LE SUPERFICI DI RIFERIMENTO

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1 Capitolo 1 LE SUPERFICI DI RIFERIMENTO 1.1 LA TOPOGRAFIA Il termine Topografia, dal greco Topographìa, significa descrizione dei luoghi, rappresentazione grafica, cioè, di una porzione di territorio. Sin dall antichità si sentì l esigenza di misurare campi, tracciare strade, canali o altro per scopi prevalentemente agricoli. Infatti, nell antico Egitto, ogni anno si presentava la necessità di ripristinare i confini delle proprietà cancellati dalle inondazioni del Nilo. Queste operazioni avvenivano in pochissimo tempo ed erano fatte mediante l impiego di strumenti molto semplici: aste graduate in legno e squadri muniti di filo a piombo. Inoltre, in Mesopotamia, si presentava la necessità di realizzare e tenere in efficienza canali di irrigazione e di bonifica. La Topografia conserva, sino ad oggi, l esigenza pratica di risolvere problemi tecnico-economici legati alla conoscenza del territorio. Essa pertanto risulta essere un complesso di tecniche che si avvalgono dei risultati di diverse scienze come la Geometria, l Algebra, l Ottica, la Meccanica, la Statistica, la Geofisica. La Topografia, quindi, studia i mezzi, gli strumenti e le metodologie che sono necessari per avere una rappresentazione numerica o grafica più o meno particolareggiata di una parte della superficie terrestre. Tale rappresentazione si esegue su carta in una apposita scala e deve essere ricca di particolari in funzione delle finalità della descrizione del territorio. Inoltre, essendo il territorio costituito da un insieme di infiniti punti nello spazio, la descrizione avverrà soltanto per un "sottoinsieme" discreto di punti detti caratteristici che stanno a definire in modo significativo, ma approssimato, la superficie di partenza (il territorio) in funzione degli scopi della descrizione e quindi della scala di rappresentazione. La rappresentazione grafica si esegue per comodità su un piano, mentre il territorio da rappresentare é tridimensionale.

2 2 TEORIA DEL RILIEVO TOPOGRAFICO La definizione (e quindi la descrizione) dei punti caratteristici può avvenire in diversi modi, come ad esempio mediante l ausilio di un sistema cartesiano spaziale con origine nel centro di massa della Terra. Questo metodo risulta essere poco efficace dal punto di vista grafico e complesso per i valori delle coordinate che possono essere positivi e negativi. Questo sistema viene usato per la risoluzione di alcuni problemi geodetici, problemi legati alla scienza che studia la forma della Terra e le sue dimensioni. La definizione dei punti del territorio può essere fatta utilizzando un metodo di rappresentazione più efficace dal punto di vista grafico e che tiene in debito conto tutti gli studi e le tecniche di rappresentazione utilizzate in passato, cui applicare i risultati degli studi più avanzati: geometria differenziale, misure fatte coi satelliti, ecc... Una più comoda descrizione può essere fatta pensando di proiettare i punti caratteristici del territorio su una ben definita superficie di riferimento, comoda e possibilmente di facile espressione analitica, su cui definire facilmente la posizione dei punti proiettati e poi le misure delle proiettanti dei punti (distanza punto-terreno dalla superficie di riferimento: quota). Nasce pertanto l'esigenza di definire una tale superficie di riferimento. 1.2 IL GEOIDE La superficie fisica della Terra ha una forma geometrica irregolare, non matematicamente semplice o definibile; il massimo dislivello tra fosse o- ceaniche e rilievi montuosi è all'incirca solo il 3 del raggio medio terrestre, a scala umana esso appare imponente. Da tutto ciò nasce l'esigenza di definire per la Terra una superficie teorica di riferimento, sulla quale individuare la posizione spaziale di punti appartenenti o meno alla superficie terrestre, per poterli eventualmente rappresentare graficamente su una carta, cioè su una superficie piana. Tale superficie di riferimento deve: - seguire mediamente l'andamento generale della orografia sfiorando il livello del mare e passando sotto le montagne; - avere forma e caratteristiche univocamente determinate facendo riferimento a grandezze fisiche sperimentalmente evidenti.

