Intelligenza Artificiale. Ragionamento non monotono. Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 0

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1 Intelligenza Artificiale Ragionamento non monotono Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 0

2 Sommario Ragionamento non monotono Dispense Cap Revisione delle Conoscenze RN 10.8 Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 1

3 Ragionamento non-monotono Un formalismo si dice monotono quando l aggiunta di nuovi elementi descrittivi può solo aumentare l insieme delle conclusioni derivabili. Al contrario, in un formalismo non monotono l aggiunta di nuove informazioni può anche invalidare alcune delle conclusioni precentemente derivabili. La non monotonicità è una proprietà del sistema formale piuttosto che del ragionamento. Ragionamento di senso comune (Common sense reasoning) Rappresentazione incompleta (mancanza di informazioni, per semplicità di rappresentazione). Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 2

4 Informazione negativa sivola(c1, c2) indica un collegamento aereo tra due città xyz.(sivola(x, y) sivola(y, z) sivola(x, z)) Usando la logica classica non si può formalmente concludere che due città non sono collegate. Ipotesi: quando non si deriva l esistenza di un collegamento, tale collegamento non esiste. Per esempio, se non si può derivare sivola(roma, Orte), si assume sivola(roma, Orte) Non monotonicità: aggiungendo sivola(roma, Orte) non vale più sivola(roma, Orte) Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 3

5 Ragionamento con mondo chiuso Idea base: Ci sono molte più cose false che vere. Se qualcosa è vero e rilevante è stato messo nella KB. Quindi se non c è si può ragionevolmente assumere falso. Negazione come fallimento finito (P è una KB e A un atomo) Se da P non si dimostra A allora da P si deduce A completamento dei predicati ipotesi di mondo chiuso semantica dei modelli stabili Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 4

6 Completamento dei predicati Clarke 78: Consideriamo il programma T : p a p b in cui a e b sono condizioni sufficienti per p (è sufficiente che a sia vero affinché p sia vero). Il completamento di T è la teoria: p a b Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 5

7 Ipotesi di mondo chiuso Close World Assumption: CWA (Reiter 78). CLOSURE(B) = B { L L è un letterale positivo ground e B = L} CWA è consistente con Horn KB, ma ha problemi con la disgiunzione A(x) B(x) per CWA posso concludere sia A(x) che B(x) ed ho una inconsistenza. Occorre introdurre delle restrizioni (GCWA, CCWA, ECWA). Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 6

8 Semantica della negazione nei programmi logici Semantica dei modelli stabili Il modello operazionale della programmazione logica si estende per trattare la negazione come fallimento finito. DLP: tratta i programmi disgiuntivi e calcola la risposta in base alla semantica dei modelli stabili. Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 7

9 Eccezioni Gli uccelli volano: x.uccello(x) vola(x) In questa forma la regola non ammette eccezioni, ma gli struzzi non volano. x.uccello(x) struzzo(x) vola(x) Oltre al caso degli struzzi ci sono molte altre eccezioni: x.uccello(x) struzzo(x)... vola(x) Le eccezioni, in genere, non si conoscono tutte. Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 8

10 Ragionamento con eccezioni Idea base: ci vuole una forma di implicazione ritrattabile (defeasible), Circumscription Default Logic Logica epistemica Reti di ereditarietà Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 9

11 Circumscription La Circumscription (McCarthy 80) minimizza l estensione di predicati Idea base: x bird(x) ab(x) flies(x) Il mondo va per il meglio: per cui ab ha l estensione minima: gli uccelli sono quanto più possibile normali, rispetto al volare. Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 10

12 Circumscription 2 Data una teoria T del primo ordine ed un predicato P, scriviamo T (P ) per indicare che P occorre in T (P è costante) La circumscription di P in T (P ) è: T (P ) p(t (p) p < P ) p è una variabile di predicato che ha la stessa arità di P, T (p) indica la teoria T in cui il predicato P è sostituito con p p < P indica che l estensione di p è più piccola di quella di P. L estensione di P, nelle classi confrontabili dei modelli di T (P ), è minima. Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 11

13 Logica dei default Reiter 1980, variazione sulle regole di inferenza: prec : giust concl dove precondizione, giustificazione e conclusione sono enunciati proposizionali o in logica del primo ordine. La regola di default si applica nel seguente modo. Sia C un contesto, cioè una teoria. Se prec è dimostrabile da W e giust è consistente con C, ovvero la negazione di giust non appartiene a C, allora si aggiunga concl a C. Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 12

14 Teoria di default Sia LP O la logica di base e sia L un linguaggio. Una teoria di default è una coppia W, D tale che: i W è una teoria assiomatizzabile; ii D è un insieme di regole di default: e J L. α : J γ, dove α, γ L Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 13

15 Estensione Sia W, D una teoria di default. Per ogni insieme S di enunciati, sia Γ(S) il più piccolo insieme di enunciati che soddisfa le seguenti proprietà: D1. W Γ(S); D2. Cn(Γ(S)) = Γ(S); D3. Se α : β γ D e α Γ(S) e β S allora γ Γ(S). S è una estensione sse S = Γ(S) Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 14

16 Estensione: Teorema di Reiter TEOREMA: Sia W, D una teoria di default. Un insieme C di enunciati è una estensione di W, D sse C = i=0 C i, dove: C 0 = W C i+1 = Cn(C i {γ α : β γ D dove α C i e β C}) Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 15

