SERIE DI KIT UGUALI o DIVERSI Avvio all astrazione

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1 FASCICOLO INTRODUTTIVO alla SERIE DI KIT di laboratorio UGUALI o DIVERSI Avvio all astrazione per le classi della scuola secondaria di secondo grado

2 Collana Quaderni di Laboratorio Titolo Uguali o Diversi. Avvio all astrazione - per le classi della scuola secondaria di II grado Progetto grafico di Marianna Lorini Impaginazione di Giovanna Angelucci Revisioni e copertina di Giovanna Angelucci III versione aprile 2012 Questo fascicolo è stato pensato per essere usato con il kit di laboratorio cui si riferisce

3 SOMMARIO INTRODUZIONE 1 PERCHÉ LA CLASSIFICAZIONE 1 I CONTENUTI 2 I METODI 3 I POSSIBILI PERCORSI E TEMPI 5 IL MATERIALE A DISPOSIZIONE 6 UN OSSERVAZIONE SULLE IMMAGINI 7 ALCUNE INDICAZIONI BIBLIOGRAFICHE 9 KIT FORME IL PROGRAMMA DI ERLANGEN - SCHEDA F 10 KIT MOSAICI CLASSIFICARE CON LA SIMMETRIA - SCHEDA M 15 KIT NASTRI DAI NASTRI ALLE SUPERFICI, CON GLI OCCHIALI DELLA TOPOLOGIA - SCHEDA N 28 KIT STELLE L ARITMETICA DEL PERIODICO - SCHEDA S 42 iii

4 INTRODUZIONE I laboratori commentati in questo fascicolo propongono diverse attività riguardanti il concetto di uguaglianza e quindi problemi di classificazione in svariati settori della matematica. Le attività sono calibrate per classi della scuola secondaria di secondo grado, e sono state testate in diversi laboratori (in particolare nell ambito del Piano Lauree Scientifiche) negli a.a , , Il materiale a disposizione nei 4 kit di laboratorio permette di confrontarsi concretamente con i problemi, in modo da rafforzare e stabilizzare, a partire da una solida base di esempi, la costruzione di una concettualizzazione astratta di taluni fra i concetti proposti. Siamo grati al PLS per il supporto finanziario che ci ha permesso di realizzare alcuni fra i materiali utilizzati per questi laboratori. PERCHÉ LA CLASSIFICAZIONE La classificazione è un nodo concettuale importante che attraversa tutto il curriculum scolastico, dalle prime classi della scuola primaria fino agli studi universitari. In matematica, la si incontra in tanti diversi ambiti, ma la si incontra spesso anche al di fuori della matematica: dalle scienze alla musica, ai compiti più usuali della vita quotidiana, siamo abituati ad ogni livello a operazioni legate al problema di mettere in ordine. Un operazione di classificazione è in qualche modo sottintesa in ogni procedimento di astrazione; per esempio, fra le prime operazioni che il matematico compie quando analizza una situazione, c è quella di classificare gli enti che sono oggetto della sua indagine, in modo funzionale all obiettivo che si è prefisso. Allora la diversità fra due oggetti non appare come una proprietà che sia loro intrinseca, ma come una proprietà che dipende dai parametri scelti per studiarli: due dadi rossi (uno di legno e uno di plastica) sono uguali rispetto al colore e sono diversi rispetto al materiale. Questa operazione di mettere in ordine genera enormi semplificazioni, in quanto permette di considerare solo i contenitori anziché i particolari contenuti, ed è molto naturale in matematica, e in tutti i processi di astrazione, a partire dalla costruzione del linguaggio nella prima infanzia. I 4 kit di laboratorio che qui presentiamo nascono da una mostra del Centro matematita (Uguali? Diversi! - La bottega del matematico), allestita la prima volta a Genova in occasione del Festival della Scienza 2008; ed è significativo il fatto che dalla stessa mostra siano nati anche altri kit di laboratorio, sugli stessi temi, destinati alla scuola primaria e alla scuola secondaria di primo grado. 1

5 In tutti e tre i casi, i kit di laboratorio propongono attività su temi matematici anche molto diversi, ma che hanno in comune questa operazione del classificare. L idea è quella di offrire ai ragazzi in maniera diversificata a seconda dell età e delle competenze acquisite - un esempio della forza e dell utilità dell astrazione, in maniera che, al di là dei singoli problemi trattati, essi possano intravedere la potenza dello strumento matematico proprio nel fatto che esiste un filo comune in queste proposte così differenti. Il ragazzo potrà mimare il mestiere del matematico, nel senso che si troverà alle prese con diverse situazioni nelle quali dovrà decidere (in maniera arbitraria, ma coerente!) i criteri di uguaglianza secondo cui classificare alcuni oggetti (a volte concreti, a volte astratti). E in tal modo potrà riconoscere l inconsistenza di uno dei più diffusi pregiudizi riguardanti la matematica, cioè quello che la vuole una scienza dogmatica e monolitica, e potrà verificare, viceversa, come fare matematica possa essere un esperienza di grande libertà e creatività. I CONTENUTI 2 I temi su cui si incentrano le attività dei kit di laboratorio sono quattro: la geometria delle forme piane (Forme), la topologia (Nastri), l aritmetica modulare (Stelle) e la simmetria (Mosaici). Non è naturalmente obbligatorio che l insegnante sviluppi tutti e quattro questi temi, nello stesso periodo, nella stessa classe; raccomandiamo però (per gli ovvi motivi legati al discorso di cui sopra) che ogni classe, se vuol lavorare in modo proficuo su questa tematica della classificazione, discuta almeno due di questi quattro temi. Vediamo qui di seguito un po più nel dettaglio i contenuti proposti nelle 4 schede relative ai 4 diversi kit. Nella scheda F (Forme il programma di Erlangen) i ragazzi hanno a disposizione un mucchio (in senso proprio!) di forme e devono provare a classificarle; in una prima fase li si lascerà liberi di esplorare differenti criteri, con lo scopo di arrivare a comprendere che fissare un buon criterio di classificazione equivale a fissare una relazione di equivalenza; in una seconda fase i ragazzi hanno a disposizione una scheda che propone un certo tipo di classificazione, legato a un determinato gruppo di trasformazioni, e dovranno utilizzare lo stesso criterio sulle forme a loro disposizione. Lo scopo di questa seconda parte è quello di avviare gli studenti all idea della geometria come studio delle proprietà invarianti per un dato gruppo di trasformazioni; per rendere più facile tale acquisizione, a chiudere la scheda si trovano alcune domande più astratte che hanno l obiettivo di far acquisire una maggiore consapevolezza proprio di questo fatto. Anche la scheda N (Nastri - dai nastri alle superfici, con gli occhiali della topologia) è divisa in due parti. Nella prima i ragazzi hanno a disposizione una serie di 7 oggetti (i cosiddetti nastri, che possono essere cilindri o nastri di Moebius) e una serie di 14 immagini (di cui le prime 7 rappresentano proprio gli oggetti in questio-

