II Edizione Capitolo 4: Ottimizzazione delle reti combinatorie

Transcript

1 Progettazione Digitale II Edizione Capitolo 4: Ottimizzazione delle reti combinatorie Testo di riferimento Franco Fummi, Mariagiovanna Sami, Cristina Silvano Progettazione digitale McGraw-Hill

2 T f i di i i i di d i d Trasformazione di un circuito in somma di prodotti a due livelli in un circuito a più livelli con sole porte a 2 ingressi

3 Rid i di i d d ll f i di Riduzione di area e ritardo dovuta alla trasformazione di due mintermini in un prodotto

4 Metodi di Ottimizzazione I Metodi di Ottimizzazione possono essere classificati in due macrocategorie: Metodi Esatti Karnaugh Quine-McCluskey Euristiche

5 Tre tipologie di ottimizzazione circuiti combinatori Circuiti a 2 livelli e 1 uscita: metodo esatto per identificare i primi implicanti essenziali e un metodo esatto o approssimato per identificare una copertura ottima. Circuiti a 2 livelli e più uscite: metodo approssimato per trovare la copertura ottima basato sull identificazione di implicanti primi essenziali di ogni singola uscita. Circuiti a più livelli e più uscite: numerosi metodi approssimati per esplorare diverse alternative di area e ritardo (i più efficaci sintesi ottima a 2 liv. di porzioni del circuito a 1 uscita. )

6 Relazione generale tra ottimizzazione di area e ritardo

7 T b ll d ll i à i bi d ll Tabella delle verità e rappresentazione cubica della funzione OR(a, b, c) descritta come f(b 3 ) = B

8 Struttura delle mappe di Karnaugh per gli spazi B3 e B4

9 Mappa di Karnaugh della funzione OR(a, b, c)

10 Espansione del mintermine ā b c nel cubo b Operazione di espansione effettuata a partire da ogni mintermine in tutte le direzioni per raggrupparne un numero equivalente a una potenza di 2

11 Indicazione degli implicanti primi Scelta dei implicanti primi e primi p p p essenziali

12 Tabella delle verità di una funzione f(b 4 ) B

13 Mappa di Karnaugh per la funzione del lucido 10

14 Criticità mappe Karnaugh Impraticabili per f(b n ) con n>5 Non forniscono informazioni utili all identificazione di implicanti primi e essenziali utili alla copertura di f() Inapplicabili a funzioni i a più uscite Rappresentano un metodo grafico e non algoritmico

15 Metodo tabellare di Quine-McCluskey E una prima risposta per algoritmizzare un metodo di minimizzazione esatto Il metodo si sviluppa per passi: Riordino implicanti delle f() in base agli 1 Ricerca coincidenze id e marcatura provenienza Iterazione ricerca coincidenze in tabella e marcatura per ulteriori riduzioni Tabella copertura minima

