DINAMICA FISICA LEGGI DELLA DINAMICA. Lezione 2. Estratto da B. Finzi, Meccanica Razionale, Zanichelli, Bologna

Transcript

1 1 Lezione 2 LEGGI DELLA DINAMICA Estratto da B. Finzi, Meccanica Razionale, Zanichelli, Bologna DINAMICA FISICA La Dinamica si occupa del movimento dei corpi naturali in dipendenza delle circostanze fisiche nelle quali il moto si compie. Queste circostanze fisiche possono essere tradotte da forze, onde il nome di Dinamica. 1.RIFERIMENTO ASSOLUTO Mentre in Cinematica i riferimenti spaziali e temporali potevano essere assunti con larga arbitrarietà, i concetti e le leggi fondamentali della Dinamica classica perdono ogni significato e ogni contenuto di verità sperimentale se non si assume un particolare riferimento spaziale e temporale che diciamo assoluto. Diciamo tempo assoluto quello dato da un orologio normale, proporzionale all angolo di rotazione della Terra rispetto alle cosiddette stelle fisse, tempo che riteniamo (secondo i postulati della Cinematica classica) indipendente dall osservatore. Diciamo POSIZIONE ASSOLUTA la posizione di un punto o di un sistema riferita ad una terna d assi rigidamente collegata alle stelle fisse od uniformemente e rettilineamente traslante rispetto ad esse. Approssimativamente, nelle questioni più comuni, trascurando la rotazione diurna della Terra attorno al proprio asse e il fatto che il moto annuo attorno al Sole non rettilineo uniforme, tale si può ritenere una terna d assi solidale con la Terra. Un osservatore solidale con la terna alla quale si riferisce la posizione assoluta e che si vale del tempo assoluto si dice osservatore assoluto: è rispetto a questo osservatore che sono valide le leggi e le esperienze che servono di fondamento alla Dinamica Notiamo che questa riserva cade nella teoria della relatività, nella quale, ci si preoccupa di determinare delle leggi fisiche vere per ogni riferimento spaziale e temporale.

2 2 PUNTO MATERIALE In dinamica faremo sovente uso della nozione di punto materiale, al quale anzi riferiremo le leggi fondamentali. Consideriamo un corpo contenuto in una sfera di raggio ε. Se ε è tanto piccolo rispetto alle dimensioni del campo di moto da poter essere trascurato, il corpo del quale non si considera parte alcuna, può assimilarsi nel suo movimento ad un punto: un punto P qualsivoglia interno alla sfera considerata. Il punto P che rappresenta cinematicamente il punto, ed al quale si attribuiscono le proprietà fisiche globali del corpo stesso, si dice punto materiale. Ad esempio: 1) Un proiettile da fucile ha dimensioni trascurabili rispetto a quelle del campo occupato dalla sua traiettoria: potremmo assimilare il proiettile ad un punto materiale. 2) Un veicolo lungo una strada sufficientemente lunga può assimilarsi ad un punto materiale. 3) Così pure la Terra nel suo movimento annuo può assimilarsi ad un punto materiale, perché le sue dimensioni sono piccole rispetto a quelle della sua orbita attorno al Sole (il rapporto fra il raggio terrestre distanza media fra la Terra e il Sole vale circa 1/25.000). PRINCIPIO DI RELATIVITA GALILEIANA Consideriamo due osservatori O e o, che si valgono dello stesso tempo assoluto, il secondo dei quali in moto traslatorio rettilineo ed uniforme rispetto al primo: per esempio O sia uno sperimentatore che si riferisce ad una terna solidale con l edificio ove si trova il suo laboratorio, o sia uno sperimentatore che si riferisce ad una terna solidale con una cabina di una nave rettilineamente ed uniformemente traslante rispetto ad O. Le leggi sulla caduta dei gravi tratte dalle esperienze del primo osservatore coincidono con quelle tratte dalle esperienze del secondo. La stessa cosa avviene per le leggi sul moto del pendolo, sulla rotazione dei giroscopi, sulla oscillazione dei bilancieri degli orologi, sulla vibrazione delle corde, sulla propagazione del suono, sulla resistenza idro e aerodinamica, e così via. Ne scende il principio di relatività galileiana, grazie al quale le leggi meccaniche, desunte dalle esperienze di un osservatore o, moventesi di moto traslatorio rettilineo uniforme rispetto ad un osservatore o, coincidono con le leggi meccaniche desunte dalle esperienze di 0.

