Accuratezza di un modello matematico: precisione semplicità. Modelli ottenuti dalle leggi della fisica, chimica, etc...

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1 SISTEMA REALE MODELLO MATEMATIO Definizione di modello matematico. Accuratezza di un modello matematico: precisione semplicità. Modelli ottenuti dalle leggi della fisica, chimica, etc... Modelli ottenuti attraverso dati sperimentali. Modelli per i controlli automatici.

2 LASSIFIAZIONE MODELLI Modelli dinamici e non dinamici (statici). Modelli a parametri distribuiti ed a parametri concentrati. Modelli deterministici e stocastici. Modelli a tempo-continuo, a tempo-discreto, ed a dati campionati. Modelli lineari e non lineari. Modelli stazionari (tempo-invarianti) e non stazionari (tempo-varianti). Modelli causali e non causali. Modelli scalari (SISO) e multivariabili (MIMO).

3 RAPPRESENTAZIONE ON SHEMI A BLOHI Blocco elementare: = F (u). u F ( ) Blocco lineare: F (u) =Ku. u K Punto di diramazione e giunzione sommante. v z u

4 REGOLE RIDUZIONE SHEMI A BLOHI LINEARI. Riduzione di blocchi in cascata: K K 2 K K 2 2. Riduzione di blocchi in parallelo: K K 2 K + K 2 3. Riduzione di giunzioni sommanti: x x w z w z 4. Spostamento di un punto di prelievo di segnale a monte di un blocco: K K K 5. Spostamento di un punto di prelievo di segnale a valle di un blocco: K K /K 6. Spostamento di una giunzione sommante a monte di un blocco: /K K x x K 7. Spostamento di una giunzione sommante a valle di un blocco: x K K x K 8. Eliminazione di un anello: K ± K 2 K K K 2

5 MODELLI DI SISTEMI ELETTRII Elementi costitutivi dei circuiti a costanti concentrate Resistenza, Induttore, ondensatore Legge della conservazione della carica Equazioni di equilibrio ai nodi Il campo elettrostatico è conservativo Equazioni di equilibrio alle maglie Variabili di stato Tensioni sui condensatori e correnti negli induttori Relazione com l energia del sistema alcolo della funzione di trasferimento mediante risoluzione del circuito col metodo della trasformata di Laplace (vedi corso di Elettrotecnica!)

6 MODELLI DI SISTEMI MEANII Sistemi di riferimento inerziale Notazione f = f(t) = forza = (t) = coppia = (t) = posizione lungo asse orientato θ = θ(t) = posizione angolare orientata u = u(t) = ẏ(t) = velocità di traslazione ω = ω(t) = ϑ(t) =velocità angolare orpo rigido con massa prevalente f m ω f = m u J = J ω Ammortizzatore con attrito viscoso prevalente f f ϑ ϑ 2 2 f = β(u u 2 ) = β(ω ω 2 ) Molla con elasticità prevalente f f ϑ ϑ 2 2 f = k ( 2 ) = k (ϑ ϑ 2 )

7 MODELLI DI SISTEMI MEANII Accoppiamenti cinematici Ruote dentate c ϑ z τ = z z 2 ϑ 2 c 2 ϑ 2 = τϑ z 2 2 = τ Meccanismo di rinvio 2 τ = r 2 f 2 r 2 = τ f f 2 = τ f Accoppiamento ruota - vite senza fine ϑ r f = rϑ f = r Puleggia r ϑ 2 = = rϑ 2 f 2 f = r f f 2

8 ANALOGIA SISTEMI MEANII-SISTEMI ELETTRII ostruzione del circuito meccanico Equivalenza degli elementi costitutivi ELEMENTOMEANIO orpo rigido Equilibrio di forze (coppie) al corpo rigido Forzeecoppie Potenze, tempi, energie ELEMENTOELETTRIO Nodo di rete Equilibrio di correnti al nodo orrenti Potenze, tempi, energie ircuito elettrico equivalente al sistema meccanico onservazione topologia. Le velocità sono analoghe a potenziali. Le masse sono analoghe a condensatori con armatura a terra ( = M). Le molle sono analoghe ad induttanze (L =/K). Gli smorzatori sono analoghi a resistenze (R = /B). Le forze applicate sono analoghe a generatori di corrente (I = f) Gli accoppiamenti cinematici sono analoghi a trasformatori.