6 ne); loro compito sarà quello di classificarli da diversi punti di vista, scoprendo che a volte punti di vista anche molto diversi possono condurre allo stesso risultato. Gli studenti hanno a disposizione inoltre alcuni rettangoli di stoffa con zip sistemate in modo diverso e una delle possibili classificazioni passa attraverso le zip (il nastro si realizza dal rettangolo con le zip messe per dritto o da quello con le zip messe a rovescio?). Proprio le zip si prestano in modo particolare a favorire il passaggio dalla manipolazione concreta alla registrazione schematica astratta e aiutano l immaginazione che diventa necessaria ai passaggi successivi, nella seconda parte della scheda, in cui i ragazzi vengono avviati al risultato che concerne la classificazione topologica delle superfici. Nella scheda S (Stelle l aritmetica del periodico) l osservazione e la costruzione di stelle porta in modo naturale all aritmetica delle situazioni periodiche; i ragazzi, che hanno a disposizione dei geopiani circolari e dei fili con i quali costruire le stelle, possono con queste attività, sia incontrare un tipo di classificazione, genericamente riferito a numeri, sia, più specificatamente, dare senso a un concetto, quello del MCD, che troppo spesso rimane, per molti di loro, solo un entità vuota di significato. Se l insegnante lo ritiene opportuno, potrà approfittare di questa attività (che di fatto permette ai ragazzi di esplorare la struttura dei gruppi ciclici finiti Z n ) per introdurre il concetto di gruppo. Nella scheda M (Mosaici classificare con la simmetria) si ha modo di esplorare, in alcuni casi particolari, la classificazione di mosaici piani rispetto alla simmetria. Si parte da un analisi abbastanza dettagliata del gruppo di simmetria della carta a quadretti infinita (di nuovo, come nel caso delle stelle, senza mai nominare la parola gruppo, per lasciare all insegnante la decisione sul grado di approfondimento, e di formalizzazione, che intende dare all attività) e si arriva a un problema di classificazione dei mosaici rispetto al loro gruppo di simmetria; in realtà, si restringe lo studio al caso di 4 gruppi soltanto, il che permette di avere una situazione più gestibile, ma nel contempo già non banale. Per chi vuole approfondire, il DVD Simetria 1, compreso nel kit Mosaici, consente un analisi più completa del problema. Infine, al di fuori delle schede, per tutti e 4 i kit, il gioco di Quarto propone un momento ludico basato ancora una volta sul concetto di classificazione. I METODI La modalità con cui proponiamo che le attività vengano svolte è quella laboratoriale. Essa è strutturata nel modo seguente : 1. suddivisione dei ragazzi in piccoli gruppi di lavoro (il materiale presente in ciascuno dei kit è sufficiente per 5 gruppi di lavoro); 2. utilizzo del materiale manipolabile preparato per il laboratorio; 1 Non si tratta di un errore di stampa! Questo DVD è stato realizzato da un associazione portoghese e in portoghese si dice Simetria, con una sola m 3

7 3. svolgimento delle attività proposte nelle varie schede di lavoro; 4. scrittura delle risposte negli appositi spazi sulla scheda di lavoro. Questa modalità è finalizzata al raggiungimento di alcuni obiettivi, tipici del fare ricerca in matematica, che possiamo così riassumere: 1. costruzione del proprio sapere; 2. comunicazione delle proprie scoperte; 3. interiorizzazione delle nozioni apprese. 4 Dalla collaborazione tra i componenti del gruppo, dai liberi tentativi di risposta e con la guida delle schede di lavoro, i ragazzi giungono autonomamente ad acquisire alcune conoscenze di base sulle problematiche legate al concetto di uguaglianza. È importante che gli studenti scrivano le risposte a cui sono giunti, anche se sbagliate. Infatti è molto meglio partire da qualcosa di sbagliato, ma che è scaturito dai loro ragionamenti, piuttosto che mettere loro in testa le nostre risposte (se le dimenticherebbero a breve!). Inoltre è proprio nel momento in cui si rielaborano le conoscenze per comunicarle per iscritto che queste vengono interiorizzate e comprese a fondo. Infine, il fatto di riportare le risposte sulla scheda consente di tenere traccia del lavoro svolto, che più tardi può eventualmente essere ripreso in classe. Altrettanto importante è che i ragazzi acquisiscano o affinino la capacità di descrivere la realtà e, in un certo senso, di raccontare la matematica. Riteniamo che questa abilità sia un passaggio fondamentale dell apprendimento, successivo alla fase di osservazione, e che non ne sia automatica conseguenza. In generale, l aver capito i concetti, le proprietà, le regole del gioco non si traduce automaticamente nella facilità a descrivere tutto ciò ai compagni: per raggiungere questo obiettivo, occorre insistere con attività che siano a ciò esplicitamente finalizzate. Durante lo svolgimento del laboratorio, l insegnante ha il compito di sorvegliare le attività dei vari gruppi, garantendo una generale situazione di equilibrio. Può certamente sciogliere dubbi o fornire chiarimenti, sottolineare gli aspetti critici che scaturiscono dai ragionamenti e magari porre ulteriori domande suggerite proprio dai dibattiti in corso all interno del gruppo, ma non deve dare risposte, facendo sempre in modo che gli studenti giungano autonomamente alle soluzioni. La scheda di lavoro svolge la funzione di filo conduttore del laboratorio, ma non è necessario che venga seguita pedissequamente. Anzi, in certe occasioni, può essere particolarmente utile e stimolante discostarsi dal tracciato delle schede, magari per seguire degli spunti scaturiti spontaneamente dal lavoro dei ragazzi. È importante lasciare ai gruppi il tempo di svolgere le attività richieste, e non importa se qualche gruppo non riesce a terminare l attività nel tempo stabilito; importa invece che i gruppi affrontino i quesiti scontrandosi con le difficoltà proprie del laboratorio e cercando di ragionare sui metodi da adottare per superarle. Lo scopo del laboratorio non è infatti quello di arrivare al completamento dell intera scheda, ma come abbiamo sottolineato quello di aiutare i ragazzi a costruire il proprio sapere autonomamente. La guida attenta e competente dell insegnante resta naturalmente un elemento cru-