3 Capitolo 1: SUPERFICI DI RIFERIMENTO 3 Poiché tutte le particelle terrestri sono sollecitate dalla forza di gravitazione universale e dalla forza centrifuga generata dal moto di rotazione, la forma della Terra viene attualmente dedotta dalla legge di gravità. La forza di gravità genera in un punto generico un potenziale W(x, y, z), funzione delle sue coordinate, riferite ad un sistema di assi cartesiani con origine al centro della terra. Il potenziale della gravità in un punto si definisce come il lavoro necessario per trasportare all'infinito ed in direzione opposta a quella della gravità l'unità di massa applicata a quel punto. L'insieme dei punti in cui questo potenziale è costante W(x, y, z) = cost appartiene ad una superficie, detta superficie equipotenziale o superficie di livello. Una caratteristica fondamentale delle superfici equipotenziali definite è che la normale in un punto alla superficie equipotenziale coincide con la direzione della gravità nel punto (direzione della verticale). Ciò discende dalla definizione di superficie equipotenziale in quanto, dalla definizione, il lavoro compiuto dalla forza di gravità in uno spostamento lungo una superficie equipotenziale è nullo, quindi la forza di gravità, come direzione, deve essere normale alla superficie equipotenziale. La forza di gravità che agisce su ogni elemento materiale sulla litosfera è determinata principalmente dalla forza di gravitazione universale (o attrazione newtoniana) e dalla forza centrifuga, originata dalla rotazione della Terra intorno al proprio asse polare (fig. 1.1). Possono ritenersi trascurabili, in prima approssimazione, le altre forze newtoniane determinate dal Sole, dalla Luna e dagli altri corpi celesti in quanto piccole e variabili nel tempo ed anche un'altra forza centrifuga determinata dal moto di rivoluzione della Terra intorno al Sole. L attrazione newtoniana che un elemento infinitesimo dm della terra e- sercita su un elemento di massa unitaria a distanza d è data da: df = G dm d 2 (1) ove G è la costante di gravitazione universale (6, Nm 2 /kg 2 ). La forza centrifuga per lo stesso elemento di massa unitaria è data da: f = ω 2 r dove ω è la velocità angolare della Terra ed r la distanza del punto considerato dall'asse di rotazione terrestre.

4 4 TEORIA DEL RILIEVO TOPOGRAFICO La forza di gravità sarà allora data dalla risultante di tutte le forze di attrazione newtoniana esercitata dall'intera massa della Terra più la forza centrifuga (fig. 1.1). In termini vettoriali: g = G df V Un risultato immediato rilevabile dalla formula precedente è che la forza di gravità varia dai poli all'equatore in conseguenza della variazione della forza centrifuga (massima all'equatore, nulla ai poli, r = 0). ω + f r P f F g Fig. 1.1 Ciò determina che le superfici equipotenziali non coincidono con le superfici aventi gravità costante e non sono tra loro parallele. Si dimostra facilmente che, per definizione, il lavoro fatto tra due superfici equipotenziali per spostare l'unità di massa deve essere costante e pari ad h. g (h è la distanza tra le due superfici equipotenziali misurata nella direzione della gravità), essendo g variabile, varierà anche h per mantenere costante il lavoro. Tra le varie superfici equipotenziali se ne può definire una che passa per un punto stabilito della superficie media del mare. Tale superficie prende il nome di geoide o di superficie matematica di riferimento della Terra. Il geoide può essere definito come quella superficie che, partendo da un punto del livello medio del mare, si mantiene costantemente normale in ogni suo punto alla direzione della verticale. Il geoide coinciderebbe con la superficie del mare soltanto nell'ipotesi di globo terrestre coperto interamente di liquido perfetto (cioè non viscoso, omogeneo ed isotropo) in stato di quiete, infatti in tal caso il pelo libero (la superficie libera) del liquido si disporrebbe secondo una superficie equipotenziale di gravità come precedentemente definita. Il geoide ha forma molto complessa e negli ultimi anni si è riusciti a determinarla nelle sue linee generali mediante lo studio della traiettoria

