M O D U L O D I C A L C O L O

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1 M O D U L O D I C A L C O L O 3D Versione G R U P P O S I S M I C A S. R. L. - Pag. 1 -

2 3DMacro è prodotto da: Gruppo Sismica s.r.l. Viale Andrea Doria, Catania Telefono: 95/ Web: 3DMacro è distribuito in esclusiva da: OmniaTest s.r.l. Via Nina da Messina, Messina Telefono: 9/ Web: Supporto tecnico: Proprietà letteraria riservata Gruppo Sismica s.r.l. Settembre 213 Si ringraziano coloro che hanno collaborato alla stesura del presente manuale.

3 INDICE GENERALE 1. INTRODUZIONE E CAMPI DI APPLICAZIONE 4 2. RICHIAMI TEORICI 5 3. BIBLIOGRAFIA 8 4. SIMULAZIONE DEL RIBALTAMENTO FUORI PIANO DI UN PANNELLO LIBERO 8 5. TEST DEFORMAZIONE ELASTICA A TORSIONE 1 6. PANNELLO SOGGETTO A FLESSIONE ORIZZONTALE RIBALTAMENTO FUORI PIANO DI UN PANNELLO CON ENTRAMBE LE ESTREMITA VINCOLATE PROTOTIPO EDIFICIO 21

4 1. INTRODUZIONE E CAMPI DI APPLICAZIONE Nel presente documento si riportano i confronti e i calcoli condotti su esempi e modelli al fine di validare il modulo di calcolo tridimensionale di 3DMAcro (3D). Tale modulo rappresenta l'evoluzione dell'attuale versione di 3DMacro e permette di modellare il comportamento tridimensionale della muratura in modo da cogliere contemporaneamente i meccanismi nel piano e fuori dal piano. Questo modulo di 3DMacro si rivolge prevalentemente a tutti gli edifici che per geometria, o per la mancanza ammorsamenti ed elementi di controventamento, resistono al sisma impegnando in modo considerevole le pareti ortogonalmente al proprio piano. La categoria senz'altro più importante che rientra nell'ambito di applicabilità di questo modulo sono gli edifici a carattere monumentale (come chiese o palazzi storici) caratterizzati da notevoli valori di snellezza delle pareti. modellazione della facciata di una chiesa e dei cantonali modellazione dell'intero edificio di culto - Pag. 4 -

5 Nel campo degli edifici a carattere scatolare, il modulo di calcolo 3D non deve essere interpretato come alternativo delle verifiche dei cinematismi di ribaltamento fuori piano mediante l'analisi limite (lineare e non lineare). Applicare infatti modellazioni 3D di un edificio di questo tipo, al solo scopo di effettuarne i cinematismi, risulterebbe infatti eccessivamente oneroso visto che il calcolo tridimensionale richiede a differenza del calcolo piano una suddivisione in mesh più fitta (vedi figura precedente). I due strumenti, nell'ambito degli edifici ordinari (o scatolari), possono considerarsi complementari. Le verifiche mediante l'analisi limite restituiscono i coefficienti di sicurezza di tutte le pareti in modo sintetico, facilmente interpretabile e, soprattutto, senza bisogno di raffittimento della mesh; il modulo 3D potrà essere utilizzato per modellare situazioni particolari come pareti snelle o facciate non ammorsate, utilizzando ad esempio modelli di dettaglio che comprendono l'elemento esaminato e le pareti ad esso contigue. 2. RICHIAMI TEORICI La cinematica piana dei macroelementi (governata da 4 gradi di libertà) viene arricchita da ulteriori tre gradi di libertà necessari per la descrizione della risposta fuori piano e introducendo interfacce tridimensionali in modo da poter descrivere anche in termini costitutivi la risposta fuori-piano. Cinematica del modello 3D: (a) gradi di libertà nel piano, (b) gradi di libertà fuori-piano. Interfaccia tridimensionale

