Laboratorio di Sviluppo Curriculare di Storia della Matematica prof. ssa Menghini L'EVOLUZIONE DELLA MATEMATICA NELLE CIVILTÀ ANTICHE GLI EGIZI

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1 Laboratorio di Sviluppo Curriculare di Storia della Matematica prof. ssa Menghini Stefano Caroselli L'EVOLUZIONE DELLA MATEMATICA NELLE CIVILTÀ ANTICHE GLI EGIZI Numerazione geroglifica valore '000 10' '000 1 milione (o infinito) simbolo Frazioni speciali geroglifiche valore ½ ⅔ ¼ ¾ simbolo Frazioni speciali geroglifiche Altri geroglifici aha papiro di Rhind papiro di Rhind papiro di Mosca (mucchio) problema 51 problema 50 problema 14 somma differenza Fonti 1. C. Boyer, Storia della Matematica, A. Mondadori

2 L'EVOLUZIONE DELLA MATEMATICA NELLE CIVILTÀ ANTICHE >>> Gli egizi <<< (*) = geroglifici illustrati nella prima pagina INTRODUZIONE 1799 scoperta della stele di Rosetta: si può tradurre la scrittura egizia 1858 lo scozzese Rhind acquista un papiro risalente al 1650 a. C, scritto ad opera dello scriba Ahmes: il papiro di Rhind; tale papiro è una copia in scrittura ieratica di un documento del 2000 a. C.; contiene 84 problemi matematici di vario tipo; 1893 il collezionista russo Goleniscev acquista un papiro risalente al 1890 a. C.: il papiro di Mosca, un eserciziario contenente 25 problemi matematici; successivamente furono ritrovati altri papiri contenenti argomenti matematici, come il famoso papiro di Berlino, risalente al a. C., con 2 problemi di II grado in 2 incognite; ARITMETICA la numerazione egizia è una numerazione decimale, non posizionale, ma addizionale; la prima numerazione, geroglifica (*), prevede un diverso simbolo per ogni potenza di 10, ripetuto tante volte quanto il valore della cifra corrispondente (come i regoli con cui ci si esercita alle elementari); una numerazione successiva è quella collegata alla scrittura ieratica, una scrittura derivata da quella geroglifica, ma più leggera e veloce: a differenza della numerazione precedente, vi sono altri simboli per quantità particolari (ad esempio per 4 e 7); gli egizi hanno mostrato di saper utilizzare le frazioni (soprattutto a causa di un'iniziale assenza di monete), vedendole non come una porzione di qualcosa, ma come una somma più o meno completa di quantità elementari; tali quantità elementari erano: i numeri interi, più il simbolo per infinito (al contrario non conoscevano lo zero...) le frazioni unitarie (*): ½ ⅓ ¼... alcune frazioni particolari (*): ½, ⅔, ¼, ¾ (in seguito solo ⅔) nel papiro di Rhind sono riportate le scomposizioni di tutte le frazioni con numeratore 2 e

3 denominatore dispari, da 5 a 101; ad esempio: 2 5 = ; 2 9 = ; = le 4 operazioni venivano concepite in modo diverso da noi: l'addizione (*) era l'operazione di base a cui ricondursi, ed era vista come un avvicinamento di quantità diverse; la sottrazione (*) al contrario era vista come un allontanamento; al posto di vere e proprie moltiplicazioni e divisioni, venivano svolti raddoppiamenti o dimezzamenti successivi della quantità da calcolare; per moltiplicare per 10, 100, n... si slittavano i simboli; ad esempio per eseguire il calcolo: 59 x 41 la quantità 59 veniva raddoppiata più volte secondo questa tabella: fattore = 41 risultato = 2419 ALGEBRA non c'era differenza tra aritmetica e algebra; per indicare una quantità incognita utilizzavano il simbolo aha (*), che voleva dire mucchio ; i problemi algebrici erano risolti per mezzo del metodo della falsa posizione, come nel seguente esempio: problema 24 del papiro Rhind: una quantità ed un settimo della stessa dà un totale di 19; qual è questa quantità? il problema corrisponde a risolvere l'equazione di I grado: x + x/7 = 19; invece di risolvere l'equazione con il metodo classico, si ipotizza un possibile valore, ad esempio 7 (per evidenti ragioni di semplicità); svolgendo i calcoli: 7 + 7/7 = 8; si confronta il risultato ottenuto (8) con quello atteso (19); dividiamo 19 per 8, con il metodo dei raddoppiamenti successivi (utilizzando anche i sottomultipli): risultato fattore /2 2 1/4 1 1/ = /4 + 1/8