17 Esempio 81 Sia W, D una teoria di default dove W = {q} e D = { q : p r }. Sia S = Cn({q, r}) Verifichiamo che S è un estensione (D1, D2, e D3 sono soddisfatte). Per D3, siccome q S possiamo applicare il default, p S quindi possiamo aggiungere r ad S. Verifichiamo che S sia il più piccolo insieme che ha tali proprietà. Se togliamo q, D1 non è verificato; se togliamo r, non è verificato D3. D2 è ovviamente verificato. Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 16

18 Esempio 82 Sia W, D una teoria di default dove W = {} e D = { p : }. q Essendo la giustificazione del default, per calcolare l estensione non si deve verificare la consistenza della giustificazione del default stesso. Notiamo che il default non è comunque applicabile, perché il suo prerequisito non è dimostrabile. Tale teoria di default ha come estensione l insieme delle formule valide, cioè l insieme delle formule derivabili senza utilizzare regole di default e senza assiomi propri. Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 17

19 Esempio 83 Sia W, D una teoria di default dove W = {p p} e D = { : q }. q In questo caso è il prerequisito del default. Notiamo che il default in questo caso è banalmente applicabile, perché il suo prerequisito è ; tuttavia appena lo si applica, esso ci richiede di aggiungere q all insieme S e, dunque, il default diventa immediatamente inapplicabile perché la giustificazione q è inconsistente con l insieme calcolato. Questa teoria di default, non ha estensioni. Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 18

20 Esempio 84 TWEETY 1 La regola di inferenza che noi utilizziamo è: Bird(x) : Ab F lies (x) F lies(x) Essa ci dice che un uccello, a meno che non sia anormale rispetto al volare, può in effetti volare. Sapendo Bird(tweety) e assumendo che Ab F lies (tweety) possiamo dedurre per default F lies(tweety) Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 19

21 Gli struzzi non volano Supponiamo ora che: Ostrich(f red) x (Ostrich(x) (Bird(x) Ab F lies (x))) Non possiamo concludere, usando la regola di default sopra introdotta che Fred vola. Nell estensione della nostra teoria di default abbiamo che Tweety vola, ma non abbiamo che Fred vola. Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 20

22 Esempio 85 NIXON 1 I quaccheri sono (di solito) pacifisti, e che i repubblicani invece (di solito) non lo sono. Sapendo che Nixon è un presidente repubblicano e quacchero, possiamo concludere che è pacifista o no? Quacker(x) : P acifist(x) Ab Q (x) P acif ist(x) Republican(x) : P acifist(x) Ab R (x) P acif ist(x) Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 21

23 Esempio 85 NIXON 2 W = {Quacker(nixon), Republican(nixon), (Ab Q (x) Ab R (x))} Nixon è un quacchero repubblicano e non si può essere anormali rispetto ad entrambe le categorie di persone S = Cn({Quacker(nixon), Republican(nixon), P acifist(nixon), (Ab Q (x) Ab R (x))}). Abbiamo che i punti D1, D2 e D3 della definizione sono soddisfatti; S è anche minimale, quindi è un estensione. Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 22

24 Esempio 85 NIXON 3 Sia ora S = Cn({Quacker(nixon), Republican(nixon), P acifist(nixon), (Ab Q (x) Ab R (x))}). Abbiamo che i punti D1, D2 e D3 della definizione sono soddisfatti; S è anche minimale, quindi è un estensione. Quindi la nostra teoria di default ha due estensioni distinte: una in cui Nixon in quanto quacchero normale è pacifista, e una in cui Nixon in quanto repubblicano normale è guerrafondaio. Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 23

25 Conclusioni caute e coraggiose Data una teoria di default una conclusione si dice cauta se essa appartiene a tutte le estensioni, si dice invece coraggiosa se essa appartiene a qualche estensione. Nell esempio il fatto che Nixon è pacifista è una conclusione coraggiosa. Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 24

26 Reti di ereditarietà con eccezioni Formalizzano le regole con eccezioni come dei link che possono essere preclusi o meno a seconda della struttura della rete. Problema: Nixon diamond. Si possono anche formalizzare con la logica dei default. Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 25

27 Logica Autopepistemica x.uccello(x) L vola(x) vola(x) L insieme delle conoscenze, estensione autoepistemica è caratterizzato tramite un equazione di punto fisso: T = {ψ A = T ψ} Default e logiche autoepistemiche sono molto simili. Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 26

28 Minimal Knowledge and Negation as Failure Lifschitz 95 MKNF Unifica le diverse forme di ragionamento non monotono: default logic logica autoepistemica stable model semantics circumscription minimizza le conoscenze dell agente permette di formulare delle ipotesi di default Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 27

29 Aggiornamento della base di conoscenze informazioni obsolete cambiamento della situazione ritrattazione di ipotesi Se il sistema è non monotono si può ritrattare tutto ciò che è stato derivato per default. Altrimenti occorre una revisione delle conoscenze Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 28

30 Revisione delle conoscenze Tell Ask Ritratta La ritrattazione di una concluzione richiede che vengano ritrattate tutto ciò che è stato dedotto a partire da essa. P, P Q mi permette di concludere Q Se ritratto P, anche Q non vale più. Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 29

31 Truth Maintainance Systems: TMS Sistemi per il mantenimento della verità: memorizzano (in modo efficiente) le giustificazioni di tutte le conclusioni raggiunte. Se un fatto viene ritrattato, tutte le conclusioni che lo hanno tra le giustificazioni vengono invalidate. JTMS backtraking guidato dalle dipendenze (Doyle) ATMS fatto/contesto(i) in cui è vero (de Kleer) ritrattazioni spiegazioni ragionamento non-monotono Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Ragionamento non monotono 30