5: 30, è + 30 il primo quadrato ( x) Sottrarrai 5 dal secondo 5: 0 x + y x y è il secondo quadrato 0 ( y) x + y x + y x y + 17

18 Traduzione Testo IX delle tavolette di Susa cambiamento di variabile Interpretazione Io sommo la superficie, la lunghezza e la xy + x + y 1 larghezza: fa 1 Prendo 3 volte la lunghezza e 4 volte la y + 1/17(3x + 4y) 0 ;30 (1/) larghezza, aggiungo la sua 17 a parte alla lunghezza: ottengo 0;30 Tu: Prendi 0;30 17 volte, tu troverai 8;30. 17y +3x +4y 0; ;30 A 17 volte la larghezza aggiungi 4 volte la larghezza, tu troverai 1: poni 1 come coefficiente della larghezza ; 3, il triplo della lunghezza, come coefficiente della lunghezza: qual è il significato di 8;30? È la somma di 3 volte la lunghezza e di 1 volte la larghezza. Aggiungi 1 alla lunghezza e 1 alla larghezza e fai la moltiplicazione. Tu hai aggiunto 1 alla somma della superficie, lunghezza e larghezza, e tu trovi la superficie (8+1/) (17 +4) y + 3x 1y + 3x 8;30 Si introducono le incognite ausiliarie X x+1 Y y+1 XY (x+1)(y+1) xy + y + x XY Come ho moltiplicato la lunghezza e la larghezza della superficie e 1;0 la larghezza 1 la costante additiva della lunghezza e 1 quella della larghezza, la somma:, tu trovi 3;30. Ecco ciò che stai cercando: 3 volte la lunghezza addizionata a 1 volte la larghezza, moltiplica 3 volte la lunghezza per 1 volte la larghezza e moltiplica ancora per, la superficie, tu trovi,6 Fraziona in due 3;30 della somma, tu trovi 16;15, fai il quadrato di questa metà, tu trovi 4.4;3.45; sottrai ;6 da 4.4;3.45, tu trovi.18;3.45. La radice quadrata è 11;45. Somma 11;45 a 16;15, tu troverai 8. In secondo luogo sottrai (16;15-11;45); tu troverai 4;30 Fai l inverso del triplo della lunghezza, trovi 0. 0 a 4;30 Porta 0 a 4;30 e ottieni 1;30 1;30 è la lunghezza di volte la superficie... 1 volte la larghezza che dà 8 per prodotto. 1;0 è la larghezza di due volte la superficie. Sottrai 1 a 1;30, trovi 0;30. Sottrai di nuovo 1 da 1;0 e ottieni 0;0. 1y+1 +3x+3 8 ; Y +3X 3;30 Riduzione a forma normale 3X 1Y 3 1,6 ( 16) 3X + 1Y 3 ;30 Z 3 ;30Z +,6 0 3;30 Z 1/ 3;30 ±, 6 Z 1 16; ;45 81Y Z 16;15-11;45 4 ;30 3X 3X 4 ;30 (1/3) 4;30 1;30 x+1 1Y 8 Y 1 ;0 y + 1 x 1 ; ;30 y 1 ;0 1 0 ;0 Riduzione a forma normale Calcola le radici positive 18

19 Schema riassuntivo dei metodi risolutivi dei problemi di 1 e grado delle tavolette babilonesi 1, AO 886 9, BM , BM III, IX Susa La geometria in Mesopotamia Ha un forte carattere algebrico. Fra il 000 e il 1600 a. C. erano note le regole generali per il calcolo delle aree dei rettangoli, dei triangoli e dei trapezi e i volumi dei solidi più semplici. Per esempio il volume del tronco di piramide era calcolato scorrettamente moltiplicando l altezza per la metà della somma delle basi. Per usi pratici usavano un approssimazione del rapporto circonferenza diametro (π) 3, però nel 1936 sono state riportate alla luce delle tavolette dove si trova l approssimazione π 3;7, 30 3, 15 19

20 Gli scavi della Missione Italiana di Roma, iniziati nel 1964, hanno portato alla luce i resti della splendida civiltà di Ebla (III millennio a. C.) e una biblioteca di tavolette (testi di tipo economico amministrativo, testi storici e giuridici, testi lessicali e grammaticali e letterari, enciclopedie, ) Pettinato 1979 Il problema dello scriba di Kĭš, Išma-Ia (500 a. C.) 600 gal 3600 gal gal gal gal non svolto Problema dello scriba di Kiš Išma-Ia La chiave interpretativa sta nel simbolo che letteralmente significa grande [Viola 1981, 78]. [Friberg, 1986,10] 0

21 Presso i Sumeri esisteva il termine šar-gal ( grande šar) per indicare (60 3 ), anche se non esisteva il simbolo. In questo caso gal ha il valore di fattore moltiplicativo, Se si interpreta anche qui gal come fattore moltiplicativo 60, allora il problema dello scriba di Kiš è Qual è quel numero che moltiplicato per 60 dà 600, 3600,? Le serie di problemi strettamente connesse e le regole generali che si accompagnano alla soluzione numerica costituiscono di fatto uno strumento che si avvicina molto a un operazione puramente algebrica... Non si devono tuttavia sopravvalutare queste conquiste. Nonostante l abilità numerica e algebrica e, nonostante l interesse astratto, che è così cospicuo in un numero così elevato di esempi, il contenuto della matematica babilonese resta profondamente elementare [Neugebauer 1974] Influenza sulla logistica greca, su Diofanto e sulla matematica araba 1

22 Bibliografia essenziale Boyer C., 1980, Storia della matematica, Mondadori, Milano, Cap. 3. Giacardi L., 1987, Sistema di numerazione e calcolo algebrico nella Terra tra i due fiumi, in AA.VV., L alba dei numeri, Dedalo, Bari. Giacardi L., Roero C.S., 1979, La matematica delle civiltà arcaiche. Egitto, Mesopotamia, Grecia, Stampatori, Torino, Cap. 3. Kline M., 1991, Storia del pensiero matematico, Torino, Einaudi, I, Cap. 1 I testi cuneiformi BRUINS E.M., RUTTEN M., 1961, Mémoires de la Mission Archéologique en Iran, Tome XXXIV, Textes matbématiques de Suse, Librairie orientaliste Paul Geuthner, Paris. NEUGEBAUER O., 1973, Mathematische Keilschrift-Texte, I, II, III, Reprint, Springer Verlag, Berlin. NEUGEBAUER O., SACHS A., 1945, Mathematical Cuneiform Texts, American Oriental Society, New Haven. THUREAU-DANGIN, F., 1938, Textes mathématiques babyloniens, E.J. Brill, Leiden.