16 Ri di d li i li i d ll f i d i l l id Riordino degli implicanti della funzione descritta nel lucido 10

17 Secondo e terzo passo dell algoritmo di Quine-McCluskey

18 Tabella di copertura dell algoritmo di Quine-McCluskey

19 Tabella di copertura dopo la cancellazione delle colonne essenziali

20 Tabella di copertura dopo la cancellazione delle colonne dominate

21 Esempio di tabella di copertura

22 Riduzione Riduzione finale

23 Esempio di tabella di copertura

24 Tabella delle verità di una funzione non completamente specificata

25 Passi dell algoritmo di Quine-McCluskey

26 Tabella di copertura della funzione del lucido Tabella di copertura della funzione del lucido 20

27 Mappe di Karnaugh di una funzione a due uscite

28 Prima realizzazione della funzione a due uscite

29 Realizzazione condivisa della funzione a due uscite

30 Realizzazione condivisa della funzione a due uscite

31 Realizzazione condivisa della funzione a due uscite

32 A li i d ll l i di Q i M Cl k ll Applicazione dell algoritmo di Quine-McCluskey alla funzione precedente

33 Tabella di copertura di una funzione a due uscite

34 Esempio di applicazione dell algoritmo di Quine-McCluskey

35 Tabella di copertura della funzione a tre uscite precedente

36 T b ll di id d ll f i i Tabella di copertura ridotta della funzione a tre uscite precedente

37 Mappa di Karnaugh di una funzione particolare

38 R t iù li lli h li l f i Rete a più livelli che realizza la funzione precedente

39 Semplificazione pragmatica

40 COSTO

41 Costo di letterali C L f=bc(a!d+!b+c)+!c(d+!a)(b+c) (i) f=b(!a+c+d) (ii) è pari al numero delle variabili indipendenti della funzione, ciascuna moltiplicata per il numero di volte che essa compare nella forma. Per le reti bilaterali equivale al numero di contatti adoperati In base a tale definizione la forma (i) ha costo 11, mentre la (ii) ha costo 4

42 Costo di funzioni o di porte C P f=bc(a!d+!b+c)+!c(d+!a)(b+c) f=b(!a+c+d) (i) (ii) È pari al numero delle funzioni elementari f i che la compongono, che per reti unilaterali è uguale al numero complessivo di porte adoperate Secondo tale metrica il costo della (i) diviene 7 e di (ii) è 2

43 Costo di ingressi C i f=bc(a!d+!b+c)+!c(d+!a)(b+c) f=b(!a+c+d) (i) (ii) È pari al numero delle funzioni fi che la compongono, ciascuna moltiplicata per le variabili (dipendenti o indipendenti) di cui è funzione. Per reti unilaterali tale costo equivale al numero complessivo di porte adoperate, ciascuna pesata per il numero di ingressi (fan-in). In tal caso la (i) ha costo 17 mentre la (ii) ha costo 5

44 Metodi esatti di minimizzazione a 2 livelli Un processo di ottimizzazione logica a 2 livelli per ottenere una soluzione ottima deve: 1. Individuare i mintermini della funzione in esame 2. Individuare i primi implicanti relativi 3. Utilizzare un processo di selezione per la scelta dei primi implicanti Tale metodo esatto è poco praticabile se la rete ha un numero elevato di variabili a causa dell elevato numero di soluzione che occorre esaminare

45 Metodi di ottimizzazione I metodi di ottimizzazione esatti nei casi concreti si rivelano inapplicabili: Inapplicabili se il numero di variabili booleane di ingresso/uscita it è elevato Complessità computazionale del problema di copertura troppo elevata, in quanto Dipende dal numero dei mintermini Richiede la generazione di tutti tti gli implicanti primi i

46 Sviluppati nuovi algoritmi per risolvere il problema dell ottimizzazione (ad es. Espresso II) 1. Non dipendono dal numero di mintermini 2. Non richiedono la generazione di tutti i primi implicanti o 3. non prevedono di di elencare i primi implicanti alternativi per la loro selezione

47 Operazioni base di Espresso II Expand Essential_Primes Irredundant_Cover Reduce Last_Gasp

48 Expand Sostituisce ad ogni implicante della copertura F primi implicanti e garantisce che la copertura sia ridotta, cioè che non rimangano implicanti coperti da un solo singolo implicante. Si seleziona per primo l implicante più grande (sottocubo area massima) tra quelli non ancora elaborati. Fra i primi implicanti in cui può essere espanso si sceglie 1. quello che copre il maggior numero di implicanti di F 2. In caso di parità l implicante più grande

49 Essential_Primes Seleziona fra i primi implicanti quelli essenziali I primi implicanti essenziali vengono temporaneamente rimossi dallo spazio delle soluzioni I mintermini coperti dai primi implicanti essenziali rimossi sono trasformati in don t care essendo certamente coperti La nuova funzione che ne risulta è indicata con F -E

50 Irreduntant_Cover Tale comando rimuove gli implicanti di F -E che sono complessivamente ridondanti, cioè tutti quelli che possono essere rimossi senza lasciare mintermini non coperti Successivamente la funzione effettua una selezione fra gli implicanti rimasti

51 Reduce La procedura di reduce è usata per superare un minimo locale. Ogni implicante viene trasformato nel più piccolo implicante che garantisce la copertura di F -E. Reduce viene eseguito sequenzialmente su ciascuno degli implicanti, per cui il risultato dipende dall ordine di in cui questi sono analizzati (la riduzione di un implicante modifica anche le celle coinvolte nella riduzione dell implicante li successivo). Si sceglie implicante più grande Si ordinano gli implicanti restanti in base al più piccolo numero di posizioni in cui l implicante in esame differisce dall implicante più grande

