GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno

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1 GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno La Vista CAS L ambiente di lavoro Le celle Assegnazione di una variabile o di una funzione / visualizzazione di un oggetto Selezione e cancellazione delle celle Inserimento da tastiera fisica Inserimento da tastiera virtuale Immissione per ripetizione, riferimenti statici e riferimenti dinamici Immissione manuale dei comandi Tecniche di calcolo simbolico Operazioni con i polinomi Scomposizione di polinomi Risoluzione di equazioni e disequazioni algebriche Risoluzione di equazioni esponenziali o logaritmiche Risoluzione di sistemi di equazioni Calcoli con le matrici Manipolazione di espressioni goniometriche Risoluzione di equazioni goniometriche Calcoli con successioni e progressioni Calcolo dei limiti Calcolo delle derivate Risoluzione di un equazione differenziale Calcolo degli integrali Statistica e probabilità GeoGebra è un software libero con installazione sotto licenza Creative Commons

2 2 / 16 La Vista CAS L ambiente di lavoro CAS è l acronimo di Computer Algebra System: si chiama così un software, professionale o semiprofessionale, che permette l elaborazione di espressioni matematiche numeriche o simboliche. Dalla versione 4.2 del programma, GeoGebra presenta le funzionalità tipiche di un computer algebra system dentro una vista specifica, la Vista CAS. È possibile tenere aperta solo tale vista, per operare su nuove espressioni da inserire, o tenere affiancate alla Vista CAS la Vista Algebra e/o la Vista Grafica, tipicamente per eseguire calcoli su oggetti già presenti in GeoGebra o per visualizzare la rappresentazione grafica dei calcoli eseguiti nel CAS. Il layout della Vista CAS è piuttosto semplice. È presente una barra dei menu (quella di GeoGebra presente anche nelle altre viste), una barra degli strumenti e, al di sotto di questa, una barra di stile che permette la formattazione (colore, grassetto, corsivo) delle espressioni. L area di lavoro è invece suddivisa in celle numerate, che vengono create automaticamente man mano che si rendono necessarie. Barra dei menu Barra degli strumenti CAS Barra di stile Cella numerata La barra degli strumenti contiene 10 strumenti o icone (oltre ai soliti pulsanti Annulla e Ripristina): Calcola Numerico Mantieni inserimento Fattorizza Espandi Sostituisci Risolvi Derivata Risolvi numericamente Elimina oggetto

3 3 / 16 Le celle Durante la sessione di lavoro, il contenuto delle celle risulta distribuito su due righe: nella riga superiore vi è l immissione dell espressione su cui lavorare, in formato lineare; nella riga inferiore è presentato l output risultante dall operazione eseguita su di essa. Assegnazione di una variabile o di una funzione / visualizzazione di un oggetto Un pallino pieno o vuoto sotto al numero d ordine della cella indica che l espressione contenuta nella cella è visualizzabile come oggetto anche nella Vista Grafica e/o nella Vista Algebra. Perché sia visualizzabile, l espressione deve essere assegnata, il che avviene mediante l uso del simbolo := tra la variabile e l espressione che la definisce. L assegnazione avviene automaticamente allorché si fa clic sul pallino vuoto. Per esempio, durante la risoluzione di un sistema di secondo grado è possibile visualizzare i grafici delle funzioni aventi le equazioni che compongono il sistema: Selezione e cancellazione delle celle Durante le sessioni di lavoro è necessario selezionare e rimuovere intere celle. La prima operazione viene effettuata facendo clic sull area numerata della prima cella da selezionare e trascinando il puntatore sulle successive, se l intervallo è costituito da celle consecutive; altrimenti si può fare Ctrl+clic sulle aree numerate delle celle da selezionare, indipendentemente dal fatto che siano o meno consecutive. Un clic al di fuori dell area numerata opera la deselezione. Anche per la cancellazione di una cella (ossia la rimozione dell intero contenuto; le celle vengono comunque sempre rinumerate automaticamente in una sequenza continua) vi sono due opzioni: dopo aver selezionato la/e cella/e si può fare clic sullo strumento Elimina oggetto, oppure premere il tasto Canc sulla tastiera.

