ANALISI 1 A (60 ore, 7.5 crediti)

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1 ANALISI 1 A (60 ore, 7.5 crediti) Funzioni reali di una variabile reale: campo di esistenza, immagine, grafico.traslazioni e dilatazioni. Operazioni: combinazioni lineari, prodotto, rapporto. Proprieta': monotonia, limitatezza, simmetria, periodicita'. Funzioni elementari: rette, parabole, iperboli; funzioni trigonometriche; modulo e parte intera. Composizione e inversione; radice quadrata, potenze con esponente razionale; potenze con esponente reale; esponenziale e logaritmo; funzioni trigonometriche inverse Elementi di topologia della retta reale Definizione di continuita'; prime proprieta'; operazioni su funzioni continue; limite in un punto di accumulazione; limiti sinistro e destro;continuita' e discontinuita' in un punto di accumulazione. Continuita' delle funzioni elementari. Limiti all' infinito; teoremi sui limiti: unicita' del limite, permanenza del segno, teoremi del confronto; operazioni sui limiti; limiti fondamentali. Funzioni monotone. Confronto locale tra funzioni; ordine di infinito e di infinitesimo Successioni numeriche: convergenza e proprieta' di Cauchy; definizione delle potenze a esponente reale; numero e di Nepero. Teoremi sulle funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato; Derivata e differenziale, retta tangente. Derivabilita' ; continuita' della derivata; tipi di discontinuita' della derivata. Regole di calcolo; derivata delle funzioni elementari. Derivate di ordine superiore. Teoremi sulle funzioni derivabili in un intervallo chiuso e limitato; teorema di De l' Hopital; formula di Taylor. Monotonia e segno della derivata I. Estremi relativi e punti critici. Massimo e minimo assoluti; estremo superiore e inferiore. Concavita' e convessita' e segno della derivata II; punti di flesso. Primitive e integrale indefinito. Integrale delle funzioni elementari; integrazione per parti e per sostituzione; integrazione delle funzioni razionali e di alcune razionalizzabili. Cenni su integrali definiti e teorema fondamentale del calcolo integrale. 1

2 ANALISI 1B (40 ore, 5 crediti) Integrale di Lebesgue per funzioni di una variabile reale e sue proprieta'. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali impropri e studio di funzioni integrali. Equazioni del I ordine: a variabili separabili, omogenee, lineari, di Bernoulli; equazioni di ordine II riducibili al I. Topologia degli spazi euclidei a n dimensioni; sottoinsiemi di R_n e loro proprieta' Campi scalari a n dimensioni e loro grafico; limiti e continuita'; continuita' di funzioni definite tramite integrali. Derivate parziali e direzionali; gradiente; differenziale e piano tangente; derivate di ordine superiore. Campi vettoriali; limiti e continuita'; derivate e differenziale; matrice jacobiana; divergenza e rotore; derivazione di funzioni composte; derivata di funzioni definite tramit integrali. Estremi relativi e punti stazionari; matrice hessiana. Curve regolari; curve definite implicitamente nel piano e curve di livello; teorema sulle funzioni implicite; punti stazionari vincolati nel piano. Superfici regolari in R_3 e loro orientamento; piano tangente e vettore normale; funzioni implicite e varieta' bidimensionali nello spazio; punti stazionari vincolati su una varieta' bidimensionale nello spazio; varieta' unidimensionali. Integrali multipli di funzioni limitate su iper-rettangoli; formula di riduzione (cenni). 2