6 Le interfacce 3D vengono discretizzate sia nella direzione longitudinale che nella direzione trasversale, pertanto, a differenza del caso piano, il comportamento flessionale dell interfaccia viene riprodotto da più file di molle ortogonali. In ogni interfaccia, oltre alla molla longitudinale per lo scorrimento nel piano, sono state inserite due molle longitudinali, dirette trasversalmente alla muratura. Tali NLinks devono simulare i possibili meccanismi di scorrimento fuori-piano e la deformabilità a torsione della muratura. La procedura di taratura delle molle di interfaccia, analogamente al modello 2D, è basata unicamente sulla geometria della porzione di muratura da rappresentare e sulla conoscenza dei parametri macroscopici della muratura: di deformabilità e di resistenza. Essa è basata su una equivalenza tra la singola molla e la porzione di muratura che le compete, in base al proprio volume d influenza. Taratura delle molle ortogonali d interfaccia. Le molle ortogonali alle interfacce piane hanno il compito di regolare la risposta flessionale del pannello sia nel piano che fuori piano. Tuttavia, essendo il pannello dotato di tutti i gradi di libertà da moto rigido nello spazio, occorre introdurre degli NLink destinati al controllo dei meccanismi di scorrimento fuori piano del pannello. Pertanto in ogni interfaccia sono state inserite due molle contenute nel piano dell interfaccia e dirette trasversalmente alla muratura. Tali NLinks governano la deformabilità a taglio fuoripiano e a torsione del sistema e il meccanismo di collasso per scorrimento fuoripiano. La rigidezza di ciascuna delle due molle viene quindi determinate in modo da simulare la deformabilità a taglio fuoripiano dei due pannelli collegati, mentre la distanza tra le molle viene determinata in modo da ristabilire la deformabilità a torsione del sistema. Nella figura che segue sono rappresentati degli schemi meccanici relativi al comportamento tridimensionale delle interfacce, separando per comodità il comportamento flessionale da quello a scorrimento, nella stessa figura sono riportati i gradi di libertà considerati nella rappresentazione numerica, che risultano associati ai gradi di libertà dei relativi pannelli.

7 Comportamento meccanico delle interfacce: (a)comportamento flessionale; (b) comportamento a scorrimento nel piano e fuori-piano. L interazione tra le pareti in corrispondenza degli angoli (cantonali) o più in generale nei punti di intersezione tra due o più pareti richiede una modellazione apposita. Operando con un approccio semplificato, il distacco di una parete in corrispondenza di un ammorsamento d angolo può avvenire o mediante un meccanismo di scorrimento oppure per crisi flessionale associata al superamento della resistenza a trazione. La modellazione di tali meccanismi di crisi può essere efficacemente simulata attraverso degli elementi ad hoc detti elementi speciali d angolo. Si tratta di elementi prismatici rigidi (corrispondenti all'effettivo ingombro della zona di intersezione) che interagiscono unicamente con i pannelli, convergenti al nodo, mediante interfacce 3D. Meccanismi di rottura delle zone d angolo: (a) rottura per scorrimento; (b) rottura per distacco flessionale.

8 Modellazione dell'interazione d'angolo tra più pareti. Per ulteriori dettagli sulla taratura delle molle e sui legami costitutivi utilizzati si rimanda al manuale teorico e ai riferimenti bibliografici. 3. BIBLIOGRAFIA B. Pantò. "La Modellazione sismica degli edifici in muraura: un approccio innovativo basato basato su un macro-elemento spaziale. Tesi di Dottorato di Ricerca in Ingegneria delle Strutture (XIX ciclo). Tutor Prof. Ing. Ivo Caliò. Caliò, M. Marletta & B. Pantò. Un macro-elemento in grado di cogliere il comportamento nel piano e fuori piano di pareti murarie. Convegno dell'associazione Nazionale di Ingegneria Sismica (ANIDIS). Pisa, 1-14 Giugno 27. Caliò, M. Marletta & B. Pantò. A discrete-element approach for the evaluation of the seismic response of masonry buildings. 14th World Conference on Earthquake Engineering, Beijing (China), October Paper ID Caliò, M. Marletta, B. Pantò. Vulnerabilità sismica delle chiese a una navata nel Val di Noto. Atti XIII convegno ANIDIS, 28 Giugno-2 Luglio 29. Yi T, Moon FL, Leon RT, Kahn LF. "Lateral load tests on a two-story unreinforced masonry building". J Struct Eng-ASCE 26;132(5): Milani G, Lourenco P, Tralli A, "3D homogenized limit analysis of masonry buildings under horizontal loads". Engineering Structures 29 (27) SIMULAZIONE DEL RIBALTAMENTO FUORI PIANO DI UN PANNELLO LIBERO Pannello elastico rettangolare soggetto unicamente al peso proprio e successivamente a una azione orizzontale uniforme e intensità pari al peso del pannello (6KN). Comportamento elastico sia a flessione che a taglio, scorrimenti inibiti. Verranno confrontati gli spostamenti e le sollecitazioni elastiche ottenute con 3DMacro, soluzione teorica di una trave di Bernoulli con schema di vincolo a mensola caricata con carico flessionale q uniforme e vari modelli agli Elementi finiti.

