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1 Introduzione Nell'ambito degli azionamenti elettrici sta trovando sempre più larga applicazione la classe dei motori sincroni, che permettono la realizzazione di un controllo del movimento molto accurato ed eciente. Questa peculiarità è dovuta alla elevata densità di potenza e all'elevato rapporto tra coppia ed inerzia, unite alla quasi totale assenza di perdite nel rotore, che caratterizzano questo tipo di macchine. Lo svantaggio che si incontra nella costruzione di un sistema di controllo per motore sincrono è la necessità di conoscere con elevata risoluzione la posizione del rotore, cui sono intrinsecamente legate le grandezze elettriche. Vengono perciò normalmente impiegati sensori elettromeccanici di posizione di vario tipo, con prevalente diusione di encoder incrementali ottici. Il controllo sensorless di motori elettrici è ancora un argomento di ricerca, dopo più di due decenni di studio. L'obiettivo consiste nell'eliminazione della necessità di un trasduttore di posizione, grazie all'impiego della macchina stessa come sensore (self-sensing). In termini di prestazioni ci si pregge, per un azionamento con controllo sensorless, l'avvicinamento il più possibile spinto ai risultati di dinamica ed accuratezza di un corrispondente controllo sensored. Le tecniche di stima possono essere suddivise a seconda del range di velocità di applicazione: per le alte velocità possono essere impiegati ecacemente osservatori di usso basati sulla misura della tensione indotta, mentre l'indisponibilità di una tensione di ampiezza signicativa a velocità ridotta o addirittura a rotore fermo non consente la stima di posizione e velocità ncon la necessaria precisone. In queste condizioni possono essere sfruttati solo gli eetti della salienza magnetica spaziale, ossia della distribuzione non uniforme dell'induttanza in funzione della posizione del rotore, caratteristica di alcuni tipi di motore sincrono (sincrono a riluttanza, sincrono a magneti permanenti interni). Questo viene realizzato grazie all'iniezione di segnali addizionali rispetto a quelli normalmente richiesti per il controllo del motore. L'approccio è simile a quanto viene fatto per i classici sensori magnetici di posizione (resolver): un usso noto viene impresso alle fasi di statore, ed interagendo con la distibuzione dell'induttanza risulta in una corrente la cui VII

2 ampiezza è inuenzata dalla posizione del rotore. Il segnale iniettato deve essere tale da non causare signicative oscillazioni del sistema meccanico, e deve essere distinguibile dalle grandezze fondamentali (dedicate alla produzione di coppia). Lo stato dell'arte in questo campo è costituito da due principali metodi di iniezione: uno basato su commutazioni a gradino della tensione in particolari istanti di tempo, l'altro sulla sovraimposizione di segnali sinusoidali. Il secondo tipo di iniezione sembra essere il più promettente, in quanto non pone, a parità di prestazioni, speciche hardware superiori a quelle di un azionamento con sensore. La tesi si propone di analizzare le tecniche di stima della posizione e velocità del rotore per un motore sincrono a magneti permanenti interni (Interior Permanet Magnet, IPM ) tramite iniezione di segnali in alta frequenza, attraverso lo studio, la simulazione e la verica sperimentale. Lo stato dell'arte annovera molti schemi e tecniche per il controllo sensorless ad iniezione di segnale, quindi l'analisi, comprensiva di simulazioni e prove sperimentali, è stata condotta su un numero limitato di stimatori, secondo i seguenti criteri: ˆ alta o media larghezza di banda della stima; ˆ ˆ due sensori di corrente di fase e misura della tensione di alimentazione dell'inverter; maggiore indipendenza possibile rispetto ai parametri del sistema elettromeccanico; ˆ implementazione su controllore digitale. Il contributo che il lavoro svolto propone può così riassunto: ˆ analisi del meccanismo di funzionamento delle tecniche scelte; ˆ ˆ simulazione di un azionamento sensorless per IPM sotto varie condizioni e prove sperimentali di base; introduzione di una nuova tecnica di demodulazione per il segnale di errore della stima e di una procedura di avviamento con individuazione della polarità del rotore. Nel Capitolo 1 si introduce il modello elettro-meccanico del motore trifase IPMSM, sia nel riferimento trifase che in quelli bifase di statore e sincrono. Viene inoltre denita l'approssimazione valida per l'alta frequenza, che verrà impiegata successivamente nella trattazione del meccanismo di stima. VIII

