La modellazione con le superfici

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "La modellazione con le superfici"

Transcript

1 Alla fine del capitolo saremo in grado di: Comprendere il significato di B-Spline Rappresentare i diversi tipi di curve piane e nello spazio Creare superfici con metodi differenti Modificare le superfici Estrarre curve dalle superfici Premesse Prima di apprendere gli strumenti che consentono di realizzare la modellazione di forme tridimensionali con le superfici, è necessario saper utilizzare gli strumenti che consentono di creare e modificare i solidi tridimensionali con MicroStation di base così come riportato al capitolo realizzazione di un modello tridimensionale e gli strumenti riportati nel capitolo completamento della prima parte del modello relativi alla modifica dei solidi parametrici. Nel capitolo relativo alla modellazione solida, abbiamo illustrato come sia possibile ottenere forme solide complesse utilizzando gli strumenti di modellazione solida disponibili in Feature Modeling, e, inoltre, come sia possibile gestire i valori dei parametri di ciascun elemento di modellazione o feature per modificare la forma del solido iniziale. Oltre alla modellazione di forme solide, il programma prevede la possibilità di creare e modificare forme tridimensionali che sono costituite solo dalle superfici che delimitano la generica forma solida. Vediamo alcuni esempi per comprendere meglio il concetto di superficie. Consideriamo ad esempio una scatola per le scarpe di forma parallelepipeda; è noto a tutti che l interno della scatola è privo di materia solida. Se considerassimo la scatola con uno spessore tendente a zero, la scatola stessa diventerebbe una superficie. Nel caso in cui si esegua una foratura cilindrica in un solido, si genera una superficie cilindrica interna al solido; tale superficie unirà le due facce di inizio e fine foratura; nel caso in cui si esegua la stessa foratura sulla scatola con spessore tendente a zero (ovvero su una forma tridimensionale delimitata da superfici), si otterranno due figure piane sulle due facce di inizio e fine foratura. La forma tridimensionale realizzata con le superfici, utilizzando il programma che stiamo illustrando, può essere costituita da: Una primitiva geometrica tridimensionale realizzata impostando il parametro Tipo a superficie. L estrusione di figure piane realizzate in precedenza con i diversi strumenti di MicroStation di base; durante l operazione di estrusione, si deve impostare il Tipo di elemento tridimensionale a superficie anziché che a solido. Una poligonale; una curva chiusa o aperta trasformata in una superficie con uno dei procedimenti disponibili e che saranno illustrati in seguito in questo capitolo. Specifici strumenti che consentono la costruzione diretta delle superfici.

2 Non costituisce invece una superficie, un qualunque elemento tridimensionale realizzato con gli strumenti di feature modeling. Anche una forma tridimensionale tubolare ottenuta per estrusione con uno dei diversi strumenti disponibili e con spessore nullo, non è interpretata dal programma come una superficie. Nell ultima versione di feature modeling di modellazione è presente comunque uno strumento che consente di modellare le facce della forma tridimensionale; il solido manipolabile in modo indipendente sulle diverse facce deve essere caratterizzato da uno spessore non nullo. Per comprendere la differenza tra le forme tridimensionali solide e quelle realizzate con le superfici, si può eseguire il seguente esercizio. Realizzare 4 forme piane chiuse (meglio se uguale) ed estruderle, ciascuna, con uno dei seguenti metodi: Con lo strumento Estrudi di MicroStation di Base con tipo impostato a solido, ottenendo ovviamente una forma solida. Con lo strumento Estrudi di MicroStation di Base con tipo impostato a superficie, ottenendo una forma tubolare senza le due superfici di base e superficie laterale a spessore nullo. Con lo strumento di estrusione di Feature Modeling con spessore nullo ottenendo in tal modo un solido. Con lo strumento di estrusione di Feature Modeling con spessore non nullo ottenendo in tal modo un solido tubolare con uno spessore della superficie laterale pari a quello impostato nell estrusione. Figura 1 Nel realizzare forme tridimensionali con le superfici, occorre tener presente che: Sono disponibili numerosi strumenti per la realizzazione delle superfici. Non tutte le superfici sono modificabili nella forma. Esistono differenti strumenti che consentono la modifica delle superfici. È possibile convertire le forme tridimensionali solide in forme delimitate da superfici e viceversa. È possibile assegnare uno spessore alle superfici durante la trasformazione in solidi. Non è possibile utilizzare gli strumenti di modellazione solida sulle superfici. Il nostro percorso di apprendimento delle forme tridimensionali realizzate con le superfici, sarà organizzato nel seguente modo: 614

3 Realizzazione di superfici con l uso delle primitive tridimensionali e con gli strumenti di estrusione. La realizzazione delle curve e i relativi strumenti che consentono la loro modifica. La creazioni di superfici in forma libera. La modifica delle superfici. L analisi delle superfici. Le superfici con le primitive tridimensionali e gli strumenti di estrusione. Per realizzare una superficie utilizzando le primitive tridimensionali, si deve attivare il pannello dei comandi 3D e comportarsi in modo del tutto analogo alla realizzazione di un solido, solo che il tipo di forma tridimensionale deve essere impostato a Superficie. Figura 2 Si può notare (realizzando un rendering della forma tridimensionale nella vista assonometrica) che, ad eccezione della sfera, tutte le altre forme geometriche tridimensionali realizzate direttamente con le primitive 3D, mancano delle superfici di base. È ormai noto al lettore che una forma tridimensionale può essere realizzata direttamente utilizzando primitive 3D oppure attraverso operazioni di estrusione di forme geometriche piane chiuse o aperte. Tale principio operativo non dipende dal fatto che l oggetto grafico tridimensionale sia un solido o sia delimitato da superfici. Occorre però tener presente che gli strumenti per realizzare superfici con MicroStation devono essere quelli presenti in MicroStation di base. Superficie di transizione tra due forme geometriche piane I diversi strumenti di realizzazione di solidi o superfici per estrusione rettilinea, circolare, o lungo un generico percorso, si basa sul principio che una forma piana (aperta o chiusa è fatta scorre lungo un percorso rettilineo, circolare o generico, ma la forma piana costituisce in ogni punto del percorso di estrusione la forma della sezione perpendicolare rispetto alla linea che definisce tale percorso nel punto considerato. A volte è necessario costruire forme tridimensionali complesse dove le superfici poste alle estremità del percorso di estrusione abbiano forme differenti; cioè, è necessario far eseguire un cambio di forma della base (Transizione), per ottenere la forma tridimensionale desiderata. Tale risultato può essere ottenuto sia con gli strumenti di modellazione superficiale che con quelli di modellazione solida. Nel primo caso sarà richiesto il percorso lungo il quale avviene 615