3 ANALISI 2A (60 ore, 7.5 crediti) Integrali multipli di funzioni limitate: misura di Peano-Jordan; integrale multiplo su un insieme misurabile; metodo di riduzione; cambiamento di variabili; coordinate polari nel piano e nello spazio; coordinate cilindriche e volume dei solidi di rotazione Lunghezza di una curva; integrali curvilinei di campi scalari Area di una superficie; integrali superficiali di campi scalari Integrali di linea di campi vettoriali; integrali di flusso di campi vettoriali. Teorema di Green, teorema di Stokes, teorema di Gauss. Campi conservativi e integrali di linea; forme differenziali esatte; criteri per stabilire se un campo e` conservativo; funzione potenziale. Spazi vettoriali normati e con prodotto scalare; successioni in uno spazio normato: convergenza e condizione di Cauchy; successioni di vettori; successioni di funzioni; spazio delle funzioni continue; passaggio al limite sotto il segno di integrale; derivazione e passaggio al limite. Serie numeriche: definizioni e proprieta' generali; serie a termini positivi; teorema di McLaurin; convergenza assoluta; serie a segni alterni. Serie in uno spazio normato; serie di funzioni. Serie di potenze; serie di Taylor. Serie di Fourier: funzioni periodiche e polinomi trigonometrici; coefficienti di Fourier; costruzione della serie di Fourier; tipi di convergenza. Equazioni differenziali ordinarie: definizioni e problemi; esistena, unicita' e prolungabilita' delle soluzioni; approssimazioni delle soluzioni. Sistemi lineari. Sistemi lineari a coefficienti costanti: la matrice esponenziale, equivalenza lineare e calcolo; equazioni lineari di ordine superiore al I 3

4 GEOMETRIA (64 ore, 8 crediti in due semestri) Cap. 1 - Spazi lineari (10-6) Sistemi lineari : metodo di eliminazione. Spazi lineari, sottospazi, insiemi dipendenti e insiemi indipendenti. Sottospazio generato da un sottoinsieme. Basi e dimensione. Prodotto scalare, norma, ortogonalità. Costruzione di insiemi ortogonali, procedimento di Gram-Schmidt. Complementi ortogonali, proiezioni. Cap. 2 - Omomorfismi e matrici (10-6) Omomorfismi fra spazi lineari. Nucleo e immagine di un omomorfismo. Matrice associata a un omomorfismo. Operazioni fra matrici. Determinante e rango di una matrice. Dipendenza lineare e matrici. Teoremi di Binet e Kronecker. Sistemi lineari : teoremi di Cramer e Rouché-Capelli. Cap. 3 - Geometria analitica del piano e dello spazio (12-6) Segmenti orientati e vettori liberi. Sistemi di riferimento. Struttura vettoriale di Rn. Lunghezze, angoli, prodotto scalare. Prodotto vettore e prodotto misto. Rappresentazioni cartesiane e parametriche nel piano e nello spazio. La retta e il piano. Le coniche. 4

5 METODI MATEMATICI DELLA FISICA (40 ore, 5 crediti) Gli spazi L 1 e L 2 Le trasformate di Fourier su L 1 e L 2 Le basi trigonometriche di L 2 su un intervallo Funzioni di Legendre e funzioni di Hermite come basi di spazi L 2 Esempi di problemi al contorno 5

6 FISICA GENERALE 1A (70 ore, 8.5 crediti) Cinematica del punto materiale: posizione, velocita', accelerazione. Dalla accelerazione alla legge oraria del moto. Moto uniformemente accelerato. Corpi in caduta libera. Moto circolare. Accelerazione tangenziale e radiale. Moti relativi traslazionali e rotazionali. Dinamica del punto materiale: leggi di Newton. Leggi di alcune forze: forza peso, forze di attrito statico, dinamico e volvente, forze viscose, forze elastiche. Lavoro e energia cinetica. Potenza. Forze conservative. Energia Potenziale. Conservazione dell'energia meccanica. Leggi di Newton in sistemi di riferimento non inerziali, forze inerziali. Cinematica e dinamica dei sistemi: moto del centro di massa. Quantita' di moto. Prima equazione cardinale. Conservazione della quantita' di moto. Sistemi a massa variabile. Urti. Moto rotazionale dei corpi rigidi: cinematica. Momento di inerzia. Energia cinetica. Momento delle forze. Dinamica della rotazione intorno ad un asse fisso. Dinamica del moto rototraslazionale. Momento angolare. Seconda equazione cardinale. Conservazione del momento angolare. Giroscopio. Condizioni di equilibrio dei corpi rigidi. Oscillazioni: moto armonico semplice (particella soggetta a forza elastica, pendolo semplice e di torsione, pendolo fisico). Oscillazioni smorzate e forzate. Composizione di moti armonici. Gravitazione: legge di Newton. Campo gravitazionale. Energia potenziale gravitazionale. Leggi di Keplero. 6