9 Dati del modello E=25 KN/cm modulo di elasticità normale della muratura t=25 cm spessore del pannello L=5 cm larghezza di base H=3 cm altezza del pannello w=2 KN/m3 peso specifico della muratura numero elementi lungo la base=21; numero elementi in altezza=13; interasse molle 5cm; numero file fuori piano=8; Risultati 3DMacro Vb=6 KN u= cm taglio alla base applicato spostamento del baricentro dei pannelli di sommità Freccia Teorica 4 qh f 8EI spostamento nell estremo libero della mensola 3 I momento d inerzia fuori piano della sezione Lt 12 f 3 3 L V L 3 b b cm V 8EI 3 3 8E( Lt /12) Confronto, in termini di spostamento, tra il modello 3DMacro e modello agli Elementi Finiti con elementi 2D-shell quadrangolari e con elementi solidi: 3DMacro E.F. shell E.F. solid U max = cm U max = cm U max = cm

10 Confronto, dello stato tensionale ed in particolare del momento flettente fuori piano agente nelle interfacce con normale z (Mzx): 3 Mvert modello m ZX [KN*cm/cm] d [cm] M ZX =m ZX *d [KN*cm] 3DMacro E.F. shell TEST DEFORMAZIONE ELASTICA A TORSIONE Colonna in muratura di dimensioni pari a 1mx3m, spessore 25cm, soggetta a un momento torcente concentrato pari a 1KN*m, applicato mediante un frame posto in mezzeria. Materiale elastico lineare con modulo G=5KN/cm 2. La rigidezza delle molle viene determinata in modo da riprodurre la deformazione a taglio nella direzione ortogonale al pannello: 1 GA k m 2 h Con: A = area della sezione trasversale del pannello; G = modulo di deformabilità tangenziale della muratura; h = distanza tra l interfaccia e il baricentro del pannello. La distanza (d m ) tra ciascuna molla e la mezzeria della sezione del pannello viene determinata in modo tale da riprodurre la medesima rigidezza torsionale del modello, visto come un continuo elastico. Pertanto indicando con J il momento di inerzia polare della sezione, si ha: Pertanto risulta: 1 bs GJ 2 kd m J 3 ; 2 3 h d m J A

11 Dove si è indicato con b e s rispettivamente la larghezza e lo spessore del pannello; Vista assonometrica Vista laterale Vista in pianta Deformate del modello 3DMacro Di seguito si riportano gli spostamenti massimi del modello 3DMacro al variare della mesh: Mesh pannelli U max [cm] Rotazione [rad] 1x x x x Calcoli di validazione J = 1/3 * b * s 3 = 1 * 25 3 / 3 = [cm4]; k t =G * J / h= 5 * / 15= [KN/cm2]; =M t / (2Kt)=1 / (2 * )=2.88E-4 [rad]; U max = b 2.88E-4 * 1 / 2=.144 [cm] (momento d inerzia torsione) (rigidezza torsionale) (massima rotazione torsionale) (spostamento orizzontale massimo) 6. PANNELLO SOGGETTO A FLESSIONE ORIZZONTALE Nel seguente paragrafo viene simulato il ribaltamento di un pannello vincolato, nei confronti degli spostamenti orizzontali, alla base e in sommità. In particolare il pannello è vincolato alla base con vincolo incastro e in testa con vincolo di semplice appoggio, soggetto a una pressione uniforme, in direzione ortogonale al pannello.

