SYLL.1: Introduzione all uso di Matlab. MO X. SYLL.1: Introduzione all uso di Matlab p. 1/3

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1 MO X SYLL.1: Introduzione all uso di Matlab p. 1/3 SYLL.1: Introduzione all uso di Matlab

2 SYLL.1 p. 2/3 Contenuti della lezione Per iniziare a usare Matlab... Assegnazione di variabili scalari e vettoriali Manipolazione di vettori e matrici Operazioni elemento per elemento Grafici in due dimensioni spaziali Definizione di funzioni simboliche Grafici in tre dimensioni spaziali Elementi di programmazione M-files: scripts e functions

3 SYLL.1 p. 3/3 Riferimenti bibliografici 1. P. Causin, S. Micheletti, R. Sacco, Introduzione all uso di Matlab per il Calcolo Scientifico, (2000), disponibile sul sito www1.mate.polimi.it/cn. 2. Tutorial disponibili sul sito alla voce Prodotti. 3. Programmi dai testi: A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica Numerica, Seconda Edizione, Springer-Italia, Milano, A. Quarteroni, F. Saleri, Introduzione al Calcolo Scientifico, Springer-Italia, Milano, Tutorials e programmi disponibili presso i siti di numerose Facoltà italiane e straniere.

4 SYLL.1 p. 4/3 Per iniziare... Matlab (Matrix Laboratory) è un ambiente di calcolo sviluppato a partire dagli anni 70. La struttura di base è la matrice, per la quale sono già predefinite numerosi tipi elementari (matrice identità, matrice nulla, matrice unità...), funzioni algebriche e di manipolazione (somma, prodotto, calcolo del determinante). 1. Per lanciare Matlab da ambiente Windows basta cliccare con il mouse sull icona corrispondente; 2. in ambiente Unix, digitare il comando matlab e quindi dare il comando di invio (indicato nel seguito con ). All avvio viene aperta una finestra (spazio di lavoro) nella quale è possibile digitare comandi dal prompt >> Per entrare in confidenza con l ambiente di lavoro è utile: 1. lanciare il comando demo che illustra le potenzialità del software attraverso significativi esempi numerici e casi test; 2. fare costante riferimento all uso dell help, ad esempio help sqrt (calcolo della radice quadrata di un numero).

5 SYLL.1 p. 5/3 Prime istruzioni in Matlab Il modo più immediato per interagire con Matlab: è scrivere l istruzione dal prompt seguita da Esempio: assegnazione del valore 3 alla variabile a: >> a = 3 a = 3 Possiamo usare Matlab come una semplice calcolatrice: >> b= a*2 b = 6 o, come vedremo, come un vero e proprio ambiente di programmazione. Invece di digitare tutte i comandi al prompt, possiamo memorizzare una serie di istruzioni successive (script) sotto formato di file di testo, detto M-file e caratterizzato da estensione.m. A questo scopo possiamo utilizzare l Editor di testo integrato. Per uscire da Matlab: comando quit.

6 SYLL.1 p. 6/3 Alcuni trucchi per risparmiare tempo 1. Durante la sessione di lavoro è possibile richiamare i comandi precedentemente digitati utilizzando i tasti ; 2. immettendo i primi caratteri di un istruzione già digitata e poi premendo il tasto, viene completata la riga con l ultima istruzione che inizia con quegli stessi caratteri; 3. i tasti e permettono di riposizionare sulla linea di comando il cursore e di modificare il testo scritto; 4. con il tasto sinistro del mouse sulla finestra di calcolo si possono selezionare parti di testo che è poi possibile copiare, tagliare ed incollare sulla linea di comando.

7 SYLL.1 p. 7/3 Come salvare il proprio lavoro 1. per salvare una cronaca della sessione di lavoro si deve eseguire all inizio della sessione stessa il comando diary nomefile.txt. Il file di testo NON permette di recuperare il contenuto delle variabili; 2. per conservare il contenuto delle variabili si deve invece salvare tutta l area di memoria (o parte di essa) con il comando save. Ad esempio: >> x = 1; >> a = 3; >> z = sqrt(a)-x; >> save areawork >> save xzarea x z I file prodotti (binari) hanno estensione.mat. Per ricaricarli nello spazio di lavoro usiamo il comando load: >> load areawork >> load xzarea