3 Il Capitolo 2 tratta gli schemi classici per il controllo di velocità in un azionamento e le principali strategie di controllo di coppia per motori sincroni, analizzando più dettagliatamente il controllo vettoriale per IPMSM e le sue ottimizzazioni. Nel Capitolo 3 vengono illustrati i più diusi metodi di stima sensorless, entrando nel dettaglio delle tecniche basate sull'iniezione di usso ad alta frequenza, evidenziandone le dierenze di principio ed i relativi eetti. Si introduce una nuova procedura di determinazione della polarità dell'asse diretto di rotore, basata sulla produzione di coppia. Le tecniche di demodulazione del segnale di errore in alta frequenza impiegato per la correzione della stima sono trattate nel Capitolo 4, fornendo un confronto anche in una semplice simulazione numerica. Viene introdotta una tecnica originale, maggiormente robusta, basata sulla trasformata di Fourier discreta (Discrete Fourier Transform, DFT ) e la proiezione delle correnti in un nuovo sistema di coordinate. Il Capitolo 5 contiene le simulazioni del funzionamento dell'azionamento con controllo sensorless in condizioni di transitorio e di regime, applicando combinazioni diverse di tecniche di stima e di elaborazione del segnale e rapportandosi al corrispondente controllo con sensore. Nel Capitolo 6 viene esposta la parte relativa alle prove sperimentali, condotte su un azionamento a controllo digitale con motore IPM per scooter elettrico. Vengono riassunte le caratteristiche dell'hardware utilizzato e del programma di controllo, con risalto alle parti introdotte per la stima di posizione e velocità. Le prove sperimentali, pur confermando l'applicabilità delle tecniche studiate, non hanno dato i risultati attesi, a causa di una componente estranea al modello ideale e presumibilmente legata alla saturazione magnetica, che pregiudica le prestazioni del sistema. IX

4 X

5 Elenco delle gure 1.1 Sezione di un IPMSM reale a due coppie polari. In evidenza le linee di usso principali (assi magnetici) Circuito equivalente per un motore trifase visto dalle fasi di statore Fasi equivalenti nel riferimento di statore Fasi equivalenti nel riferimento di rotore Controllo di velocità classico Controllo di corrente generico nella forma più semplice Schema generico di controllo vettoriale con sensore di posizione Controllo vettoriale sensorless Regione di funzionamento in controllo ottimo con indebolimento di campo Principio di funzionamento delle stime fondate su fenomeni di salienza magnetica Osservatore meccanico completo (con feed-forward della coppia comandata o stimata e regolatore con componente derivativa) Osservatore meccanico semplicato (solo correzione con l'errore) Pattern PWM per la transient excitation e relative correnti di fase, con evidenza dell'eetto dei tempi morti Schema dell'anello di retroazione per la stima con iniezione di usso rotante Schema di stima per iniezione di vettore rotante Schema dell'anello di retroazione per la stima con iniezione di usso pulsante in direzione ˆd Schema di stima classico (demodulazione heterodyning) per iniezione di vettore pulsante Schema proposto per il riconoscimento della polarità tramite generazione di coppia XI