3 3 E' appunto grazie a questo principio che si può scegliere come riferimento assoluto, rispetto al quale si formulano le leggi fondamentali della Dinamica, una qualunque delle terne che si muovono di moto traslatorio rettilineo uniforme rispetto alle stelle fisse. Se diciamo x, y, z, t le coordinate cartesiane ortogonali ed il tempo dell'osservatore o; X, Y, Z, T le coordinate cartesiane ortogonali ed il tempo dell'osservatore 0, il legame fra x, y, z,t e X,Y,Z,T è il seguente: t = T, x = X -VT, y = Y, z = Z (1) se l'origine dei tempi e le terne sono state scelte in modo tale che per t = T = O le due terne coincidano, e la velocità costante V, con cui o trasla rispetto ad 0 sia orientata come l asse X. Grazie al principio di relatività galileiana, le leggi meccaniche debbono avere carattere invariantivo rispetto alla trasformazione (1), che e' detta appunto TRASFORMAZIONE di GALILEO

4 4 LEGGE D'INERZIA Consideriamo un punto materiale P isolato, cioè sottratto all'azione di ogni agente fisico. Se esso è inizialmente in quiete rispetto ad un osservatore assoluto (praticamente anche rispetto ad un osservatore solidale con la Terra), esso persiste nel suo stato di quiete. Se, rispetto all'osservatore precedente, ha inizialmente una velocità v, il punto possiede in ogni altro istante la stessa velocità v: il suo moto è cioè rettilineo uniforme. Dunque: rispetto ad un osservatore assoluto, un punto, sottratto ad ogni azione fisica, o sta fermo o si muove di moto rettilineo uniforme. La legge enunciata è la prima legge di NEWTON, la legge d'inerzia: Essa non è direttamente verificabile con l' esperienza, perchè è impossibile praticamente sottrarre un corpo all'azione di ogni altro. Si può notare però che quanto più lieve è l'azione di altri corpi sul punto materiale che si considera, tanto più sensibilmente questo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme. La legge d'inerzia è intimamente connessa al riferimento che abbiamo detto assoluto. Anzi se essa è vera rispetto ad un osservatore 0 per un punto materiale P in posizione generica, è pure vera rispetto ad un osservatore o soltanto se questo si muove di moto traslatorio rettilineo uniforme rispetto ad 0. Per le ragioni esposte il riferimento assoluto si dice RIFERIMENTO INERZIALE, riferimento cioè per il quale vale la legge d'inerzia.

5 5 Terna O, (x, y, z) in moto traslatorio, rettilineo, uniforme, Terna inerziale. Terna O, (x, y, z) in moto traslatorio, non rettilineo, Terna non inerziale. Terna O, (x, y, z) in rotante, Terna non inerziale.

