Statistica15-30/11/2015 ANALISI DEI RAPPORTI DISCONTINUI (FREQUENZE)

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1 Statistica15-30/11/2015 ANALISI DEI RAPPORTI DISCONTINUI (FREQUENZE) Osservazioni congiunte su due variabili Sono stati raccolti dei dati di schiusa di due incubatrici la lista dei dati è mostrata nella tabella accanto raggruppiamo i dati per incubatrice e poi per risultato di schiusa uovo n incubatrice pulcino 1 2 Sì 2 1 Sì 3 2 No 4 1 No 5 1 Sì 6 2 No 7 2 No 8 1 Sì 9 2 Sì 10 2 No 11 1 Sì 12 1 No 13 2 No 14 2 No 15 2 No 16 2 No 17 2 No 18 2 No 19 1 Sì 20 1 No 21 1 Sì 22 2 No 23 1 Sì 24 1 No 25 1 Sì 26 2 No 27 2 No 28 1 No 29 2 No 30 2 No 1

2 uovo n incubatrice pulcino 4 1 No 12 1 No 20 1 No 24 1 No 28 1 No 2 1 Sì 5 1 Sì 8 1 Sì 11 1 Sì 19 1 Sì 21 1 Sì 23 1 Sì 25 1 Sì 3 2 No 6 2 No 7 2 No 10 2 No 13 2 No 14 2 No 15 2 No 16 2 No 17 2 No 18 2 No 22 2 No 26 2 No 27 2 No 29 2 No 30 2 No 1 2 Sì 9 2 Sì raggruppiamo i dati per incubatrice e poi per risultato di schiusa numero incubatrice =1 13 Si 8 No 5 incubatrice =2 17 Si 2 No 15 2

3 I dati si possono tabulare più efficacemente nel modo seguente (distribuzione doppia - 2 criteri) incubatrice =1 incubatrice =2 somma pulcino Si No somma Questa è una tipica tabella di contingenza (vedi lezione 1 classificazione con 2 criteri). quali sono i parametri che regolano tale tipo di distribuzioni? 3

4 Analogamente si possono fare tabelle di contingenza a più vie (vedi lezione 1 classificazione con più criteri). Tabelle di contingenza m x n (3 x2) tesi A tesi B Uova incubate uova non fertili 4 11 uova con embrione morto 26 4 uova schiuse Per testare se le due serie di osservazioni differiscono devo ipotizzare che le due serie appartengano ad un unica popolazione dalla quale vengono estratti a caso le due serie di osservazioni e calcolare la probabilità dell'evento osservato 4

5 Da lezione 5: la funzione di frequenza di Bernoulli o distribuzione binomiale Calcola la probabilità che descrive il lancio di due dadi o l'estrazione delle palline estratte, perdenti o vincenti, da un'urna senza considerare la modifica causata dalla estrazione delle singole palline (definita statisticamente con reinserimento ). Nella distribuzione binomiale la probabilità p di un evento è costante 5

6 Quando la probabilità p di una estrazione casuale varia in funzione degli eventi precedenti, come succede in una popolazione limitata e di piccole dimensioni, si ha una distribuzione ipergeometrica. La Distribuzione Ipergeometrica Calcola la probabilità che descrive l'estrazione senza reinserimento di alcune palline, perdenti o vincenti, da un'urna. Ad esempio, data un'urna contenente 10 palline, 3 bianche e 7 nere, il numero di palline bianche estratte in una estrazione di 5 palline è descritto dalla distribuzione ipergeometrica. Generalizzando Ad esempio, data un'urna contenente n palline, h bianche e n-h nere, il numero di palline bianche estratte in una estrazione di r palline è descritto dalla distribuzione ipergeometrica. 6