6 4.1 Esempio dei segnali coinvolti nella demodulazione tramite DFT Schema dello stimatore con demodulazione DFT Circuito di ricostruzione della demodulante (PLL) con bloccaggio della fase in seguito all'aggancio Schema in anello chiuso per il confronto dei demodulatori Demodulatore heterodyning Segnale di errore teorico e ricostruito con la demodulazione heterodyning Demodulatore ad onda quadra Segnale di errore teorico e ricostruito con la demodulazione ad onda quadra Demodulatore a divisione Segnale di errore teorico e ricostruito con la demodulazione a divisione Demodulatore DFT Segnale di errore teorico e ricostruito con la demodulazione DFT Ricostruzione della demodulante Modello dell'azionamento in ambiente Simulink Modello di inverter e motore in grandezze per unità Modello del generatore dei riferimenti di corrente con traiettoria MTPA Schema per la generazione delle tensioni in alta frequenza Simulazione dello stimatore Schema per la gestione dell'individuazione della polarità Forme d'onda del segnale di errore con stima bloccata (vettore pulsante con demodulazione heterodyne) nel transitorio di velocità (0.25 [p.u.]), per due valori di banda del controllo di corrente Forme d'onda del segnale di errore con stima bloccata (vettore pulsante con demodulazione ad onda quadra) nel transitorio di velocità (0.25 [p.u.]), per due valori di banda del controllo di corrente Forme d'onda del segnale di errore con stima bloccata (vettore pulsante con demodulazione DFT) nel transitorio di velocità (0.25 [p.u.]), per due valori di banda del controllo di corrente Forme d'onda del segnale di errore con stima bloccata (vettore rotante) nel transitorio di velocità (0.25 [p.u.]), per due valori di banda del controllo di corrente XII

7 5.11 Risposta del sistema con sensore ad un riferimento di velocità a gradino Risposta del sistema sensorless (vettore pulsante con demodulazione heterodyne) ad un riferimento di velocità a gradino Risposta del sistema sensorless (vettore pulsante con demodulazione ad onda quadra) ad un riferimento di velocità a gradino Risposta del sistema sensorless (vettore pulsante con demodulazione DFT) ad un riferimento di velocità a gradino Risposta del sistema sensorless (vettore rotante) ad un riferimento di velocità a gradino Risposta del sistema con sensore ad un riferimento di inversione di velocità (da 0.1 [p.u.] a -0.1 [p.u.]) Risposta del sistema sensorless (vettore pulsante con demodulazione DFT) ad un riferimento di inversione di velocità (da 0.1 [p.u.] a -0.1 [p.u.]) Risposta del sistema sensorless (vettore pulsante con demodulazione ad onda quadra) ad un riferimento di inversione di velocità (da 0.1 [p.u.] a -0.1 [p.u.]) Risposta del sistema sensorless (vettore pulsante con demodulazione DFT) ad un riferimento di inversione di velocità (da 0.1 [p.u.] a -0.1 [p.u.]) Risposta del sistema sensorless (vettore rotante) ad un riferimento di inversione di velocità (da 0.1 [p.u.] a -0.1 [p.u.]) Inizializzazione ed avvio del sistema sensorless (vettore pulsante con demodulazione DFT) con determinazione della polarità Risposta del sistema sensorless (vettore pulsante con demodulazione heterodyne) ad un riferimento di velocità a gradino, in condizioni di stima degradate Risposta del sistema sensorless (vettore pulsante con demodulazione DFT) ad un riferimento di velocità a gradino, in condizioni di stima degradate Risposta del sistema sensorless (vettore pulsante con demodulazione heterodyne) ad un riferimento di velocità a gradino, in condizioni di stima degradate Risposta del sistema con sensore a variazioni a gradino della coppia di carico (0.5 [p.u.]) Risposta del sistema sensorless (vettore pulsante con demodulazione heterodyne) a variazioni a gradino della coppia di carico (0.5 [p.u.]) XIII

