Cooperazione di Agenti Informatici Corso di Laurea Specialistica in Informatica A.A. 2008/09 Prof. Alberto Postiglione

Transcript

1 Cooperazione di Agenti Informatici Corso di Laurea Specialistica in Informatica A.A. 2008/09 Prof. Alberto Postiglione CONCETTI DI BASE DELLA TEORIA DEI GIOCHI Bibliografia del modulo 23/03/2009 Dia 2 Lucchetti, Roberto Di duelli, scacchi e dilemmi. La teoria matematica dei giochi. Bruno Modadori Editore, 2001 Descrive in modo semplice e chiaro i principi di base della teoria dei giochi. Presenta una quantità notevole di esempi Lucchetti, R. e Tijs, S. Invito alla Teoria dei Giochi, Lettera Matematica num. 48, pag , disponibile online al sito del centro PRISTEM dell Università Bocconi di Milano: 1

2 Bibliografia (approfondimenti) Gambarelli, Gianfranco Giochi competitivi e cooperativi, Giappichelli editore Torino /03/2009 Dia 3 Gibbons, Robert Teoria dei giochi, Il Mulino Strum Descrive in chiave tecnica i giochi statici e dinamici ad informazione completa e incompleta Li Calzi, Marco Teoria dei giochi 140 esercizi commentati e risolti, ETAS libri Tutor, /03/2009 Dia 4 Bibliografia (letture utili per non esperti) Per comprendere i principi generali della TDG, grazie ad un approccio divulgativo e alla presenza di numerosissimi esempi tratti dalla vita reale, si consigliano: Dixit, Avinash e Nalebuff, Barry Io vinco Tu perdi, strategie di successo nel business e nella vita, Il sole 24 Ore, II edizione tascabile Mero, Calcoli Morali teoria dei giochi, logica e fragilità umana, Edizioni Dedalo, 2000 In forma divulgativa analizza come la teoria dei giochi può far luce su aspetti della psicologia umana, quali l altruismo, la competizione, la politica. Nella prima parte introduce i concetti di base della Teoria dei giochi.. entrambi i libri dedicano un intero capitolo al dilemma del prigioniero e agli studi di Axelrod 2

3 Pubblicazioni dei Nobel 23/03/2009 Dia 5 Nash, John Giochi non cooperativi, Zanichelli, 2004 Raccolta di scritti e di pensieri di Nash e su Nash (a cura di H. W. Kuhn e S. Nasar) Schelling, Thomas, C. La strategia del conflitto, Paravia Bruno Mondadori, 2006 (originale: The Strategy of Conflict, 1960) Schelling, Thomas, C. Micromotivazioni della vita quotidiana, Saggi Bompiani, 2008 (originale: Micromotives and Macrobehaviour, 1978) Cooperazione di Agenti Informatici Corso di Laurea Specialistica in Informatica A.A. 2008/09 Prof. Alberto Postiglione DEFINIZIONI E COMPONENTI 3

4 Definizione di Teoria dei Giochi 23/03/2009 Dia 7 [L., pag. VII] La Teoria dei Giochi è la disciplina matematica che analizza il comportamento di più individui che interagiscono avendo interessi diversi (non necessariamente contrastanti) L interazione si esplicita nel fatto che il risultato conseguito da ciascuno dipende Dalle proprie azioni Ma anche dalle azioni che effettuano (o che si presume che effettuino) gli altri individui Definizione di Teoria dei Giochi 23/03/2009 Dia 8 [G., pag. 12] Possiamo dire che la Teoria dei Giochi è la teoria dei Modelli Matematici di situazioni di conflitto fra attori (decisori) razionali 4

5 23/03/2009 Dia 9 Definizione di Gioco Qualunque situazione nella quale le persone sono in rapporto le une con le altre Un gioco è un modo di rappresentare gli effetti delle interazioni, cioè dell adattamento reciproco dei comportamenti in una popolazione di sistemi adattivi detti giocatori [oggetto che può assumere più configurazioni o stati, e di adattarsi, cioè reagire, regolarmente a certi stimoli provenienti dall ambiente esterno passando da uno stato all altro]. 23/03/2009 Dia 10 Le 4 componenti di un gioco Giocatori Chi e quante persone sono in gioco Mosse (o Azioni) Cosa può fare ogni giocatore (tutte le possibili azioni che possono essere messe in atto dal singolo giocatore) Strategie Cosa intende fare ogni giocatore (le azioni che effettivamente metterà in atto il singolo giocatore) Pagamenti (o vincite) Cosa guadagna ogni giocatore 5