4 il fattore ottenuto è il il valore k per il quale dobbiamo moltiplicare il valore ipotizzato (7), al fine di ottenere la aha giusta (in pratica si utilizza la proporzione x errata : aha errata = x giusta : aha giusta ) ecco la tabella per la moltiplicazione: fattore risultato /4 + 1/ /2 + 1/ / ( /2) + (4 + 1/2 + 1/4) + (2 + 1/4 + 1/8) /2 + 1/8 problema del papiro di Berlino: l'area di un quadrato di 100 braccia quadrate è uguale alla somma di altri due quadrati più piccoli; il lato di uno di essi è ½ + ¼ dell'altro; trova i lati dei quadrati il problema corrisponde a risolvere il sistema di II grado in due equazioni e in due incognite dato da: [ x² + y² = 100 ] e [ y = (½ + ¼)x ] usando il metodo della falsa posizione, poniamo x = 1, quindi ottenendo y = ½ + ¼ il risultato ottenuto è quindi 1² + (½ + ¼)² = (1 + ¼)² [da osservare che non è altro che la terna pitagorica 3, 4, 5 moltiplicata per ¼...] confrontando i risultati, troviamo k tale che: k² (1 + ¼)² = 100 k = 8 [non essendo un problema lineare, gli egizi hanno usato la proporzione tra i quadrati] quindi i risultati corretti sono: x = 8 e y = (½ + ¼) 8 = 6 GEOMETRIA il termine stesso geometria vuol dire misura della terra, e fu utilizzato per la prima volta da Erodoto ad indicare lo studio che gli egizi compivano per la misurazione e la divisione dei terreni e per la costruzione delle piramidi; le caratteristiche della geometria egizia sono: assenza di una teoria formale, e formule generali, ma solo di procedure più o meno valide; c'è poca differenza tra risultati esatti e risultati approssimati; tuttavia l'approssimazione degli egizi risulta molto precisa; ampio uso dell'equi-scomponibilità delle figure per il calcolo di aree e volumi

5 problema 51 (*) del papiro di Rhind: lo scriba scrive: se ti si dice: un triangolo di dieci verghe di altezza [nel testo: meryt] e di quattro verghe alla base che superficie ha? tu risponderai nel modo seguente: prenderai la metà di 4, cioè 2, per farne il suo rettangolo); moltiplicherai l'altezza (10) per 2 e troverai la superficie il termine meryt può voler dire sia altezza sia lato ; nel primo caso la formula è corretta, nel secondo caso no; nel testo lo scriba giunge alla conclusione che la superficie è 20 arure [verghe quadre]; in generale dei problemi del papiro di Rhind compaiono alcune formule errate: l'area di una quadrilatero spesso viene calcolata: (a + b) / 2 * (c + d) / 2 come conseguenza l'area di un triangolo spesso si calcolava: (a + b) / 2 * c / 2 e questo ha fatto sorgere alcune ipotesi sul fatto che anche gli egizi conoscessero lo zero... problema 50 (*) del papiro di Rhind: questo testo è importante in quanto si chieda di calcolare l'area del cerchio; il testo dice: metodo per calcolare un appezzamento di terreno circolare il cui diametro è 9 verghe; qual è la sua superficie? devi sottrarre il suo nono da 1, resta 8; allora devi moltiplicare 8 otto volte, il che fa 64; possiamo osservare che la formula usata è: A = (8/9 d)² di conseguenza possiamo supporre che la stima egizia di pi-greco fosse: 4 (8/9)² 3,16; tuttavia probabilmente non era considerato costante, in quanto in altri esercizi si utilizza il valore più semplice 3 + 1/6; problema 14 (*) del papiro di Mosca: in tale problema si chiede di calcolare il volume di un tronco di piramide (usando la formula corretta ben 3000 anni prima di Fibonacci) dal disegno si capisce che si vuole calcolare un tronco di piramide quadrangolare di altezza 6 e basi superiori ed inferiori di 4 e 2 ecco i passaggi consigliati dallo scriba: elevare al quadrato 2 e 4 a², b² moltiplicare 2 per 4 ab sommare i risultati precedenti a² + ab + b²

6 moltiplicare il risultato ottenuto per un terzo di 6 (a² + ab + b²) h / 3 lo scriba termina dicendo: vedi, è 56; lo hai calcolato correttamente EXTRA Trigonometria in alcuni problemi compare l'utilizzo del termine seqt ad indicare il rapporto tra la lunghezza e l'altezza di un piano inclinato (come ad esempio le facce laterali di una piramide; corrisponde quindi alla nostra cotangente; problema 56 del papiro di Rhind: in questo problema ad esempio si chiede di trovare il seqt di una piramide di h = 250 cubiti e lato = 360 cubiti Astronomia da osservazioni compiute sulla posizione in cui sorgeva la stella Sirio rispetto al Nilo, gli egizi avevano scoperto che tale posizione variava nel tempo, ma che dopo 365 giorni tornava quella iniziale; per questo motivo fu istituito un anno solare, composto da 12 mesi da 30 giorni + 5 giorni di festa; possiamo osservare che non ci si preoccupò dello scarto di 6 ore ogni anno, e quindi in effetti la stella Sirio tornava alla suo posizione solo ogni 1460 anni...