8 SYLL.1 p. 8/3 Qualche informazione ulteriore sulle variabili in Matlab In Matlab tutte le variabili sono in doppia precisione, ovvero sono rappresentate internamente con 64 bit, cui corrispondono 16 cifre significative decimali. Quando assegnamo un valore ad variabile, Matlab risponde con un eco: >> s = 10 s = 10 Per sopprimere l eco, usiamo la sintassi ; >> s=10; Possiamo conoscere le variabili presenti in memoria con il comando whos: >> whos Name Size Bytes Class s 1x1 8 double array Quando non assegnamo il valore di un operazione ad una variabile, Matlab assegna tale valore alla variabile ans (che viene così ogni volta sovrascritta): >> 3ˆ2 9

9 SYLL.1 p. 9/3 Un osservazione sulla precisione di calcolo Tutti i calcoli vengono effettuati in doppia precisione, mentre diversa è la visualizzazione delle variabili che viene determinata con il comando format: format short: virgola fissa con 5 cifre (è il formato di default): >> pi format long: virgola fissa con 15 cifre: >> pi format short e: virgola mobile con 5 cifre: >> pi e+00 format long e: virgola mobile con 15 cifre: >> pi e+00

10 SYLL.1 p. 10/3 Definizione di vettori (I) Modalità più semplice: elencare le singole componenti del vettore fra una coppia di parentesi quadre, si ottiene così un vettore riga: >> b = [ ] >> whos Name Size Bytes Class b 1x4 32 double array Lo stesso risultato si ottiene separando le componenti con il carattere,. Separando invece le componenti con il carattere ; si ottiene un vettore colonna: >> b = [1; 2; 3; 4] b = >> whos Name Size Bytes Class b 4x1 32 double array

11 SYLL.1 p. 11/3 Definizione di vettori (II) In alcuni casi possiamo essere più rapidi, usando la sintassi inizio:incremento:fine: >> b = [1:10] b = >> b = [1:2:10] b = >> b = [10:-3:0] b = >> b = [1:1.5:10] b =

12 SYLL.1 p. 12/3 Definizione di matrici La costruzione delle matrici segue una sintassi simile al caso dei vettori: >> M = [1 2; 3 4] M = definisce una matrice quadrata di ordine 2. Osserviamo che: 1. una matrice non è altro che una collezione di vettori riga ovvero colonna; 2. in tutte le righe, il numero di componenti deve essere lo stesso! Ad esempio: >> M = [1 2; 3 4 5]??? = [1 2; 3 4 5] All rows in the bracketed expression must have the same number of columns.

13 SYLL.1 p. 13/3 Manipolazione di vettori e matrici Definiamo: >> b = [1:10] Per accedere agli elementi di b: >> a=b(5) a = 5 >> c=b(1:3) c = >> b([1:2,6,9:10]) Transposizione di un vettore: >> bt = b >> size(bt) >> bt 4x1 32 double array

14 SYLL.1 p. 14/3 Manipolazione di vettori e matrici (II) Definiamo la matrice >> M = [1:5; 6:10; 11:15; 16:20] Per accedere agli elementi di M >> M(2,3) 8 Estrazione di una riga della matrice: >> M(1,:) Estrazione di una colonna della matrice: >> M(:,3) Estrazione di più righe e colonne: >> M(2:4,1:2:5)

15 SYLL.1 p. 15/3 Determinanti dei minori principali di una matrice >> format rat >> a = hilb(4) a = 1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7 >> m1 = a(1,1); dm1 = det(m1); >> m2 = a(1:2,1:2); dm2 = det(m2); >> m3 = a(1:3,1:3); dm3 = det(m3); >> m4 = a(1:4,1:4); dm4 = det(m4);

16 SYLL.1 p. 16/3 Operazioni fra vettori In Matlab sono definite le operazioni di somma + e sottrazione vettori. Tali operazioni agiscono elemento per elemento: >> b = 1:4; >> c = 2:5; >> b+c tra >> c - b >> b*c 40 >> b *c Avvertenza: i vettori devono avere dimensioni compatibili!