7 Utilizzando un esempio tratto dal gioco delle carte per chiarire la differenza tra distribuzione binomiale e distribuzione ipergeometrica, proviamo a calcolare la probabilità di estrazione di un asso da un mazzo di 40 carte (con 4 assi): Con re-immissione della carta estratta la probabilità di estrarre un asso la prima volta è uguale a 4/40 o 1/10. Se la carta viene reintrodotta nel mazzo, la probabilità che la seconda carta sia un asso rimane 1/10; in queste estrazioni, la probabilità di tutte le carte è sempre P = 0,1. Senza re-immissione della carta estratta la probabilità che la seconda carta sia un asso dipende dalla prima estrazione. 1) Se la prima carta era un asso, la probabilità che la seconda lo sia è di 3/39, quindi P = 0,077; b) se la prima carta non era un asso, la probabilità che la seconda lo sia è di 4/39, quindi P = 0,103 Per la seconda carta e quelle successive, la probabilità P varia in funzione di quanto è avvenuto nelle estrazioni precedenti! Da questo esempio è facile comprendere che, se il mazzo di carte fosse molto grande (n grande), la probabilità P rimarrebbe approssimativamente costante. In altre parole la distribuzione binomiale (normale) rappresenta una buona approssimazione della distribuzione ipergeometrica con n grande. 7

8 Vediamo di generalizzare il calcolo delle probabilità: Supponiamo che: - un'urna contenga N bilie, delle quali n 1 bianche e k= N - n 1 nere; - si estraggono dall'urna x bilie Si vuole determinare la probabilità P(r/N) che delle x bilie estratte r siano bianche: necessariamente si può estrarre solo fino a tutte le bilie bianche, cioè: r n 1 ; necessariamente si può estrarre solo fino ad un massimo di tutte le bilie, cioè x N Per il corretto calcolo delle probabilità devo ricordare che le bilie possono essere estratte in combinazione differente e che ognuna delle combinazioni di estrarre bilie nere si combinerà con ognuna delle combinazioni di estrarre bilie bianche. Il calcolo richiede quindi 3 sotto-calcoli: 8

9 1. Delle N bilie totali le x estratte possono essere estratte in combinazione diversa; cioè in C x modi differenti. N 2.Delle n 1 bilie bianche r possono essere estratte in combinazione diversa; cioè in C r n1 3.Delle k = N-n 1 modi differenti. diversa; cioè in C x-r N-n1 bilie nere x-r possono essere estratte in combinazione modi differenti. Ognuna delle diverse possibilità di estrarre bilie bianche C r n1 si combinerà con le diverse possibilità di estrarre bilie nere C x-r N-n1 La combinazione totale sarà quindi uguale alla combinazione delle due combinazioni sulla combinazione totale; cioè la 2 per la 3 sulla 1.: P(r/N) = C r mox n1 Cx-r N-n1 C x N Per terminologia vedi lezione 1 e 5, definizione combinazione Per il calcolo delle probabilità devo ricordare che ognuna delle combinazioni di estrarre bilie nere si combina con ognuna delle combinazioni di estrarre bilie bianche. Il calcolo richiede quindi 4 passaggi: 9

10 La combinazione totale sarà quindi uguale alla combinazione delle due combinazioni dei casi sulla combinazione totale: P(r/N) = C r * C x-r n1 N-n1 C x N Campione-Y Campione-y Totale Risposta-X a b = a+b Risposta-x c d = c+d Totale = n 3 =a+c n 4 =b+d N = a+b+c+d Ma applicando la formula delle combinazioni (da lezione 1): (a+c)! * (b+d)! P(r/N) = C r * n1 Cx-r = a!*c! b!*d! = (a+b)!*(c+d)!*(a+c)!*(b+d)! = N-n1 N! N!*a!*c!*b!*d! C x N n = 1!*n 2!*n 3!*n 4! a!*b!*c!*d! (a+b)! *(c+d)! 10 n 1 n 2

11 ESEMPIO 1. ho due incubatrici A e B, nella prima incubatrice ho 7 uova e nella seconda 5, nella prima incubatrice schiudono 6 pulcini e nella seconda nessuno. E statisticamente fondato il sospetto che le due incubatrici forniscano performance diverse in modo statisticamente significativo? Per stabilire se esiste una differenza significativa tra le due distribuzioni osservate dei campioni A e B E necessario*: 1.Disporre i numeri osservati in forma di tabella 2.Calcolare la probabilità della distribuzione osservata 3.Calcolare le probabilità di tutte le altre distribuzioni più estreme 4.Sommare tutte le probabilità trovate. *Fisher R. A. (1935)-The logic of scientific inference. J. of the Royal Statistical Society, 98: Disporre i numeri osservati in forma di tabella Incubatrice-A Incubatrice-B Totale Nati 6 0 = 6 non nati 1 5 = 6 Totale = 7 5 N = 12 n 1 n 2 11