5 Capitolo 1: SUPERFICI DI RIFERIMENTO 5 dei satelliti artificiali. É stato confermato, come già risultava dagli sviluppi matematici (basati sulla gravità e suo potenziale), che il geoide è una superficie molto complessa, irregolare, pertanto non si presta bene come superficie di riferimento su cui proiettare verticalmente (normalmente) i punti della superficie terrestre per le seguenti difficoltà: - eseguire calcoli e relazioni geometriche tra punti sul geoide; - stabilire equazioni di corrispondenza tra i punti del geoide e punti corrispondenti rappresentati sulla carta. 1.3 LO SFEROIDE La Geodesia, scienza applicata che studia le dimensioni della Terra, prende come superficie di riferimento il geoide. Mediante osservazioni ha dimostrato che, a meno di scostamenti inferiori a ± 50 m, il geoide può essere approssimato a un ellissoide di rotazione (con particolari valori di asse polare ed equatoriale) ai fini della proiezione verticale dei punti della superficie terrestre su di esso, senza introdurre sensibili errori. Ciò non è più vero per le distanze dei punti della superficie terrestre dalla superficie teorica di riferimento (quote), che deve continuare ad essere il geoide. Per l'ellissoide di rotazione, in generale la normale alla superficie non coincide con la verticale. Una conferma di quanto detto ed una espressione analitica dello geoide come superficie di riferimento, si può avere dalla legge di gravitazione u- niversale e dalla definizione di potenziale. Il potenziale della forza newtoniana tra un punto materiale di massa u- nitaria P di coordinate x, y, z ed un elemento infinitesimo di massa dm e coordinate a, b, c è dato da (fig. 2.1): Z P(x,y,z) OP = σ O ϕ λ X Y dm (a, b, c) Fig. 2.1

6 6 TEORIA DEL RILIEVO TOPOGRAFICO tenendo conto della (1) si ha: dv = G dv = d r F r d dm (2) ( x a) 2 + ( y b) 2 + ( z c) 2 Il potenziale della forza centrifuga 1/, dovuto al punto P di massa unitaria, è: θ( x, y, z) = 1 ( 2 x2 + y ) 2 ω 2 = 1 2 ω2 r 2 Il potenziale generale di tutte le forze elementari newtoniane sarà evidentemente l'integrale di volume della formula (2). Si può allora scrivere: ( ) = dv W x, y, z v + θ( x,y,z) = V( x,y,z) + θ( x,y,z) 2/ La determinazione dell'integrale che consente il calcolo di V(x, y, z) non è possibile in via analitica, ma si dimostra che è sviluppabile sotto forma di una serie convergente. Arrestando lo sviluppo di tale serie ai termini del secondo ordine, in quanto quelli di ordine superiore tendono rapidamente a zero, ipotizzando che la forma della Terra sia un solido di rivoluzione, conoscendo i momenti di inerzia della Terra J z e J x = J y ed operando opportunamente si può arrivare ad una prima approssimazione dal punto di vista matematico della superficie equipotenziale fondamentale: ( ) (3) σ = a 1 ssen 2 ϕ ove a è il semiasse equatoriale ed s lo schiacciamento polare, definito come: ove c è il semiasse polare. s = a c a 1/ La relazione fondamentale fra forza f e potenziale F della forza è espressa in termini differenziali da: f x = Φ x, f y = Φ y, f z = Φ z f prende il nome di gradiente di F. 2 / Il potenziale W é espresso dal seguente prodotto scalare: dw = g r dp r