8 ciale sia per stimolare opportunamente i ragazzi (durante l attività), sia per aiutarli (alla fine) a tirare le fila del lavoro fatto. Una componente essenziale della modalità laboratoriale, infatti, è il momento finale in cui i diversi gruppi dei ragazzi si raccontano l un l altro i progressi fatti e le conclusioni raggiunte: la classe arriva così a un momento condiviso di accrescimento delle conoscenze. Si tratta di una fase difficile e critica, ma essenziale perché l apprendimento non resti episodico; è compito dell insegnante, in questa fase, intervenire con domande mirate, allo scopo sia di correggere eventuali errori che non siano già stati corretti autonomamente dai ragazzi, sia di mettere in evidenza alcune soluzioni particolarmente interessanti, sia di mettere ordine quando (come spesso accade) nella discussione si accavallano tante cose, magari tutte corrette, ma si è perso il filo di dove si sta andando e c è bisogno di ricordarlo. I POSSIBILI PERCORSI E TEMPI DI SVOLGIMENTO Ciascuna delle 4 schede di lavoro commentate in questo quaderno nasce da un attività di laboratorio testata presso il Centro matematita come laboratorio doppio (corrispondente a due turni, di un paio d ore l uno). Naturalmente questa previsione di tempi è puramente indicativa, perché dipende ovviamente dal livello di approfondimento che si vuole riservare all argomento. Suggeriamo in ogni caso di non forzare i tempi con i ragazzi: meglio fare una scheda in meno, che dare ai i ragazzi l impressione di non poter usare tutto il tempo che è loro necessario. Le schede di laboratorio sono le stesse per tutte le classi, a ricordare che non ci sono particolari prerequisiti che rendano una scheda inutilizzabile, ad esempio, prima di una certa classe. Sono state pensate più per il triennio che per il biennio, non perché necessitino di particolari prerequisiti che i ragazzi del biennio non hanno, ma perché richiedono una certa maturità. Sono comunque proponibili anche a ragazzi più giovani: naturalmente ad una medesima richiesta faranno riscontro risposte diverse e si accetteranno livelli di approfondimento diversi, a seconda dell età dei ragazzi, e a seconda anche del tipo di scuola (si vedano in proposito i commenti alle singole attività delle schede). Ovviamente, l insegnante potrà valutare di sottoporre a una classe non l intera scheda, ma solo una sua parte e i commenti che vengono qui proposti hanno anche lo scopo di indirizzare il docente in questa scelta, segnalando in particolare i punti più critici. 5

9 IL MATERIALE A DISPOSIZIONE Materiale presente in tutti i 4 kit di laboratorio: 1. questo fascicolo di presentazione; 2. una scatola con il gioco di Quarto; 3. un foglio plastificato con l elenco del materiale; 4. un CD-rom contenente i files per il materiale cartaceo utile nello svolgimento del laboratorio ed eventuale altro materiale di integrazione. Materiale relativo al kit F (Forme): 1. forme in gomma crepla (5 sacchi contenenti, ciascuno, numerose forme); 2. serie di 7 schede plastificate con immagini di figure classificate rispetto a un dato gruppo di trasformazioni: ciascuno in 3 copie, per un totale di 21 schede; 3. 5 specchietti. Materiale relativo al kit N (Nastri): rettangoli di stoffa dotati di zip su due lati, 5 verdi con le zip messe nello stesso verso, 5 blu con le zip messe in verso opposto; 2. 5 serie di 7 fettucce colorate; fogli plastificati, formato A4 (2 tipi, 5 copie di ciascuno) con le immagini dei 14 nastri; schedine con figure di nastri (5 serie, ciascuna delle quali comprende 14 figure, di cui le prime 7 corrispondono alle fettucce del punto 9); schedine con disegni schematici di poligoni con identificazioni, a rappresentare superfici (5 serie, ciascuna delle quali comprende 15 figure); schedine con superfici che rappresentano oggetti quotidiani oppure immagini virtuali (5 serie, ciascuna delle quali comprende 20 figure); 7. 5 copie di un foglio formato A4 con le immagini delle superfici in forma standard; 8. il DVD Simetria, a cura dell associazione portoghese Atractor; 9. rettangoli di carta; triangolo di stoffa dotato di zip. 6 Materiale relativo al kit S (Stelle): geopiani circolari (5 con 7 pioli, 2 con 11 pioli, 5 con 12 pioli, 2 con 15 pioli); 2. fili di lana di lunghezze e colori diversi; 3. 5 serie di cartellini con i numeri da -20 a 100; 4. 5 serie di cartellini con i giorni della settimana e i mesi; 5. 5 serie di fogli plastificati con le tabelle additive e moltiplicative di Z 7, Z 11,

10 Z 12, Z 15 ; 6. 5 serie di fogli plastificati con le tabelle delle figure dei geopiani da 7, 11, 12 e 15 pioli. Materiale relativo al kit M (Mosaici): 1. una camera quadrata di specchi; mosaici (in 5 gruppi di 4); tasselli da inserire nella camera quadrata (in 5 gruppi di 6); 4. 5 fogli plastificati con il disegno di una quadrettatura e 10 lucidi con il disegno della stessa quadrettatura; 5. 5 specchietti; 6. alcuni fogli lucidi; 7. il DVD Simetria, a cura dell associazione portoghese Atractor. Nota importante: in questo fascicolo, per ogni scheda è riprodotto in nero il testo dato ai ragazzi, mentre in blu sono scritti sia i nostri commenti per gli insegnanti che le risposte attese dagli studenti. UN OSSERVAZIONE SULLE IMMAGINI DEL TESTO In questo fascicolo si fa largo uso di immagini sia per illustrare un concetto sia per mostrare più esempi possibili di una stessa situazione. Per ovvie questioni di spazio, non tutte le immagini citate sono qui riprodotte, ma tutte, comunque, sono indicate con un numero in grassetto: 11367, per esempio, indica un immagine reperibile in rete sul sito Immagini per la matematica del Centro matematita, all indirizzo: Come controllo, potete verificare che al numero corrisponde la figura qui sotto. 7

11 Nello stesso sito si possono trovare molte altre immagini collegate ai temi toccati, tutte dotate di una didascalia ipertestuale che spesso rimanda dall una all altra, e si possono trovare anche alcune animazioni e alcuni approfondimenti. I settori che più in particolare possono essere utili per questi kit di laboratorio sono: 1. la sezione dedicata alla mostra Uguali? Diversi! 2. la sezione dedicata alle superfici topologiche, per il kit N (nastri) 3. la sezione dedicata alla simmetria dei mosaici, per il kit M (mosaici) 4. un animazione sui mosaici, per il kit M (mosaici) 5. alcune animazioni relative alle superfici, per il kit N (nastri) 6. un approfondimento sul nastro di Moebius, per il kit N (nastri) 7. un approfondimento sui mosaici, per il kit M (mosaici) 8

12 ALCUNE INDICAZIONI BIBLIOGRAFICHE AAVV Uguali? Diversi! - La bottega del matematico (contiene la raccolta degli 11 poster grandi della mostra). AAVV Uguali? Diversi! La matematica delle classificazioni XlaTangente, n.11, settembre 2008, pagg AAVV Diversi? Uguali! Il viaggio nelle classificazioni continua e non solo in matematica XlaTangente, n.12, novembre 2008, pagg P. Gallo e C. Vezzani Mondi nel mondo - Fra gioco e matematica, Mimesis, 2007 ( Il capitolo 4 tratta del problema della classificazione in matematica e approfondisce il discorso avviato nei poster e