9 ESEMPIO DI SISTEMA MEANIO (/2) Variabili di stato Velocità u, ω per le masse Forze/coppie per le molle Esempio: f k k 2 m m 2 β 2 Modello matematico: equazioni componenti elementari + equazioni equilibrio dinamico Massa m : f k ( 2 ) β(u u 2 )=m u Massa m 2 : k ( 2 )+β(u u 2 ) k 2 2 = m 2 u 2 Funzione di trasferimento tra f e 2 : G(s) = 2(s) F (s) = βs+ k m m 2 s 4 + β(m + m 2 )s 3 +[k (m + m 2 )+k 2 m ]s 2 + βk 2 s + k k 2 Equazioni ingresso - stato - uscita: f = k ( 2 ), f 2 = k 2 2 f = k u k u 2 f 2 = k 2 u 2 u u 2 = m [ f βu + βu 2 + f] = m 2 [f f 2 + βu βu 2 ] = k 2 f 2

10 ESEMPIO DI SISTEMA MEANIO (2/2) Poiché f e f 2 sono legate linearmente a e 2, si possono usare e 2 : u = m [ βu + βu 2 k + k 2 + f] u 2 = m 2 [βu βu 2 + k (k + k 2 ) 2 ] = u 2 = u A = , B = 0 0, =[000] Analogia elettrica Esempio: f β 2 f u m u 2 m 2 k k 2 G(s) = U 2(s) sf(s) U 2 (s) =F (s) s k 2 + m 2 s 2 F (s) = sm sm + sm 2 + k 2 s + β+ k s

11 ESEMPIO: AELEROMETRO DI TRASLAZIONE m = x z x b k u = z z Schema a blocchi: u := z; := x z (D := operatore di derivazione). u(t) m md 2 + bd + k (t)

12 UN LASSIO: IL PENDOLO INVERSO Y L mg 6(X, Y ) θ O s X Dinamica del moto ml θ(t) =mg sin θ(t) m s(t)cosθ(t) Modello del pendolo inverso (u(t) := s(t); (t) :=θ(t)) ÿ(t) = g L sin (t) u(t)cos(t) () L (t 0 ) = 0 (2) ẏ(t 0 ) = ẏ 0 (3)

13 SISTEMI ELETTROMEANII Il funzionamento è basato sulla conversione dell energia elettrica/meccanica. Fondamento: i A M v B f u h B N x x Φ = Bh x Legge dell induzione elettromagnetica v = dφ dt = Bhdx dt = Bhu Legge di conservazione dell energia (in assenza di perdite) vi= fu f = Bhi Equazioni di funzionamento per macchine lineari v = Bhu f = Bhi Equazioni di funzionamento per macchine rotanti ω v a = K Φ ω = k Φ i a i e i a v e v a

14 MODELLO MAHINA ON PARAMETRI PARASSITI R a L a i p E = k Φ ω i e i = k Φ I I a = I + I p v a v e R e L e + e R p V a = E +(R a + sl a ) I a V e = (R e + sl e ) I e I p = E R p Φ K e I e = r + ω(β + sj) Schemi a blocchi Motore con comando in armatura omando=v a, Disturbo= r, Variab. contr.=ω, Flusso=Φ costante v a r + i a i k Φ R a + sl a + β + sj ω E R p i p k Φ v a r + i a k Φ R a + sl a + β c + sj ω E k Φ β c = β + k 2 Φ 2 R p i a v a ω β r

15 SISTEMI ELETTROMEANII Motore con comando in eccitazione omando=v e, Varib. contr.=ω, Disturbo= r, orr. armatura costante Equazioni funzionanti: KK e II e =(KK e I) } {{ } costante I = I a I p I e I p = E m /R p costante << I a V e = (R e + sl e ) I e = r + ω(β + sj) V e R e + sl e i e kk e I + r β + sj ω Dinamo con comando in velocità omando=ω, Disturbo=i a, Uscita=v a, Flusso Φ=costante i a R a + sl a ω K Φ e + V a Dinamo tachimetrica

16 MODELLI DI SISTEMI IDRAULII Liquidi incomprimibili, privi di viscosità interna e attrito con le pareti dei condotti ed in moto stazionario. Vale la Legge di Bernoulli: p + ρgh+ 2 ρu2 = costante p=pressione, ρ=massa specifica, g=acc. gravità, u=velocità del liquido = p ρg }{{} z +h + u2 2 g = costante =carico totale idraulico, z=carico piezoelettrico Resistenza idraulica Per liquidi con attrito interno/esterno lungo una condotta si verificano perdite del carico idraulico in funzione della portata in volume q = Au (A=sezione condotta). q z z 2 z τ τ 2 τ 3 τ 4 τ 5 3 z 4 z 5 q La caduta di carico è funzione non lineare di q. linearizzazione linearizzazione 2 q q 0 Linearizzazione 2: = Rq+ 0, R=resistenza idraulica [ s m 2 ]

17 MODELLI DI SISTEMI IDRAULII Inerzia idraulica Si manifesta nel moto vario. Un tratto di condotta: A i m i A i : sezione della condotta p i u i p i+ x i : lunghezza tratto condotta m i = ρa i x i : massa liquido x i u i = q/a i Equazioni equilibrio dinamico: m i u i = A i (p i p i ) L i : inerzia idraulica [ ] s 2 m 2 i = p i p i ρg = x i ga i }{{} L i q apacità idraulica z A q q 2 Equazione di conservazione della massa: q q 2 = A ż = A ẏ A: apacita idraulica [ m 2] Analogia elettrica