4 la transizione, mentre nel secondo caso la transizione può essere realizzata solo lungo un percorso di estrusione rettilineo. Supponiamo di voler realizzare una superficie dove il profilo iniziale di estrusione risulti differente dal profilo finale. In questo caso il comando (solido di scorrimento) si può utilizzare il comando presente nel gruppo Crea superfici che appartiene alla Modellazione di superfici. Quest ultimo strumento è attivabile dal menu Strumenti del programma. Figura 3 Il comando in esame consente di realizzare direttamente forme tridimensionali solide o superficiali. Per costruire una forma di transizione, prima di attivare il comando è necessario costruire: Il profilo iniziale della superficie. Il profilo finale della superficie. Il profilo lungo il quale avviene lo scorrimento del primo profilo verso il secondo. Inoltre all atto dell esecuzione del comando, il programma consente di realizzare una superficie dove i profili, che consentiranno la realizzazione della superficie laterale, potranno risultare sempre perpendicolari al profilo di scorrimento o non risulteranno perpendicolari all inizio e alla fine della superficie mantenendo, in tal caso, l orientamento dei profili di base nei punti iniziali e finali. Per comprendere il funzionamento del comando con le differenti opzioni sopra indicate, consideriamo il seguente esempio. In Figura 4 si possono osservare, nelle finestre 1 e 3, i due profili di base il cui orientamento non risulta perpendicolare al profilo di scorrimento (profilo tratteggiato) nel punto iniziale e finale dello stesso, mentre l impostazione di creazione della superficie è ortogonale. La successione di selezione dei profili è riportato puntualmente nella barra di stato e precisamente: Si seleziona prima il profilo di scorrimento (quello tratteggiato). Poi il primo profilo di base. Quindi il secondo profilo di base. L ordine di selezione dei profili di base è ininfluente rispetto al risultato grafico finale. Osservando le finestre 3 e 4 di Figura 4, si nota che per effetto dell impostazione ad ortogonale e delle caratteristiche grafiche degli elementi selezionati, i due profili di base risultano entrambi ruotati, rispetto al loro orientamento iniziale. Questo semplice esempio fa comprendere quale altro ampio spettro di forme tridimensionali possono essere realizzate con lo strumento di transizione. 616

5 In Figura 4 sono riportati due esempi, che mostrano, ad esempio la trasformazione di una forma aperta in una forma chiusa e di un poligono in una circonferenza. Figura 4 Figura 5 Nel caso in cui si voglia ottenere un risultato analogo nel campo della modellazione solida con Feature modeling, occorre tener presente che: Le transizioni tra forme tra profili di base differenti possono essere realizzate solo con scorrimento del primo profilo verso il secondo lungo un segmento di linea retta. Tale condizione determina il fatto di dover suddividere un eventuale percorso curvilineo in n percorsi rettilinei e, per ciascun tratto rettilineo, di dover rappresentare le due sezioni di base. 617

6 Occorre fare attenzione al punto di selezione dei due profili per evitare una torsione della forma lungo la superficie laterale. La realizzazione della forma di transizione è condizionata dal fatto che la stessa non dia luogo ad intersezioni lungo la superficie laterale come mostreremo tra breve. Non è possibile ottenere la transizione di un profilo chiuso in un profilo aperto e viceversa. In compenso è possibile modificare i profili iniziali per ottenere una differente transizione, senza dover ripetere tutto il procedimento. Lo strumento che consente di ottenere solidi per transizione con feature Modeling è Skin Solid Feature. Figura 6 Supponiamo con il presente strumento di voler realizzare una lamiera che debba trasformarsi da un profilo lineare ad una semicirconferenza. Sta al lettore comprendere tutte le possibili applicazioni del presente strumento (anche di quello precedente); ad esempio realizzare un tratto di fiume che muta la sua sezione lungo un tratto rettilineo,.figura 7 Per ottenere tale forma con lo strumento Skin Solid Feature, si deve: Rappresentare i due profili piani, posizionati e orientati in modo tale da ottenere la forma finale. Attivare il comando Skin Solid Feature. Abilitare l opzione Profile start is ID Point; in tal modo programma modifica il punto iniziale del profilo in funzione del punto selezionato dall utente all atto della selezione di ciascun profilo. Se tale opzione è disabilitata, il programma tiene conto del modo con il quale ciascun profilo è stato rappresentato. È importate comprendere la funzione del punto iniziale della forma piana, perché solo in tal modo è possibile capire i casi in cui il solido non sarà generato e l eventuale effetto di torsione della superficie laterale del solido. Nel nostro caso l opzione sarà abilitata. 618

7 Selezionare il primo profilo (uno qualunque dei due) in un generico punto. Selezionare il secondo profilo in un punto in modo tale che non si determino torsioni tali della superbie laterale così da impedire la costruzione del solido. Se ad esempio il primo profilo è stato selezionato a sinistra, anche il secondo profilo deve essere selezionato a sinistra, se quest ultimo sarà selezionato a destra il solido non sarà costruito (come indicato nella barra di stato). Può sembrare, a prima vista, che sia più semplice, disabilitare l opzione, Profile start is ID Point ma, nel caso in cui il verso di costruzione dei due profili non è coerente, non è possibile realizzare il solido, a meno di utilizzare uno strumento che mostreremo in seguito sul cambio di origine del profilo. Ancora in seguito chiariremo l effetto della torsione della superficie laterale, quando realizzeremo superfici libere partendo dalle curve di livello. Figura 8 In Figura 8 è mostrato un effetto di torsione della superficie laterale, durante la realizzazione di un solido per transizione di profili, dove il primo profilo è stato selezionato nella vista dall alto nel punto 1 e il secondo profilo è stato selezionato nella vista frontale nel punto 2. A seguito della selezione il programma determina automaticamente tutti gli altri punti corrispondenti tra le due figure in modo da realizzare la superficie laterale. È proprio dalla posizione relativa tra i punti corrispondenti che deriva l effetto o meno di torsione. Conversione delle superfici in solido e viceversa Nel caso in cui sia stata rappresentata in precedenza una forma tridimensionale come superficie utilizzando uno degli strumenti del gruppo di comandi riportato in Figura 2, e la si vuol trasformare in un solido, è necessario attivare il gruppo di comandi Modellazione di superfici presente nel menu Strumenti, 619

8 Figura 9 Il comando. Converti 3D che consente la conversione tra solido e superficie (o viceversa), è riportato in Figura 9; una volta scelto il comando e impostato il tipo di conversione, è sufficiente selezionare l elemento tridimensionale. Nel caso in cui il solido sia stato realizzato con feature modeling, non è possibile convertire il solido in superficie. Nel caso in cui un elemento tridimensionale realizzato come una superficie sia convertito in solido, lo stesso elemento grafico può essere sottoposto, in seguito, alle operazioni di modellazione solida. Figura 10 In Figura 10 è mostrata una superficie curva realizzata con lo strumento di estrusione presente in MicroStation nel gruppo di comandi 2D principale. Per modellare un oggetto tridimensionale è necessario comunque convertire la superficie in un solido. Nel gruppo di comandi 3D e in Feature modeling, sono presenti due strumenti che consentono di assegnare uno spessore alla superficie: Su un solo lato Su entrambi i lati. In tutti i casi, è possibile conservare la superficie originale dalla quale è stato ricavato il solido. I due strumenti sono caratterizzati da una lieve differenza nel funzionamento. Quello di MicroStation consente di assegnare uno spessore in modo dinamico con Accudraw, mentre con il feature modeling è possibile solo preassegnare lo spessore prima di selezionare la superficie. 620