13 SCHEDA F FORME - IL PROGRAMMA DI ERLANGEN 10 Avete sul tavolo una grande quantità di forme. Immaginate di metterle in ordine, cioè di dividerle in vari mucchi che abbiano qualcosa in comune; per farlo, dovete decidere che cosa volete mettere nello stesso mucchio, cioè quali forme pensate che si possano ritenere uguali e quali diverse. Facciamo un esempio e fissiamo un criterio di classificazione (solo per le forme poligonali) in questo modo: CRITERIO I Mettiamo due forme nello stesso mucchio se e solo se hanno lo stesso numero di lati. Usando il criterio I, avrete un primo mucchio con tutti i triangoli, un secondo con tutti i quadrilateri, un terzo con tutti i pentagoni e così via. Potete immaginare di avere un particolare tipo di occhiali con i quali non ci si accorge proprio della differenza tra un quadrato e un trapezio (mentre si vede la differenza fra un pentagono, qualsiasi, e un esagono, qualsiasi). I criteri possibili sono molti, e anche molto diversi fra loro; non ce n è uno solo che vada bene per ogni situazione, ma, a seconda del problema che avete di fronte, potrà essere utile scegliere un criterio oppure un altro. Provate a immaginare dei criteri che possano servire per mettere in ordine queste forme. Scrivete in questa scheda un paio di proposte, ricordando che i criteri devono essere condivisi, e che non possono essere ambigui. Vi chiediamo, per queste due proposte, di procedere in due modi diversi. Per il criterio II, cominciate a decidere il criterio e solo DOPO provate a usarlo per classificare le forme. CRITERIO II Mettiamo due forme nello stesso mucchio se e solo se... Vi suggeriamo di lasciare in questa fase una totale libertà sul tipo di criterio. Controllate soltanto che il criterio non sia ambiguo e che la classificazione sia coerente. Se i ragazzi cercano di usare un cattivo criterio (ovvero una relazione che non è una relazione di equivalenza), lasciateli proseguire in modo che siano loro a scontrarsi con il problema di non riuscire a trarne un raggruppamento coerente. La classificazione ha prodotto i risultati che avevate previsto? O avete avuto delle sorprese? Scrivete qui sotto le vostre osservazioni:... Forzate i ragazzi a scrivere se avevano formulato delle osservazioni a voce; è molto diverso, a distanza di tempo, poter fare riferimento a qualcosa di scritto piuttosto che a un vago ricordo. Per il criterio III, procedete nell altro verso. Per prima cosa raggruppate i mucchietti in una maniera che vi sembri ragionevole e soltanto DOPO cercate un criterio che produca questa classificazione. Dovete essere sicuri che, dando a un altro gruppo solo il testo del vostro criterio, la classificazione operata da loro produrrebbe gli stessi risultati. CRITERIO III Mettiamo due forme nello stesso mucchio se e solo se...

14 Potendo investire un po più di tempo, potrebbe essere interessante proporre a questo punto uno scambio fra due gruppi di studenti che hanno proposto criteri diversi. Ovvero, dopo aver trovato un modo per registrare come sono stati suddivisi i pezzi (e questo è probabilmente l aspetto più lungo e noioso - ma indispensabile: si può ad esempio provare con una fotografia), si rimescolano tutte le forme e i due gruppi di studenti si scambiano le forme e il testo di uno dei due criteri stabiliti (II o III). Naturalmente poi si dovrà verificare se, usando lo stesso criterio, anche l altro gruppo di ragazzi è arrivato alla stessa classificazione. Ovviamente qualcosa non torna se ciò non accade. La classificazione ha prodotto i risultati che avevate previsto? O avete avuto delle sorprese? Scrivete qui sotto le vostre osservazioni:... È possibile che abbiate incontrato dei problemi, se avete cercato di mettere in ordine le forme usando qualcosa che non sia un buon criterio. Per esempio, guardate un po che cosa succederebbe con i tre triangoli in figura se cercassimo di usare questo criterio: CRITERIO IV Mettiamo due forme nello stesso mucchio se e solo se hanno almeno un lato della stessa lunghezza. I triangoli 1 e 2 dovrebbero andare nello stesso mucchio perché i lati di 1 hanno la stessa lunghezza dei cateti di 2; anche 2 e 3 dovrebbero andare nello stesso mucchio perché i lati di 3 hanno la stessa lunghezza dell ipotenusa di 2. Ma a questo punto siamo nei pasticci, perché 1 e 3 non devono stare nello stesso mucchio: c è qualcosa che non va! Avevate incontrato un fenomeno simile con i criteri che avevate proposto? SÌ NO Questa domanda forza a considerare un cattivo criterio, basato su una relazione che non è una relazione di equivalenza; la parentesi potrebbe essere inutile, nel caso di un gruppo di ragazzi a cui sia già capitato, nel lavoro fatto finora, di imbattersi in una relazione non di equivalenza e di accorgersi dei motivi per cui questa non funziona. Il punto è che il criterio IV non è un buon criterio per classificare. Affinché un criterio sia un buon criterio occorre che la relazione corrispondente (X~Y se e solo se X e Y vanno nello stesso mucchio) sia: 1. riflessiva cioè X~X (sembra una cosa ovvia : abbiamo bisogno che ogni forma X vada nello stesso mucchio di se stessa); 2. simmetrica cioè se X~Y allora anche Y~X 11

