ISTITUZIONI DI MATEMATICA Corso di Laurea in Scienze della Formazione Primaria GUIDA alla PREPARAZIONE (testo revisionato 2015/6)

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1 ISTITUZIONI DI MATEMATICA Corso di Laurea in Scienze della Formazione Primaria GUIDA alla PREPARAZIONE (testo revisionato 2015/6) prerequisiti: matematica elementare fino al livello di prima superiore. Osservazioni: non ci sono differenze tra studenti lavoratori e non, frequentanti e non. L esame finale consiste in una prova scritta e solo in particolari casi un eventuale incontro successivo con il docente, nel quale si commenterà la prova scritta e dopo una ulteriore valutazione verrà assegnato e registrato il voto. Senza iscrizione al portale nei tempi e modi stabiliti dal regolamento di Ateneo e del corso di Laurea l accesso all esame non è consentito. E necessario presentarsi all esame con documento di riconoscimento, orologio, penna, righello. E' vietato chiedere in prestito dai colleghi ogni tipo di materiale (penne e fazzoletti di carta inclusi). E' vietato portare con sé telefonino, appunti, calcolatrice, tablet, e ogni genere di sussidio informatico o cartaceo. Borse e giacche dovranno essere depositate ai bordi dell'aula prima di sedersi al posto d'esame. Non è consentito uscire dall aula durante l esame. La prova scritta dura solitamente 1h 30, con domande a risposta multipla e domandeaperte, volte ad evidenziare le capacità di ragionamento, comprensione, comunicazione e la maturità dello studente. Le domande riguardano tutti gli argomenti trattati a lezione, con il livello di approfondimento segnalato durante le spiegazioni. Possono comprendere la soluzione di un problema, la presentazione di una teoria con definizione, esempi e controesempi, l enunciato e la dimostrazione di un teorema, con applicazioni. L elaborato viene valutato per: pertinenza, completezza, profondità delle risposte, qualità grafica e linguistica della presentazione, chiarezza espositiva, originalità. Cosa è richiesto allo studente del corso: 0. Concetto ingenuo di insieme, simbologia insiemistica (esiste, per ogni, appartenenza, uso delle parentesi..), insieme vuoto, sottoinsiemi, insieme complementare, intersezione e unione di insiemi...ecc prodotto cartesiano tra due o più insiemi, ricoprimento e partizione di un insieme. 1. funzioni tra insiemi, iniettive, suriettive, biunivoche, composte, invertibili, grafico di una funzione 2. Relazioni tra insiemi, relazioni di ordine, ordine totale, diagramma associato a relazione di ordine, relazione di equivalenza, partizione associata a relazione di equivalenza 3. Elementi minimi di logica: riconoscimento di enunciati atomici, negazione di un enunciato, implicazione logica diretta (modus ponens) e contronominale - per assurdo (modus tollens), inversa, contraria, quantificatori universali, diagrammi di Eulero per la verifica della correttezza di sillogismi a due premesse (con quantificatori) e una conclusione.

