Studenti in movimento

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1 Studenti in movimento Riadattata da Matematica 2003": Marina Dalè, Paolo Nardini, Riccardo Ruganti, Luigi Tomasi Introduzione... Errore. Il segnalibro non è definito. Descrizione dell attività... Errore. Il segnalibro non è definito. Prima fase... Errore. Il segnalibro non è definito. Seconda fase... Errore. Il segnalibro non è definito. Terza fase... Errore. Il segnalibro non è definito. Proposta di lavoro...4 Indicazioni metodologiche...7 Spunti per un approfondimento disciplinare...7 Elementi per prove di verifica...7 Spunti per altre attività con gli studenti...11 Documentazione e materiali...errore. Il segnalibro non è definito. Bibliografia... Errore. Il segnalibro non è definito. Sitografia... Errore. Il segnalibro non è definito. Proposta di attività per il corsista... Errore. Il segnalibro non è definito. Introduzione 1

2 l contesto dell attività è quello dei moti rettilinei, il cui studio -affrontato nel corso di fisica- viene qui ripreso nelle ore di matematica, con particolare attenzione alla loro rappresentazione mediante un grafico orario (posizione - istante di tempo), successiva al riconoscimento di una relazione funzionale tra le grandezze coinvolte nella descrizione dei moti stessi. L accento viene posto in particolare sull analisi di alcuni aspetti del diagramma orario associato a ciascun moto (ovvero: modello funzionale soggiacente, crescita e decrescita della linea che costituisce il grafico, andamento del fenomeno considerato - ad esempio di tipo costante, lineare, quadratico). Un ulteriore aspetto cruciale messo in gioco in questa attività è costituito dalla dipendenza della posizione in funzione dell istante di tempo, studiata non solo attraverso i valori assunti dall ordinata, ma anche in termini della variazione dell ordinata nel tempo (il che rimanda al concetto di pendenza, che formalizza il modo in cui una grandezza cresce o decresce in funzione di un altra). Descrizione dell'attività L attività consiste in una serie di esperienze, in ognuna delle quali gli studenti, in una prima fase, elaborano congetture circa una specifica situazione di moto, compilando singolarmente una scheda di lavoro (preparata dall insegnante), quindi realizzano l esperienza, eseguendo alcune misure e raccogliendo i relativi dati. In questa fase gli allievi operano come gruppo-classe coordinato dall insegnante. Le misure necessarie per svolgere l attività possono essere ottenute mediante l uso di cronometri e metri lineari, oppure, più facilmente e probabilmente con maggiore efficacia didattica, per mezzo di un sensore di posizione collegato ad un computer (con un opportuno software di acquisizione dati) o ad una calcolatrice soltanto grafica (o grafico-simbolica ). Uno studente per volta deve iniziare a muoversi liberamente all interno di un aula, lungo una direzione prefissata, anche con eventuali pause, mentre altri studenti rilevano la posizione occupata al trascorrere del tempo. A partire dai dati raccolti viene compilata una tabella che può essere tradotta in un grafico servendosi di un comune foglio elettronico oppure, in tempo reale, sfruttando le funzionalità di un sensore di posizione collegato ad un computer o ad una calcolatrice grafica. Dopo aver eseguito più volte questo esperimento, si apre una discussione con tutta la classe, coordinata dall insegnante, in cui si analizzano le caratteristiche dei grafici 2