7 Capitolo 1: SUPERFICI DI RIFERIMENTO 7 L'equazione (3) è detta equazione dello sferoide terrestre ed è una prima approssimazione analitica del geoide e della superficie di riferimento terrestre. L'equazione dello sferoide, semplice in coordinate polari, non lo è più in coordinate cartesiane. Questa ragione ha portato a definire come superficie di riferimento della Terra, una superficie geometrica che è molto simile alla precedente, ma di espressione molto più semplice in coordinate cartesiane. Questa superficie è l'ellissoide internazionale o ellissoide terrestre che ha equazione: x 2 + y 2 a 2 + z2 = 1. (4) 2 c 1.4 L ELLISSOIDE TERRESTRE L'introduzione dell'ellissoide internazionale come superficie di riferimento consente di effettuare i calcoli sull'ellissoide (ove è possibile operare matematicamente) utilizzando le misure eseguite direttamente sul geoide. In altre parole, approssimare la superficie terrestre con una superficie ellissoidica porta ad affrontare e risolvere due ordini di problemi: a) gli strumenti di misura effettivamente realizzabili in pratica sono i- donei a misurare grandezze su superfici ellissoidiche e con quali approssimazioni? b) l'elaborazione ed il calcolo delle misure precedenti deve necessariamente avvenire facendo riferimento ad una geometria e trigonometria ellissoidica? Con quali limitazioni è applicabile una trigonometria sferica od addirittura una trigonometria piana estremamente più semplice delle precedenti? Particolare importanza nella geometria ellissoidica riveste la definizione delle geodetiche. La geodetica è quella curva che dati due punti P o e P 1 sulla superficie ellissoidica o qualsiasi li congiunge con il valore minimo della lunghezza dell'arco; inoltre in ogni suo punto la normale principale coincide con la normale alla superficie, cui la geodetica appartiene. Le geodetiche di un ellissoide sono curve non giacenti su un piano, tranne i meridiani e l'equatore.

8 8 TEORIA DEL RILIEVO TOPOGRAFICO L'introduzione delle geodetiche per una superficie ellissoidica è importante in quanto esse sono univocamente determinate a differenza di altre grandezze. Ad esempio se per due punti P o e P 1 dell'ellissoide si definiscono le normali 1/ alla superficie, (fig. 3.1) tali normali non sono in genere complanari e si possono allora definire un piano normale per P o e passante per P 1 e un piano normale in P o e passante per P 1. Questi due piani non coincidono e le loro tracce sulla superficie hanno lunghezze diverse e formano in P o e P 1 degli angoli tra loro non nulli. Gli strumenti concettualmente costruibili sono però idonei ad essere posizionati in un punto (P o ) in modo che un loro asse meccanico coincida con la verticale per il punto (direzione della gravità per il punto) ed a descrivere il fascio dei piani (verticali) passanti per la verticale del punto. L'angolo P 1 P o P 2 determinato tra piani verticali del fascio passante per la verticale di P o non coincide con l'angolo formato dalle tangenti 2/ in P o alle geodetiche P o P 1 e P o P 2 ; inoltre con tali strumenti è possibile definire (e quindi misurare) le distanze tra due punti come traccia sul piano verticale che non coincide con la geodetica tra i due punti. A questi errori se ne può aggiungere ancora un altro, in quanto la verticale sul geoide non è detto che coincida con la normale per il punto dell'ellissoide. Z n0 Traccia del piano normale in P0 passante per P1 X n1 P0 P1 Y GEODETICA P0 P1 Traccia del piano normale in P1 passante per P0 ELLISSOIDE Fig. 3.1 Le formule che danno le coordinate di un arco di geodetica di lunghezza l secondo un riferimento cartesiano come quello in figura prece- 1/ Vedi l Appendice 2/ Vedi l Appendice