52 Last_Gasp È una variante di Reduce seguita da una variante di Expand, seguita da Irreduntant_Cover. La reduce riduce ogni singolo implicante nel più piccolo implicante possibile che ancora assicura la copertura dell ingresso. L insieme derivato da tale riduzione sostituirà la copertura di partenza che non potrebbe coprire la funzione F -E. L applicazione di Expand troverà tutti gli implicanti che coprono almeno due dei più piccoli implicanti generati. Tale insieme i di implicanti, è prima combinato con la copertura utilizzata come ingresso a Last_Gasp e quindi sottoposto a processo di Irredundant_Cover

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71 Algoritmo Espresso Utilizza metodi Euristici Non assicurano la soluzione OTTIMA di un problema Ma danno la possibilità di trovarne una in tempi ragionevoli Complessità computazionale contenuta Come tutti i Problemi di ottimo, al presentarsi di una soluzione minima, deve verificare se il si tratta di un minimo locale, confrontandola con ulteriori soluzioni

72 Algoritmo Espresso Parametri di Input: Leggi la funzione da ottimizzare F e la relativa tabella (o mappa) di copertura iniziale costituita dall insieme i iniziale i i dei mintermini i i Inizializza Costo=CostoC in termini di Porte di Ingresso di F

73 Algoritmo Espresso Ciclo1: Esegui EXPAND Se sei alla prima iterazione Esegui ESSENTIAL_PRIMES Esegui IRREDUNTANT_COVER Se costo non migliora vai a OUT Altrimenti Aggiorna COSTO

74 Algoritmo Espresso Ciclo2: Esegui REDUCE Vai a Ciclo1 OUT: Esegui LAST_GASP Se S costo non migliora QUIT: Vai a QUIT Inserisci gli implicanti primi essenziali in F Fornisci F e Costo in output

75 Algoritmo Espresso Ciclo1: Esegui EXPAND Se sei alla prima iterazione Esegui ESSENTIAL_PRIMES Esegui IRREDUNTANT_COVER Se costo non migliora vai a OUT Altrimenti Aggiorna COSTO Sostituisce ogni implicante della copertura F con implicanti primi i E verifica che la copertura sia ridotta: ovvero che non vi siano implicanti coperti da un solo implicante

76 Algoritmo Espresso Ciclo1: Esegui EXPAND Se sei alla prima iterazione Esegui ESSENTIAL_PRIMES Esegui IRREDUNTANT_COVER Se costo non migliora Analizza ogni implicante per determinare se è un implicante primo essenziale Gli implicanti primi essenziali, in quanto necessari in tutte le soluzioni, vengono temporaneamente rimossi dallo spazio della soluzione vai a OUT I mintermini i i coperti da tali implicanti primi i essenziali, sono Altrimenti Aggiorna COSTO trasformati, nello spazio delle soluzioni, in don t care -

77 Algoritmo Espresso Ciclo1: Esegui EXPAND Se sei alla prima iterazione Esegui ESSENTIAL_PRIMES Esegui IRREDUNTANT_COVER Se costo non migliora vai a OUT Altrimenti Aggiorna COSTO Rimuove gli implicanti ridondanti (che possono essere rimossi senza lasciare mintermini non coperti)

78 Algoritmo Espresso Ciclo2: Esegui REDUCE Vai a Ciclo1 OUT: Esegui LAST_GASP Se S costo non migliora QUIT: Vai a QUIT Questa funzione è utilizzata per superare un minimo locale Ogni implicante è trasformato nell Implicante più piccolo che ancora assicura la copertura di F Inserisci gli implicanti primi essenziali in F Fornisci F e Costo in output

79 Algoritmo Espresso Ciclo2: Esegui REDUCE Vai a Ciclo1 OUT: Esegui LAST_GASP Se S costo non migliora QUIT: Vai a QUIT Questa funzione è una variante di REDUCE seguita da IRREDUNTANT_COVER (che rimuove gli implicanti ridondanti) Inserisci gli implicanti primi essenziali in F Fornisci F e Costo in output