7 FISICA GENERALE 1B (60 ore, 7.5 crediti) Fluidi: pressione e viscosita'. Equazioni della statica dei fluidi. Leggi di Stevino, Pascal e Archimede. Pressione atmosferica. Tensione superficiale. Moto dei fluidi. Equazione di cointinuita'. Legge di Bernoulli. Effetto Venturi. Legge di Poiseuille. Termodinamica: temperatura. Quantita' di calore. Meccanismi di trasmissione del calore. Lavoro nelle trasformazioni termodinamiche. Equazioni di stato dei gas perfetti e reali. Primo principio. Calori specifici dei gas e dei solidi. Energia interna dei gas perfetti e di Van der Waals e dei solidi. Trasformazioni adiabatiche dei gas perfetti e reali. Secondo principio. Ciclo e teorema di Carnot. Temperatura termodinamica. Disuguaglianza di Clausius. Entropia. Potenziali termodinamici. Superfici di stato. Diagramma di stato. Equazione di Clapeyron. Elementi di teoria cinetica dei gas perfetti: interpretazione microscopica della pressione, temperatura e energia interna. Principo di equipartizione dell'energia. Distibuzione di Maxwell delle velocita' delle molecole. Velocita' media, quadratica media, piu' probabile. Entropia e disordine molecolare. 7

8 FISICA GENERALE 2A (70 ore, 8.5 crediti) Elettrostatica : carica elettrica. Conduttori e isolanti. Campo elettrico nel vuoto. Potenziale elettrico. Teorema di Gauss.Campo elettrico nei conduttori. Capacita'. Condensatori. Energia del campo elettrostatico. Equazione di Poisson. Costante dielettrica. Polarizzazione elettrica. Campo elettrico e spostamento elettrico nei dielettrici. Energia elettrostatica nei dielettrici. Correnti elettriche: densita' e intensita' di corrente. Leggi di Ohm e di Joule. Forza elettromotrice. Circuiti RC. Campo magnetico: induzione magnetica B e forza di Lorentz. Forze su circuiti percorsi da correnti in un campo B. Campo B generato da correnti. Proprieta' di B nel caso stazionario. Potenziali magnetostatici. Interazioni tra circuiti percorsi da corrente. Polarizzazione magnetica e correnti microscopiche. Campo magnetico H. Proprieta' di B e H nella materia. Sostanze diamagnetiche, paramagnetiche e ferromagnetiche. Circuiti magnetici. Induzione elettromagnetica: legge di Faraday-Neuman. Autoinduzione e mutua induzione. Circuiti RL. Energia del campo magnetico. Elettrogeneratori e motori elettrici. 8

9 FISICA GENERALE 2B (60 ore, 7.5 crediti) Onde in mezzi elastici: caratteristiche generali dei fenomeni ondulatori. Onde in mezzi elastici in una dimensione: funzione d'onda; onde periodiche, onde armoniche; velocita' di fase; impedenza caratteristica; equazione delle onde; energia trasportata; principio di sovrapposizione; interferenza; battimenti; onde stazionarie. Onde in mezzi elastici nello spazio; superficie d'onda, onde piane. Onde sonore: intensita', timbro; velocita'; effetto Doppler. Onde elettromagnetiche: deduzione dalle equazioni di Maxwell in un dielettrico; caso delle onde piane e sferiche. Onde elettromagnetiche nei conduttori. Vettore di Poynting. Impedenza caratteristica. Pressione di radiazione. Radiazione emessa da un dipolo oscillante. Spettro delle onde elettromagnetiche. Riflessione e rifrazione delle onde elettromagnetiche. Dispersione della luce. Polarizzazione. Principio di Huygens-Fresnel e teorema di Kirchhoff. Interferenza. Diffrazione. Applicazioni: guide di luce; cavi coassiali; guide d'onda. Ottica geometrica: specchi. Diottro sferico.sistemi ottici centrati. Lenti. Cannocchiale. Microscopio. Occhio. 9