9 L oggetto che si crea dalla superficie è un solido e, come tale, può essere modellato (ad esempio forato come indicato in Figura 10) Le bispline Fino ad ora, le forme piane e le forme tridimensionali che sono state rappresentate sono tutte caratterizzate da lati o spigoli costituiti da tratti rettilinei (segmenti) e/o da archi di circonferenza. Le forme degli elementi naturali, nella stragrande maggioranza dei casi, non posseggono tali caratteristiche geometriche. Si pensi alla forma del corpo umano, a quella degli animali, alle montagne agli alberi, ai fiori alle foglie ecc. inoltre, anche l uomo costruisce oggetti le cui forme devono tener conto dell aerodinamica (aerei, automobili, ecc.). Per poter rappresentare tali forme, anche se in maniera approssimata, è necessario utilizzare la primitiva di tipo curvilineo; il nostro programma prevede le curve B-Spline. Sarebbe certamente opportuno che il lettore avesse delle specifiche conoscenze sulla teoria di tali curve, qui ci limitiamo a mostrare i procedimenti per realizzare forme superficiali di una certa complessità consentendo anche ad un generico lettore che non ha alcuna conoscenza sulla teoria delle B-spline, di poter raggiungere i risultati grafici desiderati. Una volta rappresentate le figure piane attraverso le primitive costituite da curve, è possibile realizzare forme tridimensionali superficiali di tipo libero, utilizzando in modo appropriato il consistente numero di strumenti disponibili con il programma. Prima di iniziare ad utilizzare la primitiva B-Spline, si consiglia si attivare il comando B- Spline e 3D presente nel menu Elemento. In seguito a tale attivazione appare la finestra di dialogo di Figura 11. a questo punto della trattazione è sufficiente saper gestire le prime due opzioni che consentono di osservare (opzione Visibile) sullo schermo sia il poligono di controllo che la curva rappresentata. In effetti la curva sia aperta che chiusa, sarà rappresentata inserendo nell area di lavoro un insieme appropriato di punti che costituiscono quello che in gergo è denominato il poligono di controllo. La relazione geometrica di forma tra il poligono di controllo e la curva, dipende dal tipo di curva scelto come mostreremo tra breve. Figura

10 Per gestire gli strumenti di rappresentazioni delle curve, si deve attivare il comando Curve 3D del menu strumenti, il comando rendere disponibili una serie di strumenti che consentono di: Creare curve di forma libera i cui punti sono contenuti in un unico piano o sono posti nello spazio. Modificare curve in precedenza poste nell area di lavoro. Figura 12 Il pannello che consente di creare le curve, mostra già un numero consistente di strumenti; qui di seguito illustreremo come rappresentare le B-spline e le curve di Bézier. Per le altre curve si lascia al lettore la scoperta del procedimento operativo per realizzarle, tenendo conto che l ultimo strumento del pannello consente di realizzare curve parametriche partendo da una definizione analitica. Il penultimo strumento Estrai linea isoparametrica, sarà illustrato nell ambito delle superfici quando si desidera estrarre da una superficie una curva che le appartiene. Una volta attivato il comando Posiziona curva B-spline, il programma mostra una finestra di dialogo attraverso la quale è possibile: Definire il Metodo (cioè scegliere il tipo di curva che si vuol rappresentare). Il tipo di Input attraverso: L inserimento diretto di punti nell area di lavoro. La selezione di una poligonale aperta o chiusa rappresentata in precedenza. Il Tipo di curva: Aperta o Chiusa. L Ordine della curva; tale parametro, disponibile per i metodi definisci i punti di controllo e minimi quadrati per numero, è un indicatore di distanza tra la curva e il poligono di controllo (più grande è l ordine e maggiore è la distanza tra curva e poligono). Figura 13 Per meglio comprendere il significato delle diverse tipologie di curve, si consiglia di far riferimento al manuale elettronico in corrispondenza della voce Curva, B-spline 622

11 Figura 14 La prima difficoltà che si deve affrontare consiste nell inserire i punti del poligono di controllo per ottenere la curva desiderata. Il tipo si curva che ammette una miglior corrispondenza tra la forma del poligono di controllo e la curva corrispondente è la Catmull-Rom; la sua costruzione diretta può essere solo di tipo Aperto. Per ottenere una forma chiusa con tale tipo di curva è necessario utilizzare l Input scegli spezzata. Per meglio comprendere le differenze, abbiamo inserito preliminarmente nell area di lavoro delle circonferenze (Figura 15) i cui centri appartengono ai punti di input del poligono di controllo. Figura 15 Nel caso della B-spline di tipo Catmull-Rom la forma della curva segue molto da vicino quella del poligono di controllo (quello tratteggiato in Figura 15). Si può osservare che nel caso della curva Catmull-Rom, la stessa passa per i punti di controllo inseriti dall utente. Inoltre, il programma stesso provvede, in modo automatico, ad inserire una coppia di punti del poligono di controllo, nell intorno dei punti di inserimento definiti dall utente (nei punti estremi della curva è associato un punto del poligono di controllo); ciò al fine di realizzare la convergenza tra poligono e curva. 623

12 Figura 16 Se per gli stessi punti dati dell esempio precedente, si traccia una b-spline del tipo Definisci punti di controllo, ci si accorge che la curva non passa per tali punti;passa invece per i punto medi dei lati dei poligono di controllo e realizza un flesso laddove è necessario invertire il verso di curvatura da concava a convessa e viceversa. Nei tratti in cui la poligonale mantiene sempre lo stesso verso di curvatura, la curva risulta tangente ai punti medi del poligono di controllo. Tali caratteristiche geometriche valgono solo nel caso in cui l ordine della curva è pari a 3. mentre, qualunque sia l ordine della curva essa è sempre tangente ai punti iniziali e finali del poligono di controllo. Figura 17 Per quanto riguarda l ordine, occorre tener presente che il poligono di controllo deve avere un numero di lati pari o superiore all ordine. Per vedere l effetto dell ordine rispetto alla distanza della curva dai punti di controllo, è sufficiente realizzare una curva con ordine

13 Nel caso del metodo utilizzato sia quello per Punti la curva passa per i punti dati inseriti. Quindi, mentre con i primi due metodi i punti dati appartengono al poligono di controllo e il programma calcola la posizione della curva; nel terzo metodo, i punti dati definiscono punti della curva e il programma calcola la posizione dei corrispondenti vertici del poligono di controllo in modo che la relazione geometrica tra poligono e curva sia simile a quella illustrata nel secondo metodo. È evidente che le due curve sono però differenti in quanto attengono a due poligoni di controllo differenti. Figura 18 Nel caso in cui il metodo sia del tipo Minimi quadrati per tolleranza, il risultato grafico dipende essenzialmente dal valore di tolleranza assunto. Il comportamento del programma è analogo a quello precedente nel senso che i punti dati appartengono alla curva e il programma determina il corrispondente poligono di controllo. Nell ipotesi che si assuma una tolleranza pari a 1, si ottiene il seguente risultato grafico Figura 19 La curva di Figura 19. interpola il quarto e il quinto a causa dell elevato valore di tolleranza. In genere con una tolleranza inferiore ad un decimo della distanza minima tra due punti adiacenti, si ottiene una buona corrispondenza tra la curva e i punti dati utilizzati per rappresentarla, diminuire la tolleranza in modo eccessivo non modifica sostanzialmente il risultato finale. L ultimo metodo differisce dal precedente in quanto definisce l ordine della curva e il numero del lati del poligono di controllo (Poli). In questo caso se il numero dei vertici del poligono di controllo è superiore al numero dei poli, il programma modifica automaticamente la posizione 625