6 Giocatori e Mosse 23/03/2009 Dia 11 Un "giocatore" è un soggetto razionale che può scegliere fra varie "mosse". Ad esempio, se il giocatore è un commerciante, le sue mosse possono essere: aumentare/diminuire/lasciare invariati i prezzi dei suoi prodotti; le mosse di un acquirente possono essere cambiare o restare fedele a un prodotto o a un fornitore; le mosse di un responsabile di logistica militare possono essere inviare un convoglio lungo un certo percorso, piuttosto che lungo un altro. Strategia 23/03/2009 Dia 12 Una Strategia è un piano completo che dettaglia la mossa, o la combinazione di mosse, che un giocatore effettua in ogni possibile circostanza. Ad esempio i convogli possono essere inviati periodicamente, per il 30% dei viaggi su un percorso e per il 70% su un altro; i prezzi dei prodotti possono essere variati in rotazione e così via. 6

7 Pagamento (Payoff o vincita) 23/03/2009 Dia 13 In dipendenza dell esito del gioco, ogni giocatore riceve un "pagamento" (secondo un adeguata unità di misura) che può essere positivo, negativo o nullo. Funzione di Payoff di un giocatore: determina la vincita di ogni giocatore in corrispondenza delle scelte fatte da tutti gli altri giocatori Cooperazione di Agenti Informatici Corso di Laurea Specialistica in Informatica A.A. 2008/09 Prof. Alberto Postiglione APPLICAZIONI 7

8 I Giochi nella vita quotidiana 23/03/2009 Dia 15 La vita quotidiana è densa di azioni che possono essere ricondotte a giochi di strategia Cioè di scelte formulate sulla base di ipotesi circa il comportamento di altri soggetti Che a loro volta nell agire considerano l impatto che le nostre azioni possono avere su di loro (Dixit, Nalebush, pag. VII) La teoria dei giochi descrive e studia i metodi per risolvere i giochi, cioè per calcolare gli esiti previsti delle interazioni rappresentate dai giochi stessi. 23/03/2009 Dia 16 Ambiti di applicazione della Teoria dei Giochi La Teoria dei Giochi è nata in ambito Economico E stata poi importata in differenti discipline e scienze sociali in situazioni di interdipendenza reciproca di individui per spiegare il comportamento dei singoli e dei gruppi Per individuare le strategie di comportamento più efficienti 8

9 Prof Alberto Postiglione Cooperazione di Agenti Informatici (08/09) UD 01.1 Possibili scenari di applicazione 23/03/2009 Dia 17 Non c è più campo delle scienze politiche e sociali che non adotti in modo formale la teoria dei giochi come strumento metodologico Un impresa decide di ridurre il prezzo di un prodotto tenendo in considerazione le possibili mosse dei concorrenti La campagna elettorale di un uomo politico che deve decidere se privilegiare i messaggi rivolti ai giovani o agli anziani, agli uomini colti o a quelli poco scolarizzati, ecc Rapporti con moglie/marito, figlio, ecc La decisione se scatenare una rappresaglia nucleare o una guerra con armi convenzionali o, magari, ricorrere alla diplomazia Interazione Strategica 23/03/2009 Dia 18 In situazioni di interazione strategica, ogni attore (il giocatore) sa che il suo utile (la vincita) dipende sia dalle sue azioni che da quelle degli altri attori. Nel processo di scelta della prossima mossa, ogni giocatore deve analizzare le mosse che gli altri giocatori hanno già effettuato si aspetta che effettueranno contemporaneamente a quella che egli effettuerà si aspetta che effettueranno in base alla mossa che egli effettuerà L obiettivo è la ricerca della strategia migliore per ottimizzare i risultati 9