12 2.Calcolare la probabilità della distribuzione osservata: (a+c)! * (b+d)! P(r/N) = C r * n1 Cx-r N-n1 = a!*c! b!*d! = (a+b)!*(c+d)!*(a+c)!*(b+d)! = N! N!*a!*c!*b!*d! C x N Incubatrice-A Incubatrice-B (a+b)! *(c+d)! = n!*n!*n!*n 1! = 5!*7!*6!*6! = 0, a!*b!*c!*d! 12!*5!*0!*1!*6! Totale Nati 5 1 = 6 non nati 0 6 = 6 Totale = 5 7 N = 12 n 1 n ,1E+011 4,1386E+013 0,007576

13 3.Calcolare la probabilità di tutte le distribuzioni più estreme: Incubatrice-A Incubatrice-B Totale Nati 5 0 = 5 non nati 0 7 = 7 Totale = 5 7 N = 12 n 1 n 2 3.Calcolare la probabilità della seconda ed ultima distribuzione più estrema: (a+c)! * (b+d)! P(r/N) = C r * n1 Cx-r a!*c! b!*d! (a+b)!*(c+d)!*(a+c)!*(b+d)! N-n1 = = = N! N!*a!*c!*b!*d! C x N (a+b)! *(c+d)! n!*n!*n!*n! = 1 7!*5!*7!*5! = = a!*b!*c!*d! 12!*5!*0!*0!*7! ,7E+011 1,7521E+020 0,

14 Il foglio calcola il test esatto di Fisher per una tabella 2x2 con un totale massimo di 50. P value: 0,015 ATTENZIONE è possibile scrivere solo nelle caselle verdi Tesi1 Tesi 2 Totali vivi morti Totali ordina i più piccoli: column 1 column 2 Totali Riga 1 5 a 1 b 6 a+b Riga 2 0 c 6 d 6 c+d Totali 5 a+c 7 b+d 12 N (tot) colonna dei più piccoli ,008 calcola tutte le probabilità fino a n positivi colonna1 = n colonna totale 0 0, , ,

15 Il test esatto di Fisher in tabelle 2x2 Nel caso di tabelle 2 x 2 con piccoli numeri è possibile tramite calcolatore calcolare la probabilità esatta della differenza fra l due numeri. Ragionando in questo modo: dato un campione di N animali (30 nel nostro caso) nel quale m sono nati (10 nel nostro caso), se ne preleviamo n (17 nel nostro caso) e troviamo che k (2 nel nostro caso) sono nati, quale è la probabilità che tale evento si verifichi? incubat rice =1 incubat rice =2 som ma pulcino Si No somma N.B. la probabilità del successo ad ogni estrazione cambia a seconda di quanti successi sono già stati ottenuti nelle estrazioni precedenti (essendo il campione di partenza finito e non essendovi reimbussolamento. 15

16 La formula del calcolo della probabilità si riduce quindi al rapporto fra -un numeratore che è il prodotto dei fattoriali dei 4 totali marginali, -e un denominatore che è il prodotto dei fattoriali dei valori delle 4 celle moltiplicato per il fattoriale del totale generale (N). Nel nostro caso: probabilità P = (10!*20!*17!*13!)/(2!*8!*15!*5!*30!) = 0, per calcolare la probabilità totale dobbiamo però sommare alla probabilità appena calcolata anche tutte le probabilità delle tabelle ancora più sfavorevoli cioè: probabilità P = (10!*20!*17!*13!)/(1*9!*16!*4!*30!) = 0,0004 e probabilità P = (10!*20!*17!*13!)/(0!*10!*17!*7!*30!) = 0,

17 Il calcolo del test esatto è quindi estremamente complicato. Richiede l'uso di prodotti di fattoriali, che diventano quantità enormi al crescere delle numerosità osservate. Anche se sono disponibili calcolatori potenti a basso costo si rischia di introdurre approssimazioni nel calcolo perché il numero di cifre significative che gestiscono i calcolatori è comunque finito e le quantità da gestire sono enormi per numerosità superiori alle decine. Pertanto il test esatto di Fisher è raccomandabile solo quando le numerosità osservate sono molto limitate (poche decine di osservazioni), deve essere effettuato con l'ausilio del PC (foglio di calcolo) e non può essere calcolato con l'ausilio della semplice calcolatrice. 17