14 finale della curva quando si inseriscono i vertici successivi a quello prefissato dal numero dei poli. Inoltre la curva non sarà rappresentata fino a quando i vertici inseriti non saranno pari al numero di poli; nel nostro caso 7. Figura 20 Quest ultima curva è simile a quella con il metodo dei minimi quadrati con tolleranza, quando la stessa presenta un valore idoneo come in Figura 18. Le curve chiuse Oltre alle curve aperte, è possibile rappresentare anche le curve chiuse come ad esempio delle curve di livello. Per realizzare una curva chiusa, è sufficiente utilizzare qualunque metodo ad eccezione del Catmull-rom. Una volta che il numero dei vertici del poligono di controllo supera l ordine della curva o è pari al numero dei poli preimpostato, il programma mostra la curva chiusa che si modifica a seguito dell inserimento di nuovi vertici del poligono di controllo. La curva chiusa di tipo Catmull-rom, può essere ottenuta come una curva chiusa solo se è realizzata poggiandosi su di una spezzata chiusa rappresentata in precedenza e che costituirà il poligono di controllo della curva stessa. Una prima applicazione dell uso curve: le curve di livello In genere le curve servono a rappresentare delle superfici di forma libera. Al di là della difficoltà nello stabilire quale sia il metodo più opportuno e quindi basare i punti dati rispetto al poligono di controllo o alla curva stessa, è necessario tener presente alcune caratteristiche quando le curve saranno utilizzate come rete di base per realizzare successivamente una superficie. Questo è il caso, ad esempio delle curve di livello per rappresentare una montagna o, ad esempio, dei profili delle sezioni trasversali per realizzare un fiume. È necessario infatti, tener presente che: Ciascuna curva risulti effettivamente continua (deve essere realizzata senza alcuna interruzione in fase di inserimento ovvero deve costituire un unico oggetto grafico). Il numero dei vertici dei poligono di controllo deve essere, per quanto possibile, costante in tutte le curve che saranno utilizzate per la realizzazione della superficie. Il punto iniziale della curva deve risultare allineato tra le diverse curve al fine di evitare effetti di torsioni sulla superficie. 626

15 Il verso di percorrenza deve essere concorde tra le diverse curve. Le curve non sono uniche: la concatenazione Per quanto riguarda la prima caratteristica, nel caso in cui la curva sia realizzata con altri strumenti, quali la restituzione aerofotogrammetrica con le curve di livello, può verificarsi la situazione per la quale ciascuna curva non costituisce un singolo elemento grafico. Per rendere ciascuna curve continua si può utilizzare lo strumento di concatenazione presente nel pannello Principale (raggruppamento di comandi Gruppi), impostando un adeguata tolleranza gap max Figura 21 Lo strumento Crea catena complessa, serve a concatenare i lati del poligono di controllo nel caso in cui le parti di una singola curva aperta siano leggermente disgiunti, mentre lo strumento Crea figura complessa serve a concatenare singole curve chiuse nel caso invece per qualunque motivo risultino aperte in qualche punto. Nel caso in cui l insieme di tratti curvilinei disgiunti che devono essere uniti in un unica curva non sia caratterizzato da alcun interspazio tra i diversi tratti, è possibile utilizzare il metodo automatico. In tal caso è sufficiente selezionare uno qualunque dei tratti curvilinei e, con l inserimento di un ulteriore punto dati in qualunque punto dell area di lavoro, si realizza immediatamente la catena aperta o chiusa a seconda della selezione iniziale eseguita. Figura 22 In Figura 22, nella vista 3 è rappresentata la forma curva composta 5 tratti distinti ma senza interspazi tra le estremità di due tratti consecutivi, mentre nella vista 4 è mostrata la nuova figura costituita da un unica curva chiusa. 627

16 Figura 23 Nel caso invece che tra le curve vi sia un interspazio (gap), come indicato in Figura 23, è necessario definire il valore appropriato di Gap. Se, ad esempio si vuol concatenare un insieme di curve componenti e la distanza tra una generica coppia di tratti consecutivi è di 0,045, l impostazione del Gap non può essere di 0,01 come indicato nel riquadro di sinistra in Figura 23. A seconda del tratto inizialmente selezionato, saranno concatenati tutti i tratti che evidenziano un interspazio < 0,01 e quando sarà incontrato un interspazio superiore, l insieme selezionato sarà automaticamente chiuso. Se l impostazione del Gap è come indicato nella finestra di dialogo di destra, e risulta maggiore di tutti gli interspazi presenti tra i tratti consecutivi, è possibile ottenere la concatenazione automatica. Nel caso in cui si voglia concatenare l insieme dei tratti indipendentemente dal Gap, è necessario utilizzare il metodo manuale. In tal caso si deve selezionare singolarmente e nella successione desiderata, ciascuno dei tratti che dovranno appartenere alla curva complessiva che si intende realizzare. Uno strumento per verificare la presenza di gap e sovrapposizioni Figura

17 Può verificarsi il caso in cui esistano molte curve rappresentate a seguito una restituzione aerofotogrammetrica e che sia presenti molti Gap. Il programma rende disponibile uno strumento che serve a verificare se: Esistono elementi sovrapposti in modo completo o Parziale Esistono Gap tra elementi presenti nell area di lavoro. Lo strumento che serve ad eseguire tale verifica, può essere attivato attraverso il menu varie voce Cancellazione dati. A seguito di tale scelta è disponibile la finestra di dialogo di Figura 24. Nella pagina generale si definisce: Il tipo di elaborazione: Vista o Fence (la fence deve essere già presente nell area di lavoro). Le dimensioni, in unità di lavoro, dell indicatore di selezione (flag) Il tipo di Azione (Cancellazione azioni) per ciascuna delle verifiche possibili sugli elementi grafici. Nelle altre pagine, si definiscono ulteriori impostazioni e/o criteri di selezione degli elementi grafici. In particolare se si vuol verificare i Gap presenti, è possibile Definire il tipo di elemento. Stabilire la simbologia per il Flag. Definire il range di valori dei Gap oggetto della selezione. Figura 25 In particolare per il valore del range dei gap occorre, nel caso in cui si vogliano selezionarli tutti, è necessario stabilire un valore maggiore del massimo di Gap in corrispondenza della voce Gap inferiori a e un valore minore del minimo gap in corrispondenza della voce Gap superiori a. Se si vogliono selezionare solo alcuni Gap, è sufficiente impostare valori appropriati variando il valore massimo o quello minimo. Se si variano i valori del range, dopo che sia stato premuto il pulsante Applica, può variare la selezione dei punti di gap. Nel caso in cui nell insieme di tratti di curva vi siano estremi coincidenti, gli stessi possono essere ignorati utilizzando l appropriato selettore. 629

18 Figura 26 Il numero dei vertici del poligono di controllo Purtroppo, fino alla versione attuale del programma non è possibile convertire una curva realizzata con un certo numero di lati del poligono di controllo in una curva analoga ma con un numero di lato definiti dall utente. Pertanto, quando si realizzano curve con le b-spline, è necessario aver cura di rappresentare le curve, che concorreranno alla costruzione di una superficie, con un numero di vertici pressoché costante. Il programma ha comunque uno strumento che consente di modificare il numero dei vertici in base alla tolleranza selezionata. Tale strumento è ricrea curva. Figura 27 Sono disponibili 3 tipi di ricreazione delle curve; i primi due comunque consentono di ridefinire la curva impostando un differente valore di tolleranza rispetto a quello utilizzato per la sua creazione originaria o comunque quella impostata per default dal programma, nel caso in cui il metodo di creazione non prevedeva la tolleranza. Si deve notare, tra l alto, che è possibile 630