9 Capitolo 1: SUPERFICI DI RIFERIMENTO 9 dente, in cui Z coincide con la normale in P o, X con la tangente al meridiano per P o e Y con il parallelo, sono: x = lcosα 1 l ρr α l 2 y = lsenα NR α (4) z = ( ) l2 2R α 1... dove N e ρ sono i raggi di curvatura principali nel punto generico ed R α il raggio di curvatura della geodetica in P o avente azimut α e dipendente dalla latitudine ϕ ( ρ < R α < N). Le formule precedenti (sviluppi in serie di cui sono riportati i primi termini) sono dette formule di PUISEUX-WEINGARTEN. Esse permettono sia il calcolo teorico della differenza tra angolo del diedro verticale e l'angolo formato dalle tangenti alle geodetiche sia il calcolo della differenza di lunghezza tra la geodetica tra due punti e la loro traccia sul piano normale. Si vede che, a partire dalle formule precedenti, la differenza angolare dipende dall'azimut α e dalla latitudine (massima all'equatore, nulla ai poli) ed è dell'ordine di ( l/r) 2. Per una latitudine di 45 nel caso di azimut α = 45 (condizione più sfavorevole) si può calcolare tale differenza: l = 100 km α = 0, 01 " l = 200 km α = 0, 07 " l = 300 km α = 0,13 " Si può affermare che tale errore è trascurabile fino ad una distanza di circa 200 km, in quanto le precisioni strumentali non scendono al di sotto di qualche decimo di secondo sessagesimale. Si vede anche che la differenza lineare tra geodetiche e tracce normali alla stessa distanza (~200 km) è piccola ed inferiore agli errori di misura raggiungibili. Quanto all'errore connesso alla deviazione dalla verticale (non coincidenza tra la verticale del punto e normale teorica all'ellissoide), esso è in genere piccolo e trascurabile; diviene sensibile quando tale deviazione dalla verticale è forte (al massimo può raggiungere 60") e allora può essere corretto dalla conoscenza (per via geofisica) del valore di tale deviazione nel punto considerato.

10 10 TEORIA DEL RILIEVO TOPOGRAFICO + Da quanto detto discende che pur operando in uno spazio ellissoidico, gli strumenti che misurano angoli e distanze tra e lungo sezioni normali 1/ sono applicabili, senza errori apprezzabili sperimentalmente, fino a distanze di alcune centinaia di chilometri. 1.5 IL CAMPO SFERICO Una notevole semplificazione dei calcoli, nell'elaborazione di queste misure di angoli e distanze, può avvenire se, invece di considerare l'ellissoide, ci riferiamo ad una sfera locale, approssimante la superficie ellissoidica nell'intorno del punto considerato e avente raggio pari alla media geometrica dei raggi di curvatura principale dell'ellissoide nel punto: R = ρn, R α = R, ossia K = l R 2. Procedere in questo modo significa trascurare i termini, non scritti, del 3 ordine delle formule (4). Ciò risulta possibile, date le approssimazioni strumentali raggiungibili, fino ad un intorno di raggio di 100 km dal punto considerato. In questo campo, detto campo geodetico o campo sferico o campo di Weingarten è possibile l'uso della trigonometria sferica invece dell'ellissoidica senza errori sperimentalmente rilevabili. + A tale proposito è da tenere presente il Teorema di Legendre. Esso asserisce che "Un triangolo sferico di lati piccoli rispetto al raggio R della sfera, può essere risolto come un triangolo piano che abbia i lati uguali a quelli del triangolo sferico e gli angoli uguali ai valori dei corrispondenti sulla sfera diminuiti ciascuno di un terzo dell'eccesso sferico". L'eccesso sferico e può essere considerato pari al rapporto tra la superficie S del triangolo piano e il raggio R al quadrato, in formule: ε = S R 2 Pertanto in un triangolo sferico ABC può essere scritta la seguente relazione A + B + C ε = 180 1/ Vedi l Appendice

11 Capitolo 1: SUPERFICI DI RIFERIMENTO IL CAMPO TOPOGRAFICO Analogamente ci si può chiedere in quale intorno sono trascurabili anche i termini del secondo ordine che possiamo scrivere come l 2 6R 2 (ove R sarà il raggio della sfera locale). Si ottiene al massimo: l km l 2 6R 2 0, , , , m + Da ciò deriva che: fino ad un intorno di 15 km dal punto considerato è possibile applicare formule di geometria o trigonometria piana senza errori sperimentalmente evidenti ( 1 mm). L'intorno così definito prende il nome di campo topografico e può anche definirsi l'intorno in cui la superficie ellissoidica è approssimabile planimetricamente con il piano tangente; applicare le formule x = lcosα, y = lsenα significa infatti confondere il segmento l di geodetica considerata con la sua proiezione sul piano tangente. Occorre però tener presente che lo scostamento altimetrico tra piano tangente e superficie ellissoidica è più rapido di quello planimetrico, dipende infatti da l 2 2R e si ottiene: l 0,1 0,5 1 5 km l 2 6R 2 0, m 1.7 DIMENSIONI DELL'ELLISSOIDE E SUE MISURE Sin dall'antichità si sentì il bisogno di conoscere le dimensioni della Terra, ritenuta sferica, affrontando lo studio come problema puramente geometrico. All'inizio del IV secolo a.c. la prima misurazione si basò sul principio di misurare la lunghezza di un arco di cerchio massimo (meridiano) e trovare in quale rapporto questo arco sta con la intera circonferenza. Così operando Eudosso di Cnido trovò una lunghezza pari a stadi (~ km), circa il doppio del valore conosciuto attualmente ( km).