18 Nella pratica inoltre è frequente la necessità di verificare se esiste accordo tra una frequenza osservata e la frequenza attesa o teorica con numerosità elevata (n tot > o = 20). Il test viene definito test per la bontà dell adattamento (in inglese, goodness of fit test). Si applica a: - dati qualitativi che possono essere classificati in categorie nominali ma non numeriche continue (es. mortalità) - dati quantitativi distribuiti in classi di frequenza non numerici continui (es. nella ricerca ambientale: uso del suolo) 18

19 Si calcola (se non è definita a priori) la distribuzione attesa (nel caso di due o più confronti la distribuzione attesa sarà quella che deriva dal totale). Si confronta la distribuzione osservata con quella attesa (è evidente che tra distribuzione osservata e distribuzione attesa non si avrà quasi mai una perfetta coincidenza, anche quando si possono constatare valori molto simili). E ovvio, con il semplice buon senso, che - differenze piccole (attesa-osservata) potranno essere ritenute accidentali e quindi tali da non permettere di negare un sostanziale accordo tra osservato ed atteso. - differenze molto grandi (attesa-osservata) permettono di supporre che le differenze non siano state dovute al caso, ma che siano dovute a fattori reali che rendono significativa la differenza fra distribuzione attesa ed osservata. 19

20 Il problema statistico è di poter dedurre scientificamente ed in modo universalmente accettato se le frequenze (proporzioni) provengono dalla stessa popolazione o da due popolazioni diverse) o meglio - se sono di dimensioni tali da fare più ragionevolmente supporre una distribuzione realmente diversa da quella attesa. Test della ipotesi nulla che viene indicata con H0. se le differenze sono trascurabili (probabilmente dovute solo al caso) contro ipotesi alternativa che viene indicata con H1 oppure con HA (esistenza di una differenza reale anche se le cause sono ignote). Analogamente a quanto fatto per la distribuzione normale si standardizzano le differenze: 20

21 La legge matematica che descrive il fenomeno è molto complessa (c'è una funzione per ogni grado di libertà) ma tutte le funzioni possono essere riassunte in una tabella nella quale vengono riportati solo alcuni punti corrispondenti alle aree rimaste fuori. Analogamente ai precedenti (Z,T,F) il test del χ2 (chi-quadro) consiste nel confrontare il valore calcolato nelle serie osservate con quello tabulato corrispondente alle aree del 5% e 1%. Se il valore trovato è più grande del tabulato vuol dire che l'area è minore di quella corrispondente al valore tabulato. 21

22 LA DISTRIBUZIONE χ2 La distribuzione Chi-quadrato (χ2) (messa a punto da statistico inglese Karl Pearson, ), può essere fatta derivare dalla distribuzione normale. Date n variabili casuali indipendenti x1, x2,, xn, normalmente distribuite con µ = 0 e σ = 1, il χ2 è una variabile casuale data dalla somma dei loro quadrati. Analogamente alla distribuzione della densità di probabilità di t e di f la distribuzione della densità di probabilità del χ2 dipende dai suoi gradi di libertà (g.l.) (in inglese, degrees of freedom, abbreviato in d.f.) dove, per definizione, i gradi di libertà sono il numero di classi che restano indipendenti, 22