10 Applicazioni di tipo economico La Teoria dei Giochi ha frequenti applicazioni in microeconomia e nell economia industriale 23/03/2009 Dia 19 L esempio più ricorrente è il caso dei contesti concorrenziali oligopolistici, in cui ogni impresa deve tener conto di ciò che le altre imprese fanno. Applicazioni di tipo economico 23/03/2009 Dia 20 Vi sono altre applicazioni della Teoria dei Giochi che riguardano campi della teoria economica diversi da quelli dell organizzazione aziendale. Ad esempio: Processi di scambio (microeconomia) Esempio le contrattazioni o le aste Decisioni interne ad un impresa Competizione tra divisioni diverse per assicurarsi una quota maggiore di investimenti aziendali Economia internazionale Vari paesi competono (o colludono) nella scelta di tariffe o di politiche commerciali 10

11 Economia Teoria dei giochi ed Economia 23/03/2009 Dia 21 Es: Determinare un meccanismo d asta per la concessione delle bande per i telefoni cellulari di nuova generazione con l intento di Massimizzare i profitti del governo Evitare concentrazioni oligopolistiche caso effettivamente verificatosi negli USA. Risultati: Introiti maggiori dell 800% rispetto a quelli preventivati Il 47% delle bande disponibili sono state assegnate a imprese minori (contro il 12% ottenibile con procedure tradizionali) Politica Teoria dei giochi e Politica 23/03/2009 Dia 22 Es: Determinare con precisione la forza dei partiti in una coalizione in modo da distribuire incarichi in maniera equa 11

12 23/03/2009 Dia 23 Teoria de Giochi e Situazioni di conflitto Situazioni di Conflitto Fornisce gli strumenti per una soluzione indolore di casi di conflitto, attraverso Giochi cooperativi Analisi a priori dei conflitti (per verificare se valga o meno la pena di parteciparvi) 23/03/2009 Dia 24 Teoria de Giochi e Situazioni di conflitto Storicamente, il primo modello di conflitto di cui si ha traccia è lo scontro Oriazi - Curiazi (VII secolo a.c.) che risolse la guerra Roma - Albalonga facendo scontrare solo 3 soldati per parte, in rappresentanza degli interi eserciti in conflitto, e risparmiando così migliaia di vite umane. Esistono innumerevoli altri modelli di conflitto, quali: Una partita (di calcio, di rugby, di pallacanestro, ) Una partita a scacchi Il Palio di Siena Il Monopoli Una partita a carte 12

13 23/03/2009 Dia 25 Teoria de Giochi e Situazioni di conflitto Questi modelli di conflitto presentano, rispetto al conflitto vero e proprio Utilità individuale (divertimento, esercizio fisico, ecc.) Utilità sociale (scarica tensioni che altrimenti verrebbero sfogate in contesti ben più drammatici) I Modelli di Gioco possono servire per allenare a risolvere problemi reali attraverso la simulazione La TDG come strumento di analisi 23/03/2009 Dia 26 La teoria dei giochi offre un mezzo interessante per riflettere su alcuni aspetti fondamentali della vita dell uomo Filosofi della scienza, interessati al concetto di razionalità Psicologi, interessati allo studio del comportamento delle persone 13

14 La TDG come strumento di analisi 23/03/2009 Dia 27 Le caratteristiche fondamentali dell uomo non variano molto, sotto ogni cielo e in ogni clima. L uomo, infatti, obbedisce a poche leggi fondamentali: Stimoli naturali Necessità di adattarsi alle regole stabilite dalla società. La teoria dei giochi fornisce strumenti per analizzare i comportamenti delle persone e per anticipare i risultati che le regole stabilite possono produrre. Altre applicazioni 23/03/2009 Dia 28 Altre applicazioni e interazioni di tale teoria sono in ambito: militare, biologico, sociologico, psicologico, finanziario, politico, ambientale, Sportivo, 14

15 Cosa non fa la teoria dei giochi 23/03/2009 Dia 29 I giochi di strategia, oggetto della teoria dei giochi, attengono più alla tattiche che alle strategie Si riferiscono a come trattare un problema una volta che esso si presenta (tattica risolutiva) e di cui, anche nella massima incertezza, sono note le probabilità delle varie configurazioni Ma non ci aiutano a evitarlo oppure a trasformarlo perché assuma le forme da noi volute (vera essenza della strategia ). Cooperazione di Agenti Informatici Corso di Laurea Specialistica in Informatica A.A. 2008/09 Prof. Alberto Postiglione EVOLUZIONE STORICA 15