18 MODELLI DI SISTEMI IDRAULII Valvola ad apertura variabile z z 2 τ 2 τ q ϑ q = (q, ϑ) 0 + Rq λϑ 0 : costante di linearizzazione R : resistenza idraulica media ϑ : angolo di apertura λ : coefficiente di comando Esempio: servomotore oleodinamico p x q q 2 A f p p 2 Dunque: q = kx p 0 p q 2 = (kx) 2 (p 0 p ) q 2 = kx p 2 q 2 2 = (kx) 2 p 2 q = q 2 = q q = kx 2 p0 p, p = p p 2 Linearizzando (cost. linearizz.=0): p k x k 2 q

19 MODELLI DI SISTEMI IDRAULII Equilibrio del pistone di potenza A p f =(β + ms) u m: massa pistone+carico β: coefficiente di attrito Portata: q = Au Schema a blocchi: x k + p A + f β + sm u s k 2 q A x G(s) + s f G d (s) G(s) = k A β c + ms, G d (s) = β + ms, β c = β + k 2 A 2

20 MODELLI DI SISTEMI IDRAULII Esempio di circuito idraulico Pressione atmosferica come pressione di riferimento Primo serbatoio q i q = A ẏ Primo tratto di condotta 2 = R q Secondo serbatoio q q 2 = A 2 ẏ 2 Secondo tratto di condotta (uscita fluido a pressione atmosferica) 2 0=R 2 q 2

21 MODELLI DI SISTEMI IDRAULII Equivalente elettrico Equivalenza generale tra circuiti idraulici ed elettrici ELEMENTOIDRAULIO ELEMENTOELETTRIO Portata arico idraulico apacità idraulica Resistenza idraulica Inerzia idraulica orrente Tensione apacità Resistenza elettrica Induttanza

22 UN ALTRO LASSIO: MODELLO DI UN SERBATOIO Attuatore idraulico riferimento q A i Valvola d ondotta h A i q i S Serbatoio galleggiante A u q u Modello del serbatoio e della condotta. Principio di conservazione della massa q i q u = S dh dt Bernoulli (velocità pelo trascurabile, pressione atmosferica) ρgh = 2 ρ q2 u A 2 u

23 MODELLO DI UN SERBATOIO Modello del serbatoio. d dt h(t) = A u 2g h(t)+ S S q i(t) Modello della condotta. q i (t) = q(t T ) Modello condotta+serbatoio (u(t) := q(t); (t) := h(t)) d dt (t) = A u 2g (t)+ u(t T ) (4) S S (t 0 ) = 0 (5)

24 MODELLO DI UN SERBATOIO q i Valvola d ondotta h A i S Serbatoio A u q u Schema a blocchi modello non lineare. q i (t) ritardo S D da iˆq h(t) A u S 2g( ) Schema a blocchi modello linearizzato ( h e q i sono le variazioni). q i (t) ritardo S D da iˆq h(t) A 2 us gˆq

25 MODELLI DI SISTEMI TERMII I fenomeni termici (es. conduzione del calore) sono in genere rappresentati da equazioni alle derivate parziali. Ipotesi di temperatura costante spazialmente costanti concentrate orpi di piccole dimensioni e fluidi perfettamente mescolati apacità termica Q = T = s M Q Q: calore scambiato, T : variazione temperatura, s : calore specifico. onservazione dell energia (trasformazione isocora) q = dq dt = dt dt = du dt T, q q: potenza termica, U: energia interna La temperatura T è una variabile di stato Modello di conduzione a costanti concentrate (resistenza termica) q = q R (T 0 T ) T R T 0

26 ESEMPIO: TERMOMETRO A MERURIO R R = resistenza termica del bulbo T, T 0 q = capacità termica del bulbo T = temperatura del bulbo T 0 = temperatura del liquido q = R (T 0 T ) (conduzione) q = dt dt (conservazione energia) R dt dt = T 0 T T = R T + R T 0 st(s) = R T (s)+ R T 0(s) G(s) = T (s) T 0 (s) = +sr Analogo elettrico R T 0 T

27 ESEMPIO: SALDABAGNO T a q a T q t R q i + q = q t + q a + q 0 T i,q i q T o,q o onservazione dell energia q t = dt dt q 0 = n s T q i = n s T i q a = T T a R q t = calore assorbito dall acqua R = resistenza termica dell acqua n = flusso d acqua in transito s = calore specifico dell acqua T + nc s (T T i )+ T T a R T = ( n s + ) R = q T + n s T i } {{ } ingresso + R T a } {{ } ingresso + q }{{} ingresso T R q n s T a T i