2 4. La numerazione degli antichi romani, l'abaco e il sistema decimale posizionale, il sistema posizionale in base qualsiasi, teorema di rappresentazione dei numeri naturali. 5. Contare come corrispondenza biunivoca. Insiemi a cardinalita finita, cardinalita del prodotto cartesiano di due insiemi finiti, insieme delle parti di un insieme e sua cardinalità, un insieme si dice infinito se e solo se esiste un suo sottoinsieme proprio che e in corrispondenza biunivoca con esso. L'uso della parola "equipotente". Cardinalità dell'insieme dei numeri pari dei dispari, degli interi, Procedimento diagonale per costruire corrispondenze biunivoche tra NxN ed l'insieme dei numeri naturali N. Gli insiemi infinito-numerabili e infiniti non numerabili. 6. assiomi di Peano per i numeri naturali, principio di induzione e sue applicazioni (i numeri quadrati e i numeri triangolari, suddivisione del piano in regioni mediante rette, angoli interni di un poligono convesso, somma dei primi n numeri dispari, altri esempi), definizione ricorsiva di somma di numeri naturali, dimostrazione ricorsiva delle proprieta della somma (associativa, commutativa, esistenza elemento neutro) a partire dagli assiomi. Il prodotto sui naturali è una somma ripetuta. 7. Relazione d ordine tra insiemi e ordinamento dei numeri naturali. Confronto additivo e moltiplicativo di numeri naturali: relazioni di ordine totale >= e relazione di ordine parziale secondo divisibilita. Esempi. 8. L'assioma del buon ordinamento come equivalente del principio di induzione. 9. il problema dell'invertibilità della somma e i numeri interi. Costruizione di Z come classi di equivalenza di NxN. Somma e prodotto in Z e proprietà, Struttura algebrica dei numeri interi (gruppo additivo, anello commutativo unitario) Ordinamento, non totale, dei numeri interi 10. La divisione euclidea: teorema di esistenza e unicita, con dimostrazione.il teorema di rappresentazione dei numeri è conseguenza dell'esistenza della divisione. 11. Massimo comun divisore e minimo comune multiplo. L'algoritmo di Euclide per ricavare il MCD. L identita di Bézout per il MCD come conseguenza dell'algoritmo di Euclide 12. Equazioni lineari diofantee 13. Criteri di divisibilita tra numeri naturali. 14. Numeri primi. Se un numero naturale primo divide un prodotto allora divide uno dei fattori. Teorema: i numeri primi sono infiniti (con dimostrazione di Euclide, libro IX degli Elementi). Il crivello di Eratostene di Cirene (III a.c.) per la ricerca dei numeri primi inferiori a un numero dato. 15. Teorema fondamentale dell'aritmetica (ovvero teorema di fattorizzazione unica) 16. Altri teoremi sui numeri primi: i) Un divisore di un numero naturale n é compreso tra 1 e parte intera di n/2. ii) Se n è un intero non primo (ovvero "`composto"') allora esiste un numero primo p tale che p divide n ed e minore uguale della radice quadrata (con dimostrazione). Iii) (teorema di Fermat sulle somme di due quadrati-enunciato) ogni numero primo maggiore di 2 si puo scrivere come somma di due quadrati se e solo se e congruo a 1 modulo

3 17. Attenzione alla differenza tra congettura, esempio e dimostrazione. Esempi di congetture: alcune congetture famose sui numeri primi- enunciati: i). Congettura di Goldbach (Christian Goldbach, ): ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi. ii). Congettura dei numeri primi gemelli (Euclide.): esistono infiniti numeri primi p tale che anche p + 2 sia un numero primo iii). Congettura di De Polignac (Alphonse de Polignac, ): per ogni numero naturale k, esistono infinite coppie di numeri primi consecutivi (nella successione dei numeri primi) che differiscano di 2k. Per k = 1 si ritrova la congettura dei primi gemelli. iv) Teorema (1966): esistono infiniti numeri primi p tali che p + 2 é o un primo o un semiprimo (cioé il prodotto di due primi). Ultimi risultati della ricerca: v) teorema (Zhang Yitang; 2010): Esistono di infinite coppie di numeri primi distanti tra loro meno di 70 milioni. vi) teorema (Polymath Project, 2014): Esistono di infinite coppie di numeri primi distanti tra loro meno di Le classi resto modulo n (congruenze), con le operazioni di somma e prodotto ereditate da Z. 19. il problema dell'invertibilità del prodotto e i numeri razionali. Costruizione di Q come classi di equivalenza. Somma e prodotto in Q: si verifica che le operazioni sono definite in modo tale che al cambiare di un elemento nella sua classe di equivalenza il risultato non cambia. I razionali come estensione degli interi secondo il Principio di permanenza delle proprieta formali. Proprieta delle operazioni struttura algebrica dei numeri razionali (campo). 20. Ordinamento, non totale, dei numeri razionali. I numeri razionali sono densi. 21. Cardinalità dell'insieme dei razionali 22. La rappresentazione in base 10 e in base 3, cifre dopo la virgola e periodicita. Passaggio da rappresentazione frazionaria a rappresentazione decimale e vice versa: motivazione all'algoritmo (la serie geometrica). 23. Irrazionalità di radice di 2, radice di p con primo, numeri algebrici e trascendenti. 24. I numeri reali: assioma di continuità, cardinalità dei numeri reali. 25. Geometria euclidea. Le origini antiche della geometria euclidea. Gli Elementi di Euclide, libro I: nozioni comuni, postulati, concetti primitivi, definizioni. 26. Da Euclide a Hilbert: gli assiomi sottointesi: la continuita della retta e del cerchio, l'esistenza di un punto esterno alla retta, e del piano che passa per tre punti, la mancanza dell'ordinamento - tutti i triangoli sono isosceli. I nuovi assiomi di Hilbert suddivisi in 5 gruppi indipendenti, la coerenza della geometria non dipende piu dalla sua aderenza al mondo fisico. L'assioma delle parallele garantisce l'unicita della retta passante per un punto P parallela ad una retta data, che non contiene P. L'assioma di continuita di Archimede garantisce la corrispondenza biunivoca tra i punti della retta e i numeri reali, e dunque che esista il punto di intersezione tra due

