Attività laboratoriali per i nuovi curricoli di matematica

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1 Attività laboratoriali per i nuovi curricoli di matematica Ricerca Azione a.s. 2010/2011 U.S.P. Bergamo - Centro MatNet Università di Bergamo Relazioni e funzioni Docenti che hanno collaborato all elaborazione del progetto: Fagotti Naila e Locatelli Elena (SSIG A.G. Bravi Cologno al Serio) Rota Manuela (Liceo artistico Fantoni ) Amighetti Marcella e Casati Margherita (Liceo scientifico Don Milani ) Mangili Aline (Istituto Facchetti Treviglio) Turlon Silvia (Istituto Romero di Albino) Attività laboratoriali svolte nelle classi: 2^ SSIG Istituto Facchetti, 3^ D Istituto A. G. Bravi di Cologno al Serio Docenti che hanno sperimentato l attività: Aline Mangili, Naila Fagotti

2 La progettazione Premessa: Il punto di partenza del lavoro sono state le Indicazioni Nazionali riguardanti gli obiettivi specifici di apprendimento per il primo biennio dei licei dove si osserva che il termine relazioni compare solo nel nome assegnato al nucleo tematico. Motivazione: importanza che questo nucleo tematico riveste in molti ambiti disciplinari ed è per altro presente nelle prove d esame conclusive del primo ciclo di istruzione. Progetto: costruire un percorso per introdurre il concetto di funzione, in ambito laboratoriale, senza l usuale passaggio attraverso una sistematica trattazione delle relazioni. Grazie alle competenze di ciascuna docente del gruppo di progetto è stato deciso di separare l attività da proporre ad alunni della secondaria di primo grado da quella per studenti della secondaria di secondo grado. Risultato: realizzare un percorso costituito da due attività tra loro connesse senza però essere dipendenti l una dall altra e di facile adattamento alle esigenze del gruppo classe. MatNet-USP Bergamo - Seminario didattico: Attività laboratoriali per i nuovi curricoli di matematica - Università di Bergamo 29 aprile 2011

3 Attività 1 Classe: seconda scuola media inferiore Prerequisiti: nozione di insieme, proporzioni e loro proprietà, la proporzionalità. Obiettivi d apprendimento: individuare, descrivere e costruire relazioni significative; costruire, interpretare e trasformare formule; riconoscere relazioni tra grandezze; usare coordinate cartesiane; diagrammi, tabelle per rappresentare relazioni e funzioni. Metodologia e tempi di lavoro: lavoro a piccoli gruppi basato sulla risoluzione di problemi con riferimenti alle scienze e alla realtà. L attività si può dividere in tre momenti: richiamo di conoscenze già acquisite (fasi 1, 2, 3); sviluppo di nuovi concetti e loro formalizzazione (fasi 4, 5, 6); approfondimenti (fasi 7, 8, 9).

4 Attività 2 Prerequisiti: concetto di insieme e sue rappresentazioni (diagramma di Eulero-Venn, rappresentazione per elencazione) Obiettivi d apprendimento: dall analisi di differenti tipi di legami al concetto di funzione e relative proprietà; concetto di funzione inversa. Descrizione attività e metodologia didattica: Il lavoro si svolge su due diverse proposte laboratoriali: Utilizzo di un ramo dell albero genealogico di casa Savoia. La scelta permette di evitare possibili situazioni di imbarazzo rispetto a domande sulle relazioni familiari degli alunni. Esame della registrazione nei social network. Al termine di ogni fase si potranno formalizzare i concetti a partire dal lavoro svolto dagli alunni.

5 L albero genealogico La figura 1 mostra la discendenza di Carlo Alberto, re di Sardegna: Figura 1 Osservate l albero genealogico e rispondete alle seguenti domande: 1. Quali legami intercorrono tra le diverse coppie che si possono formare tra gli elementi di questo insieme? (essere figlio di, essere padre di ) 2. Come possiamo rappresentare questi legami? (due insiemi, tabella a doppia entrata, rappresentazione cartesiana) 3. Quali sono le caratteristiche di questi legami? 4. (uno a molti, molti a uno, uno a uno, uno a nessuno, )

6 Registrazione ad un social network Di seguito viene proposto un elenco di nickname che si possono utilizzare per accedere a un social network; ogni componente del gruppo scelga un nickname presente nell elenco. Elenco nickname: (il numero dei nickname deve essere maggiore del numero degli alunni della classe) Tigre, Mucca, Maialino, Pulcino, Farfalla, Fuxia, Blu notte, Azzurro cielo, Giallo sole, Tartaruga, Bradipo, Topolino, Rosso, Rosa, Giaguaro, Leone, Giraffa, Asino, Gallo, Pollo 1. Rappresentate le scelte effettuate utilizzando due insiemi (elementi del primo: solo nickname scelti, elementi del secondo: nomi dei componenti del gruppo). Qual è la caratteristica del legame rappresentato? (legame uno a uno: funzione biunivoca) 2. Uniamo le scelte effettuate da tutti i gruppi della classe e rappresentiamoli (elementi del primo insieme: solo nickname scelti, elementi del secondo insieme: nomi degli alunni della classe); questo nuovo legame ha le stesse caratteristiche del precedente? (lo stesso nickname può essere scelto da più alunni, legame uno a molti: non è una funzione)