16 Nascita della TDG (1928) 23/03/2009 Dia 31 Alcuni fanno nascere la TDG all 1928, a seguito di un articolo scientifico del matematico von Neumann I primi utilizzi della Teoria dei Giochi risalgono alla seconda guerra mondiale, quando fu utilizzata per elaborare (con l aiuto della nascente informatica) le quote di sgancio per i bombardieri, i percorsi dei convogli che minimizzavano la probabilità di intercettazioni nemiche e altro 23/03/2009 Dia 32 Evoluzione TDG (1944 somma costante) Un passo fondamentale è favorito dall incontro a Princeton fra Von Neumann e l economista Oskar Morgenstern; Convenzionalmente, si fa risalire la nascita della TDG al 1944, quando uscì il libro "Theory of Games and Economic Behaviour" destinato a rivoluzionare i rapporti fra Matematica ed Economia. O. Morgenstern e J. von Neumann al mare 16

17 23/03/2009 Dia 33 Evoluzione TDG (1944 somma costante) I principali risultati di von Neumann-Morgenstern riguardano i giochi a somma costante. Un gioco di dice "a somma costante" se per ogni vincita di un giocatore c è una corrispondente perdita per altri. In particolare, nei giochi a somma zero la vincita di un giocatore è pagata completamente dall altro 23/03/2009 Dia 34 Principi di Von Neumann-Morgenstern Esistono criteri ottimali di comportamento dei giocatori Esistono posizioni di equilibrio (configurazioni dalle quali i partecipanti non desiderano più discostarsi) Le scelte sono effettuate in condizioni di interazione e incertezza la teoria economica tradizionale provvede un criterio di razionalità in condizioni di certezza Applicare tali criteri a situazioni in condizioni di incertezza può condurre a una divergenza tra il principio di razionalità individuale e quello di razionalità collettiva (es: il dilemma del prigioniero) 17

18 23/03/2009 Dia 35 Evoluzione TDG (1950 somma non costante) Il problema dei giochi a somma non costante viene affrontato nel 1950 da John Nash, che introduce e sviluppa il concetto di "equilibrio di Nash". Un insieme di strategie adottate da tutti i giocatori costituisce un equilibrio di Nash se a nessuno conviene cambiare la sua strategia, nel caso in cui tutti gli altri mantengano fissa la loro scelta. 23/03/2009 Dia 36 Evoluzione TDG (1953 giochi cooperativi 2 gioc.) Ovviamente non tutti i giochi sono così semplici. Nel 1953 Nash affronta il problema delle strategie di cooperazione fra due giocatori e della ripartizione della vincita ottenuta. La "soluzione cooperativa di Nash" per giochi a due persone costituisce un importante contributo alla risoluzione di conflitti. 18

19 23/03/2009 Dia 37 Evoluzione TDG (Giochi cooperativi >2 giocatori) Gli equilibri di Nash vengono in seguito approfonditi da Reinhald Selten con l introduzione dei relativi "raffinamenti", che porteranno il Nobel anche a quest ultimo. La soluzione cooperativa di Nash viene generalizzata da John Harsanyi per casi di più di due giocatori, in alternativa ad un altro concetto di soluzione cooperativa, il "valore", introdotto da Lloyd Shapley nel Lloyd Shapley 23/03/2009 Dia 38 Evoluzione TDG (1960 giochi Forma Incompleta) Nei primi anni 60 Robert Aumann e Michael Maschler danno il via ai "giochi a informazione incompleta", i cui sviluppi porteranno il Nobel anche ad Harsanyi. Nel 1965 il testo "Game Theory" di Guillermo Owen costituisce la "fase Gutemberg" della teoria, in quanto la diffonde in tutto il mondo grazie alle molteplici traduzioni in russo, giapponese, tedesco, polacco, romeno. Owen lavora anche con Shapley per applicazioni politiche dei Giochi e generalizza il valore di Shapley, nonché altri valori successivamente introdotti, al caso di Giochi con diverse probabilità di formazione delle coalizioni. 19