3 ottenuti. L attenzione del docente dovrebbe focalizzarsi sui modi in cui gli studenti costruiscono il significato del grafico, in termini di ordinata (posizione del corpo sulla traiettoria) in funzione dell ascissa (istante di tempo). I contenuti sviluppati sono: il moto e le sue caratteristiche (stato di quiete e di moto, necessità di un sistema di riferimento per descriverlo), le rappresentazioni grafiche dei moti nel piano cartesiano, eventualmente attraverso l uso delle nuove tecnologie (un sensore di posizione collegato ad un computer o ad una calcolatrice grafico-simbolica, con un software che permetta l acquisizione di dati real time ). Prima fase La prima fase consiste nella realizzazione dell esperienza, ovvero nel rilevamento e nella tabulazione dei dati riferiti al moto di più studenti, e nella costruzione dei corrispondenti grafici di posizione rispetto all istante di tempo. Si può osservare che l esperimento può essere realizzato non solo utilizzando un sensore o un cronometro tradizionale, ma anche filmando le fasi dell attività con una videocamera o anche con la videocamera di un telefono cellulare. Seconda fase L insegnante guida una discussione orientata alla descrizione e all interpretazione dei grafici, ponendo domande-stimolo e raccogliendo gli interventi degli studenti. Gli interventi dell insegnante, in questa fase di discussione, non devono essere troppo di carattere informativo, teorico o direttivo, bensì di stimolo alla riflessione; ad esempio, si possono porre domande del tipo: Quali grandezze si riportano sugli assi coordinati? Quali sono le unità di misura che avete scelto? Quale scala avete utilizzato sui due assi coordinati? Si potrebbe ottenere un grafico collocato al di sotto l asse delle ascisse? Perché la forma del grafico è proprio quella che abbiamo ottenuto?. L idea è di stimolare gli studenti ad analizzare il grafico ottenuto da due punti di vista: uno globale e l altro locale. Le domande saranno quindi articolate in modo da favorire questi due modi di osservare il grafico. Successivamente si può fare un lavoro più analitico e collegare l interpretazione del grafico non solo al moto, ma anche a tabelle numeriche dei valori delle grandezze o, in alcuni casi significativi, a scritture simboliche della funzione che modellizza il moto. Terza fase L'esperienza può proseguire con un'attività di approfondimento, finalizzata a costruire uno strumento matematico interpretativo del grafico di un moto, ossia la pendenza della retta tangente, ottenuta in modo approssimato dalla pendenza di una retta secante per due punti molto vicini appartenenti al grafico (questa esperienza può essere svolta con un opportuno software di geometria dinamica). Questa attività viene effettuata sotto la guida dell'insegnante, possibilmente utilizzando una calcolatrice grafica o grafico-simbolica, un sensore di moto ed un dispositivo a cristalli liquidi per proiettare lo schermo della calcolatrice (view-screen) 3

4 oppure con l uso di un sensore di moto, un computer ed un videoproiettore. Gli studenti si dividono poi in gruppi e lavorano alla consegna seguente. Proposta di lavoro A turno camminate o correte nel corridoio (oppure in laboratorio) in modo da generare un moto vario. Ricavate i dati relativi al movimento descritto e tracciate il grafico istante di tempo posizione ad esso riferito. Per il moto di cui possedete i dati, avete a disposizione un grafico ed una tabella con i valori degli istanti di tempo (in secondi) e della posizione (in metri). Descrivete a parole il tipo di moto che avete realizzato. Utilizzando il grafico e la tabella, provate a descrivere a parole come varia la posizione rispetto al tempo (i dati relativi alla posizione crescono, non crescono, crescono in modo regolare, crescono nel tempo secondo quantità diverse, crescono sempre di più, crescono sempre di meno, ). Analizzate qualitativamente il grafico. Assomiglia forse ad una retta? Assomiglia ad una curva? Ad una curva che cresce? Ad una curva che decresce? A questo punto osservate attentamente le due figure seguenti. Nella figura 1 è rappresentato un moto qualunque di un oggetto: la curva fornisce il diagramma orario del moto, cioè fornisce ad ogni istante la posizione dell oggetto. Nella figura 2 è invece rappresentata una tabella simile a quelle che voi avete costruito. I valori t DOPO ed s DOPO compaiono sia sul grafico che sulla tabella. Considerate ora la grandezza v m data da: Provate a spiegare qual è secondo voi il significato della grandezza v m. Al termine della discussione deve emergere il fatto che il precedente rapporto ci dice in che modo varia (ovvero cresce, decresce, ) la posizione in funzione del tempo; esso è pertanto un indicatore significativo dell andamento del grafico, quindi molto utile per la comprensione del moto considerato. 4