7 Esperienza realizzata Classe: seconda secondaria di primo grado, Istituto Facchetti di Treviglio. Primo passo Introduzione alle relazioni: scheda con elenchi di oggetti legati da relazioni di diverso tipo per evidenziare la differenza tra relazioni empiriche e funzioni matematiche ( seguo la freccia ). Trasformare in semplici operazioni un testo: un numero è il doppio di un altro privato di un unità, facendo notare che con le relazioni empiriche ciò non è possibile. Secondo passo Funzioni matematiche: schede con tabelle da cui ricavare la legge matematica esistente tra coppie di numeri, completamento di tabelle dopo aver individuato l operazione da eseguire. Utilizzazione di software per visualizzare i grafici. Utilizzare i grafici per introdurre la proporzionalità diretta, quella inversa e la linearità (difficoltà a riconoscere la proporzionalità diretta se il coefficiente è frazionario) Dominio e codominio: schede in cui si chiede di collegare gli elementi corrispondenti.

8 Esempi di scheda di lavoro

9 Esempio di scheda di lavoro

10 Prossimi passi Passo tre Formalizzazione e utilizzo del linguaggio specifico: rilettura delle schede per introdurre i concetti di variabile indipendente e dipendente, dominio e codominio, funzione inversa e i relativi simboli Quarto e ultimo passo Verifica del percorso con schede che contengano tutti i concetti affrontati: riconoscimento di funzioni empiriche e matematiche, formulazione matematica a partire dalla forma testuale, rappresentazione nel piano cartesiano, individuazione della funzione inversa.

11 Mettere in corrispondenza a partire dal quotidiano

12 Problema : Le paghette congrue ovvero la proporzionalità diretta. Le paghette congrue [Fonte: Gare di Matematica Città di Terni, 2008] La famiglia Bianchi è costituita da padre, madre e tre figli: Marco, Elisa e Francesco, rispettivamente di età 11 anni e 4 mesi; 15 anni e 1 mese; 18 anni e 5 mesi. I genitori desiderano distribuire a ciascun figlio una paghetta settimanale direttamente proporzionale alle età di ognuno. La somma totale messa a disposizione settimanalmente è di Trovare la somma spettante a ciascun figlio. Consegna: Una volta risolto il problema, costruite, mediante i diagrammi di Venn, i due insiemi (età, paghetta) e mettete in corrispondenza mediante frecce di relazione. Rappresentate graficamente su carta e con Excel i dati ottenuti.

13 denaro/euro Problema : Le paghette congrue ovvero la proporzionalità diretta. Rappresentazione grafica della paghette congrue età/mesi =? Si fa discendere da tutto ciò la definizione di funzione matematica

14 La funzione agisce come un automa Questo automa distribuisce lattine di un solo tipo dopo che sono state introdotte due monete da 1 euro. L'automa non restituisce monete. Traducete con una tabella doppia varie situazioni, individuate la legge che regola questa macchina e rappresentate con un diagramma cartesiano la corrispondenza. Si fa discendere il concetto di coefficiente angolare : k. Si proseguirà con lo studio della funzione in tutto il piano cartesiano.

15 Funzioni lineari: un esempio tratto dalla geometria Riporta nella tabella sottostante le coordinate dei punti A, B, C, D, E, F e G Approfondimento: funzioni lineari

16 Equiestensione e funzione di proporzionalità inversa: un esempio tratto dalla geometria Approfondimenti Si verifica che è costante il prodotto tra le variabili Si proseguirà con lo studio della funzione in tutto il piano cartesiano.

17 Verifica: Funzione di proporzionalità diretta Considera i seguenti quadrati (sovrapposti l uno all altro) e, col righello, misurane la lunghezza dei lati: Riporta in due diagrammi di Venn i valori del dominio e del codominio mettendo in corrispondenza tali valori. Stabilisci di quale corrispondenza si tratta. Compila, poi, la seguente tabella: lato (cm) x Perimetro (cm) y Indica la legge che lega la y alla x e rappresentala in un piano cartesiano.

18 y Verifica: Funzione di proporzionalità inversa La base (y) di un rettangolo e la sua altezza (x), considerando costante l area A, sono grandezze inversamente proporzionali: xy = A. Poni A = 48 cm 2, costruisci la tabella dei valori e disegna il grafico di tale funzione. Scrivi la formula della funzione Osserva il seguente grafico, ricava da esso i valori del dominio e del codominio riportandoli in una tabella. Stabilisci di quale funzione si tratta e scrivine la formula x