15 (anche questo è abbastanza naturale: abbiamo bisogno di essere sicuri che, se la forma X va nello stesso mucchio di Y, allora Y vada nello stesso mucchio di X); 3. transitiva cioè se X~Y e Y~Z allora anche X~Z (questa è forse la proprietà più strana : ci garantisce che, se X va nello stesso mucchio di Y e Y nello stesso mucchio di Z, allora anche X vada nello stesso mucchio di Z). Una di queste tre proprietà non è verificata nel caso del criterio IV. Quale e perché?... La relazione del criterio IV non è transitiva. Controllate invece che tutte e tre siano verificate dal criterio I: 1. riflessiva: un poligono ha lo stesso numero di lati di se stesso; 2. simmetrica: se un poligono P ha lo stesso numero di lati di un poligono Q, allora anche Q ha lo stesso numero di lati di P; 3. transitiva: se un poligono P ha lo stesso numero di lati di un poligono Q, e se Q ha lo stesso numero di lati di un altro poligono R, allora anche Q e R hanno lo stesso numero di lati. E per quanto riguarda i due criteri che voi avevate proposto? Si trattava di buoni criteri per classificare? Verificatelo:... Per quale motivo secondo voi sono necessarie le tre proprietà che abbiamo enunciato affinché un criterio sia un buon criterio? Cosa ci garantisce il fatto che un criterio sia un buon criterio?... Si vorrebbe qui che i ragazzi arrivassero a rendersi conto - perlomeno a livello informale - del fatto che una relazione di equivalenza produce una partizione (e quindi i mucchi da cui si è partiti, che non sono altro che le classi di equivalenza): ovvero, le classi di equivalenza sono a due a due disgiunte e ricoprono tutto l insieme che stiamo considerando. 12 Avete a disposizione alcune schede. Ciascuna scheda corrisponde a un criterio di classificazione, e vi riassume visivamente tale criterio con alcuni esempi, utilizzando il colore. In ciascuna scheda, forme con lo stesso colore sono da ritenersi uguali e forme di colore diverso sono da ritenersi diverse. Per ciascuna scheda, vi chiediamo di fare un ipotesi di criterio corrispondente (che sia formulato usando la geometria e non i colori) e di dividere le forme in gruppi in una maniera che sia coerente con questa ipotesi. Ciascuna delle sette schede si basa su un gruppo di trasformazioni, quindi il corrispondente criterio (formulato in un linguaggio matematico corretto che NON è quello che ci aspettiamo dai ragazzi) è che due forme vadano nello stesso mucchio se e solo se si trova un elemento del corrispondente gruppo di trasformazioni che manda l una nell altra. Le trasformazioni corrispondenti per le sette schede sono:

16 CRITERIO della scheda A... CRITERIO della scheda B... CRITERIO della scheda C... CRITERIO della scheda D... CRITERIO della scheda E... CRITERIO della scheda F... CRITERIO della scheda G... traslazioni traslazioni e mezzigiri isometrie dirette isometrie similitudini affinità trasformazioni topologiche Naturalmente discutere sette casi è un lavoro lungo, soprattutto con i ragazzi più giovani; quando non lo si può fare, ci si può limitare a esaminare solo due o tre delle sette schede, e sarà compito dell insegnante scegliere quante e quali, a seconda della classe e degli interessi del momento. Ci aspettiamo che un altro problema sia il fatto che non tutti i ragazzi conoscono tutti i tipi di trasformazioni che qui si utilizzano. Probabilmente conoscono isometrie e similitudini, ma ci aspettiamo che non conoscano né affinità né trasformazioni topologiche (e non vogliamo certo descriverle qui): se vengono mostrate le corrispondenti schede, ci si accontenterà di una descrizione su un piano informale. Potete immaginare che ciascuna scheda individui un mondo con una particolare geometria e che in questa geometria non si veda la differenza fra due forme che abbiamo detto uguali secondo il corrispondente criterio. Provate ora a considerare le seguenti affermazioni (alcune illustrano delle proprietà delle figure; altre semplicemente caratterizzano una particolare figura) e a decidere, per ciascuna di esse, in quale geometria hanno senso. N.B. Dove si dice questo rombo o queste rette manca la figura di un dato rombo o di una data retta perchè quello che qui ci stiamo chiedendo NON è se l affermazione è vera o falsa, ma solo se avrebbe o non avrebbe senso. Lo scopo di queste richieste è quello di far percepire ai ragazzi le idee del programma di Erlangen: fissare una geometria significa fissare un gruppo di trasformazioni che ci permette di dire quali figure sono uguali rispetto a quel tipo di geometria. Questa circonferenza ha il raggio di 3 centimetri. A B C D E F G Per dare senso alla lunghezza di 3 cm occorre il gruppo delle isometrie (o un suo sottogruppo) quindi ABCD. In un triangolo rettangolo, la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è uguale all area del quadrato costruito sull ipotenusa. A B C D E F G 13

17 Ci aspettiamo che i ragazzi diano per scontato che il teorema di Pitagora, o più in generale tutti i teoremi di geometria sintetica che conoscono, richiedano l invarianza per isometrie. In realtà basta invece la geometria simile, quindi ABCDE, mentre non ha senso in F né in G. In questo rombo le due diagonali hanno lunghezza una doppia dell altra. A B C D E F G Come sopra. Una retta e una circonferenza che non siano tangenti si intersecano in un numero pari di punti (2 oppure 0). A B C D E F G Un esempio di affermazione topologica: l affermazione ha senso (ed è vera) già in G (e quindi anche in tutte le altre geometrie). È utile far osservare ai ragazzi che (sempre considerando solo intersezioni traverse e non tangenti) questa affermazione vale anche sostituendo a una circonferenza una qualunque curva semplice e chiusa (ovvero uguale a una circonferenza dal punto di vista della topologia). Vedi Il baricentro di un triangolo divide ciascuna mediana in due parti di lunghezza una doppia dell altra. A B C D E F G Le affinità mandano baricentri in baricentri e conservano i rapporti fra segmenti allineati, quindi ABCDEF. La direzione di questa retta è parallela a un lato della stanza in cui vi trovate in questo momento. A B C D E F G La direzione non cambia nè per traslazioni nè per mezzi giri. L insegnante che desideri soffermarsi ulteriormente su questi temi potrebbe anche a questo punto chiedere ai ragazzi altri esempi di affermazioni valide nell una o nell altra delle geometrie individuate dai gruppi di trasformazioni esaminati. 14

18 SCHEDA M MOSAICI CLASSIFICARE CON LA SIMMETRIA Qui sotto avete una griglia, che rappresenta una normale quadrettatura, come quella dei quaderni a quadretti; nelle attività che seguono dovrete immaginare che essa si estenda al di fuori del foglio, all infinito, ripetendosi sempre uguale: In basso a sinistra sono segnate due frecce (due vettori); immaginate di chiudere gli occhi e che un vostro compagno muova la griglia con la traslazione corrispondente a uno di questi due vettori (cioè ogni punto P va a finire in un punto P tale che il vettore PP abbia la stessa lunghezza, lo stesso verso e la stessa direzione del vettore corrispondente a una delle due frecce in figura): quando riaprite gli occhi non ve ne accorgereste. In realtà, questo non è del tutto vero se pensiamo al disegno qui sopra, perché vedreste mutata la posizione del bordo della griglia rispetto al foglio. Però vi abbiamo chiesto di immaginare la griglia illimitata, in tutte le direzioni: in tal caso proprio non ve ne accorgereste. Quali altri vettori, oltre a quelli individuati da un lato di un quadretto, corrispondono a traslazioni che non cambiano la griglia? Disegnatene (almeno) tre sulla griglia. Queste prime attività vogliono semplicemente far prendere la mano ai ragazzi sul concetto di mosaico, e di trasformazione che fissa una data figura. Non si parla in tutta la scheda di gruppo, anche se naturalmente quello che si farà in questo laboratorio è proprio una classificazione dei mosaici rispetto al loro gruppo di sim- 15