10 MECCANICA RAZIONALE (40 ore, 5 crediti) A). MECCANICA DEL CORPO RIGIDO (teoria + esercizi = ore) 1. Aspetti geometrici e cinematici (gruppo SO(3), angoli di Eulero, richiami su formule di Poisson e su velocita` angolare, atto di moto rigido). 2. Tensore di inerzia, assi principali, calcolo delle quantita` meccaniche. 3. Equazioni cardinali. Moti particolari (moti per inerzia, precessioni regolari) B).MECCANICA LAGRANGIANA (teoria + esercizi = ore) 1. Vincoli posizionali e loro rappresentazione. 2. Sistemi olonomi. Spazio-tempo delle configurazioni, spazio delle velocita`. 3. Vincoli ideali, e loro caraterizzazione costitutiva (Gauss, d'alembert). 4. Equazioni di Lagrange. Integrali primi nel formalismo lagrangiano (Momenti cinetici, Hamiltoniana). 5. Legame tra proprieta` di invarianza della lagrangiana e leggi di 6. conservazione. 7. Statica dei sistemi olonomi. Stabilita` dell'equilibrio. 8. Piccole oscillazioni. 9. Principio di Hamilton. Cenni sul formalismo Hamiltoniano. 10

11 FISICA MODERNA (60 ore, 7.5 crediti) A) RELATIVITA` (~10 H) (Berkeley vol. 1 cap ) 10. Esperimento di Michelson, costanza della velocità della luce, trasformazioni di Lorentz. 11. Conseguenze della trasformazione di Lorentz sulle misure spazio temporali, il tempo proprio. 12. L'azione relativistica e la conservazione dell'energia e dell'impulso relativistici. 13. Tetravettori. 14. Cinematica relativistica e esercizi. B) MECCANICA ONDULATORIA ( Pauli- Meccanica Ondulatoria cap. 1-2 Matthews cap. 4-5 ) (~25 H) 1. Associazione onde particelle 2. Misure e indeterminazione 3. Equazione di Schroedinger in una dimensione: a- Livelli discreti e oscillatore armonico b- Effetto tunnel c- Spettri a bande 4. Gli ordini di grandezza degli effetti quanto-relativistici (Berkeley vol.4 cap.3) C) MECCANICA STATISTICA (Schroedinger 1a parte) (~25 h) 1. La distribuzione più probabile 2. Il teorema di Nernst. 3. Il gas perfetto 4. I sistemi quantistici degeneri 5. Calcolo di calori specifici 11

12 MECCANICA QUANTISTICA (50 ore, 6.5 crediti) A) PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI STATI E SUA FORMALIZZAZIONE (~20 h) 1- Descrizione degli stati e degli osservabili. 2- Costruzione degli operatori associati agli osservabili. 3- Problemi agli autovalori. Rappresentazione posizione e meccanica ondulatoria. B) MOMENTO ANGOLARE E SPIN (~20 h) 1- Spettro del momento angolare. Spin. Composizione di momenti angolari. 2- Equazione di Schroedinger tridimensionale con potenziali centrali. Atomo di idrogeno. 3- Particelle identiche e principio di Pauli. C) APPLICAZIONI (20 h) 1- Teoria delle perturbazioni e applicazioni alla fisica atomica. 2- Evoluzione temporale. Costanti del moto. Risonanza magnetica di spin. 3- Teoria delle perturbazioni dipendente dal tempo. Probabilita' di transizione. Regola d'oro. 4- Elementi di teoria della diffusione. Sezione d'urto. Sfasamenti. Scattering da risonanza. 12