20 Cooperazione di Agenti Informatici Corso di Laurea Specialistica in Informatica A.A. 2008/09 Prof. Alberto Postiglione TIPOLOGIE DI GIOCHI 23/03/2009 Dia 40 TIPOLOGIE DI GIOCHI SOMMA COSTANTE/NON COSTANTE COOPERATIVITA dei giocatori SEQUENZIALITA /SIMULTANEITA delle mosse FORMA che dipende dal grado di conoscenza FORMA COMPLETA FORMA PERFETTA RAPPRESENTAZIONE DEL GIOCO FORMA NORMALE FORMA ESTESA ITERATIVITA del gioco Singolo (senza memorizzazione della storia, cioè in Forma Imperfetta) Ripetuto (con memorizzazione della storia, cioè in Forma Perfetta) Infinito 20

21 23/03/2009 Dia 41 Gioco a Somma Costante e a Somma Nulla Un gioco di dice "a somma costante" se per ogni vincita di un giocatore c è una corrispondente perdita per altri. In particolare, nei giochi a somma zero la vincita di un giocatore è pagata completamente dall altro Nel 1950, grazie all impulso delle ricerche di Nash, hanno cominciato ad essere studiati i giochi a somma non costante. 23/03/2009 Dia 42 Giochi Cooperativi e non-cooperativi La teoria non cooperativa cerca di spiegare i meccanismi delle decisioni dei singoli, sulla base di ragionamenti individuali, senza alleanze fra individui. La teoria cooperativa studia il formarsi di coalizioni perché queste possono essere di vantaggio ai singoli componenti. Nei giochi cooperativi si ipotizza che i giocatori siano in grado di stipulare accordi vincolanti sul modo di comportarsi, Questo non significa che nei giochi cooperativi i giocatori siano più altruistici: l ipotesi base è che ognuno persegue il suo interesse (se poi l interesse consiste nel fare del bene al prossimo, il punto chiave rimane che fare del bene soddisfa il giocatore, e questo guida le sue azioni) 21

22 Somma e Cooperazione 23/03/2009 Dia 43 Si deve soprattutto a Von Neumann l idea di analizzare i giochi studiando il nascere delle coalizioni fra individui, mentre è Nash che ha dato impulso alla teoria non cooperativa (suscitando le critiche di von Neumann, del resto). 23/03/2009 Dia 44 Statico (simultaneo) e Dinamico (sequenziale) In un gioco, le azioni dei giocatori possono essere determinate (Gioco Dinamico) sequenzialmente cioè in successione (Gioco Statico) simultaneamente. 22

23 FORMA DI UN GIOCO 23/03/2009 Dia 45 La FORMA (o Struttura) di un gioco varia in base al grado di condivisione della conoscenza che essi forniscono sulle interazioni rappresentate. Conoscenza delle Regole del Gioco (Forma Completa) Conoscenza delle mosse degli avversari (Forma Perfetta) Conoscenza della storia passata Forma Completa/Incompleta 23/03/2009 Dia 46 (COMPLETA) La funzione dei payoff di ogni giocatore è nota a tutti gli altri. Sono descritti esplicitamente tutti i possibili comportamenti dei giocatori (INCOMPLETA) Almeno un giocatore non conosce il payoff di almeno un altro giocatore. si limitano a descrivere i possibili esiti dell interazione modello più aderente alla realtà. In effetti, quando studiamo un fenomeno, ad esempio economico o biologico, quasi mai tutte le informazioni sono parimenti note a tutti i protagonisti. 23

24 Forma Perfetta/Imperfetta 23/03/2009 Dia 47 (PERFETTA) Ogni giocatore è a conoscenza dell intera storia del gioco, dall inizio fino a quel momento Definita generalmente per giochi Sequenziali (o dinamici). (IMPERFETTA) Definita generalmente per giochi Simultanei (o statici), in quanto le scelte vengono effettuate prima dell inizio del gioco e in modo indipendente da ogni giocatore 23/03/2009 Dia 48 RAPPRESENTAZIONE DI UN GIOCO FORMA ESTESA FORMA NORMALE (o STRATEGICA) 24