6 6 LEGGE FONDAMENTALE DELLA DINAMICA Consideriamo un punto materiale P posto in presenza di altri corpi. Questi esercitino su P delle azioni il cui complesso rappresenteremo, come già nella Statica, con un vettore F applicato in P: con una forza. Le tensioni di funi, le pressioni di aste, i pesi, la forza elastica esercitata da una molla, etc. sono esempi di forze che per ora penseremo agire su P. Applicando una forza ad un punto materiale P, sia in quiete che in moto rispetto ad un osservatore assoluto, esso subisce una variazione di velocità, e quindi assume un'accelerazione a. Che legame intercede fra F ed a? Detto allora h un coefficiente di proporzionalità positivo, questa esperienza di carattere locale è tradotta dalla relazione a = h/p F Ossia: F = p/h a (2) Il coefficiente h non dipende, naturalmente, né da F, né da a, né da p, ma neppure dalla natura del punto materiale, dall'istante t in cui l'esperienza si inizia, e neppure sensibilmente alla porzione di P. Se ora supponiamo che, rispetto all'osservatore o, il punto P abbia nell'istante t prefissato una velocità v non nulla, l'ultima relazione scritta sussiste rispetto all'osservatore o, anche se nell'istante t prefissato la velocità v di P non è nulla. Del resto la (2) può verificarsi sperimentalmente in modo diretto (se pur con maggiori difficoltà) anche per punti materiali in moto non incipiente. Determiniamo ora il coefficiente h che compare nella (2).

7 7 A tal fine basta riferirsi ad un caso particolare. Si consideri un punto materiale soggetto soltanto al proprio peso: su di esso agisce soltanto una forza costante diretta come la verticale discendente. GALILEO dimostrò sperimentalmente che l accelerazione che subisce un punto materiale per effetto del suo peso è la stessa per tutti i corpi, indipendente dal tempo, dalla posizione del punto (in una regione non troppo estesa) e dalla sua velocità. Detta g l'accelerazione di gravità, p il peso, la (2) diviene nel caso in esame: p = p/h g Da questa si trae: h = g (3) cioè la costante h che ha tutti i caratteri del modulo dell'accelerazione di gravità, si identifica con questo. Calcolata cosi h scriveremo la (2), valida localmente per ogni forza, nel modo seguente: F = p/g a (4) Le osservazioni astronomiche giustificano l'estensione della (4) dalla Terra al cielo, e mostrano indirettamente che è con grande approssimazione lecito considerare il rapporto p/g che funge da coefficiente, dipendente dalla sola natura del punto materiale. Indichiamo la massa di un punto materiale con m, m = p/g (5) e notiamo che essa è distinta dal peso, pur essendo legata al modulo di questo dalla semplice relazione di proporzionalità (5): il peso è una forza che può essere equilibrata da un'altra forza; non così invece la massa.

8 8 In un galleggiante, ad esempio, il peso è equilibrato dalla spinta idrostatica, ma questa non influisce affatto sulla massa del galleggiante. La massa ha carattere additivo: riunendo due punti materiali P 1 e P 2 di pesi p 1 e p 2 e di masse m 1 e m 2 si ottiene un unico punto materiale P di peso p = p 1 + p 2 e quindi di massa m = m 1 + m 2 eguale cioè alla somma delle masse dei punti materiali P 1 e P 2. Valendosi della (5), la (4) diviene: F = m a (6) E' questa la forma consueta che si dà a quella che, per eccellenza, si dice la LEGGE FONDAMENTALE della DINAMICA: forza ed accelerazione di un punto materiale sono proporzionali, e il coefficiente di proporzionalità è la massa. Torniamo alla legge fondamentale della Dinamica (6), e consideriamo 2 punti P 1 e P 2, di masse m 1 e m 2 soggetti alla stessa forza F. Se a 1 e a 2 sono accelerazioni di P 1 e P 2, risulta : F = m 1 a 1 F = m 2 a 2 m 1 /m 2 = a 1 /a 2 dove, a parità di forza, le accelerazioni subite dai due punti materiali sono inversamente proporzionali alle loro masse. La massa di un punto materiale rappresenta dunque un coefficiente d'inerzia (di pigrizia, se si vuole) alla variazione di velocità. La (6) permette, nota la forza impressa F, di calcolare l'accelerazione a subita dal punto materiale a = F /m Viceversa, nota l'accelerazione a nel movimento, determina la forza motrice del movimento stesso, identificandola con il prodotto ma. Sapendo che il movimento di un pianeta è centrale e che la sua accelerazione a è sempre diretta verso il Sole ed è in modulo inversamente proporzionale al quadrato della distanza pianeta e Sole, si conclude che il Sole esercita sul pianeta una forza motrice eguale ad m a, diretta dal pianeta verso il Sole ed in modulo proporzionale alla massa m del pianeta ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza fra pianeta e Sole. Con l'introduzione della forza motrice definita dalla (6) ci è possibile dare alla