19 mantenere la curva originale per osservare l effetto della variazione di forma tra la curva iniziale e quella ricreata. Con il primo strumento il poligono di controllo è ricostruito con un consistente addensamento di punti lungo la curva e quindi il poligono tende in sostanza a confondersi con la curva stessa. Con il secondo metodo, ha invece molta influenza il valore della tolleranza assegnata. Figura 28 Si ritiene opportuno che l utente, in particolare quando le curve sono state costruite con altri strumenti, rigeneri le curve stesse prima di procedere alla realizzazione delle corrispondenti superfici. In Figura 28 è riportata la ricostruzione di una curva assegnando un valore di tolleranza; è possibile notare immediatamente l effetto sul poligono di controllo. Si deve tener presente inoltre che, al momento di creazione delle superfici partendo da una rete di curve, il programma comunque provvede a ricalcolarsi ulteriormente i punti del poligono di controllo in modo che ogni punto della curva ritrovi il punto corrispondente sull altra curva che delimita la superficie. Ciò è particolarmente vero, quando si utilizzando solo due curve per volta per realizzare un tratto di superficie. Nel caso in cui si abbia una distorsione della superficie per effetto della sostanziale differenza di punti tra poligoni di controllo di curve consecutive, è necessario o aggiungere punti al poligono di controllo alla curva che ne ha di meno o eliminare punti al poligono di controllo alla curva che ne ha di più. Gli strumenti per eliminare o aggiungere vertici al poligono di controllo saranno illustrati tra breve. Il verso e l origine della curva Il motivo fondamentale per il quale una superficie potrà essere distorta, quando sia stata realizzata a partire da un insieme di curve b-spline o da poligonali, risiede nel fatto che, due curve consecutive dell insieme possono essere caratterizzate da una o entrambe le seguenti proprietà: La posizione d inizio di ciascuna delle due curve non è corrispondente (vedi Figura 30, dove l origine della freccia indica l origine della curva e l orientamento della freccia indica il verso di percorrenza della curva). Il verso di percorrenza di ciascuna delle due curve risulta opposto: l una è percorsa in senso orario e l altra in senso antiorario. 631

20 Il programma dispone di uno strumento che consente la modifica di entrambi i parametri nel caso in cui non risultino idonei; tale strumento è Cambia direzione di elemento. Figura 29 Selezionando, ad esempio il cambio di verso di percorrenza della b-spline il programma, a seguito della selezione dell oggetto grafico, indica la posizione il punto in cui ha origine la b- spline e il suo verso di percorrenza. Si deve rammentare che, in questo caso, l operazione di selezione è di per sè operativa; infatti, se si conferma la scelta con un punto dati in un generico punto dell area di lavoro, il parametro sarà modificato: In funzione del punto di selezione, nel caso in cui si sia stabilito di modificare il punto di inizio. Indipendentemente dal punto di selezione in caso di modifica del verso. Nel caso in cui si intenda non apportare modifiche ai parametri della curva, si deve premere il tasto destro del mouse. In Figura 30, si può notare che le due curve risultano caratterizzate dallo stesso verso di percorrenza e con punti di inizio non corrispondenti. Figura 30 Se si realizza una superficie con tali curve, procedendo come vedremo in seguito nel presente capitolo, si otterrà il risultato di Figura 31; è evidente la torsione della superficie laterale. Figura

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1.

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1. Capitolo 6 Integrali curvilinei In questo capitolo definiamo i concetti di integrali di campi scalari o vettoriali lungo curve. Abbiamo bisogno di precisare le curve e gli insiemi che verranno presi in

Dettagli

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento ARTICOLO Archimede 4 4 esame di stato 4 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA Nella figura

Dettagli

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento RTICL rchimede 4 esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario PRBLEM Siano f e g le funzioni

Dettagli

Guida rapida. Cos è GeoGebra? Notizie in pillole

Guida rapida. Cos è GeoGebra? Notizie in pillole Guida rapida Cos è GeoGebra? Un pacchetto completo di software di matematica dinamica Dedicato all apprendimento e all insegnamento a qualsiasi livello scolastico Riunisce geometria, algebra, tabelle,

Dettagli

1 Definizione: lunghezza di una curva.

1 Definizione: lunghezza di una curva. Abstract Qui viene affrontato lo studio delle curve nel piano e nello spazio, con particolare interesse verso due invarianti: la curvatura e la torsione Il primo ci dice quanto la curva si allontana dall

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

CURVE DI LIVELLO. Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello.

CURVE DI LIVELLO. Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. CURVE DI LIVELLO Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. Definizione. Si chiama insieme di livello k della funzione f

Dettagli

Corso di Gioielleria con

Corso di Gioielleria con Corso di Gioielleria con Modellazione Anello Polpo con Aurelio Perugini Modellazione anello Polpo Pag. 1 Modellazione Anello Polpo Chi utilizza Rhinoceros da qualche tempo si sarà reso conto che, nonostante

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito. INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati

Dettagli

Energy Studio Manager Manuale Utente USO DEL SOFTWARE

Energy Studio Manager Manuale Utente USO DEL SOFTWARE Energy Studio Manager Manuale Utente USO DEL SOFTWARE 1 ANALYSIS.EXE IL PROGRAMMA: Una volta aperto il programma e visualizzato uno strumento il programma apparirà come nell esempio seguente: Il programma

Dettagli

a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori a. 10-5 b. 10 +5 c. 10 +15 d.

a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori a. 10-5 b. 10 +5 c. 10 +15 d. 1) Il valore di 5 10 20 è: a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 2) Il valore del rapporto (2,8 10-4 ) / (6,4 10 2 ) è: a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori 3) La quantità

Dettagli

attraverso l impiego convenzionale di linee, numeri e simboli Il disegno rappresenta un elemento chiave del ciclo di vita di un prodotto CAM CAM

attraverso l impiego convenzionale di linee, numeri e simboli Il disegno rappresenta un elemento chiave del ciclo di vita di un prodotto CAM CAM Il disegno tecnico di un oggetto è in grado di spiegarne: - la forma, - le dimensioni, - la funzione, - la lavorazione necessaria per ottenerlo, - ed il materiale in cui è realizzato. attraverso l impiego

Dettagli

CNC. Linguaggio ProGTL3. (Ref. 1308)

CNC. Linguaggio ProGTL3. (Ref. 1308) CNC 8065 Linguaggio ProGTL3 (Ref. 1308) SICUREZZA DELLA MACCHINA È responsabilità del costruttore della macchina che le sicurezze della stessa siano abilitate, allo scopo di evitare infortuni alle persone

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

Prof. Caterina Rizzi Dipartimento di Ingegneria Industriale

Prof. Caterina Rizzi Dipartimento di Ingegneria Industriale RUOLO DELLA MODELLAZIONE GEOMETRICA E LIVELLI DI MODELLAZIONE PARTE 2 Prof. Caterina Rizzi... IN QUESTA LEZIONE Modelli 2D/3D Modelli 3D/3D Dimensione delle primitive di modellazione Dimensione dell oggettoy

Dettagli

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Archimede esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA La funzione f

Dettagli

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011 1 Trasformazioni Geometriche 1 Roberto etroni, 2011 Trasformazioni Geometriche sul piano euclideo 1) Introduzione Def: si dice trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni

Dettagli

I Grafici. La creazione di un grafico

I Grafici. La creazione di un grafico I Grafici I grafici servono per illustrare meglio un concetto o per visualizzare una situazione di fatto e pertanto la scelta del tipo di grafico assume notevole importanza. Creare grafici con Excel è

Dettagli

QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE

QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE - Matematica - Griglie di valutazione Materia: Matematica Obiettivi disciplinari Gli obiettivi indicati si riferiscono all intero percorso della classe quarta

Dettagli

METODO PER LA STESURA DI PROGRAMMI PER IL CENTRO DI LAVORO CNC

METODO PER LA STESURA DI PROGRAMMI PER IL CENTRO DI LAVORO CNC METODO PER LA STESURA DI PROGRAMMI PER IL CENTRO DI LAVORO CNC Riferimento al linguaggio di programmazione STANDARD ISO 6983 con integrazioni specifiche per il Controllo FANUC M21. RG - Settembre 2008

Dettagli

Come si indica un punto? Un punto si indica (distingue) con una lettera maiuscola dell alfabeto italiano.