4 rette nel piano non parallele, o tra una retta e un cerchio. Disegnare non é dimostrare. 27. Analisi delle 48 proposizioni del libro I, in particolare: il trasporto di un segmento su un altro, angoli opposti al vertice e rette (parallele) tagliate da trasversali, 28. esistenza di un triangolo equilatero 29. dimostrazione di Euclide del primo criterio di congruenza dei triangoli e uso del principio di congruenza, dimostrazione del pons asinorum, 30. terzo criterio di congruenza dei triangoli e esistenza della bisettrice (notare che questa segue dal terzo criterio di congruenza dei triangoli, mentre il pons asinorum da un punto di vista logico precede il terzo criterio e dunque non si puo usare la bisettrice per dimostrarlo!), 31. esistenza del punto medio, diseguaglianza triangolare, 32. secondo criterio di congruenza triangoli, somma degli angoli interni di un triangolo e quinto postulato. 33. Teorema di Pitagora, con dimostrazione (secondoeuclide). Generalizzazione del teorema di Pitagora con una costante moltiplicativa. 34. Quinto postulato e formulazioni equivalenti. 35. Quando non vale il quinto postulato: aspetti intuitivi della geometria sferica a confronto con la geometria euclidea, la non unicita delle "rette" sulla sfera e la somma degli angoli interni di un triangolo sulla sfera. 36. Il libro II di Euclide-Algebra geometrica: La proprieta distributiva della somma sull'addizione, il quadrato di binomio, la proposizione 14: risoluzione geometrica dell'equazione x 2 = ab (usando il quadrato di binomio e il teorema di Pitagora). Soluzioni dell' equazione di secondo grado col metodo del completamento del quadrato. 37. Il libro VI e il teorema di Talete sui fasci di rette parallele 38. Definizione di sottoinsieme convesso nel piano e nello spazio. I poligoni come intersezione di semipiani, angoli interni di un poligono, poligoni regolari, apotema, perimetri e aree (dimostrazione area triangolo, parallelogramma, e trapezio, poligono regolare). Costruzione con riga e compasso di poligoni regolari (numeri primi di Fermat). 39. Relazioni di equivalenza in geometria: isopetrimetria ed equiestensione, problemi di massimo e minimo:i triangoli con base fissata a vertice opposto mobile su una retta parallela alla base sono equiestesi. Triangolo con un lato fissato e vertice opposto che simuove su una ellisse. Percorso del raggio di luce riflesso. La leggenda di Didone e le bolle di sapone. 40. Cenni alla geometria dello spazio: solidi, solidi regolari, calcolo di volumi. Cammini minimi su cubo. 41. Formula di Eulero per superfici poliedrali, il caso delle superfici nello spazio chiuse e non semplici. 42. Cenni di geometria analitica: punti e rette nel piano, equazioni, appartenenza punto retta, intersezione di due rette dal punto di vista analitico, distanza tra due punti ed equazione della circonferenza.

5 Testo suggerito: Giorgio Israel, Ana Millán Gasca Pensare in matematica, ed Zanichelli. Altro: Simonetta Di Sieno - Sandro Levi, Aritmetica di base, Mcgraw-Hill ed., qualsiasi fonte accreditata, a scelta dello studente.