12 12 TEORIA DEL RILIEVO TOPOGRAFICO Dicearco da Messina (IV sec. a.c.) discepolo di Aristotele, basandosi sullo stesso principio ed osservando che nel solstizio d'estate sulla città di Siene (odierna Assuan) situata sul Tropico del Cancro era allo zenit una stella della costellazione del Cancro mentre nello stesso giorno a Lisimachia, nell Ellesponto, era allo zenit una stella del Dragone, nell ipotesi che le due città si trovassero sullo stesso meridiano, misurò l arco di meridiano celeste tra le due stelle e la distanza tra le due città e valutò che i rapporti tra i due archi e le rispettive circonferenze fossero uguali tra loro e pari a 1/15 ed in definitiva ottenne una circonferenza pari a stadi ( km). Un risultato eccellente fu ottenuto da Eratostene di Cirene (III sec. a.c.) il quale riuscì a misurare l'inclinazione dei raggi solari ad Alessandria 7 12' il giorno del solstizio d'estate (fig. 4.1) mediante l'ombra prodotta da uno stile infisso in una semisfera cava di rame sapendo che a Siene lo stesso giorno i corpi non davano ombra e conoscendo la distanza SieneAlessandria ottenne per la circonferenza un valore di stadi ossia circa km, valore di notevole precisione considerati gli strumenti rudimentali impiegati. Risultati migliori sono stati conseguiti solo dalla misure moderne adottando nuovi metodi e strumenti perfezionati. Mediante il metodo della triangolazione, scoperto dall'olandese Snellius (XVII sec.), Picard misurò l'arco di meridiano corrispondente ad un grado ed ottenne per il raggio terrestre il valore di km. Successivamente Hayford nel 1909 definì i parametri dell'ellissoide a = 6378,388 km, lo schiacciamento s = 1/297,0 e con tali valori l'u.g.g.i. (Unione Geodetica e Geofisica Internazionale) a Madrid nel 1924 definì l'ellissoide internazionale, detto anche ellissoide di Hayford. α Sole α Alessandria D Siene Equatore Fig. 4.1

13 Capitolo 1: SUPERFICI DI RIFERIMENTO 13 Misure recenti, con lo studio delle perturbazioni delle orbite di satelliti artificiali, causate dalle irregolarità della superficie terrestre, hanno raggiunto le massime precisioni. Nella tabella che segue vengono riportati e raffrontati i diversi parametri caratteristici dell'ellissoide internazionale stabiliti dalla U.G.G.I. nelle sue assemblee. RAFFRONTO FRA I SISTEMI GEODETICI , 1967, 1980 PARAMETRO SISTEMA SISTEMA 1967 SISTEMA 1980 Semiasse maggiore a m m m Semiasse minore b ,9460 m ,5161 m ,3141 m Schiacciamento s 1/297,0 1/298, /298, Cost. grav. geoc. 1/ GM Vel. ang. rotazione Gravità e- quatoriale Gravità polare m 3 s m 3 s 2 ω rad s rad s rad s 1 g e 9, m s 2 9, m s 2 9, m s 2 g p 9, m s 2 9, m s 2 9, m s 2 1/ GM è la costante di gravitazione geocentrica, di cui G è la costante di gravitazione universale ed M la massa terrestre includente l'atmosfera.