8 5.27 Risposta del sistema sensorless (vettore pulsante con demodulazione ad onda quadra) a variazioni a gradino della coppia di carico (0.5 [p.u.]) Risposta del sistema sensorless (vettore pulsante con demodulazione DFT) a variazioni a gradino della coppia di carico (0.5 [p.u.]) Risposta del sistema sensorless (vettore pulsante con demodulazione heterodyne) a variazioni a gradino della coppia di carico (0.5 [p.u.]) Schema funzionale della scheda di controllo e del setup di sviluppo e misura dell'azionamento Schema di controllo implementato, con evidenza delle funzionalità realizzate dal DSP tramite programmazione Diagramma di temporizzazione del campionamento e dell'aggiornamento del controllo per la PWM simmetrica (segnali su una fase) Diagramma di usso del programma eseguito dal DSP per il controllo dell'azionamento Segnali relativi alla prova con stima in parallelo al controllo con sensore (demodulazione DFT), a velocità costante pari a 0.1 [p.u.], a vuoto. (Ch1: posizione misurata, Ch2: segnale di errore) Segnali relativi alla prova con stima in parallelo al controllo con sensore (demodulazione heterodyne), a velocità costante pari a 0.1 [p.u.], a vuoto. (Ch1: posizione misurata, Ch2: segnale di errore) Segnali relativi alla prova con stima in parallelo al controllo con sensore, con riferimento di velocità a gradino pari a 0.1 [p.u.], a vuoto. (Ch1: errore di stima della posizione, Ch2: velocità stimata, Ch3: velocità misurata) Segnali relativi alla prova in controllo sensorless, con riferimento di velocità a gradino pari a 0.05 [p.u.], a vuoto.(ch1: errore di stima della posizione, Ch2: velocità stimata, Ch3: velocità misurata) Segnali relativi alla prova con stima in parallelo al controllo con sensore, velocità pari a 0.05 [p.u.], a vuoto. (Ch1: posizione misurata, Ch2: segnale di errore, Ch3: riferimento di corrente) XIV

9 6.10 Segnali relativi alla prova con errore di stima forzato a zero, a vuoto, velocità pari a [0.1 p.u.]. (Ch1: posizione misurata, Ch2: segnale di errore, Ch3: riferimento di corrente) Segnali relativi alla prova con errore di stima forzato a zero, con lieve carico, velocità pari a [0.1 p.u.]. (Ch1: posizione misurata, Ch2: segnale di errore, Ch3: riferimento di corrente) Segnali relativi alla prova con errore di stima forzato a zero, con lieve carico, velocità pari a [0.1 p.u.]. (Ch1: posizione misurata, Ch2: segnale di errore, Ch3: riferimento di corrente). 110 XV

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11 Nomenclatura Simboli ed abbreviazioni v x Tensione di statore. V n Tensione nominale. V base Tensione base. V DC Tensione di alimentazione dell'inverter. t 0min Tempo minimo di applicazione del vettore nullo. i x Corrente di statore. I n Corrente nominale. I base Corrente base. r s Resistenza di statore. Z n Impedenza nominale. λ x Flusso concatenato di statore. Λ P M Modulo del usso del magnete permanente. λ P M Flusso del magnete permanente concatenato dalle fasi di statore. Λ base Flusso base. L s0 Induttanza di fase media. L sσ Induttanza di fase di dispersione. L g Induttanza di fase di anisotropia. L x Induttanza di statore. ΣL Induttanza media (L + L d )/2. L Induttanza dierenziale (L q L d )/2. τ RL Costante di tempo del primo ordine della serie R-L. s Operatore di derivazione nel tempo d/dt. p Numero di coppie polari del motore. θ r Posizione elettrica del rotore. θ m Posizione meccanica del rotore(θ m = p θ r ). Θ base Angolo base. ω r Velocità angolare elettrica del rotore. ω m Velocità angolare meccanica del rotore (ω m = p ω r ). Ω base Velocità angolare base. XVII