5 In fisica esso viene chiamato velocità media e rappresenta la pendenza della retta secante, che passa per i punti A ( prima ) e B ( dopo ). In generale, si può definire la pendenza per una retta generica nel piano cartesiano, purché non sia parallela all asse delle ordinate. E opportuno che l insegnante chieda ai suoi studenti il motivo per il quale non ha senso introdurre il concetto di pendenza per una retta parallela all asse delle ordinate. Inoltre si deve chiedere agli allievi di pensare a quale valore assume la pendenza di una retta parallela all asse delle ascisse. In matematica ed in tutte le sue applicazioni il rapporto v m viene anche indicato con il simbolo e si chiama rapporto di due incrementi o rapporto incrementale. Occorre rafforzare il concetto di pendenza ed il relativo collegamento tra segno della pendenza ed interpretazione del grafico proponendo opportuni esercizi e domande che guidino gli studenti ad argomentare e motivare le loro risposte. E opportuno precisare che la pendenza nel linguaggio comune è espressa da un numero assoluto (prevalentemente in percentuale) al contrario di quanto avviene in Matematica e nelle sue applicazioni. Per visualizzare il concetto di pendenza si possono disegnare su carta quadrettata alcuni triangoli rettangoli, con le ipotenuse allineate e i cateti disposti in orizzontale e in verticale, come nella seguente figura: Figura 3 5

6 Occorre inoltre abituare gli allievi a disegnare una retta a partire dalla sua pendenza e dall intercetta. In seguito l insegnante deve suggerire agli studenti di provare a studiare la variazione della pendenza per il moto considerato, utilizzando il grafico e la tabella dei dati numerici. Quarta fase La quarta fase mira alla progettazione ed alla realizzazione di moti corrispondenti a semplici diagrammi-orari forniti dall insegnante. Nel caso si abbia a disposizione un sensore di posizione, vale la pena proporre agli studenti questa attività particolarmente significativa. Situazione-problema Riproducete, muovendovi di fronte al sensore di posizione, alcuni moti i cui grafici posizione-istante siano il più possibile simili a quelli rappresentati qui sotto. Figura 4 6

7 Indicazioni metodologiche Mentre il sensore di posizione è collegato al computer e questo al videoproiettore, tutta la classe può seguire su uno schermo il generarsi del grafico associato al moto così realizzato, paragonandolo con quello congetturato in precedenza e discutendo sulla forma del grafico ottenuto. In questo modo l attività acquista le caratteristiche di un esperienza collettiva di apprendimento, che si sviluppa attraverso il confronto di osservazioni ed opinioni individuali. Spunti per un approfondimento disciplinare Vale la pena discutere in classe la prima parte del seguente quesito assegnato nella prova scritta di Matematica all Esame di Stato per il Liceo Scientifico di ordinamento nel giugno 2008: Secondo il codice della strada il segnale di "salita ripida" (figura a lato) preavverte di un tratto di strada con pendenza tale da costituire pericolo. La pendenza vi è espressa in percentuale e nell'esempio è 10%. Se si sta realizzando una strada rettilinea che, con un percorso di 1,2 km, supera un dislivello di 85 m, qual è la sua inclinazione (in gradi sessgesimali)? Quale la percentuale da riportare sul segnale? Il precedente quesito può fornire l occasione per sottolineare la differenza tra la nozione di pendenza e quella di coefficiente angolare (tangente goniometrica dell angolo che nel piano cartesiano una retta forma con l asse delle ascisse). Ci si può avvicinare a questa distinzione con l uso di un software di geometria dinamica, cambiando l unità di misura su uno soltanto dei due assi coordinati. La questione deve essere discussa partendo da questa domanda: che cosa si osserva nel grafico della retta? Nei grafici non monometrici è meglio non parlare di coefficiente angolare perché l angolo che la retta forma con l asse delle ascisse non rimane invariato per cambiamenti di scala relativi ad uno solo degli assi coordinati. Conviene quindi utilizzare il temine pendenza di una retta, perché più generale, avendo cura di sottolineare le differenze con il linguaggio comune. A questo proposito si può notare che abitualmente è usato anche il termine inclinazione come sinonimo di pendenza. Elementi per prove di verifica 1. Come cammino? 7