12 moltiplicatore del carico 3DMacro - Modulo di Calcolo 3D Dati del modello E=25 KN/ cm 2 modulo di elasticità normale della muratura; s=25 cm spessore del pannello; b=2 cm larghezza di base; h=3 cm altezza del pannello; w=2 KN/m3 peso specifico della muratura; comportamento a taglio : elastico lineare; comportamento a flessione : elastico lineare a compressione, elasto-plastico a trazione; f c, f t = resistenza a compressione e trazione; u ty = spostamento di snervamento a trazione; u tu = spostamento ultimo a rottura per trazione; =u t /u yt duttilità a trazione; Modello 3DMacro non reagente a trazione (ft=fc/5),3,25,2,15,1,5 analisi limite 3DMacro,2,4,6,8,1 spostamento [cm] Deformata e curva di capacità Tale simulazione approssima il comportamento di un materiale a resistenza nulla a trazione. Il modello è stato sollecitato ortogonalmente al proprio piano da azioni uniformemente distribuite. I risultati del modello 3DMacro espressi in termini di moltiplicatore dei carichi (F orizz /W) sono messi a confronto nella figura sopra riportata con il moltiplicatore teorico determinato mediante l'equilibrio limite. Influenza della resistenza a trazione Nel grafico che segue viene mostra la variabilità della curva di capacità del sistema al variare della resistenza a trazione (si considerano i valori,1 Mpa -,15 Mpa -,2 Mpa,25Mpa) e comportamento non lineare infinitamente duttile.

13 F totale [KN] F totale [KN] 3DMacro - Modulo di Calcolo 3D MPA.1 Mpa.15 Mpa.2 Mpa,2,4,6,8 1 spostametno [cm] Influenza della duttilità a trazione Limitatamente al caso di resistenza a trazione pari a,25mpa è stata condotta un analisi di sensitività del modello nei confronti della duttilità a trazione. Le analisi sono state condotte considerando valori di duttilità variabili da 15 a 25; il grafico di seguito riportato illustra il confronto delle curve di capacità ,1,2,3,4,5 spostamento [cm] Determinazione del moltiplicatore del carico mediante analisi limite Di seguito si riportano i calcoli di validazione dei risultati ottenuti con il modello 3DMacro, utilizzando l approccio dell analisi limite. In particolare la forza limite a ribaltamento del sistema si può scomporre in due contributi additivi: la resistenza dovuta all azione stabilizzante del peso W del pannello (indicata con F N ) e il contributo dovuto all azione stabilizzante della resistenza a trazione (indicata con F M ). F F M U W F M M F N ; F M N W M ( ) W Il moltiplicatore del carico dovuto al solo contributo del peso proprio (trascurando quindi la resistenza a trazione della muratura), si può esprimere come segue: M N s' 2 h x x 1

14 con: s =s-c h 2 x=h / h 2 spessore del pannello al netto dell arretramento della cerniera plastica (c); distanza tra la cerniera plastica intermedia e la sezione di testa del pannello; distanza tra la cerniera plastica intermedia e la sezione di base. Il moltiplicatore ultimo del carico legato al solo contributo della resistenza a trazione della muratura viene determinato considerando il momento plastico della sezione (Mp). Con riferimento al comportamento infinitamente duttile il momento plastico può essere valutato considerando un diagramma delle tensioni uniforme pari al valore limite a trazione: 1 Mp ft b s 2 Applicando il principio dei lavori virtuali si ha: M W h 1 2 x 1 Mp 2 x Pertanto il moltiplicatore limite dei carichi risulta: M x x 1 2 x 1 Mp W h La tabella che segue riporta i moltiplicatori del carico per i differenti valori di resistenza a trazione: f t [KN/cm 2 ],1,15,2,25 N,256,256,256,256 F N [KN] 7,667 7,667 7,667 7,6667 Mp [KNcm] 529, 793, ,5 M,686 1,29 1,372 1,714 F M [KN] 2,572 3,859 41,144 51,431 Di seguito di riporta il confronto tra il carico ultimo ottenuto con 3DMacro e con l analisi limite, per i diversi valori di resistenza a trazione considerati: ft Fu_3DM analisi limite Fu_N Fu_M Fu_tot Mpa KN KN KN KN,1 7,6 7,6667, 7,6667,1 28, 7,6667 2, ,2389,15 38,3 7,6667 3, ,525,2 49,1 7, , ,8111,25 57,2 7, ,436 59,972