Come si indica un punto? Un punto si indica (distingue) con una lettera maiuscola dell alfabeto italiano. Il punto Il punto è un elemento geometrico fondamentale privo di dimensioni ed occupa solo una posizione. Come si indica un punto? Un punto si indica (distingue) con una lettera maiuscola dell alfabeto

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado

Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado I quesiti dal N. 1 al N. 10 valgono 3 punti ciascuno 1. Angela è nata nel 1997,

Dettagli

Misure di base su una carta. Calcoli di distanze

Misure di base su una carta. Calcoli di distanze Misure di base su una carta Calcoli di distanze Per calcolare la distanza tra due punti su una carta disegnata si opera nel modo seguente: 1. Occorre identificare la scala della carta o ricorrendo alle

Dettagli

Moto sul piano inclinato (senza attrito)

Moto sul piano inclinato (senza attrito) Moto sul piano inclinato (senza attrito) Per studiare il moto di un oggetto (assimilabile a punto materiale) lungo un piano inclinato bisogna innanzitutto analizzare le forze che agiscono sull oggetto

Dettagli

Problema n. 1: CURVA NORD

Problema n. 1: CURVA NORD Problema n. 1: CURVA NORD Sei il responsabile della gestione del settore Curva Nord dell impianto sportivo della tua città e devi organizzare tutti i servizi relativi all ingresso e all uscita degli spettatori,

Dettagli

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014 Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,

Dettagli

Note sull utilizzo del PC-DMIS

Note sull utilizzo del PC-DMIS Note sull utilizzo del PC-DMIS Sommario 1. Definizione e qualifica di tastatori a stella (esempio su configurazione con attacco M2)...3 2. Dimensione Angolo...4 3. Nascondere componenti della configurazione

Dettagli

GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno

GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno La Vista CAS L ambiente di lavoro Le celle Assegnazione di una variabile o di una funzione / visualizzazione

Dettagli

IL MOTO. 1 - Il moto dipende dal riferimento.

IL MOTO. 1 - Il moto dipende dal riferimento. 1 IL MOTO. 1 - Il moto dipende dal riferimento. Quando un corpo è in movimento? Osservando la figura precedente appare chiaro che ELISA è ferma rispetto a DAVIDE, che è insieme a lei sul treno; mentre

Dettagli

METODO DELLE FORZE 1. METODO DELLE FORZE PER LA SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTATICHE. 1.1 Introduzione

METODO DELLE FORZE 1. METODO DELLE FORZE PER LA SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTATICHE. 1.1 Introduzione METODO DELLE FORZE CORSO DI PROGETTZIONE STRUTTURLE a.a. 010/011 Prof. G. Salerno ppunti elaborati da rch. C. Provenzano 1. METODO DELLE FORZE PER L SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTTICHE 1.1 Introduzione

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

IV-1 Funzioni reali di più variabili

IV-1 Funzioni reali di più variabili IV- FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI INSIEMI IN R N IV- Funzioni reali di più variabili Indice Insiemi in R n. Simmetrie degli insiemi............................................ 4 2 Funzioni da R n a R

Dettagli

Soluzione Punto 1 Si calcoli in funzione di x la differenza d(x) fra il volume del cono avente altezza AP e base il

Soluzione Punto 1 Si calcoli in funzione di x la differenza d(x) fra il volume del cono avente altezza AP e base il Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 74 PROBLEMA Considerata una sfera di diametro AB, lungo, per un punto P di tale diametro si conduca il piano α perpendicolare ad esso

Dettagli

Geometria nel piano complesso

Geometria nel piano complesso Geometria nel piano complesso Giorgio Ottaviani Contents Un introduzione formale del piano complesso 2 Il teorema di Napoleone 5 L inversione circolare 6 4 Le trasformazioni di Möbius 7 5 Il birapporto

Dettagli

Esercizi svolti sui numeri complessi

Esercizi svolti sui numeri complessi Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = 1 1 + i z = 1 1 i. : z =

Dettagli

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA.

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. Prerequisiti I radicali Risoluzione di sistemi di equazioni di primo e secondo grado. Classificazione e dominio delle funzioni algebriche Obiettivi minimi Saper

Dettagli

Travature reticolari piane : esercizi svolti De Domenico D., Fuschi P., Pisano A., Sofi A.

Travature reticolari piane : esercizi svolti De Domenico D., Fuschi P., Pisano A., Sofi A. Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi. SRZO n. ata la travatura reticolare piana triangolata semplice illustrata in Figura, determinare gli sforzi normali nelle

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

Le formule possono essere scritte utilizzando un insieme di funzioni predefinite che Excel mette a disposizione, raggruppate per argomento.

Le formule possono essere scritte utilizzando un insieme di funzioni predefinite che Excel mette a disposizione, raggruppate per argomento. Excel: le funzioni Le formule possono essere scritte utilizzando un insieme di funzioni predefinite che Excel mette a disposizione, raggruppate per argomento. DEFINIZIONE: Le funzioni sono dei procedimenti

Dettagli

LE FUNZIONI MATEMATICHE

LE FUNZIONI MATEMATICHE ALGEBRA LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO PREREQUISITI l l l l l conoscere il concetto di insieme conoscere il concetto di relazione disporre i dati in una tabella rappresentare i dati mediante

Dettagli

Argomento interdisciplinare

Argomento interdisciplinare 1 Argomento interdisciplinare Tecnologia-Matematica Libro consigliato: Disegno Laboratorio - IL MANUALE DI TECNOLOGIA _G.ARDUINO_LATTES studiare da pag.19.da 154 a 162 Unità aggiornata: 7/2012 2 Sono corpi

Dettagli

Convessità e derivabilità

Convessità e derivabilità Convessità e derivabilità Definizione 1 (convessità per funzioni derivabili) Sia f : (a, b) R derivabile su (a, b). Diremo che f è convessa o concava su (a, b) se per ogni 0 (a,b) il grafico di f sta tutto

Dettagli

f : A A = f (A) In altre parole f è una funzione che associa a un punto del piano un altro punto del piano e che si può invertire.

f : A A = f (A) In altre parole f è una funzione che associa a un punto del piano un altro punto del piano e che si può invertire. Consideriamo l insieme P dei punti del piano e una f funzione biiettiva da P in P: f : { P P A A = f (A) In altre parole f è una funzione che associa a un punto del piano un altro punto del piano e che

Dettagli

FIRESHOP.NET. Gestione Utility & Configurazioni. Rev. 2014.3.1 www.firesoft.it

FIRESHOP.NET. Gestione Utility & Configurazioni. Rev. 2014.3.1 www.firesoft.it FIRESHOP.NET Gestione Utility & Configurazioni Rev. 2014.3.1 www.firesoft.it Sommario SOMMARIO Introduzione... 4 Impostare i dati della propria azienda... 5 Aggiornare il programma... 6 Controllare l integrità

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO G. LEOPARDI A.S. 2010-2011 FENOMENI MAGNETICI FONDAMENTALI

LICEO SCIENTIFICO G. LEOPARDI A.S. 2010-2011 FENOMENI MAGNETICI FONDAMENTALI LICEO SCIENTIFICO G. LEOPARDI A.S. 2010-2011 FENOMENI MAGNETICI FONDAMENTALI Prof. Euro Sampaolesi IL CAMPO MAGNETICO TERRESTRE Le linee del magnete-terra escono dal Polo geomagnetico Nord ed entrano nel

Dettagli

(accuratezza) ovvero (esattezza)

(accuratezza) ovvero (esattezza) Capitolo n 2 2.1 - Misure ed errori In un analisi chimica si misurano dei valori chimico-fisici di svariate grandezze; tuttavia ogni misura comporta sempre una incertezza, dovuta alla presenza non eliminabile