8 Sto camminando nel corridoio e il sensore rileva i dati della posizione e dell istante di tempo del mio movimento. La legge oraria del moto è la legge che esprime come varia la mia posizione s al variare del tempo t. Supponiamo che all'istante 0 io sia davanti al sensore, quindi posso dire che, quando t = 0 secondi, s = 0 metri. Quando comincio a muovermi, in 1 secondo percorro 0,5 metri, in 2 secondi 2 metri e in 3 secondi 4,5 metri. Se mi muovo con questa modalità, determina quanti metri avrò percorso dopo 5 secondi. Quanti metri avrò percorso dopo 8 secondi? Riporta i dati di cui disponi in una tabella e in un grafico. Prova a spiegare a parole cosa si deve fare per trovare quanti metri vengono percorsi in un numero qualsiasi k di secondi. Scrivi una legge generale che spieghi come varia la posizione s al variare del tempo t: s =.. 2. Quale aumento? Considera i seguenti grafici (figura 5) e rispondi alle domande. Figura 5 I grafici rappresentano l aumento di prezzo (in lire) che due prodotti (prodotto di tipo A e prodotto di tipo B) hanno subito negli anni dal 1956 al Quale prodotto ha avuto il maggiore aumento annuo di prezzo? Quale è aumentato maggiormente nel biennio ? 3. Nelle figure 6 e 7 sono rappresentati i diagrammi orari del moto di due punti materiali A e B. Dette v A e v B le rispettive velocità, possiamo affermare che: a) v A < v B b) v A = v B c) v A > v B d) non è possibile il confronto tra le due velocità. 8

9 4. Nella figura 8 sono riportati, nello stesso grafico, i diagrammi orari (s, t) del moto di due automobili A e B. Descrivi il loro moto. In quale dei due istanti t 1 e t 2 le due automobili hanno la stessa velocità? Perché? 5. (Da OCSE PISA 2003) A destra trovi la fotografia di due tapis roulant. Il grafico Distanza-Tempo che segue permette di confrontare tra il camminare sul tapis roulant e il camminare a terra accanto al tapis roulant di due persone. Supponi che, nel seguente grafico, le due persone camminino più o meno alla stessa velocità. Aggiungi alla figura la linea Distanza-Tempo di una persona ferma sul tapis roulant. 9

10 6. (Da OCSE PISA 2003) Una gita scolastica Una classe vuole affittare un pullman per una gita e ha contattato tre ditte per informarsi sui prezzi. La Ditta A richiede 375 zed come tariffa iniziale, più 0,5 zed per chilometro percorso. La Ditta B richiede 250 zed come tariffa iniziale, più 0,75 zed per chilometro percorso. La Ditta C fa pagare una tariffa fissa di 350 zed che comprende i primi 200 chilometri percorsi e in più 1,02 zed per ogni chilometro percorso oltre i 200 km. Quale ditta dovrebbe scegliere la classe tenendo conto che nella gita si percorre una distanza compresa tra i 400 ed i 600 km circa? 7. (Da OCSE PISA 2006) Il seguente grafico illustra il consumo di zucchero e la quantità di carie è aumentato in molti paesi. Ciascun paese è rappresentato da un pallino sul grafico. Quale fra le seguenti affermazioni è basata sui dati riportati nel grafico? 1. In alcuni paesi le persone di lavano i denti più frequentemente che in altri paesi. 2. Mangiando meno di 20 grammi di zucchero al giorno è garantito che non viene la carie. 3. Più zucchero si mangia, più c è rischio che si carino i denti. 4. Negli ultimi anni il tasso di carie è aumentato in molti paesi. 5. Negli ultimi anni il consumo di zucchero è aumentato in molti paesi. 10