17 SYLL.1 p. 17/3 Uso della sintassi Matlab estende le proprietà delle operazioni tipo somma e sottrazione anche ad altre operazioni, fra cui moltiplicazione e elevamento a potenza. Il vincolo è che i due vettori operandi abbiano lo stesso numero di componenti riga e colonna. Ad esempio: >> a = 1:3; >> b = a; >> a.*b >> a.ˆb Se le dimensioni non sono compatibili: >> c= [1 2]; >> a.*c Matrix dimensions must agree

18 SYLL.1 p. 18/3 Operazioni fra matrici Somma e sottrazione di matrici: >> A = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; >> B = [ 1 1 1; 2 2 2; 3 3 3]; >> A+B >> A-B Prodotto tra matrici (prodotto righe per colonne): >> A*B Inversa di una matrice inv(a).

19 SYLL.1 p. 19/3 Funzioni intrinseche definite per vettori e matrici Principali funzioni built-in che permettono di manipolare o agire su vettori e matrici: eye(n) costruisce la matrice identità di ordine, cioè la matrice che ha elementi 1 sulla diagonale principale e 0 altrove; ones(m,n) (zeros(m,n)) costruisce una matrice o un vettore di dimensione i cui elementi sono tutti 1 (0). Definiamo ora >> M = [1 2 4; 4 5 6; 7 8 9]; size(m) fornisce le dimensioni >> size(m) 3 3 e della matrice M: tril(m) (triu(m)) costruisce la matrice triangolare inferiore (superiore) estratta da M: >> tril(m)

20 SYLL.1 p. 20/3 Risoluzione di un sistema lineare con la fattorizzazione LU >> A=hilb(12); >> b=a*ones(12,1); >> [L,U,P]=lu(A); >> y=l\(p*b); >> x=u\y; >> format long e >> norm(x-ones(12,1)) >> cond(a) Si noti la scarsa accuratezza del risultato, a causa dell elevato malcondizionamento della matrice di Hilbert.

21 SYLL.1 p. 21/3 Grafici in due dimensioni (I) Tracciamo nel piano il grafico di una funzione per utilizzando il comando plot nella sua forma più elementare: >> x=0:pi/100:2*pi; >> y=sin(x); >> plot(x,y); >> grid Il comando grid traccia sul grafico una griglia di riferimento

22 SYLL.1 p. 22/3 Grafici in due dimensioni (II) È possibile rappresentare nello stesso grafico più di una curva che possiamo contrassegnare con colori differenti: >> y1=sin(x); >> y2=sin(2*x); >> y3=sin(3*x); >> plot(x,y1, b,x,y2, y,x,y3, r )

23 SYLL.1 p. 23/3 Grafici in due dimensioni (III) Per rappresentare la curva per punti discreti procediamo nel modo seguente: >> x=0:0.1:2*pi; >> y=sin(x); >> plot(x,y, * )

24 SYLL.1 p. 24/3 Funzioni simboliche Talvolta è utile definire una funzione in modo simbolico, ovvero definire semplicemente l espressione matematica della funzione senza che ad essa vengano associati dei valori numerici. In questo caso si dice la funzione è definita come stringa e la sua espressione deve essere racchiusa fra apici. Ad esempio: >> fun= (exp(x)-exp(-x))./(exp(x)+exp(-x)) fun = (exp(x)-exp(-x))./(exp(x)+exp(-x)) Nota. Si osservi attentamente l uso delle operazioni elemento per elemento. Per tracciare il grafico della funzione per valori di con passo utilizziamo il comando eval che valuta la funzione simbolica nelle ascisse specificate dal vettore x: >> x=-5:0.01:5; >> plot(x,eval(fun)) >> grid >> title( Tangente iperbolica ); Nota. Esiste naturalmente anche il comando tanh!

25 -. # " SYLL.1 p. 25/3 Rappresentazione di superfici in tre dimensioni Rappresentiamo il grafico della funzione di due variabili. A partire dai vettori e generiamo con meshgrid una griglia di base costituita dalla matrici X e Y che individuano tutti i nodi di coordinate >> x=-2:.2:2; y=-2:.2:2; [X,Y]=meshgrid(x,y); Usiamo surf per disegnare la funzione base generata con le matrici ed : >> Z = X.* exp(-(x.ˆ2 +Y.ˆ2)); >> surf(x,y,z); >> colormap(hsv); ',+ * ')( $&%! utilizzando la griglia di :

26 SYLL.1 p. 26/3 Elementi di programmazione (I): ciclo for L istruzione for ripete per un determinato numero di volte un blocco di istruzioni. La forma generale dell istruzione for è la seguente: for indice=start:step:end % valore di default step=1 blocco istruzioni end Le parole chiave for e end obbligatoriamente iniziano e terminano il ciclo. Esempio. Stampa di tutti i numeri dispari da 1 a 50: for i=1:2:50 disp(i) end Osserviamo infine che è possibile annidare più cicli for. Ad esempio per riprodurre il comportamento della built-in function hilb possiamo scrivere: for i=1:n for j=1:n a(i,j)=1/(i+j-1); end end È sempre utile indentare opportunamente le righe di codice per rendere il listato più facilmente comprensibile.

