Assioma dell universo

Transcript

1 Assioma dell universo Possiamo risolvere il problema rimanendo nell ambito ZFC, e anche in modo da poter applicare alle classi proprie le usuali costruzioni valide per gli insiemi. Rimanendo fermo dunque il proposito di assumere ZFC come teoria fondamentale, stabiliamo però di chiamare classi (invece di insiemi) X gli oggetti in essa formalizzati. 1 / 11

2 Assioma dell universo Possiamo risolvere il problema rimanendo nell ambito ZFC, e anche in modo da poter applicare alle classi proprie le usuali costruzioni valide per gli insiemi. Rimanendo fermo dunque il proposito di assumere ZFC come teoria fondamentale, stabiliamo però di chiamare collezioni (invece di insiemi) gli oggetti in essa formalizzati. 2 / 11

3 Assioma dell universo L esistenza della classe di tutti gli insiemi è formalizzata dal seguente assioma. Assioma Esiste una collezione V tale che: x X V x V ; ω V, dove ω indica il primo ordinale infinito (di von Neumann); X V P(X ) V ; X V x X x V ; Se f è una funzione suriettiva X A tale che X V e A V, allora A V. 3 / 11

4 Assioma dell universo La seguente definizione ricollega la collezione V ora introdotta al suo significato concreto. Definizione Fissiamo una collezione V che soddisfa le proprietà richieste nell assioma ora fissato. Chiamiamo tale collezione universo e i suoi elementi insiemi. Chiamiamo classe una sottocollezione di V. Chiamiamo propria una classe che non sia un insieme. È utile osservare che gli insiemi così definiti costituiscono ancora un modello di ZFC. Quindi possiamo attribuire agli elementi di V il solito significato concreto di insieme. La classe V si può interpretare quindi come la classe di tutti gli insiemi (universo di von Neumann), e le classi proprie, come V, sono collezioni che, come V, sono particolarmente grandi. 4 / 11

5 Assioma dell universo Lo stratagemma dell unico universo è dovuto a S. Mac Lane: nel testo Categories for the working mathematician abbiamo però collezioni insiemi insiemi insiemi piccoli. Poiché le nostre collezioni rispettano ZFC, si possono applicare ad esse (ed in particolare alle classi) le solite costruzioni che conosciamo per gli insiemi (lo abbiamo in parte già fatto nell enunciato dell assioma). 5 / 11

6 Costruzioni con le classi Ad esempio, hanno senso: Tuttavia, la collezione {V }; le coppie (a, b) di classi (sono collezioni, ma non classi); le collezioni prodotto cartesiano di classi. Matematica usuale Quando parleremo di gruppi, spazi topologici, ecc., se non diversamente indicato, li intenderemo col solito significato (cioè ristretto agli insiemi). 6 / 11

7 Diagrammi commutativi Definizione Un diagramma costituito da applicazioni tra insiemi, come ad esempio X ϕ f Y ψ X f Y si dice commutativo se ogni volta che due sequenze di frecce consecutive (di verso concorde) hanno lo stesso punto di arrivo e di partenza, allora le corrispondenti composizioni di applicazioni coincidono. Nell esempio di sopra, il diagramma è commutativo se e solo se ψ f = f ϕ. Quando avremo definito i morfismi nelle categorie, tale definizione si estenderà in modo ovvio a questa situazione. 7 / 11

8 Lang [Lang, cap. 1, par. 1.] Le parti prese direttamente dal testo Lang, S. (1999), Fundamentals of differential geometry, sono esposte alla lavagna. 8 / 11

9 Prodotti Definizione Siano A, A oggetti di una categoria A. Un prodotto di A ed A è un oggetto insieme a due morfismi A A A, π Mor ( A A, A ), π Mor ( A A, A ), detti proiezioni, tali che X A, f Mor (X, A), f Mor ( X, A ),!g Mor ( X, A A ) : π g = f, π g = f. 9 / 11

10 Prodotti Definizione Il morfismo g si denota talvolta con (f, f ). Analoga definizione si assume, più in generale, per il prodotto di una qualunque famiglia {A i } i I di oggetti. Attenzione Non sempre esiste un prodotto A A. 10 / 11

11 Due esempi di prodotti Esempio Nella categoria degli insiemi, il prodotto cartesiano A A, con le proiezioni π : A A A (a, a ) a, π : A A A (a, a ) a, è un prodotto, e si ha ( f, f ) (x) = ( f (x), f (x) ). [L altro esempio segue nella prossima lezione] 11 / 11