15 Confronto con una modellazione agli Elementi Finiti Di seguito si riporta il confronto tra il modello in 3DMacro e dei modelli agli elementi finiti, mediante il software ADINA, ottenuti utilizzando sia elementi piani 2D che elementi solidi. In particolare si ha: - Modello 1: Elementi Shell a 9 nodi, legame costitutivo Multi Linear Plastic; - Modello 2: Elementi 3D Solid a 27 nodi, legame costitutivo Concrete; La seguente tabella riporta i parametri meccanici elastici utilizzati per la modellazione agli elementi finiti: E f t f c KN/cm 2 - KN/cm 2 KN/cm 2 25,25,25-,1,25 Viste assonometriche dei modelli: (a)modello 2D Shell; (b) modello 3D-Solid. Di seguito si riporta il confronto del carico ultimo ottenuto con i modelli agli elementi finiti e con il modello 3DMacro al variare della resistenza a trazione e duttilità infinita. f t carico ultimo 3DMacro EF 2D shell EF solidi Mpa kn kn kn,1 7,6 2,6435 5,191,1 28,462 24,547 23,3197,15 38, ,84 34,4995,2 49,824 49, ,3718,25 57, , ,5

16 Taglio alla base [KN] Taglio alla base [KN] Taglio alla base [KN] Taglio alla base [KN] 3DMacro - Modulo di Calcolo 3D Di seguito si riporta il confronto tra le curve di capacità ottenute con i diversi approcci di modellazione utilizzati DMacro.25 MPa EF shell multilinear_plastic.25 MPa EF_3D solid.25 MPa,1,2,3,4,5 spostamento [cm] DMacro.2 MPa EF shell multilinear_plastic.2 MPa EF_3D solid.2 MPa,1,2,3,4,5 spostamento [cm] (a) (b) DMacro.15 MPa EF shell multilinear_plastic.15 MPa EF_3D solid.15 MPa,1,2,3,4,5 spostamento [cm] DMacro.1 MPa EF shell multilinear_plastic.1 MPa EF_3D solid.1 MPa,1,2,3,4,5 spostamento [cm] (c) (d) Confronto curve di capacità dei modelli duttili al variare della resistenza a trazione: (a),25mpa, (b),2mpa, (c),15mpa, (d),1mpa Di seguito il confronto tra i massimi momenti flettenti registrati alla base dei pannelli nel modello agli Elementi Finiti 2D e il momento plastico della sezione trasversale del pannello calcolato da un punto di vista teorico, assumendo una distribuzione triangolare delle tensioni. f t M p teorico M 2DShell [KN*cm/cm] M sezione = M 2DShell*l [KN*cm], ,73 346, ,8 56, ,54 78, ,49 898

17 (a) (b) (c) (d) Momenti flettenti a collasso registrati nel modello agli elementi finiti 2D: (a),25mpa, (b),2mpa, (c),15mpa, (d),1mpa 7. RIBALTAMENTO FUORI PIANO DI UN PANNELLO CON ENTRAMBE LE ESTREMITA VINCOLATE Nel seguente paragrafo si riporta il caso di un pannello rettangolare 4mx3m, spessore 25cm, soggetto unicamente al peso proprio e successivamente a una azione orizzontale uniforme. Le condizioni di vincolo sono incastro alla base e semplice appoggio lungo i lati verticali (viene vincolato unicamente lo spostamento orizzontale nella direzione ortogonale al pannello). - Analisi Elastiche Al pannello viene applicata una azione complessiva pari al proprio peso w=6kn. Si considerano i seguenti parametri elastici. E=25KN/cm2 modulo di deformabilità normale della muratura; G=5KN/cm2 modulo di deformabilità tangenziale della muratura;

18 Le analisi sono state condotte con 3DMacro e con modelli agli elementi finiti, utilizzando elementi 2D-shell ed elementi solidi 3D. Di seguito si riporta il confronto degli spostamenti massimi registrati in corrispondenza della sezione di mezzeria della parete. modello U max [cm] E.F. 2D (shell rettangolari),2862 E.F. 2D (shell triangolari),2885 E.F. 3D (solid),291 3DMacro, Configurazione deformata del modello 3DMacro : Vista assonometrica Vista laterale Vista in pianta Deformate elastiche del modello 3DMacro Spostamenti modello agli Elementi Finiti 2D rettangolari.