23 23

24 Tasso di Probabilità di un valore di chi quadro calcolato maggiore del valore in tabella gl 0,95 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 1 0,004 0,02 0,06 0,15 0,27 0,45 0,71 1,07 1,64 2,71 3,84 5,41 6,63 2 0,10 0,21 0,45 0,71 1,02 1,39 1,83 2,41 3,22 4,61 5,99 7,82 9,21 3 0,35 0,58 1,01 1,42 1,87 2,37 2,95 3,66 4,64 6,25 7,81 9,84 11,34 4 0,71 1,06 1,65 2,19 2,75 3,36 4,04 4,88 5,99 7,78 9,49 11,67 13,28 5 1,15 1,61 2,34 3,00 3,66 4,35 5,13 6,06 7,29 9,24 11,07 13,39 15,09 6 1,64 2,20 3,07 3,83 4,57 5,35 6,21 7,23 8,56 10,64 12,59 15,03 16,81 7 2,17 2,83 3,82 4,67 5,49 6,35 7,28 8,38 9,80 12,02 14,07 16,62 18,48 8 2,73 3,49 4,59 5,53 6,42 7,34 8,35 9,52 11,03 13,36 15,51 18,17 20,09 9 3,33 4,17 5,38 6,39 7,36 8,34 9,41 10,66 12,24 14,68 16,92 19,68 21, ,94 4,87 6,18 7,27 8,30 9,34 10,47 11,78 13,44 15,99 18,31 21,16 23, ,57 5,58 6,99 8,15 9,24 10,34 11,53 12,90 14,63 17,28 19,68 22,62 24, ,23 6,30 7,81 9,03 10,18 11,34 12,58 14,01 15,81 18,55 21,03 24,05 26, ,89 7,04 8,63 9,93 11,13 12,34 13,64 15,12 16,98 19,81 22,36 25,47 27, ,57 7,79 9,47 10,82 12,08 13,34 14,69 16,22 18,15 21,06 23,68 26,87 29, ,26 8,55 10,31 11,72 13,03 14,34 15,73 17,32 19,31 22,31 25,00 28,26 30, ,96 9,31 11,15 12,62 13,98 15,34 16,78 18,42 20,47 23,54 26,30 29,63 32, ,67 10,09 12,00 13,53 14,94 16,34 17,82 19,51 21,61 24,77 27,59 31,00 33, ,39 10,86 12,86 14,44 15,89 17,34 18,87 20,60 22,76 25,99 28,87 32,35 34, ,12 11,65 13,72 15,35 16,85 18,34 19,91 21,69 23,90 27,20 30,14 33,69 36, ,85 12,44 14,58 16,27 17,81 19,34 20,95 22,77 25,04 28,41 31,41 35,02 37, ,59 13,24 15,44 17,18 18,77 20,34 21,99 23,86 26,17 29,62 32,67 36,34 38, ,34 14,04 16,31 18,10 19,73 21,34 23,03 24,94 27,30 30,81 33,92 37,66 40, ,09 14,85 17,19 19,02 20,69 22,34 24,07 26,02 28,43 32,01 35,17 38,97 41, ,85 15,66 18,06 19,94 21,65 23,34 25,11 27,10 29,55 33,20 36,42 40,27 42, ,61 16,47 18,94 20,87 22,62 24,34 26,14 28,17 30,68 34,38 37,65 41,57 44, ,38 17,29 19,82 21,79 23,58 25,34 27,18 29,25 31,79 35,56 38,89 42,86 45, ,15 18,11 20,70 22,72 24,54 26,34 28,21 30,32 32,91 36,74 40,11 44,14 46, ,93 18,94 21,59 23,65 25,51 27,34 29,25 31,39 34,03 37,92 41,34 45,42 48, ,71 19,77 22,48 24,58 26,48 28,34 30,28 32,46 35,14 39,09 42,56 46,69 49,59 24 Tabella generata con la funzione inv.chi di excel

25 Quanti sono i gradi di libertà della differenza? Differenza fra frequenza incubatrice 1 da popolazione e Differenza incubatrice 2 da popolazione incubatrice =1 incubatrice =2 somma pulcino Si No somma Oppure: (2 incubatrici -1) per (due possibilità di pulcino -1) 25

26 NUMERI tesi A tesi B n osservato teorici osservati teorici totali morti 5 8, , vivi 8 4, , totali PERCENTUALE tesi A tesi B osservati osservati totali morti 38,46% 88,24% 66,67% vivi 61,54% 11,76% 33,33% totali 100,00% 100,00% 100,00% A morti 13 * 66,67% = 8, vivi 13 * 33,33% = 4, B morti 17 * 66,67% = 11,33333 vivi 17 * 33,33% = 5, scarti 5-8, = -3, ^2 = 13, , = 3, ^2 = 13, , = 3, ^2 = 13, , = -3, ^2 = 13,44444 CHI^2 = 13, , , , , , , , = 8,