27 SYLL.1 p. 27/3 Elementi di programmazione (II): ciclo while L istruzione while esegue un blocco di istruzioni un numero indefinito di volte fino al persistere di una certa condizione. Non è quindi noto a priori il numero di ripetizioni del blocco di istruzioni. La sintassi generale è: >> while (condizione) >> blocco istruzioni >> end Le parole chiave while e end obbligatoriamente iniziano e terminano il ciclo. Esempio. Calcolo del massimo valore intero tale che il suo fattoriale sia minore di 1e10: >> n=1; >> while (prod(1:n)<1e10) % prod(1:n) restituisce n! n=n+1; end >> disp(n) Nota. Qualora, a causa di un errore di programmazione, il programma dovesse ripetere un numero infinito di volte il blocco di istruzioni perché la condizione di persistenza è sempre verificata, è possibile interrompere l esecuzione del programma premendo contemporaneamente i tasti Ctrl+C.

28 SYLL.1 p. 28/3 Elementi di programmazione (III): istruzione if L istruzione if controlla l esecuzione di un determinato blocco di codice a seconda del valore (vero o falso) assunto da una certa espressione logica. La forma generale dell istruzione if è la seguente: >> if(condizione1) >> blocco1 >> elseif (condizione2) >> blocco2 >> else >> blocco3 >> end Esempio. Scriviamo un codice per il calcolo del fattoriale di un generico numero n: n=input( Numero di cui calcolare il fattoriale >> ); if n<0 disp( n negativo ) elseif n==0 % == operatore confronto di uguaglianza fattoriale=1 else fattoriale=prod(1:n) end

29 / / SYLL.1 p. 29/3 M-files I files che contengono codice Matlab sono detti M-files (estensione.m). Essi possono essere richiamati dal prompt digitandone semplicemente il nome. Gli M-files si dividono in due categorie: M-files di tipo scripts: si tratta semplicemente di files che raccolgono in successione istruzioni come date dalla linea di comando; M-files di tipo functions che accettano argomenti in ingresso e possono restituire argomenti in uscita; possiedono variabili interne che hanno visibilità locale. L intestazione di ciascuna function, che deve comparire nella prima riga del file corrispondente (in questo esempio nomefunction.m), ha la struttura: function [out1,out2,...,outn]=nomefunction(in1, in2,..., inn) Le variabili out1,out2,...,outn sono i parametri in uscita, mentre la variabili in1, in2,..., inn sono i parametri in ingresso. Si noti la parola chiave function all inizio della riga.

30 SYLL.1 p. 30/3 Esempio di function (I) Scriviamo una function che costruisce la matrice di Hilbert di ordine n e ne calcola i determinanti dei minori principali: function [mat,detminori]=mathilb(n) % % [mat,detminori]=mathilb(n) % mathilb: costruisce la matrice di Hilbert di ordine n % e ne calcola i determinanti dei minori principali % % Argomenti in ingresso % n: ordine della matrice % % Argomenti in uscita % mat: matrice di Hilbert di ordine n % detminori: vettore determinanti dei minori principali % mat=hilb(n); for i=1:n detminori(i)=det(mat(1:i,1:i)); end

31 SYLL.1 p. 31/3 Esempio di function (II) La parte di testo preceduta dal carattere % è una parte di commento che può essere richiamata con il comando help nomefunction, ovvero nel nostro caso con help mathilb; è buono stile di programmazione aggiungere sempre dei commenti; per eseguire dal prompt di Matlab la funzione mathilb (con n=5, ad esempio) digitiamo l istruzione: >> [a,determinanti]=mathilb(5); Osserviamo che le variabili proprie alla function accessibili dallo spazio di lavoro sono esclusivamente quelle designate come parametri in uscita, ovvero in questo caso [a,determinanti]. Le variabili interne alla function, ad esempio i, rimangono invisibili al di fuori di essa e, una volta terminata la function, ne viene perso il contenuto.