4 4 / 16 Inserimento da tastiera fisica Come in tutti i CAS, l inserimento delle espressioni avviene da tastiera in modalità lineare ; per esempio: per inserire un esponente si digita ^ e poi l esponente; per inserire un deponente si digita _ e poi il pedice; si utilizzano le parentesi per risolvere le ambiguità, come nella scrittura di somme al denominatore; si usano solo parentesi tonde (le quadre e le graffe sono riservate alla sintassi dei comandi). Diversamente da quanto avviene nella tradizionale barra di inserimento di GeoGebra, nella Vista CAS i prodotti tra espressioni vanno indicati sempre con l asterisco: si scriverà quindi x*y e non xy, mentre si potrà tranquillamente scrivere 2x. Chi non è familiare con questa modalità di inserimento può trarre giovamento dall uso del comando Mantieni inserimento, facendo clic sul quale la formula digitata viene riscritta in forma professionale senza eseguire su di essa alcuna operazione (lo stesso risultato si ottiene premendo Alt+Invio); ciò consente di verificare il corretto inserimento. Eventuali correzioni sulla prima riga della cella vengono aggiornate nella stessa cella ripetendo il comando. Inserimento da tastiera virtuale La Vista CAS offre un ausilio per l inserimento di operatori ed espressioni: la tastiera virtuale, che si apre facendo clic sull icona a destra nella barra di stile (la collocazione non è felice). Si aprirà così una finestra che di default è trasparente; per modificarne l opacità occorre operare nella finestra Preferenze di GeoGebra, che si apre con il comando da menu Opzioni Avanzate. La visualizzazione di default riporta i simboli più comuni; per visualizzarne altri si deve fare clic sul pulsante con l icona della tastiera interno alla tastiera virtuale stessa (evidenziato nella figura precedente). La visualizzazione completa dei simboli matematici si ottiene però con un ulteriore clic sul simbolo di integrale in questa seconda visualizzazione. Per uscire dalle visualizzazioni particolari si preme nuovamente sul pulsante premuto in precedenza, o su quello che riporta alla visualizzazione iniziale. Altre visualizzazioni si ottengono facendo clic sui pulsanti a destra di quello con l icona dell integrale: si ottengono così, per esempio, i pulsanti per le lettere greche.

5 5 / 16 Immissione per ripetizione, riferimenti statici e riferimenti dinamici Una delle funzionalità più comode della Vista CAS è quella che consente di reimmettere in una cella il contenuto della cella precedente. Per reimmettere automaticamente l espressione nella riga superiore della cella precedente (cioè per ripetere l input) si preme il tasto uguale =. Per reimmettere l output (riga inferiore) della cella precedente si preme la barra spaziatrice. Per reimmettere l output della cella precedente, ma tra parentesi, si preme il tasto parentesi chiusa ). Per ottenere l immissione del risultato di una cella qualunque si può semplicemente fare clic sull espressione desiderata. Se occorre fare riferimento al risultato (output) di un altra cella, si può usare (come nei fogli elettronici) un riferimento statico o uno dinamico. Il riferimento statico, che si ottiene digitando # seguito dal numero della cella, produce un inserimento che non viene aggiornato qualora venga modificata la cella richiamata. Per far sì che vi sia aggiornamento automatico, occorre impostare un riferimento dinamico, digitando $ al posto del cancelletto. Immissione manuale dei comandi La maggior parte dei comandi non sono accessibili direttamente dalla barra degli strumenti: occorre digitarli da linea di comando, ossia inserire manualmente l operatore e gli argomenti, secondo una precisa sintassi, che coincide spesso con quella già utilizzabile nella barra di inserimento di GeoGebra. L elenco completo dei comandi specifici della Vista CAS è consultabile all indirizzo: Spesso è sufficiente ricordare il nome di un determinato comando, poiché la sintassi viene suggerita con apposito tooltip da GeoGebra non appena si inizia a digitare le prime lettere del comando: Selezionando la sintassi del comando desiderato gli argomenti vengono evidenziati uno a uno, e ci si sposta da uno all altro con i tasti Freccia o con Tab. Quando si lavora con i comandi manuali è possibile operare velocemente su un espressione già presente in altra cella: basta digitare le iniziali del comando, selezionare la sintassi desiderata e premere Invio; a questo punto, per sostituire gli argomenti segnaposto con l espressione già presente è sufficiente selezionare con un clic quest ultima, a segnaposto evidenziato.