27 CHI^2 PER UNA SOMMA DI CONFRONTI DI TABELLE 2*2 NUMERI tesi A tesi B osservati osservati totali morti 5 a 15 b 20 vivi 8 c 2 d 10 totali PERCENTUALE tesi A tesi B osservati osservati totali morti 38,46% 88,24% 66,67% vivi 61,54% 11,76% 33,33% totali 100,00% 100,00% 100,00% corr = (ad - bc)^2 * tot (a+b) * (c+d) * (a+c) * (b+d) = 8,21267 P % <o= 0,01 27

28 Probabilità di un valore di chi quadro maggiore del valore in tabella gl 0,95 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 1 0,004 0,02 0,06 0,15 0,27 0,45 0,71 1,07 1,64 2,71 3,84 5,41 6,63 2 0,10 0,21 0,45 0,71 1,02 1,39 1,83 2,41 3,22 4,61 5,99 7,82 9,21 3 0,35 0,58 1,01 1,42 1,87 2,37 2,95 3,66 4,64 6,25 7,81 9,84 11,34 4 0,71 1,06 1,65 2,19 2,75 3,36 4,04 4,88 5,99 7,78 9,49 11,67 13,28 5 1,15 1,61 2,34 3,00 3,66 4,35 5,13 6,06 7,29 9,24 11,07 13,39 15,09 6 1,64 2,20 3,07 3,83 4,57 5,35 6,21 7,23 8,56 10,64 12,59 15,03 16,81 7 2,17 2,83 3,82 4,67 5,49 6,35 7,28 8,38 9,80 12,02 14,07 16,62 18,48 8 2,73 3,49 4,59 5,53 6,42 7,34 8,35 9,52 11,03 13,36 15,51 18,17 20,09 9 3,33 4,17 5,38 6,39 7,36 8,34 9,41 10,66 12,24 14,68 16,92 19,68 21, ,94 4,87 6,18 7,27 8,30 9,34 10,47 11,78 13,44 15,99 18,31 21,16 23, ,57 5,58 6,99 8,15 9,24 10,34 11,53 12,90 14,63 17,28 19,68 22,62 24, ,23 6,30 7,81 9,03 10,18 11,34 12,58 14,01 15,81 18,55 21,03 24,05 26, ,89 7,04 8,63 9,93 11,13 12,34 13,64 15,12 16,98 19,81 22,36 25,47 27, ,57 7,79 9,47 10,82 12,08 13,34 14,69 16,22 18,15 21,06 23,68 26,87 29, ,26 8,55 10,31 11,72 13,03 14,34 15,73 17,32 19,31 22,31 25,00 28,26 30, ,96 9,31 11,15 12,62 13,98 15,34 16,78 18,42 20,47 23,54 26,30 29,63 32,00 28 Tabella generata con la funzione inv.chi di excel

29 CONDIZIONI DI VALIDITA DEL χ2 E CORREZIONE DI YATES - Il test (si opera su percentuali) è valido (sufficientemente restrittivo) quando il numero totale di osservazioni è superiore a 100; Il test è meno attendibile ed ha bisogno di una correzione, quando il numero di osservazioni è inferiore a 100 oppure si dispone di un solo grado di libertà; Il test non dovrebbe essere mai effettuato quando il numero totale di osservazioni è inferiore a 20 (vedi approssimazione distribuzione normale e dovrebbe essere calcolato solo il test perfetto di Fisher con il calcolo della probabilità di verifica e l utilizzo dei fattoriali vedi: Statistica05-probabilità.ppt). 29

30 Correzione di Yates: proposta da Frank Yates nel 1934 (con l articolo Contingency tables involving small numbers and the test χ2, pubblicato sulla rivista inglese J. of the Royal Statistical Society, Suppl. 1, pp ). Yates nato nel 1902 e morto nel 1994 (assistente di Fisher) poi direttore del Dipartimento di Statistica a Cambridge dal 1933 al 1968). 30

31 CHI^2 PER UN CONFRONTO IN UNA SOLA TABELLA DI CONTINGENZA 2*2 NUMERI tesi A tesi B osservati teorici osservati teorici totali morti 5 8, , vivi 8 4, , totali PERCENTUALE tesi A tesi B osservati osservati totali morti 38,46% 88,24% 66,67% vivi 61,54% 11,76% 33,33% totali 100,00% 100,00% 100,00% A morti 13 * 66,67% = 8, vivi 13 * 33,33% = 4, B morti 17 * 66,67% = 11,33333 vivi 17 * 33,33% = 5, Il rimedio di Yates consiste nell'aggiustare i dati ad una mezza unità più vicina alla frequenza attesa cioè -0,5 0,5 osservata correz. attesa scarti 5 0,5-8, = -3, ^2 = 10, ,5-4, = 3, ^2 = 10, ,5-11,33333 = 3, ^2 = 10, ,5-5, = -3, ^2 = 10,02778 CHI^2 = 10, , , , , , , , corr = 6,