12 f n Frequenza nominale. T e Coppia elettromagnetica generata dal motore. T L Coppia di carico. T base Coppia base. J Momento di inerzia del sistema meccanico. ω i Pulsazione del segnale iniettato. V i Ampiezza nominale della tensione iniettata. I i1, I i0 Ampiezze delle correnti risultanti dall'iniezione. DF T ωi Componente a pulsazione ω i della Trasformata di Fourier discreta (DFT ). LP F, BP F Filtri passa-basso, passa-banda. α, β Coordinate di statore. d, q Coordinate sincrone di rotore. d, q Coordinate sincrone traslate di π/4. T abc αβ,t αβ abc Trasformazioni diretta ed inversa di Clarke. T αβ dq,t dq αβ Trasformazione diretta ed inversa di Park. Apici e pedici ˆ αβ, α, β dq, d, q i Grandezze stimate. Grandezze comandate (riferimenti). Grandezze in rappresentazione vettoriale. Grandezze nelle coordinate di statore. Grandezze nelle coordinate di rotore. Grandezze derivanti dall'iniezione di segnali in alta frequenza. XVIII

13 Capitolo 1 Modello del motore Una buona parte delle applicazioni nelle quali sia richiesta movimentazione di meccanismi viene attuata tramite dispositivi elettromeccanici. In particolare, la quasi totalità delle macchine elettriche di dimensioni non microscopiche impiega l'eetto elettromagnetico come principio di conversione, in quanto la densità di potenza ottenibile con macchine elettromagnetiche è superiore agli analoghi elettrostatici. Data dunque la vastità di impiego del motore elettrico, rivestono notevole interesse le tecniche che ne permettono il controllo, ossia consentono di ottenere da esso l'inseguimento di determinate speciche di movimento. Il presente capitolo sarà centrato sulla classe di motori cosiddetti sincroni, che trovano impiego prevalente nelle applicazioni in cui sia richiesta alta ecienza o accuratezza nel controllo. Infatti, questo tipo di motori presenta potenzialmente il miglior rendimento e il più alto rapporto tra coppia prodotta ed inerzia, unendo a questo caratteristiche molto favorevoli come l'assenza di contatti striscianti e la precisione nel controllo di coppia. Lo svantaggio che ne limita la diusione è da ricercare principalmente nella maggiore complessità degli schemi di controllo che è necessario adottare, se messi a confronto con quelli di altre classi di motori come i quelli in corrente continua o asincroni. Riguardo quest'ultimo aspetto, un'importante dierenza risiede nella necessità, per il controllo di motori sincroni, di conoscere con precisione la posizione del rotore, anche nel caso di realizzazione di un controllo di velocità. 1.1 Il motore elettrico trifase In questa breve introduzione al modello di una macchina elettrica si farà riferimento genericamente ad un dispositivo che grazie a fenomeni elettromagnetici realizza la conversione elettro-meccanica di potenza, e che naturalmente 1