Dettagli

a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l arco di circonferenza di π π

a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l arco di circonferenza di π π PROBLEMA Il triangolo rettangolo ABC ha l ipotenusa AB = a e l angolo CAB =. a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio, l arco di circonferenza di estremi P e Q rispettivamente

Dettagli

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Archimede ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. Sia ABCD un quadrato di

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI Le disequazioni fratte Le disequazioni di secondo grado I sistemi di disequazioni Alessandro Bocconi Indice 1 Le disequazioni non lineari 2 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli

MINI GUIDA SINTETICA per l uso della lavagna interattiva multimediale

MINI GUIDA SINTETICA per l uso della lavagna interattiva multimediale MINI GUIDA SINTETICA per l uso della lavagna interattiva multimediale InterWrite SchoolBoard è un software per lavagna elettronica di facile utilizzo. Può essere adoperata anche da studenti diversamente

Dettagli

La dinamica delle collisioni

La dinamica delle collisioni La dinamica delle collisioni Un video: clic Un altro video: clic Analisi di un crash test (I) I filmati delle prove d impatto distruttive degli autoveicoli, dato l elevato numero dei fotogrammi al secondo,

Dettagli

EQUAZIONI non LINEARI

EQUAZIONI non LINEARI EQUAZIONI non LINEARI Francesca Pelosi Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE http://www.mat.uniroma2.it/ pelosi/ EQUAZIONI non LINEARI p.1/44 EQUAZIONI

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

Il motore a corrente continua, chiamato così perché per. funzionare deve essere alimentato con tensione e corrente

Il motore a corrente continua, chiamato così perché per. funzionare deve essere alimentato con tensione e corrente 1.1 Il motore a corrente continua Il motore a corrente continua, chiamato così perché per funzionare deve essere alimentato con tensione e corrente costante, è costituito, come gli altri motori da due

Dettagli

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Sia I un intervallo di R e siano a = inf(i) R { } e b = sup(i) R {+ }; i punti di I diversi dagli estremi a e b, ( e quindi appartenenti all intervallo aperto

Dettagli

Numeri reali. Funzioni e loro grafici

Numeri reali. Funzioni e loro grafici Argomento Numeri reali. Funzioni e loro grafici Parte B - Funzioni e loro grafici Funzioni reali di variabile reale Definizioni. Supponiamo che A sia un sottoinsieme di R e che esista una legge che ad

Dettagli

FONDAMENTI TEORICI DEL MOTORE IN CORRENTE CONTINUA AD ECCITAZIONE INDIPENDENTE. a cura di G. SIMONELLI

FONDAMENTI TEORICI DEL MOTORE IN CORRENTE CONTINUA AD ECCITAZIONE INDIPENDENTE. a cura di G. SIMONELLI FONDAMENTI TEORICI DEL MOTORE IN CORRENTE CONTINUA AD ECCITAZIONE INDIPENDENTE a cura di G. SIMONELLI Nel motore a corrente continua si distinguono un sistema di eccitazione o sistema induttore che è fisicamente

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

Calc è il programma per la gestione di fogli di calcolo della suite OpenOffice.org.

Calc è il programma per la gestione di fogli di calcolo della suite OpenOffice.org. Calc è il programma per la gestione di fogli di calcolo della suite OpenOffice.org. Nuovo documento Anteprima di stampa Annulla Galleria Apri Controllo ortografico Ripristina Sorgente dati Salva Controllo

Dettagli

Maturità Scientifica PNI, sessione ordinaria 2000-2001

Maturità Scientifica PNI, sessione ordinaria 2000-2001 Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone Maturità Scientifica PNI, sessione ordinaria 000-00 Problema Sia AB un segmento di lunghezza a e il suo punto medio. Fissato un conveniente

Dettagli

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A.

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A. UdA n. 1 Titolo: Disequazioni algebriche Saper esprimere in linguaggio matematico disuguaglianze e disequazioni Risolvere problemi mediante l uso di disequazioni algebriche Le disequazioni I principi delle

Dettagli

Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda

Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda Figura 1: Foto dell apparato sperimentale. 1 Premessa 1.1 Velocità delle onde trasversali in una corda E esperienza comune che quando

Dettagli

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è

Dettagli

2.1 Difetti stechiometrici Variano la composizione del cristallo con la presenza di elementi diversi dalla natura dello stesso.

2.1 Difetti stechiometrici Variano la composizione del cristallo con la presenza di elementi diversi dalla natura dello stesso. 2. I difetti nei cristalli In un cristallo perfetto (o ideale) tutti gli atomi occuperebbero le corrette posizioni reticolari nella struttura cristallina. Un tale cristallo perfetto potrebbe esistere,

Dettagli

Rette e piani con le matrici e i determinanti

Rette e piani con le matrici e i determinanti CAPITOLO Rette e piani con le matrici e i determinanti Esercizio.. Stabilire se i punti A(, ), B(, ) e C(, ) sono allineati. Esercizio.. Stabilire se i punti A(,,), B(,,), C(,, ) e D(4,,0) sono complanari.

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

SOFTWARE GESTIONE SMS DA INTERFACCE CL MANUALE D INSTALLAZIONE ED USO

SOFTWARE GESTIONE SMS DA INTERFACCE CL MANUALE D INSTALLAZIONE ED USO CLSMS SOFTWARE GESTIONE SMS DA INTERFACCE CL MANUALE D INSTALLAZIONE ED USO Sommario e introduzione CLSMS SOMMARIO INSTALLAZIONE E CONFIGURAZIONE... 3 Parametri di configurazione... 4 Attivazione Software...

Dettagli

CS. Cinematica dei sistemi

CS. Cinematica dei sistemi CS. Cinematica dei sistemi Dopo aver esaminato la cinematica del punto e del corpo rigido, che sono gli schemi più semplificati con cui si possa rappresentare un corpo, ci occupiamo ora dei sistemi vincolati.

Dettagli

Ultimo aggiornamento.: 18/02/2006 Pagina 1 di 25

Ultimo aggiornamento.: 18/02/2006 Pagina 1 di 25 Introduzione al programma POWERPOINT Ultimo aggiornamento.: 18/02/2006 Pagina 1 di 25 Introduzione al programma POWERPOINT 1 1 Introduzione al programma 3 2 La prima volta con Powerpoint 3 3 Visualizzazione

Dettagli

Modulo. Programmiamo in Pascal. Unità didattiche COSA IMPAREREMO...

Modulo. Programmiamo in Pascal. Unità didattiche COSA IMPAREREMO... Modulo A Programmiamo in Pascal Unità didattiche 1. Installiamo il Dev-Pascal 2. Il programma e le variabili 3. Input dei dati 4. Utilizziamo gli operatori matematici e commentiamo il codice COSA IMPAREREMO...

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

Teoria quantistica della conduzione nei solidi e modello a bande

Teoria quantistica della conduzione nei solidi e modello a bande Teoria quantistica della conduzione nei solidi e modello a bande Obiettivi - Descrivere il comportamento quantistico di un elettrone in un cristallo unidimensionale - Spiegare l origine delle bande di

Dettagli

I.Stat Guida utente Versione 1.7 Dicembre 2010

I.Stat Guida utente Versione 1.7 Dicembre 2010 I.Stat Guida utente Versione 1.7 Dicembre 2010 1 Sommario INTRODUZIONE 3 I concetti principali di I.Stat 4 Organizzazione dei dati 4 Ricerca 5 GUIDA UTENTE 6 Per iniziare 6 Selezione della lingua 7 Individuazione

Dettagli

CATTURARE LO SCHERMO INTERO O LA FINESTRA ATTIVA

CATTURARE LO SCHERMO INTERO O LA FINESTRA ATTIVA CATTURARE LO SCHERMO INTERO O LA FINESTRA ATTIVA Supponiamo di voler eseguire una istantanea del nostro desktop, quella che in gergo si chiama Screenshot (da screen, schermo, e shot, scatto fotografico).