19 metria. In questa prima fase ci occupiamo solo delle traslazioni. Chiamiamo MOSSA LEGITTIMA DI TIPO I una qualunque traslazione che ottenete componendo come volete le traslazioni corrispondenti ai vettori segnati nell angolo in basso a sinistra della quadrettatura. Per esempio, sono due mosse legittime di tipo I quella di spostare la griglia di 3 quadretti verso l alto e di 5 verso sinistra oppure quella di spostare la griglia di 2 quadretti verso il basso e di 3 verso destra. Consideriamo ora alcune figure sulla griglia, come quelle qui sotto, e immaginiamo di applicare a una di queste forme tutte le possibili mosse legittime di tipo I; che cosa succede? Otteniamo una famiglia di forme, tutte uguali fra loro, e può accadere che: A. queste forme ricoprano esattamente tutto il piano, senza sovrapposizioni e senza buchi (un esempio è il quadrato A in figura); B. le forme ricoprano tutto il piano, ma si accavallino (un esempio è il quadrato B); 16

20 C. le forme non si accavallino, ma lascino dei buchi (un esempio è il triangolo C); D. le forme si accavallino in parte, ma lascino anche dei buchi (un esempio è il triangolo D). In quanto segue ci potrà far comodo chiamare una forma di tipo A (oppure B, C, D) se si comporta come l esempio A qui sopra (ovvero, rispettivamente, B, C, D). Nella griglia successiva trovate altre figure su cui vi porremo due domande. Fra le figure trovate alcuni poligoni, e anche un cerchio, ma potete sbizzarrirvi a aggiungere altre forme qualsiasi: basta che si tratti di sottoinsiemi del piano. Ecco le due domande: ogni figura è ripetuta due volte: c è una mossa legittima di tipo I che manda l una nell altra le due figure con lo stesso numero? 17

21 Sì x x x x No x x x x x x sapreste decidere, per ciascuna di esse: è di tipo A, B, C oppure D? A A B D A D C A A A Ci sono anche altri problemi su cui sarebbe possibile far lavorare i ragazzi; non li abbiamo inseriti nella scheda per non appesantire eccessivamente le proposte e perché pensiamo che spetti all insegnante valutare se in una data classe questo approfondimento possa risultare utile e opportuno. Ci limitiamo quindi a proporre qui qualche ulteriore spunto: 1. quando (e come) si può decidere a priori di che tipo è una data forma (le chiamiamo forme e non poligoni per consentire il caso di figure con bordo curvilineo)? È difficile dare condizioni necessarie e sufficienti, ma è abbastanza intuitivo che una forma troppo grossa non potrà essere di tipo A o di tipo C e viceversa una forma troppo piccola non potrà essere di tipo B o D. Potrebbe allora essere interessante cercare di quantificare cosa vuol dire quel troppo grossa e troppo piccola e i ragazzi possono arrivare a rendersi conto che troppo grossa significa qui di area maggiore di un quadretto e troppo piccola di area minore di un quadretto. Otterranno una conferma dall osservazione che tutte le forme di tipo A hanno area uguale all area di un quadretto (ma non vale il viceversa! Troviamo forme di area un quadretto che non sono di tipo A). 2. Un altro possibile approfondimento consiste nel rifare la stessa analisi su una griglia diversa dalla quadrettatura: si potrebbe partire dalla griglia relativa alla tassellazione in esagoni regolari, o da quella in triangoli equilateri, o da una griglia di parallelogrammi, o anche da un qualunque mosaico modificando opportunamente i due vettori che abbiamo usato per generare le trasformazioni: vedi per alcuni esempi. 18 Non ci sono solo le traslazioni che fissano la quadrettatura, ma anche per esempio le rotazioni: allarghiamo allora il parco delle mosse legittime aggiungendo le rotazioni di 90 intorno ai vertici della quadrettatura, le rotazioni di 90 intorno ai centri dei quadretti e le rotazioni di 180 intorno ai punti medi dei lati dei quadretti (ATTEN- ZIONE: verificate che ciascuna di queste trasformazioni non cambia l aspetto della griglia!). Una MOSSA LEGITTIMA DI TIPO II è allora una qualunque combinazione delle traslazioni, che abbiamo chiamato mosse di tipo I, e di queste rotazioni. Nella prossima griglia trovate altre forme e vi poniamo le stesse domande che prima vi abbiamo posto rispetto alle mosse legittime di tipo II. Prendendo tutte le composizioni delle traslazioni e delle rotazioni indicate si ottiene il gruppo delle isometrie dirette che fissano la griglia (ma non c è alcuna necessità di usare questa terminologia con i ragazzi). Affinché i ragazzi si rendano conto che le rotazioni indicate fissano la quadrettatura

22 può essere utile far loro usare, sovrapposti, il foglio plastificato con il disegno della quadrettatura e il lucido corrispondente. ogni figura è ripetuta due volte: c è una mossa legittima di tipo II che manda l una nell altra le due figure? SÌ x x x x NO x quasi tutte le figure sono di tipo A (rispetto alle mosse legittime di tipo II), ovvero la famiglia delle figure ottenute applicando a una di queste tutte le mosse legittime di tipo II ricopre il piano senza sovrapposizioni e senza buchi. Una sola fra le cinque figure non è di questo tipo: quale?... La 4 è di tipo D Uno sbaglio possibile è quello di pensare che una risposta negativa alla prima domanda porti automaticamente a una risposta diversa da A nella seconda (e viceversa). Non c è invece nessun rapporto fra le due cose. Un esercizio utile per prendere confidenza con le isometrie può essere quello di non limitarsi a rispondere un sì/no alla prima domanda, ma esplicitare anche QUALE è la trasformazione che manda le due figure l una nell altra. Di nuovo, lasciamo all insegnante il compito di decidere se proporre anche questa richiesta aggiuntiva. In realtà non ci sono solo traslazioni e rotazioni che fissano la griglia, ma anche altre trasformazioni. Per esempio, le rette della quadrettatura sono assi di simmetria della griglia: ciò vuol dire che la riflessione rispetto a una di queste rette manda la griglia 19