14 2 CAPITOLO 1. MODELLO DEL MOTORE può funzionare in entrambi i sensi di conversione (dal sistema elettrico a quello meccanico e viceversa). Nella condizione nella quale l'energia elettrica esterna viene impiegata per generare energia meccanica si parla di funzionamento come motore, viceversa si parlerà di generatore. Nei casi come quello che è stato trattato nel corso della tesi, in cui la macchina sia impiegata prevalentemente per la generazione di movimento, questa viene classicata come motore, nonostante il trasferimento di potenza possa in alcuni momenti (ad es. in decelerazione) avvenire dal sistema meccanico a quello elettrico. Si considereranno qui solamente motori rotativi, costituiti cioé da due parti coassiali unite tramite un giunto rotoidale, mentre esistono altre tipologie (ad es. lineari) le cui parti sono diversamente accoppiate. La parte vincolata all'ambiente scelto come riferimento, generalmente esterna, viene detta statore, mentre l'altra, soggetta alla coppia generata e collegata al meccanismo da movimentare (carico), è denominata rotore. Le due parti sono generalmente costituite in prevalenza da materiale ferromagnetico. All'interno dello statore sono ricavati degli spazi (cave) atti ad ospitare degli avvolgimenti, detti fasi di statore. Si farà riferimento a motori trifase, ossia aventi avvolgimenti in numero multiplo di tre secondo il numero di coppie polari, con campo prevalentemente radiale. Le spire di conduttori sono collegate in parallelo ed accessibili all'esterno per mezzo di tre contatti elettrici ad esse riferiti, oltre eventualmente al neutro (collegamento al nodo centrale tra le fasi). Il collegamento verso l'esterno di circuiti posti sul rotore (si parla in questo caso di rotore avvolto) è critico a causa del relativo spostamento, che obbliga ad impiegare contatti striscianti (tramite spazzole, brush) fonte di grossi inconvenienti. Per questo si sono aermate delle tipologie di motori con rotore elettricamente isolato rispetto agli avvolgimenti (brushless), che presentano però in generale maggiore complessità di controllo rispetto a quelli con rotore avvolto. Nell'accezione comune, con il termine brushless si intende designare in ambito industriale una classe di motori sincroni, mentre i motori asincroni (pur essendo anch'essi senza spazzole) sono detti ad induzione (induction). 1.2 Modello del PMSM Nel prosieguo della trattazione il modello cui ci si riferirà, a meno di eccezioni espressamente indicate, sarà quello del motore sincrono cosiddetto brushless sinusoidale, le cui principali tipologie sono a magneti permanenti (Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM ) e a riluttanza (Synchronous Reluctance Motor ). In particolare, le simulazioni e le prove sperimentali sono condotte su un motore a magneti permanenti interni (Interior-PMSM o più concisamente IPM ), il cui modello è il più generale e può essere usa-

15 1.2. MODELLO DEL PMSM 3 to, con i corretti parametri, per motori sia a magneti annegati nel rotore che superciali (Surface-PMSM ), purchè sinusoidali. L'aggettivo sinusoidale è qui inteso a descrivere la distribuzione delle grandezze magnetiche viste circuitalmente da una fase al variare dell'angolo di rotore. Il motore IPM è costituito da uno statore su cui sono disposti gli avvolgimenti delle fasi, e da un rotore in materiale ferromagnetico, all'interno del quale sono disposti dei magneti permanenti. Il rotore risulta essere magneticamente anisotropo, in quanto la riluttanza è dovuta sia alla sezione non uniforme del rotore, sia alla presenza dei magneti, la cui permeabilità è paragonabile a quella del vuoto, per piccole variazioni del usso. In Fig. 1.1 è presentata la tipica sezione di un IPMSM a due coppie polari. Sono ben visibili le cave di statore, così come la struttura non omogenea del rotore. Le cavità in cui sono alloggiati i magneti si estendono anche oltre, costituendo le cosiddette barriere di usso che enfatizzano l'anisotropia magnetica. Figura 1.1: Sezione di un IPMSM reale a due coppie polari. In evidenza le linee di usso principali (assi magnetici). Per poter trattare estesamente gli aspetti riguardanti il controllo sensorless, è necessaria la comprensione delle equazioni che costituiscono la base del modello del sistema elettro-meccanico. Si tratteranno solamente motori a usso radiale, la cui diusione è nettamente più larga rispetto a soluzioni con distribuzione del campo assiale. Numerose semplicazioni, comunemente accettate, sono state usate nel ricavare il modello, anche se alcune di esse saranno poi riviste in altri capitoli per spiegare particolari aspetti:

16 4 CAPITOLO 1. MODELLO DEL MOTORE ˆ la saturazione magnetica non viene considerata; ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ il magnete permanente viene assunto come avente usso totale di ampiezza costante, con curva di demagnetizzazione lineare; il usso dei magneti, la densità degli avvolgimenti e la risultante induttanza delle fasi di statore sono considerate sinusoidalmente distribuite al variare dell'angolo. Gli avvolgimenti distribuiti sono però modellati da corrispondenti fasi concentrate; le tre fasi di statore sono identiche, disposte simmetricamente e connesse a stella (Y), pertanto i terminali accessibili corrispondono ciascuno ad uno dei tre avvolgimenti e non è presente alcuna corrente omopolare (assenza di neutro). le lunghezze d'onda e gli spessori di penetrazione del campo elettromagnetico sono considerati molto più grandi delle dimensioni siche del motore (non viene considerato l'eetto pelle), così che resistenza ed induttanza sono costanti al variare della frequenza; le perdite nel ferro (per isteresi e correnti parassite) sono trascurate, pertanto lo sono anche le correnti indotte nel rotore; le costanti di tempo meccaniche sono molto più grandi di quelle elettriche; tutti i parametri vengono considerati in condizioni di temperatura costante.