11 8. (Da Prova d ingresso alla scuola secondaria superiore, IRRSAE Marche, ) Quattro ciclisti A, B, C, D hanno percorso la stessa tappa di 80 km. In base al seguente grafico chi ha vinto la gara? 1. Il ciclista A. 2. Il ciclista B. 3. Il ciclista C. 4. Il ciclista D. Spunti per altre attività con gli studenti Approfondimento La retta di regressione L insegnante raccoglie in maniera anonima i dati relativi all altezza ed al peso degli allievi e li inserisce in una tabella con un foglio elettronico. In seguito fa realizzare agli studenti il grafico a dispersione di punti associato ai dati raccolti, chiedendo loro se sono in grado di osservare una qualche regolarità, in particolare un certo andamento per il peso all aumentare dell altezza. Una domanda da porre potrebbe essere: Se si volesse dare un idea sintetica del collegamento tra i caratteri quantitativi considerati (pesi ed altezze), quale potrebbe 11

12 essere la rappresentazione più adatta? Utilizzando le funzioni del software (un foglio elettronico) si può aggiungere alla nube dei dati la linea di tendenza del fenomeno. Scegliendo il modello lineare e chiedendo anche di visualizzare l equazione della linea ottenuta, essa rappresenta la retta di regressione, caratterizzata dalla sua pendenza e dalla sua intercetta, ovvero il valore dell ordinata del punto d incontro tra la retta e l asse delle ordinate. Si sottolinea che questo approfondimento è proposto su un piano applicativo con l uso delle funzionalità di un foglio elettronico e non dal punto di vista teorico, non adeguato a livello di biennio. Documentazione e materiali (Filmati, file specifici per l'attività prodotti con software vari, immagini, materiale di lavoro autonomo per gli studenti) Alcuni filmati si possono trovare nel sito di case editrici di libri di testo di Fisica e di laboratorio di Fisica. Vedi anche i file prodotti con il software TI-Nspire CAS, installato in un personal computer e collegato con sensori di posizione e di velocità; si veda ad esempio il sito: Texas Instruments - Physics Activities. Bibliografia Vedi i seguenti libri e articoli: AAVV, Matematica Materiali per un nuovo curricolo di matematica con suggerimenti per attività e prove di verifica (scuola primaria e scuola secondaria di I grado). AAVV, Matematica Materiali per un nuovo curricolo di matematica con suggerimenti per attività e prove di verifica (ciclo secondario). PISA 2003, Valutazione dei quindicenni a cura dell OCSE, Roma, Armando Armando, ARZARELLO F, ROBUTTI O. (2002). Matematica. ISBN: , volume della collana: Professione Docente. Brescia: La Scuola. Sitografia Università di Bologna: Matematica, didattica per la scuola, sitografia. Università di Bologna: Matematica 2003 Attività didattiche e prove di verifica per un nuovo curricolo di Matematica Ciclo secondario. 12

13 INVALSI: OCSE-PISA Programme for International Student Assessment Versione inglese di OCSE-PISA Proposta di attività Leggere l attività, le indicazioni metodologiche e gli approfondimenti: individuare i principali nodi didattici cui la situazione fa riferimento; esporli sinteticamente per scritto. Aggiungere qualche problema in altri contesti, relativo alle stesse abilità e conoscenze. Sperimentare l unità proposta: fare una ricognizione del contesto scolastico specifico in cui si svolgerà l'attività; esplicitare gli adattamenti necessari; formulare il progetto didattico relativo; preparare una prova di verifica adatta a valutare le conoscenze e abilità relative alla situazione didattica posta (anche con riferimento alle prove OCSE-PISA e INVALSI). Scrivere un diario di bordo (narrazione e documentazione del processo di sperimentazione vissuta in classe: l insegnante dovrà elaborare un diario con l esposizione dell esperimento svolto, di come gli studenti hanno reagito alla proposta didattica, delle difficoltà incontrate in particolare nel processo di costruzione di significato e di procedura di soluzione e di come sono state superate le difficoltà. Esplicitare i compiti dati agli studenti e le modalità con cui gli studenti stessi sono stati responsabilizzati all'apprendimento. 13