80 Reti multilivello

81 Semplificazione di circuiti multilivello È basata sull uso di un insieme di trasformazioni che, applicate insieme alla valutazione del costo,,portano all identificazione di una soluzione che non è necessariamente quella ottima

82 Semplificazione di circuiti multilivello (2) Fattorizzazione Consiste nel trovare una forma contenente fattori comuni (letterali, prodotti, somme) per la funzione in esame, partendo dall espressione in forma di somma di prodotti o prodotto di somme di funzione stessa. Di solito è usata la fattorizzazione algebrica, la quale non tiene conto degli assiomi specifici dell algebra booleana, come quelli che coinvolgono il complemento e l idempotenza Decomposizione Si esprime una funzione per mezzo di nuove, opportune funzioni

83 Semplificazione di circuiti multilivello (3) Estrazione Si esprimono funzioni multiple per mezzo di nuove funzioni comuni Sostituzione di una funzione G in una funzione F Consiste nell esprimere F come funzione di G e di alcune o tutte le variabili originali di F Eliminazione È l inverso della sostituzione, per cui la funzione G che è contenuta in F viene sostituita con l espressione di G. Tale trasformazione è anche detta appiattimento (flattening) o collassamento (collapsing)

84 G=a!ce + a!cf + a!de + a!df + bcd!e!f H=!abcd + abe + abf + bce + bcf costo con porte (G)=28; costo(h)=27 Applicando la fattorizzazione si ha G=a!ce + a!cf + a!de + a!df + bcd!e!f= =a(!ce +!cf +!de +!df) + bcd!e!f= =a(!c +!d)(e + f) + bcd!e!f Applicando decomposizione si ha G=a(!c +!d)x 2 + bx 1!e!f X 1 =cd; X 2 =e + f G=a!X 1 X 2 + BX 1!X 2

85 G=a!ce + a!cf + a!de + a!df + bcd!e!f H=!abcd + abe + abf + bce + bcf Applicando l estrazione si ha H=b(!acd+ae+af+ce+cf) = = b(!a(cd)+(a+c)(e+f) (a c)(e Ponendo X1=cd; X2=e+f; X3=a+c G=a!X1X2+bX1!X2 H=b(!aX1+X3X2)

86 F3=AB+C(D+E) F3=AB+CD+CE costo letterali=5 per entrambi i circuiti; costo ingressi=8 i per (a) e 9 per (b)

87 G=ABCD +!A!B!C!D (i) G=(!A+B)(!B+C)(!C+D)(!D+A) ) (ii) Costo letterali (i) e (ii) è pari a 8 ma la forma (ii) occupa una maggiore area Costo ingressi è pari a 8+2=10 per (i) Costo ingressi è pari a 8+4=12 per (ii)

88 Modelli di rappresentazione di una rete e trattamento algebrico

89 Modello di Rappresentazione Una rete logica può essere rappresentata mediante un grafo orientato aciclico (DAG, directed acyclic graph) G(E,V) in cui: V è l insieme dei vertici o nodi partizionati come V i nodi di ingresso, V o nodi di uscita e V g nodi interni a cui è associata una funzione scalare E è l insieme degli archi

90 DAG di una rete logica

91 Trasformazioni algebriche Sweep Eliminazione Scomposizione Estrazione Semplificazione Sostituzione

92 Trasformazioni Booleane <inserire tabelle da fornaciari con proprietà algebra>

93 Esempio di eliminazione di un nodo

94 Rete logica di esempio

95 Rete dopo la decomposizione

96 Rete dopo l estrazione della parte comune

97 Rete inserita in un contesto e condizioni

98 Rete composta da moduli interagenti

99 Rete composta da moduli interagenti

100 Rete composta da moduli interagenti

101 Valori controllanti delle principali porte logiche

102 Valori controllanti delle principali porte logiche

103 Rete di esempio per il calcolo ODC

104 Esempio di rete per l analisi dei ritardi

105 Esempio di rete per l analisi dei ritardi

106 Esempio di rete per l analisi dei ritardi

107 Esempio di rete per l applicazione delle trasformazioni

108 Esempio di rete per l applicazione delle trasformazioni