17 1.2. MODELLO DEL PMSM Modello elettrico trifase Figura 1.2: Circuito equivalente per un motore trifase visto dalle fasi di statore. Si consideri un motore IPM, per il quale valgano le ipotesi in 1.2, e se ne consideri l'equivalente elettrico visto dai terminali delle fasi di statore, per valori ssati dell'angolo relativo tra rotore e statore θ r e della velocità angolare ω r. E' importante notare che le grandezze angolari qui considerate (θ r, ω r ), dette elettriche, sono legate alla periodicità con cui la posizione angolare ha eetto elettromagnetico sulle fasi di statore, mentre le reali variabili meccaniche che descrivono il movimento sono θ m = p θ r e ω m = p ω r. La direzione ch eindividua la posizione del rotore viene scelto in base alle proprietà magnetiche presentate dal rotore, e precisamente, per un PMSM, coincide con l'asse del magnete permanente, mentre per lo statore il riferimento coincide con l'asse magnetico della fase a. Ciò è vero a rigore solo per una singola coppia polare, ma l'estensione a più coppie è immediata in quanto si ha solamente periodicità nella denizione dell'angolo, ossia diventa indierente, per il modello elettrico, che il rotore si trovi in θ r o in θ r + 2π p. Ciascuno degli avvolgimenti sopra descritti può essere schematizzato tramite un circuito elettrico equivalente (1.2) costituito dalla serie di una resistenza, un'autoinduttanza ed un generatore di tensione indotta (forza controelettromotrice o Back-ElectroMotive Force, B-EMF e accoppiamento con le altre fasi). Le auto-induttanze sono la composizione dell'induttanza media L s0, dell'induttanza di dispersione L sσ e di un termine variabile con l'angolo di rotore, il cui valore massimo è L g, che assume valore negativo secondo la

18 6 CAPITOLO 1. MODELLO DEL MOTORE convenzione qui adottata per lo zero di θ r. L aa = L sσ + L s0 + L g cos (2θ r ) (1.1) ( L bb = L sσ + L s0 + L g cos 2θ r + 2π ) (1.2) 3 ( L bb = L sσ + L s0 + L g cos 2θ r + 4π ) (1.3) 3 I generatori di tensione indotta comprende i termini relativi alle induttanze mutue ed un addendo relativo alla variazione del usso del magnete permanente concatenato da ciascuna fase a seguito di variazioni della posizione. Gli accoppiamenti induttivi mutui possono essere espressi come L ab (2θ r ) = L ba (2θ r ) = 1 ( 2 L s0 + L g cos 2θ r 2π ) (1.4) 3 L bc (2θ r ) = L cb (2θ r ) = 1 2 L s0 + L g cos (2θ r ) (1.5) L ca (2θ r ) = L ac (2θ r ) = 1 ( 2 L s0 + L g cos 2θ r 4π ) (1.6) 3 Considerando quindi un vettore per le tensioni di fase v abc = [v a, v b, v c ] T (con riferimento al potenziale del centro stella O del circuito) e per le correnti i abc = [i a, i b, i c ] T, si possono esprimere le equazioni dei tre rami in forma compatta come v abc = r s i abc + sλ abc (1.7) dove si è denito λ abc = [λ a, λ b, λ c ] T = L abc i abc + λ P Mabc per i ussi totali concatenati da ciascun avvolgimento. La matrice delle induttanze L abc ha la forma L aa (2θ r ) L ab (2θ r ) L ac (2θ r ) L abc (2θ r ) = L ba (2θ r ) L bb (2θ r ) L bc (2θ r ) (1.8) L ca (2θ r ) L cb (2θ r ) L cc (2θ r ) mentre il vettore dei ussi concatenati dovuti al magnete permanente sono cos (θ r ) λ P Mabc = Λ P M cos ( ) θ r + 2π 3 cos ( ) (1.9) θ r + 4π 3 perciò, volendo distinguere le tensioni auto-indotte da quelle dovute alle induttanze mutue si avrà e abc = s ( M abc (θ r ) + λ P Mabc ) (1.10)