6 6 / 16 Tecniche di calcolo simbolico Operazioni con i polinomi Le operazioni tra polinomi vengono svolte nella Vista CAS di GeoGebra in maniera analoga alla risoluzione delle espressioni numeriche. Immettiamo nella cella un espressione in cui compaiono tutte le operazioni tra polinomi. Nella seguente figura, dopo l inserimento, abbiamo fatto clic su Mantieni inserimento (si può in alternativa premere Alt+Invio) per verificare il corretto inserimento in linea, quindi abbiamo replicato l output nella cella 2. Per ottenere in output la semplificazione dell espressione è sufficiente a questo punto premere Invio o fare clic su Espandi: Scomposizione di polinomi Per la fattorizzazione di un polinomio è disponibile l apposito strumento Fattorizza; è sufficiente fare clic su di esso per ottenere in output la fattorizzazione del polinomio inserito nella cella, se tale fattorizzazione esiste:

7 7 / 16 Risoluzione di equazioni e disequazioni algebriche Per la risoluzione delle equazioni algebriche (teoricamente di qualsiasi grado, in pratica la potenza di calcolo del CAS di GeoGebra è limitata e qualche volta si può ottenere un messaggio di interruzione del calcolo stesso, se si chiede la soluzione esatta) è disponibile nella barra degli strumenti l icona Risolvi, per la risoluzione esatta, oppure l icona Risolvi numericamente, per ottenere la soluzione numerica eventualmente approssimata. La procedura per le equazioni, al solito, prevede l inserimento dell equazione nella cella e un clic su uno dei due strumenti, a scelta. Nella seguente finestra la cella 1 riporta la soluzione esatta, la cella 2 quella numerica approssimata dell equazione impostata. (GeoGebra calcola con questa procedura solo le soluzioni reali, non quelle complesse, per trovare le quali si deve utilizzare il comando RisolviC[equazione].) Per le disequazioni la procedura è identica. Le soluzioni costituite dall unione di due o più intervalli verranno fornite in output nella forma visibile nella seguente figura, cioè senza uso dei connettivi logici: Risoluzione di equazioni esponenziali o logaritmiche La tecnica di risoluzione delle equazioni e disequazioni esponenziali o logaritmiche non differisce da quella per le equazioni e le disequazioni algebriche. Di seguito segnaliamo alcuni suggerimenti per ottenere una scrittura corretta delle espressioni.

8 8 / 16 Esponenziali La costante e di Nepero si scrive utilizzando la tastiera virtuale; per scrivere e x si può digitare exp(x). Logaritmi Il logaritmo naturale di x, oltre che con ln(x), si ottiene con log(x). Il logaritmo in base 10 di x si ottiene con lg(x). In generale, il logaritmo in base a di f(x) si ottiene con log(a,f(x)). Risoluzione di sistemi di equazioni Per richiedere a GeoGebra CAS la risoluzione di un sistema di equazioni, si inseriscono le singole equazioni in celle separate, quindi si selezionano (facendo clic con il tasto Ctrl premuto o trascinando il puntatore) tali celle e si fa clic sullo strumento Risolvi (o Risolvi numericamente). La soluzione verrà proposta nella cella successiva; come si può notare nella seguente figura, in questo modo le due equazioni nelle celle 1 e 2 vengono prelevate con riferimenti dinamici (simbolo $ davanti al numero di cella) perciò, se si dovesse modificare una delle equazioni, la soluzione del sistema verrebbe aggiornata automaticamente.