Dettagli

Corso SOL Gestione catalogo libro moderno 21-22 settembre 2009

Corso SOL Gestione catalogo libro moderno 21-22 settembre 2009 Corso SOL Gestione catalogo libro moderno 21-22 settembre 2009 Introduzione generale Autenticazione dell operatore https://sebina1.unife.it/sebinatest Al primo accesso ai servizi di Back Office, utilizzando

Dettagli

WINDOWS - Comandi rapidi da tastiera più utilizzati.

WINDOWS - Comandi rapidi da tastiera più utilizzati. WINDOWS - Comandi rapidi da tastiera più utilizzati. La prima colonna indica il tasto da premere singolarmente e poi rilasciare. La seconda e terza colonna rappresenta la combinazione dei i tasti da premere

Dettagli

Il luogo delle radici (ver. 1.0)

Il luogo delle radici (ver. 1.0) Il luogo delle radici (ver. 1.0) 1 Sia dato il sistema in retroazione riportato in Fig. 1.1. Il luogo delle radici è uno strumento mediante il quale è possibile valutare la posizione dei poli della funzione

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

PLANIMETRIA E PROFILO INSIEME

PLANIMETRIA E PROFILO INSIEME PLANIMETRIA E PROFILO INSIEME planimetria profili 11 RELAZIONE TRA PLANIMETRIA E PROFILO La correlazione tra andamento planimetrico e altimetrico è molto stretta; variazioni del primo incidono subito sul

Dettagli

MACCHINE A CONTROLLO NUMERICO C.N.C.

MACCHINE A CONTROLLO NUMERICO C.N.C. 1 MACCHINE A CONTROLLO NUMERICO C.N.C. Marino prof. Mazzoni Evoluzione delle macchine utensili Quantità di pezzi 10 10 10 10 6 5 4 3 10 2 1 2 1-MACCHINE SPECIALIZZATE 2-MACCHINE TRANSFERT 3-SISTEMI FLESSIBILI

Dettagli

Creazione di un disegno realistico con CorelDRAW

Creazione di un disegno realistico con CorelDRAW Creazione di un disegno realistico con CorelDRAW Hugo Hansen L'autore L'autore Hugo Hansen vive appena fuori dalla splendida città di Copenhagen. Esperto professionista nell'ambito del design grafico,

Dettagli

CAPITOLO 1. Motore a corrente continua ad eccitazione indipendente

CAPITOLO 1. Motore a corrente continua ad eccitazione indipendente CAPITOLO Motore a corrente continua ad eccitazione indipendente. - Struttura e principio di funzionamento Una rappresentazione schematica della struttura di un motore a corrente continua a due poli è mostrata

Dettagli

Introduzione ad Access

Introduzione ad Access Introduzione ad Access Luca Bortolussi Dipartimento di Matematica e Informatica Università degli studi di Trieste Access E un programma di gestione di database (DBMS) Access offre: un supporto transazionale

Dettagli

WORD (livello avanzato): Struttura di un Documento Complesso. Struttura di un Documento Complesso

WORD (livello avanzato): Struttura di un Documento Complesso. Struttura di un Documento Complesso Parte 5 Adv WORD (livello avanzato): Struttura di un Documento Complesso 1 di 30 Struttura di un Documento Complesso La realizzazione di un libro, di un documento tecnico o scientifico complesso, presenta

Dettagli

Le trasformazioni geometriche

Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni affini del piano o affinità Le similitudini Le isometrie Le traslazioni Le rotazioni Le simmetrie assiale e centrale Le omotetie

Dettagli

Vediamo ora altre applicazioni dei prismi retti descritti in O1.

Vediamo ora altre applicazioni dei prismi retti descritti in O1. O2 - I PRISMI OTTICI S intende con prisma ottico un blocco di vetro ottico 8 limitato normalmente da superfici piane, di forma spesso prismatica. Un fascio di luce 9 può incidere su una o due delle sue

Dettagli

LA FINESTRA DI OPEN OFFICE CALC

LA FINESTRA DI OPEN OFFICE CALC LA FINESTRA DI OPEN OFFICE CALC Barra di Formattazione Barra Standard Barra del Menu Intestazione di colonna Barra di Calcolo Contenuto della cella attiva Indirizzo della cella attiva Cella attiva Intestazione

Dettagli

QUADERNI DI DIDATTICA

QUADERNI DI DIDATTICA Department of Applied Mathematics, University of Venice QUADERNI DI DIDATTICA Tatiana Bassetto, Marco Corazza, Riccardo Gusso, Martina Nardon Esercizi sulle funzioni di più variabili reali con applicazioni

Dettagli

Gestione Nuova Casella email

Gestione Nuova Casella email Gestione Nuova Casella email Per accedere alla vecchia casella questo l indirizzo web: http://62.149.157.9/ Potrà essere utile accedere alla vecchia gestione per esportare la rubrica e reimportala come

Dettagli

VARIABILI E DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA A.A. 2010/2011

VARIABILI E DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA A.A. 2010/2011 VARIABILI E DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA A.A. 2010/2011 1 RAPPRESENTARE I DATI: TABELLE E GRAFICI Un insieme di misure è detto serie statistica o serie dei dati 1) Una sua prima elementare elaborazione può

Dettagli

Documentazione Servizio SMS WEB. Versione 1.0

Documentazione Servizio SMS WEB. Versione 1.0 Documentazione Servizio SMS WEB Versione 1.0 1 Contenuti 1 INTRODUZIONE...5 1.1 MULTILANGUAGE...5 2 MESSAGGI...7 2.1 MESSAGGI...7 2.1.1 INVIO SINGOLO SMS...7 2.1.2 INVIO MULTIPLO SMS...9 2.1.3 INVIO MMS

Dettagli

QUAL È LA DISTANZA TRA ROMA E NEW YORK? UN PO' DI GEOMETRIA ANALITICA SULLA SFERA

QUAL È LA DISTANZA TRA ROMA E NEW YORK? UN PO' DI GEOMETRIA ANALITICA SULLA SFERA QUAL È LA DISTANZA TRA ROMA E NEW YORK? UN PO' DI GEOMETRIA ANALITICA SULLA SFERA Michele Impedovo Bollettino dei Docenti di Matematica del Canton Ticino (CH) n 36, maggio 98. Il problema Il lavoro che

Dettagli

Equazione della Circonferenza - Grafico di una Circonferenza - Intersezione tra Circonferenza e Retta

Equazione della Circonferenza - Grafico di una Circonferenza - Intersezione tra Circonferenza e Retta Equazione della Circonferenza - Grafico di una Circonferenza - Intersezione tra Circonferenza e Retta Francesco Zumbo www.francescozumbo.it http://it.geocities.com/zumbof/ Questi appunti vogliono essere

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

Equilibrio Termico tra Due Corpi

Equilibrio Termico tra Due Corpi Equilibrio Termico tra Due Corpi www.lepla.eu OBIETTIVO L attività ha l obiettivo di fare acquisire allo sperimentatore la consapevolezza che: 1 il raggiungimento dell'equilibrio termico non è istantaneo

Dettagli

5.2. Pipetta. 2: Lo strumento di luce/ombra

5.2. Pipetta. 2: Lo strumento di luce/ombra 2: Lo strumento di luce/ombra Scostamento Luce a «0%» e Ombra a «100%» Con lo strumento di luce/ombra possono essere fissati il punto più chiaro, il punto medio e quello più scuro dell immagine. Sotto

Dettagli