19 1.2. MODELLO DEL PMSM 7 con M abc (2θ r ) = 0 L ab (2θ r ) L ac (2θ r ) L ba (2θ r ) 0 L bc (2θ r ) L ca (2θ r ) L cb (2θ r ) 0 (1.11) e abc = [e a, e b, e c ] T (1.12) così che le tensioni di fase rispecchieranno il circuito equivalente di Fig Osservando il modello esposto sopra in 1.7 si può notare che le tre equazioni non sono linearmente indipendenti, in quanto le tensioni e le correnti di fase ripettano dei vincoli ulteriori imposti dalle leggi di Kirchho: i x = 0 (1.13) x=a,b,c x=a,b,c v x = 0 (1.14) E' quindi possibile ridurre a due dimensioni la formulazione del modello elettrico, come risulta conveniente sia per la modellazione che per il controllo. Si utilizzano solitamente due sistemi di assi ortogonali, l'uno solidale con lo statore, l'altro con il rotore Coordinate bifase di statore Si introduca un sistema di riferimento solidale con lo statore, di coordinate ortogonali αβ, ed avente l'ascissa α coincidente con la fase a. Si consideri quindi la trasformazione di Clarke (T abc αβ ), le cui coordinate sono illustrate in Fig Il modello diventa così o in forma vettoriale [ vα v β ] = r s [ iα i β v αβ = r s i αβ + ] + [ s 0 0 s [ s 0 0 s ] [ λα λ β ] (1.15) ] λ αβ (1.16) dove i ussi concatenati dalle due fasi ttizie disposte ortogonalmente sono [ ] [ ] [ ] [ ] λα L + L cos (2θr ) L sin (2θ = r ) iα cos (θr ) + Λ λ β L sin (2θ r ) L L cos (2θ r ) i P M β sin (θ r ) (1.17) λ αβ = L αβ i αβ + λ P Mαβ (1.18) avendo denito la componente di anisotropia dell'induttanza L = 3 2 L g e la componente media ΣL = 3 2 L s0 + L sσ.

20 8 CAPITOLO 1. MODELLO DEL MOTORE Figura 1.3: Fasi equivalenti nel riferimento di statore Coordinate bifase di rotore (riferimento sicrono) Un diverso approccio, che come si vedrà risulta molto vantaggioso per il controllo, è quello che prevede lo spostamento del sistema di riferimento in una direzione identicata dall'angolo di rotore (trasformazione di Park), come in Fig Come noto, il modello elettrico di una macchina sincrona trifase viene spesso costruito proiettando le grandezze trifase su due assi, che sono usualmente solidali con lo statore (assi αβ) o con il rotore (assi dq). Generalmente, il controllo viene realizzato nel riferimento di rotore. Le equazioni che descrivono un motore sincrono a magneti permanenti con salienza di rotore (come i motori con disposizione interna dei magneti) sono [ vd v q ] = r s [ id i q ] [ + oppure, in forma vettoriale [ v dq = r s i dq + s ω r s ω r Il usso assume la forma [ ] [ ] [ ] λd Ld 0 id = + λ q 0 L q i q ω r s ω r s ] [ λd λ q ] (1.19) ] λ dq (1.20) [ Λpm 0 ] (1.21) λ dq = L dq i dq + λ P Mdq (1.22)

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