9 9 / 16 Calcoli con le matrici È possibile eseguire nella Vista CAS tutte le usuali operazioni con le matrici. Una matrice viene costruita inserendo entro una coppia esterna di parentesi graffe le righe della matrice, separate da una virgola; le righe, a loro volta, vanno scritte digitando gli elementi della riga entro parentesi graffe, separati da una virgola. Per esempio, per ottenere la matrice [ a b ] si dovrà scrivere {{a,b},{c,d}}. c d Presentiamo un esempio di calcolo matriciale previa assegnazione di due matrici quadrate 2 2, A e B: A = [ ] B = [ ] Per l assegnazione facciamo ricorso al simbolo :=, come nella figura seguente: Le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione per scalare, moltiplicazione tra matrici possono ora venire impostate in maniera simbolica, scrivendo nella cella l operazione da eseguire su A e B:

10 10 / 16 Per calcolare il determinante di una matrice, per esempio quello della matrice A, si deve invece ricorrere al comando: Determinante[matrice] Se il determinante è diverso da zero, possiamo calcolare anche l inversa della matrice, con il comando: Inversa[matrice] mentre per ottenere la matrice trasposta il comando da utilizzare è Trasposta[matrice]. Manipolazione di espressioni goniometriche Esistono tre comandi manuali utilizzabili per la manipolazione delle espressioni goniometriche; le loro sintassi sono: 1. TrigSemplifica[Espressione] 2. TrigCombina[Espressione] 3. TrigEspandi[Espressione]

11 11 / Il primo comando, come dice il nome, semplifica l espressione immessa come argomento, purché la variabile sia x (al momento della stesura di questo documento, con la versione di GeoGebra, il comando non funziona se si usano altre variabili). Si tenga presente che gli argomenti delle funzioni goniometriche vanno sempre indicati fra parentesi. Per esempio, sull espressione 5 cos 2 x + sin2 2x+cos( 4x) 1 opera come segue: sin 2 x 2. Il secondo comando opera come le formule di Werner, trasformando il prodotto di due espressioni goniometriche in una somma di espressioni goniometriche di opportuno argomento. Per esempio, sul prodotto cos 3x sin 5x opera come segue: 3. Il terzo comando opera come le formule di addizione e sottrazione, trasformando un espressione goniometrica in cui compaiono come argomenti delle funzioni le somme o le differenze di due angoli in un espressione equivalente in cui compaiono funzioni goniometriche di un angolo solo. Per esempio, sull espressione sin(x + y) + cos(x + y) +sin(x y) cos(x y) opera come segue:

12 12 / 16 Risoluzione di equazioni goniometriche La soluzione di un equazione goniometrica si richiede con lo stesso procedimento valido per le equazioni algebriche. La soluzione verrà fornita in radianti, generalmente non in forma sintetica qualora questa forma sia possibile. Per esempio, la risoluzione dell equazione sin x = 0 è illustrata nella seguente figura: Calcoli con successioni e progressioni Nella Vista CAS è possibile ottenere la scrittura per elencazione dei primi termini di una successione, a partire dal termine generale. Per fare ciò occorre utilizzare il comando: Successione[espressione, indice, valore_iniziale, valore_finale] seguito da Invio o da un clic su Calcola, dove espressione è il termine generale, che conterrà un indice variabile compreso fra un valore_iniziale e un valore_finale. Per esempio, i primi 5 termini della successione di termine generale a n = n 2 3n 2, con n 1, sono determinati con l istruzione illustrata nella seguente figura: È facile a questo punto calcolare, per esempio, la somma dei primi termini ottenuti; richiediamo, digitando ) in una nuova cella, la riscrittura tra parentesi del risultato, e applichiamo manualmente all output il comando Somma:

13 13 / 16 È possibile utilizzare il comando Successione anche per le progressioni aritmetiche, ricordando la formula che fornisce il termine generale di una progressione aritmetica nota la ragione della progressione: a n = a 1 + (n 1)d. Per esempio, se vogliamo determinare i primi 20 termini della progressione aritmetica di ragione 3 e primo termine 5 possiamo impostare i calcoli come nella seguente figura: Analogamente, si può ottenere l elencazione dei primi termini di una progressione geometrica ricordando che il termine generale è dato da a n = a 1 q n 1, dove q è la ragione della progressione. Per esempio, i primi 12 termini della progressione geometrica di primo termine 0,25 e ragione 2 sono:

14 14 / 16 Calcolo dei limiti Anche per i limiti, nella Vista CAS di GeoGebra si deve ricorrere a un comando manuale, la cui sintassi è: Limite[espressione, variabile, valore] dove espressione è l espressione analitica della funzione di una variabile e valore è il valore reale cui tende la variabile. È possibile evitare di scrivere esplicitamente la variabile. Per esempio, per calcolare il limite lim x2 2x si imposta il seguente comando: x 2 x 3 x 6 È possibile anche richiedere il calcolo dei limiti destro e sinistro; in questo caso il comando prende il nome di LimiteDestro e LimiteSinistro rispettivamente. Calcolo delle derivate Il comando per il calcolo della derivata prima di una funzione di una variabile è accessibile dalla barra degli strumenti (strumento Derivata, il pulsante recante l icona della derivata parziale): Ci si deve ricordare, prima di fare clic sullo strumento Derivata, di selezionare la sola espressione analitica della funzione. Se si desidera invece ottenere la derivata di ordine 2, 3 ecc., si può utilizzare il comando (la cui sintassi non è presente nei tooltip): Derivata[espressione, variabile, ordine] dove evidentemente ordine indica l ordine della derivata richiesta.

15 15 / 16 Per esempio, la derivata seconda di y = x 3 è ottenuta come segue: Risoluzione di un equazione differenziale Nella Vista CAS è possibile impostare la risoluzione di un equazione differenziale del primo o del secondo ordine (EDO). Il comando, manuale anche questa volta, ha la seguente sintassi: RisolviEDO[equazione] dove in equazione la derivata prima e la derivata seconda vanno indicate rispettivamente con le notazioni y e y. Per esempio, applicando il comando all equazione y = 2y + e 3x si ottiene: Per ulteriori opzioni relative al comando si rimanda alla Guida di GeoGebra. Calcolo degli integrali Anche il comando Integrale per il calcolo dell integrale indefinito è accessibile direttamente nella barra degli strumenti: è sufficiente aprire il menu dello strumento Derivata (la cui icona è presentata di default all apertura di una nuova sessione). Per esempio, per calcolare x2 1 x dx scriviamo l espressione analitica della funzione integranda, quindi facciamo clic sullo strumento Integrale e premiamo Invio:

16 16 / 16 Per ottenere il calcolo di un integrale definito, invece, è necessario digitare il comando manuale: Integrale[funzione, variabile, valore_iniziale, valore_finale] dove variabile è un parametro, facoltativo se non vi sono ambiguità, che indica la variabile di integrazione, mentre valore_iniziale e valore_finale sono rispettivamente l estremo inferiore e l estremo superiore dell integrale. Statistica e probabilità Tutti i comandi per calcoli numerici e simbolici necessari in statistica e probabilità messi a disposizione da GeoGebra CAS sono da digitare manualmente. L elenco completo e le sintassi da utilizzare sono consultabili alle pagine: per la statistica; per la probabilità.