9 9 nozione di forza significato ben più ampio di quello intuitivo finora considerato, e sufficiente allo svolgimento della Statica. Non solo, ma la (6) ci permette di pervenire ad una misura dinamica della forza, attraverso alla conoscenza della massa e la misura cinematica dell'accelerazione. Le forze motrici definite dalla (6) si compongono con legge vettoriale. In ciò consiste il principio sperimentale del parallelogramma delle forze motrici applicate ad uno stesso punto materiale. LEGGE DELL'AZIONE E DELLA REAZIONE. Consideriamo due punti materiali P e Q. Sia FPQ la forza che si esercita sul punto P per azione di Q. Sia analogamente FQP la forza che si esercita su Q per azione di P. Anche in condizioni di moto: le due forze F PQ e F QP sono sempre opposte ed hanno come comune retta d'applicazione la retta PQ. Detta azione una delle due forze precedenti, e reazione l'altra, la legge ora enunciata costituisce la legge dell'azione e della reazione, la terza legge di Newton: ad ogni azione corrisponde una reazione eguale e contraria. Così, ad esempio, se con la mano si esercita una forza avente carattere di pressione sul tavolo, questo (sia che si muova, sia che non si muova) esercita su di noi una forza avente carattere di pressione opposta alla precedente. A proposito dell'azione e della reazione alle quali si riferisce la terza legge della Dinamica, si deve osservare che queste forze sono dovute essenzialmente alla presenza di corpi: anzi caratteristica delle forze dovute alla presenza di corpi è appunto quella di soddisfare alla terza legge della Dinamica. Osserviamo ancora che azione e reazione non sono applicate allo stesso punto materiale: se l'una è applicata in P, l'altra è applicata in Q. Non si può dunque sostituire ad esse il loro risultante nullo.

10 10 CARATTERISTICHE DELLA FORZA MOTRICE. Mentre nella Statica ci è stato sufficiente assimilare le forze agenti su di un corpo e traducenti le azioni di altri a trazioni di funi, pressioni di aste, ecc., in Dinamica estendiamo questa nozione definendo la forza che agisce su di un punto materiale p in movimento, e dovuta alla presenza di altri corpi, come la forza motrice F espressa dal prodotto della massa del punto p per l'accelerazione a di P: F = m a. La forza F si dice data se si conosce la legge finita che dà F in funzione degli argomenti F = F(P, V, m, k l, k 2, ) (9) Si noti che, poiché la massa e l'accelerazione restano invariate nel passaggio da un osservatore assoluto ad un altro, passaggio tradotto dalla trasformazione galileiana (1),

11 11 la funzione (9) deve essere tale da possedere anch'essa il precedente carattere invariantivo. Nella (9) m è costante, k 1, k 2,, sono costanti o al più funzioni conosciute del tempo. RESISTENZA NEI FLUIDI Una forza può dipendere soltanto dalla velocità v del punto P. E' questo il caso delle resistenze esercitate da fluidi: la resistenza viscosa, proporzionale alla velocità, con verso opposto a questa F = - k v v ; (10) La resistenza idraulica, avente la direzione della velocità, verso opposto a questa, modulo proporzionale al quadrato della velocità, F = - k i v v ; (11) la resistenza balistica, avente la direzione della velocità, verso opposto a questa, modulo crescente con v secondo una funzione f(v) che cresce più rapidamente di v 2, F = - k b f(v) v; (12) Nelle formule (10), (11), (12) i coefficienti k v, k i, k b sono positivi e dipendono dalle caratteristiche del fluido che esercita la resistenza e dalle caratteristiche di forma e di dimensione del corpo.