13 LABORATORIO 1A (6 crediti) Definizione di grandezze fisiche, analisi dimensionale e sistemi di unità di misura (questi argomenti potrebbero/dovrebbero far parte del corso di Fisica generale; sono presenti nell attuale corso di Esperimentazioni I solo a seguito di accordi presi in passato fra i docenti del primo anno). Cenni sulle proprietà generali degli strumenti. Reti elettriche in corrente continua (Ohm, Kirchhoff, Thevenin, Norton). Uso degli strumenti di misura di base (tester). Errori di misura e loro propagazione. Metodo dei minimi quadrati, media pesata. Esperienze di laboratorio che richiedono una modesta conoscenza di teoria degli errori e analisi di dati (misure elettriche elementari, semplici reti in continua, misure elementari di grandezze meccaniche (masse, lunghezze, tempi), impiego di termocoppie e loro taratura con punti di fusione, misura di calore specifico). 13

14 LABORATORIO 1B (5.5 crediti) Propedeuticità: laboratorio 1A + un corso di prima alfabetizzazione sull uso del computer (corso svolto da fisici su crediti di informatica) Elementi di probabilità e statistica (distribuzioni, intervalli di confidenza, test di ipotesi). Esperienze di laboratorio con impiego di metodi di fit e conoscenza di distribuzioni di probabilità e test del chi quadro (a titolo di esempio: moto uniformemente accelerato e misura di g, moto del pendolo e misura di g, deformazioni statiche di una molla e moto dell'oscillatore armonico, flessione di una lamina metallica, misura della resistenza di un termistore al variare della temperatura, conteggio di raggi cosmici con Geiger e distribuzione di Poisson). 14

15 LABORATORIO 2A (5 crediti) Propedeuticità: laboratorio 1B Tecniche di simulazione numerica applicate ai circuiti elettrici. Circuiti RC e RLC, circuiti con induttanza mutua, il trasformatore. Diodi e transistor: caratteristiche e impiego. Cenni sulla retroazione e sulla stabilità. Amplificatori operazionali: applicazioni lineari e non, risposta in frequenza e slew rate. Instrumentation Amplifier, CMRR. Misura dell impedenza di elementi reattivi; misura di fattore di merito di circuiti risonanti; progetto e realizzazione di amplificatore a transistori; misura del modulo di Young con strain gauge; effetto Hall: calibrazione di una sonda e mapping di campo magnetico. 15

16 LABORATORIO 2B (5.5 crediti) Propedeuticità: laboratorio 2A + un corso di prima alfabetizzazione sull uso del computer (corso svolto da fisici su crediti di informatica) Algebra booleana, reti combinatorie, metodi di minimizzazione. Sistemi sequenziali, flip flop, contatori, cronometri digitali. Cenni alle memorie e ai circuiti programmabili: impiego di PAL e Cell Array. Richiami all architettura dei calcolatori, CPU, BUS. Discussione sull'input/output e sull'interrupt. Conversione analogico digitale e digitale/analogica. Cenno agli oscilloscopi digitali. Uso di tecniche digitali per effettuare misure di fisica: misura di tempi e conteggio di eventi. Esempio: misura della velocità del suono. Esperienze semi qualitative con linee (indice di rifrazione, coefficiente di riflessione); misura della velocità della luce in mezzi densi. Misure di tensione ad elevata risoluzione e velocità. Esempio: misura automatica del ciclo di isteresi. 16

17 Propedeuticità: laboratori 1A, 2A, 2B LABORATORIO 3A (6 crediti) Sistemi lineari e invarianti nel tempo: risposta all'impulso e integrale di convoluzione. Descrizione nel dominio della frequenza. Applicazioni della trasformata di Fourier. Esperienze di ottica (interferenza, diffrazione,..). Moltiplicazione, modulazione nel dominio della frequenza. Uso di software commerciale per acquisizione e trattamento dati. Metodi sperimentali per la misura delle grandezze fisiche: trasduttori e sensori. La problematica del rumore: impiego di strumenti per l estrazione di segnale da rumore. Applicazioni delle tecniche studiate a moderne metodologie per la misura di selezionate proprietà termiche elettriche e magnetiche. 17