32 CHI^2 PER UN CONFRONT O IN UNA SOLA TABELLA DI CONTINGENZA 2*2 NUMERI tesi A tesi B osservati osservati totali morti 5 a 15 b 20 vivi 8 c 2 d 10 totali PERCENTUALE tesi A tesi B osservati osservati totali morti 38,46% 88,24% 66,67% vivi 61,54% 11,76% 33,33% totali 100,00% 100,00% 100,00% P % corr = [ ad - bc - tot/2 ]^2 * tot 6, ,01 (a+b) * (c+d) * (a+c) * (b+d) 5,4119 0,02 3, ,05 2, ,1 corr = 6, , ,2 32 1,0742 0,3 P % <o= 0,02 0, ,5 0, ,7 0, ,8 0, ,9 0, ,95

33 Il test è meno attendibile ed ha bisogno di una correzione, quando il numero di osservazioni è inferiore a 100 oppure si dispone di un solo grado di libertà qualsiasi sia il numero delle osservazioni; Metodo rapido di calcolo: NUMERI tesi A tesi B osservati osservati totali morti 24 a 11 b 35 vivi 10 c 15 d 25 totali PERCENTUALE tesi A tesi B osservati osservati totali morti 70,59% 42,31% 58,33% vivi 29,41% 57,69% 41,67% totali 100,00% 100,00% 100,00% corr = (ad - bc)^2 * tot (a+b) * (c+d) * (a+c) * (b+d) = 4,84809 P % <o= 0,05 33

34 Metodo rapido di calcolo: NUMERI tesi A tesi B osservati osservati totali morti 24 a 11 b 35 vivi 10 c 15 d 25 totali PERCENTUALE tesi A tesi B osservati osservati totali morti 70,59% 42,31% 58,33% vivi 29,41% 57,69% 41,67% totali 100,00% 100,00% 100,00% P % corr = [ ad - bc - tot/2 ]^2 * tot 6, ,01 (a+b) * (c+d) * (a+c) * (b+d) 5, ,02 3, ,05 2, ,1 corr = 3, , ,2 1, ,3 P % <o= 0,1 0, ,5 34

35 tesi A tesi B Uova incubate uova non fertili 4 11 uova con embrione morto 26 4 uova schiuse Analizza i dati (riportando i passaggi intermedi) (è sufficiente appurare se i risultati di A differiscono da quelli di B senza sapere per quali parametri); descrivi però tutti risultati. Non posso usare il metodo rapido! 35

36 tesi A tesi B Uova incubate uova non fertili 4 11 embrioni morti 26 4 pulcini nati P % 6,635 9,210 0,01 5,412 7,824 0,02 3,841 5,991 0,05 2,706 4,605 0,1 1,642 3,219 0,2 1,074 2,408 0,3 0,455 1,386 0,5 0,148 0,713 0,7 0,064 0,446 0,8 0,016 0,211 0,9 0,004 0,103 0,95 CHI^2 PER UNA SOMMA DI CONFRONTI DI TABELLE 2*2 NUMERI tesi A tesi B n osservato teorici osservati teorici totali chiare ,00% morti ,00% pulcini ,00% totali tesi A tesi B osservati osservati totali chiare 2,00% 11,00% 5,00% morti 13,00% 4,00% 10,00% pulcini 85,00% 85,00% 85,00% totali 100,00% 100,00% 100,00% A B chiare 200 * 0,05 = 10 morti 200 * 0,10 = 20 pulcini 200 * 0,85 = 170 chiare 100 * 0,05 = 5 morti 100 * 0,10 = 10 pulcini 100 * 0,85 = 85 scarti 4-10 = -6 ^2 = = 6 ^2 = = 0 ^2 = = 6 ^2 = = -6 ^2 = = 0 ^2 = 0 CHI^2 = = 16,2 = tesi A tesi B n ,2 infertilità 2,00% 11,00% g.l. mortalità 13,00% 4,00% Schiusa 85,00% 85,00% ** Nota della tabella: * indica differenze significative fra le tesi per p<0,05 ** indica differenze significative fra le tesi per p<0,01 36