23 in se stessa; ovvero (ed è un altro modo di dire la stessa cosa) se appoggiamo uno specchio a una di queste rette, perpendicolarmente al piano che contiene il disegno, vediamo nello specchio un immagine virtuale che riproduce esattamente la metà del disegno nascosta dallo specchio stesso. Le rette della quadrettatura non sono i soli assi di simmetria della griglia: quali altre rette lo sono? Ad esempio, le rette tratteggiate in figura sono assi di simmetria della griglia? a b c d e f SÌ x x x x NO x x Ci immaginiamo che i ragazzi non abbiano difficoltà con questa domanda, magari con l aiuto di uno specchio. Non abbiamo voluto qui insistere sulla presenza di altre trasformazioni che fissano la griglia, che pur ci sono: per esempio una glissoriflessione di asse b e vettore di traslazione parallelo a b e lungo la metà della diagonale di un quadretto. Queste trasformazioni vanno considerate se l insegnante vuol richiedere ai ragazzi un elenco completo di tutte le trasformazioni (o meglio di tutti i tipi di trasformazioni) che mandano la griglia in se stessa, ovvero di tutti gli elementi del gruppo di simmetria della quadrettatura. 20 Quelli che in matematica si chiamano mosaici sono delle figure piane che (come la griglia quadrettata che abbiamo esaminato) non cambiano rispetto a due traslazioni, in due direzioni diverse. Si tratta quindi sempre di figure che dobbiamo immaginare illimitate (cioè che continuano al di là del foglio o dello schermo su cui sono dise-

24 gnate). Per distinguere fra queste figure si può studiare quali altre trasformazioni ci sono (oltre alle traslazioni) che non mutano il loro aspetto, come abbiamo fatto per la carta a quadretti. Chiameremo uguali due mosaici per i quali è identico lo schema di tutte le trasformazioni che li fissano e diversi due mosaici per cui questi due schemi sono diversi. Ad esempio, dei due mosaici A e B qui sotto, solo A è uguale alla carta a quadretti da questo punto di vista. A B Nella carta a quadretti abbiamo trovato rotazioni di 90 : dove sono ubicati i centri di rotazione di 90 sul mosaico A? (potete segnarli sulla figura qui sotto)... Nella carta a quadretti abbiamo trovato dei punti che erano centri di rotazione per una rotazione di 180, ma non per una di 90 : dove sono ubicati i centri corrispondenti sul mosaico A? Nella figura seguente abbiamo indicato con un puntino bianco i centri di rotazione di ordine 4 (cioè i punti tali che una rotazione di 90 intorno a questi punti - e tutti i suoi multipli mandano la figura in sé) e con un puntino nero i centri di rotazione di ordine 2 (una rotazione di 180 intorno a questi punti manda la figura in sé, ma non una rotazione di 90 ). 21

25 Nella carta a quadretti abbiamo trovato degli assi di simmetria, e ne abbiamo trovati in 4 direzioni diverse: come sono situati gli assi di simmetria rispetto al mosaico A? Tratteggiati in figura gli assi di simmetria, in quattro differenti direzioni. E, per quello che riguarda il mosaico B, che abbiamo asserito essere diverso dalla carta a quadretti, sapreste dire perché siamo sicuri che è davvero differente? Citiamo qui alcune cose che i ragazzi potrebbero osservare; una qualunque di queste è sufficiente a dire che si tratta di un mosaico diverso dalla carta a quadretti: non ci sono rotazioni di 90 che fissano la figura; non ci sono rotazioni di 180 che fissano la figura; tutti gli assi di simmetria della figura sono paralleli fra loro (mentre nella carta a quadretti troviamo assi di simmetria in quattro direzioni diverse). Volendo continuare questa operazione di mettere in ordine i mosaici, dal punto di vista della simmetria, i casi che si incontrano sono esattamente 17, e, nella prossima attività, esaminiamo 4 di questi 17 casi. I quattro casi corrispondono a questi quattro simboli, che noi qua useremo semplicemente come un etichetta: *442 4*2 22 Questi simboli identificano i gruppi di simmetria dei mosaici, usando la notazione di Conway (per chi fosse abituato alla notazione cristallografica, 22 corrisponde a pgg; 442 a p4; *442 a p4m; 4*2 a p4g). Abbiamo qui specificato che utilizziamo questi simboli solo come un etichetta, e sarebbe andato altrettanto bene un nome qualsiasi, perché non ci interessa qui approfondire il significato di questi simboli; se però la cosa incuriosisce i ragazzi, non è difficile dare un senso ai simboli (e questo è uno dei motivi per cui abbiamo preferito la notazione di Conway): i numeri hanno a che fare con la presenza di rotazioni che fissano il disegno (4

26 sta per una rotazione di ordine 4, e quindi di 90 e multipli, 2 per una rotazione di ordine 2); l asterisco corrisponde alla presenza di assi di simmetria, quindi di una riflessione che fissa il disegno; la croce corrisponde alla presenza di una glissoriflessione che fissa il disegno: una glissoriflessione è la composizione di una riflessione, rispetto a una retta r, e di una traslazione rispetto a un vettore parallelo a r. Il fatto che un numero possa comparire due volte piuttosto che una sola (ad esempio nel caso della carta a quadretti, che ha il simbolo *442) corrisponde al fatto che, in quel gruppo, ci sono sostanzialmente due tipi diversi di centri di rotazione di ordine 4 (sulla carta a quadretti: i vertici della quadrettatura e i centri dei quadretti) e c è invece un solo tipo di centro di rotazione di ordine 2 (i punti medi dei lati dei quadretti). Dove, parlando di tipi diversi, intendiamo dire che non si riesce a trovare una trasformazione che fissa l intera griglia e che mandi l uno nell altro un vertice della quadrettatura e un centro di quadretto (mentre si riesce a mandare l uno nell altro i punti medi dei lati di due qualsiasi quadretti con una trasformazione che fissi l intera griglia). Analogo è il motivo per cui compare un solo asterisco per esempio nel caso della carta a quadretti: infatti, nonostante ci siano assi di simmetria in quattro direzioni diverse, comunque si fissino due di questi assi è sempre possibile trovare una trasformazione che fissa la griglia e che manda il primo nel secondo. Per approfondire l argomento si può vedere php?blog=6&cat=215. Avete a disposizione venti disegni (che, se ne immaginate la continuazione, costituiscono dei mosaici) estratti da cinque fotografie, usando l animazione Generatore di mosaici del DVD Simetria. 1 Scegliete una quaterna che si riferisca alla stessa foto, e, per ciascuno dei quattro disegni, rispondete alle seguenti domande: A. C è una rotazione di 90 che non muta l aspetto del disegno? A-B-C-D-E F-G-H-I-J K-L-M-N-O P-Q-R-S-T SÌ x x x NO x Ogni gruppo di ragazzi, prendendo le 4 immagini relative a una stessa foto, avrà in mano una delle quattro della prima riga (che corrispondono al gruppo 442), una delle quattro della seconda riga (che corrispondono al gruppo *442), una delle quattro della terza riga (che corrispondono al gruppo 4*2) e una delle quattro 1 Non si tratta di un errore di stampa! Questo DVD è stato realizzato da un associazione portoghese e in portoghese si dice Simetria, con una sola m 23