18 STRUTTURA DELLA MATERIA (48 ore, 6 crediti) -Cenni alle distribuzioni di Bose-Einstein e Fermi-Dirac. -Molecole: La molecola d'idrogeno, gli orbitali molecolari. -Solidi: I solidi e la natura dei loro legami. Struttura cristallina. Vibrazioni reticolari e fononi. Struttura elettronica e bande. Metalli, isolanti, semiconduttori. Cenni al magnetismo e alla superconduttivita`. -Fluidi: Struttura dei fluidi. Liquidi, gas e plasmi. Cenni alla superfluidita`. Ciascun argomento e` corredato da informazioni sulla fenomenologia e sui metodi di misura. 18

19 FISICA NUCLEARE E SUBNUCLEARE (48 ore, 6 crediti) Nota: gli argomenti riportati in parentesi sotto i vari titoli hanno solo il carattere di possibili indicazioni ed esempi. 1) Proprieta' generali dei nuclei (circa 5 ore) (modello di Rutherford, dimensioni nucleari e distribuzione di carica, masse nucleari, energie di legame,...) 2) Nuclei instabili (circa 5 ore) (forme di radioattivita', dipendenza temporale del decadimento, radioattivita' naturale, cenni di dosimetria,...) 3) Interazioni fondamentali (circa 12 ore) (cenni ed esempi di interazione elettromagnetica, esempi di interazione forte, interazione nucleone-nucleone a basse energie, cenni a modelli nucleari, cenni ed esempi di interazione debole,...) 4) Classificazione e struttura delle particelle (circa 12 ore) (classificazione in base all'interazione e leggi di conservazione, gli adroni, cenni alla struttura a quarks, i leptoni,...) 5) Produzione di energia (circa 10 ore) (fissione nucleare e interazione neutrone-materia, reazioni a catena e cenni alla fisica del reattore, fusione nucleare, cenni alle reazioni termonucleari nel sole,...) Si suggerisce inoltre un corso "opzionale" di laboratorio di circa ore in cui vengano condotti 4_5 esperimenti collegati ai contenuti del corso sopra ipotizzato. 19

20 CHIMICA (60 ore, 7.5 crediti in due semestri) Titolo del corso Chimica Generale ed Inorganica con Esercitazioni di Laboratorio. Durata e collocazione Corso di 60 ore frontali + 12 ore opzionali di laboratorio collocato al primo semestre del secondo anno (prevista una certa contrazione rispetto alle attuali ore frontali + 16 ore di laboratorio). Propedeuticità Argomenti di termodinamica del corso di Fisica Generale. Programma delle lezioni Mole e concetti correlati; Reazioni chimiche; Stechiometria; Nomenclatura chimica inorganica; Atomo di Idrogeno; Configurazione elettronica; Sistema periodico e proprietà periodiche; Legami covalente, ionico, metallico, a idrogeno, di Van der Waals; Stati gassoso, solido, liquido; Soluzioni: concentrazioni, proprietà, soluzioni ideali e legge di Raoult; Proprietà colligative; Termodinamica di reazione, formazione, ecc.; Equilibri omogenei: costanti di equilibrio; Equilibri acido/base: definizioni di Arrenius, Bronsted, Lewis; ph; Titolazioni e soluzioni tampone; Solubilità e prodotto di solubilità; Equilibri eterogenei: regola delle fasi; Diagrammi di stato a 1, 2 e 3 componenti; Elettrochimica: celle, pile; Equazione di Nernst e serie elettrochimica; Cenni di cinetica chimica e catalisi; Cenni di inorganica: correlazione tra proprietà atomiche, posizione nel sistema periodico e comportamento chimico degli elementi; Proprietà elementi, abbondanza, preparazione/purificazione, reazioni tipiche e principali composti degli elementi, secondo la loro disposizione nei gruppi tipici e di tansizione. Programma di laboratorio: Elementari manipolazioni e tecniche di laboratorio chimico Reazioni di riconoscimento di alcuni ioni in soluzione Analisi qualitativa di una miscela di sali contenente alcuni degli ioni di cui si è appreso il riconoscimento 20