37 Posso dire che la prima serie di misure (Tesi A) differsice dalla seconda (tasi B) ma non posso dire per quale parametro: se per l'infertilità o la mortalità o entrambe. 37

38 SCOMPOSIZIONE CHI QUADRO PER SINGOLI 2*2 tesi A tesi B n osservato teorici osservati teorici totali chiare fertili totali tesi A tesi B Uova incubate uova non fertili 4 11 embrioni morti 26 4 pulcini nati tesi A tesi B n osservato teorici osservati teorici totali morti 26 20, , pulcini , , fertili correz. chiare 4 0, ,5 ^2 fertili 196-0, ,5 ^2 chiare 11-0,5-5 5,5 ^2 fertili 89 0, ,5 ^2 CHI^2 = 30,25 30,25 30, ,25 95 = 9, morti 26-0,5-20, , ^2 pulcini 170 0,5-175,3684-4, ^2 morti 4 0,5-9, , ^2 pulcini 85-0,5-79, , ^2 1 2 P % 6,635 9,210 0,01 5,412 7,824 0,02 3,841 5,991 0,05 2,706 4,605 0,1 1,642 3,219 0,2 1,074 2,408 0,3 0,455 1,386 0,5 0,148 0,713 0,7 0,064 0,446 0,8 0,016 0,211 0,9 0,004 0,103 0,95 tesi A tesi B n Yates infertilità 2,00% 11,00% 9,55 ** mortalità 13,00% 4,00% 4,11 * CHI^2 = 23, , ,70152 Schiusa 85,00% 85,00% , ,3684 9, ,70152 Nota della tabella: * indica differenze significative fra le + = 4, ,63158 tesi per p<0,05 ** indica differenze significative 38 fra le tesi per p<0,01

39 SCOMPOSIZIONE CHI QUADRO PER SINGOLI 2*2 tesi A tesi B n osservato teorici osservati teorici totali non fertili ,00% morti ,00% totali non nati tesi A tesi B n osservato teorici osservati teorici totali non nati 26 20, , ,53% nati , , ,47% totali incubate non fertili ^2 36 morti ^2 36 non fertili ^2 36 morti ^2 36 CHI^2 = = 11,36842 non nati 26-20, , ^2 28,81994 nati ,3684-5, ^2 28,81994 non nati 4-9, , ^2 28,81994 nati 85-79, , ^2 28,81994 CHI^2 = 28, , , , ,3684 9, , = 4, , ,63158 tesi A tesi B Uova incubate uova non fertili 4 11 embrioni morti 26 4 pulcini nati Servono solo per calcolare la somma non vanno riportati tesi A tesi B n infertilità 2,00% 11,00% 16,20 mortalità 13,00% 4,00% 0,00 Schiusa 85,00% 85,00% 16,36 ** Nota della tabella: * indica differenze significative fra le tesi per p<0,05 ** indica differenze significative fra le tesi per p<0, P % 6,635 9,210 0,01 5,412 7,824 0,02 3,841 5,991 0,05 2,706 4,605 0,1 1,642 3,219 0,2 1,074 2,408 0,3 0,455 1,386 0,5 0,148 0,713 0,7 0,064 0,446 0,8 0,016 0,211 0,9 0,004 0,103 0,95

40 tesi A tesi B Uova incubate uova non fertili 4 11 embrioni morti 26 4 pulcini nati tesi A tesi B n infertilità 2,00% 11,00% 4,11 * mortalità 13,00% 4,00% Schiusa 85,00% 85,00% 16,20 ** Nota della tabella: * indica differenze significative fra le tesi per p<0,05 ** indica differenze significative fra le tesi per p<0,01 9,55 ** 1 2 P % 6,635 9,210 0,01 5,412 7,824 0,02 3,841 5,991 0,05 2,706 4,605 0,1 1,642 3,219 0,2 1,074 2,408 0,3 0,455 1,386 0,5 0,148 0,713 0,7 0,064 0,446 0,8 0,016 0,211 0,9 0,004 0,103 0,95 40