25 Gioco in forma ESTESA 23/03/2009 Dia 49 Un Gioco in forma estesa è rappresentato tramite un ALBERO, detto albero del gioco. Le situazioni in cui i giocatori sono, o potrebbero essere, chiamati a muoversi sono i nodi decisionali. Ognuna delle scelte disponibili in un certo nodo decisionale è rappresentata da un ramo che parte dal nodo decisionale stesso. L albero del gioco ha un unico sentiero di rami continuo dal nodo iniziale a ogni nodo nel gioco. Gioco in forma ESTESA 23/03/2009 Dia 50 si tratta di costruire un grafo che, partendo dalla radice, descrive il gioco mossa per mossa, fino ad arrivare a presentare tutte le situazioni finali, conseguenti ad una data serie di mosse. Il tutto fornisce un modo estremamente efficace ed esauriente per analizzare un gioco, ma ha il difetto di essere molto complicato. 25

26 23/03/2009 Dia 51 Gioco in forma ESTESA La rappresentazione in forma estesa di un gioco specifica I giocatori che partecipano al gioco Quando i giocatori hanno diritto alla mossa Cosa possono fare i giocatori ogni volta che possono muovere Cosa conosce ogni giocatore quando gli spetta la mossa Le strategie a disposizione di ogni giocatore I Payoff di ogni giocatore, per ogni possibile combinazione di mosse che può essere scelta dai giocatori Adatta a Giochi Sequenziali (o dinamici) Applicabile anche a giochi Statici, anche se per questi è più adatta la forma normale 23/03/2009 Dia 52 Esempio: Roulette Russa Stato iniziale: 2 giocatori e una rivoltella a sei colpi, con un colpo solo nel tamburo. Evoluzione: ogni giocatore mette euro nel piatto. Se il 1 giocatore passa, mette euro nel piatto, altrimenti ne aggiunge e preme il grilletto. Se sopravvive allo sparo, rigira il tamburo e passa la pistola al secondo. Risultato: se entrambi sono vivi, si dividono il piatto; se sono morti il piatto è perso; se (solo) uno sopravvive, il piatto è suo. 26

27 Esempio: Roulette Russa 23/03/2009 Dia 53 La struttura ad albero del gioco è descritta nella figura seguente, dove in ogni situazione finale è riportato il corrispondente guadagno del primo giocatore. Mossa del primo giocatore Mossa del secondo giocatore Si noti che in questo gioco ogni giocatore fa una sola mossa. Il grafo sarebbe molto più complesso per giochi con un grande numero di mosse Per curiosità: converrebbe sparare ad entrambi Gioco in forma NORMALE 23/03/2009 Dia 54 Un gioco in forma normale è rappresentato tramite una MATRICE (Matrice dei payoff) che riassume le vincite associate a ogni combinazione di strategie. Es.: Il dilemma del prigioniero in forma normale: Bassotto 123 C NC Bassotto 321 C NC (5, 5) (0, 7) (7, 0) (1, 1) 27

28 Gioco in forma NORMALE 23/03/2009 Dia 55 La forma normale definisce il gioco direttamente in termini di strategie e di vincite associate. Non c è bisogno di tener conto delle specifiche mosse associate a ogni strategia. La forma normale è utile quando ci sono due giocatori e l insieme delle possibili strategie è limitato. Un giocatore sceglie una strategia data la strategia che si pensa i rivali stiano adottando. Gioco in forma NORMALE 23/03/2009 Dia 56 La rappresentazione in forma normale di un gioco specifica I giocatori che partecipano al gioco Le strategie a disposizione di ogni giocatore I Payoff di ogni giocatore, per ogni possibile combinazione di strategie scelte dai giocatori Adatta a Giochi Simultanei (o Statici) Applicabile anche a giochi Dinamici, anche se per questi è più adatta la forma estesa 28

29 Forma estesa Forma Normale 23/03/2009 Dia 57 Von Neumann e Morgenstern hanno dimostrato che tutti i giochi in forma estesa possono essere trasformati in forma normale, perdendo peraltro qualche informazione. In tal modo tutta la letteratura relativa ai giochi in forma normale può essere utilizzata per studiare giochi in forma estesa. 29