27 dell ultima riga (che corrispondono al gruppo 22 ) B. Ci sono assi di simmetria, ovvero delle rette tali che la riflessione rispetto a questa retta non muta l aspetto del disegno? (usate eventualmente uno specchio per verificarlo) SÌ NO A-B-C-D-E x F-G-H-I-J x K-L-M-N-O x P-Q-R-S-T x C. Nei disegni per i quali la risposta alla domanda B è sì, in quante diverse direzioni trovate un asse di simmetria? più di 4 F-G-H-I-J x K-L-M-N-O x D. Se le risposte alle domande A e B sono due sì, cosa potete dire della posizione dei centri di rotazione rispetto agli assi di simmetria? È vero che tutti i centri di rotazione sono ubicati su un asse di simmetria? SÌ NO F-G-H-I-J x K-L-M-N-O x Avete anche a disposizione una camera quadrata di specchi e dei disegni che rappresentano un modulo quadrato estratto dai mosaici che state studiando (i moduli sono sei, perché in alcuni casi avete due possibilità per lo stesso disegno). E. È possibile ricostruire il disegno nella camera quadrata di specchi? Ovvero: ciò che si vede nella camera disponendo il modulo all interno è esattamente il mosaico da cui siete partiti? SÌ NO A-B-C-D-E x F-G-H-I-J x K-L-M-N-O x P-Q-R-S-T x In due casi, e precisamente per i gruppi 442 e *442, sono a disposizione due moduli quadrati per ciascun disegno, e questo perché il modulo in qualche senso minimale (che è uno dei due) poteva essere più complesso da riconoscere: potete valutare di lasciare ai ragazzi solo un modulo per ciascun disegno. 24

28 Registrate in questa tabella le vostre risposte a tutte le domande per ciascuno dei quattro disegni: Rotazioni 90 Specchi Direzioni specchi Centri e assi Ricostruzione camera A-B-C-D-E SÌ NO /// /// NO F-G-H-I-J SÌ SÌ 4 SÌ SÌ K-L-M-N-O SÌ SÌ 2 NO SÌ P-Q-R-S-T NO NO /// /// NO Confrontate questa tabella con quella che vi diamo qui sotto e che vi dice come si comportano rispetto a queste domande i quattro tipi di simmetria che stiamo analizzando: Rotazioni 90 Specchi Direzioni specchi Centri e assi Ricostruzione camera 442 SÌ NO /// /// NO *442 SÌ SÌ 4 SÌ SÌ 4*2 SÌ SÌ 2 NO SÌ 22 NO NO /// /// NO Dal confronto fra queste due tabelle potete classificare i quattro disegni: Il disegno A-B-C-D-E è un 442 Il disegno F-G-H-I-J è un *442 Il disegno K-L-M-N-O è un 4*2 Il disegno P-Q-R-S-T è un 22 C è qualche domanda che era inutile, al fine di distinguere i 4 disegni? Se sì, quale/i e perché? I ragazzi potrebbero osservare che sia la terza domanda (sulle diverse direzioni degli assi di simmetria) sia la quarta (sull ubicazione dei centri rispetto agli assi) servono per distinguere fra i due casi *442 e 4*2: le due domande forniscono la stessa informazione e quindi basta una sola delle due (insieme alle prime due domande A e B). Analogamente, le risposte alla domanda E danno le stesse informazioni delle risposte alla B. Potete confrontare la vostra quaterna con le altre quaterne analizzate dai vostri compagni. Se ciascun gruppo ha studiato una quaterna proveniente dalla stessa foto, tutti troveranno gli stessi quattro casi. Potete anche ritrovare questi quattro casi nelle diverse animazioni del DVD Sime- 25

29 tria : nell animazione Dal timbro al disegno, passando il mouse sopra al timbro potete vedere i nomi dei 4 casi che avete esaminato; cliccando, si può far partire un animazione che mostra come un timbro (che riassume tutte le informazioni sul corrispondente tipo di simmetria) stampa il disegno sul piano; nell animazione Dal disegno al timbro, dopo aver scelto un motivo, siete voi che dovete individuare questi 4 casi fra i 17 mosaici che vi vengono proposti (trovate nel DVD oltre ai 17 casi dei mosaici anche i 7 casi dei fregi, quindi 24 figure in questa pagina): se li avete individuati, potete poi per ciascuno di essi esaminare nel dettaglio la struttura di tutte le trasformazioni che lo fissano; nell animazione Generatore di mosaici vedete come sono nati, a partire da una foto, i disegni che avete studiato: trovate quali sono (in alto) i 4 simboli corrispondenti ai 4 casi che avete esaminato? Spetta naturalmente all insegnante valutare come proporre ai ragazzi questo ulteriore approfondimento con lo strumento del DVD che mettiamo a disposizione. Ci limitiamo qui ad aggiungere qualche indicazione. Gli oggetti che si vedono nella prima schermata, quando si clicca sull animazione Dal timbro al disegno, sono i cosiddetti orbifolds, ovvero i quozienti, cioè quello che otteniamo dal piano se immaginiamo di identificare tutti i punti che differiscono per un elemento di un dato gruppo. Ciascuno di questi oggetti corrisponde quindi a un gruppo, che è un sottogruppo di isometrie del piano e che possiamo visualizzare come il gruppo di simmetria di una data figura. Gli oggetti sono 24, perché illustrano i 17 casi dei mosaici e i 7 dei fregi. I 4 che abbiamo studiato qui sono il terzo, il quarto e il quinto della prima riga, e l ultimo della seconda riga. Ogni oggetto funziona come un timbro, ovvero una macchina che riproduce sul piano un disegno con un predeterminato tipo di simmetria. Se si clicca su uno di questi timbri, si può poi scegliere fra 5 diversi disegni con cui inchiostrare il timbro e vedere come questo riproduce sul piano il disegno con quel tipo di simmetria. I primi tre casi sono abbastanza intuitivi e si segue abbastanza facilmente cosa sta succedendo, mentre il quarto (corrispondente a 22 ) è assai più criptico: è quindi molto normale se a prima vista può risultare incomprensibile! 26 Nell altra animazione, Dal disegno al timbro, prima si sceglie il motivo e poi ci si ritrova con 24 possibilità (17 se ci accorgiamo che i fregi sono in basso, separati da una linea); le rotazioni di 90 balzano all occhio, se l occhio è un minimo allenato, e quindi non è probabilmente difficile che i ragazzi individuino i primi tre dei quattro casi che abbiamo studiato nelle posizioni terza, quarta e quinta della prima riga; l altro caso si trova ancora nell ultima posizione della seconda riga (e in ogni caso nella pagina che si apre cliccando è riportato in alto il simbolo di Conway). Il lavoro che i ragazzi potrebbero fare sulle pagine che qui si aprono è molto utile per fissare le idee su quello che hanno appreso in questo laboratorio: si tratta, a partire da un dato mosaico, di individuare le diverse trasformazioni che lo fissano,