FISICA & STRUMENTI MATEMATICI

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1 FISICA & STRUMENTI MATEMATICI DI LUIGI BOSCAINO BIBLIOGRAFIA: QUA N T UM AUTORE FA BBRI - EDITORE SEI I DEE E SPUNTI DEL DOCENTE

2 PROPORZIONI Una proporzione è l uguaglianza di due rapporti: a : b = c : d (a sta a b come c sta a d) Vai al contributo con Geogebra

3 La circonferenza della Terra misurata con la proporzione Eratostene, oltre 200 anni prima di Cristo, misurò la circonferenza della Terra servendosi di una proporzione. Vedi animazione con Flash

4 Proprietà fondamentali delle proporzioni In una proporzione, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Proprietà delle Proporzioni Proprietà FONDAMENTALE delle proporzioni In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi Da A:B=C:D segue B C=A D Proprietà dell' INVERTIRE Da A:B=C:D segue B:A=D:C Proprietà del PERMUTARE i medi Da A:B=C:D segue A:C=B:D Proprietà del PERMUTARE gli estremi Da A:B=C:D segue D:B=C:A Proprietà del COMPORRE Da A:B=C:D segue (A+B):B=(C+D):D oppure (A+B):A=(C+D):C Proprietà dello SCOMPORRE Da A:B=C:D segue (A B):B=(C D):D (con A>B) oppure (A B):A=(C D):C

5 Qual è la percentuale di maschi e di femmine in I D? La percentuale è un valore riferito a 100 unità: il 30% sta ad indicare il rapporto Per stabilire la percentuale di presenza femminile in classe si considera il numero di femmine rispetto alla totalità e si giunge alla percentuale con una proporzione: Da cui p: 100 = 10: 26 p = p 38,46% 26

6 Grandezze direttamente proporzionali

7 Equazione della proporzionalità diretta y = 75x Equazione della retta che rappresenta la proporzionalità diretta. 75 rappresenta la pendenza della retta ovvero la costante di proporzionalità. Se diamo ad x il valore 20 otteniamo un entrata per la scuola pari a 75 euro per 20 alunni: y = y = 1500

8 Dipendenza lineare Una palestra prevede un costo fisso di tesseramento pari a 35 euro per ogni anno. Le lezioni svolte nel corso dell anno costano 10 euro l una. Costruiamo una tabella che indica i costi sostenuti per 3 lezioni. Numero di lezioni (x) Costo palestra (y) In questo caso facendo la differenza di due costi diviso la differenza delle corrispondenti due lezioni si ottiene un valore costante che indica l inclinazione della retta. m = m = 10 Per 0 lezioni abbiamo la spesa fissa di 35 euro, che indichiamo con q.

9 Dipendenza lineare y = mx + q, nel nostro caso è y = 10x + 35, rappresenta la condizione di dipendenza lineare del costo dal numero di lezioni. Tale relazione è espressa graficamente da una retta non passante per l origine, in quanto vi è una spesa iniziale diversa da zero. Costo palestra ,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

10 Esercizio I gestori telefonici arancio e azzurro, applicano due diverse tariffe per le chiamate. Il gestore azzurro propone 30 centesimi di scatto alla risposta e 5 centesimi per ogni minuto di conversazione; Arancio propone la soluzione senza scatto alla risposta con una spesa di 7 centesimi per ogni minuto di conversazione Gestori telefonici 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0, gestore 1 gestore 2 1. Scrivi l equazione delle due offerte 2. Stabilisci dopo quanti minuti di conversazione conviene il contratto con il gestore azzurro 3. Indica quale contratto individua una relazione di proporzionalità diretta

11 Grandezze inversamente proporzionali Due grandezze si dicono inversamente proporzionale se il loro prodotto è costante: x y = cost, da cui si può ricavare y = cost x. Ad esempio, sono in questa relazione, la base e l altezza dei rettangoli di area 60: x y = 60. doppio triplo quadruplo lato x lato y metà Un terzo Un quarto area 60 y = 60 x

12 Proporzionalità quadratica diretta Si ha una proporzionalità quadratica tra due grandezze x e y quando la grandezza variabile y è direttamente proporzionale al quadrato di una grandezza x, ovvero se le due grandezze sono collegate da una relazione funzionale della forma: In termini elementari si può dire che y x 2 = k quando x raddoppia, y diventa quattro volte più grande; quando x triplica, y diventa nove volte più grande; più in generale quando x viene moltiplicata per n volte, y diventa n 2 volte maggiore

13 Area del cerchio L'area di un cerchio è proporzionale al quadrato del suo raggio raggio Quadrato del raggio Area del cerchio Rapporto (k) 1 1 3,14 3, ,56 3, ,26 3, ,24 3, ,5 3,14 y x 2 = 3, Area del cerchio