19 Di seguito si riportano le distribuzioni dei valori della componente fuori piano dei momenti flettenti agenti lungo le giaciture orizzontali (M zx ) e verticali (M xx ). Nella modellazione in 3DMacro i valori si riferiscono alle risultanti agenti in un macro-elemento (dimensioni 22cmx22cm) mentre le mappe di colore del modello agli elementi finiti si riferisce al valore agente per unità di lunghezza. Pertanto al fine di confrontare i due valori è necessario moltiplicare i valori ottenuti nel modello agli elementi finiti per la dimensione dell'elemento. M zx modello 3DMacro [KN*cm] M xx modello 3DMacro [KN*cm] M zx modello E.F. [KN*cm/cm] M xx modello E.F. [KN*cm/cm] Modello M ZX M XX E.F. 2D (shell rettangolari) [KN*cm] 113 [KN*cm] 179 E.F. 2D (shell triangolari) DMacro Confronto dei valori massimi dei momenti flettenti nei diversi modelli.

20 total force [KN] 3DMacro - Modulo di Calcolo 3D - Analisi Non Lineari Per le analisi si considerano i seguenti parametri di resistenza: f c =2.5 Mpa ; f t =.15 Mpa =1.5 c =.12 Mpa; =.3 resistenza a compressione e a trazione; duttilità a trazione; coesione e angolo di attrito a scorrimento. Confronto delle curve di capacità: DMacro EF shell EF_solid top displacement [cm] momenti flettenti e deformate a collasso ottenuti con il modello 3DMacro: 3 Moriz 4 3 Mvert Mzx (agente lungo le interfacce verticali) Mxx (agente lungo le interfacce orizzontali) Vista assonometrica Vista frontale Vista in pianta

21 8. PROTOTIPO EDIFICIO Di seguito si riportano i risultati di alcune analisi condotte su di un prototipo di edificio in muratura di mattoni di laterizio pieni e malta di calce, testato da Yi et al. nel 26 mediante prove cicliche quasistatiche. Particolari della geometria del prototipo (tratte da Milani et al. 27) Flessione taglio diagonale (cacovic) E [Mpa] f c [Mpa] f t [Mpa] (%) [Mpa] tan( ) 25 Inf Inf., Parametri meccanici utilizzati nel modello 3DMacro

22 Lo spessore delle murature è pari a 3cm al piano terra e 2cm al primo piano. Il modello è soggetto unicamente ai pesi propri dovuti alla muratura e alle strutture dei solai. Il peso complessivo (del modello) è risultato pari a 1175KN. Viste assonometriche del modello geometrico e computazionale in ambiente 3DMacro. I solai, realizzati con travetti in legno e tavolato continuo, sono efficacemente ammorsati alle pareti. Questi sono stati modellati come lastre ortotrope con spessore equivalente pari allo spessore del tavolato (2,54cm) e caratteristiche di deformabilità determinate a partire dai parametri geometrici e meccanici: Parametro Valore [Mpa] Ex 185 Ey 8 G 3333,2 Il peso proprio dell impalcato risulta pari a,4 KN/m 2.

23 Di seguito si riporta il dettaglio della risposta del modello, a confronto con i risultati della prova sperimentale. In particolare il primo grafico riporta il confronto della curva di capacità ottenuta con 3DMacro con i risultati ottenuti durante l esperimento, espressi in termini di spostamento del sendo impalcato (cm) in funzione del taglio alla base (KN) Confronto delle curve di capacità delle pareti A e B: risultati sperimentali e modello 3DMacro. Le figure sottostanti riportano il confronto del meccanismo di collasso ottenuto dalle elaborazioni numeriche del 3Dmacro con quello sperimentale. Confronto del meccanismo di collasso: (a) modello3dmacro; (b) prova sperimentale. Le figure che seguono riportano in varie viste il quadro di danneggiamento completo dell edificio considerando nelle prime immagini la presenza dei solai modellati con piastre ortotrope, e nelle ultime immagini trascurando completamente la presenza degli orizzontamenti.

24 Viste assonometriche Danneggiamento delle parete A e B Vista in pianta Danneggiamento parete 1 Danneggiamento parete 2 Deformate modello 3DMacro con indicatori di danno: modello con solai elastici

25 Analisi in direzione +x Analisi in direzione x Deformate modello 3DMacro con indicatori di danno: modello senza solai