PERCENTUALI. Quanti individui raggiunge una popolazione di 1210 batteri che diminuisce del 15%? 100% 15% Δx. x(pop. finale) 1210(pop.

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1 2014 Giacomo Drago PROBLEMA 1 Quanti individui raggiunge una popolazione di batteri che diminuisce del? PERCENTUALI Impostiamo una proporzione del tipo: Q1 : P1 = Q2 : P2 dove Q1 (o Q2) e P1 (o P2) sono rispettivamente il valore numerico e la corrispondente percentuale della quantità considerata 1 (o 2). (pop. finale) Δ Se 3 di questi 4 termini sono noti numericamente, possiamo ricavare il quarto. (pop. iniziale) PROBLEMA 1 PROBLEMA 1 Quanti individui raggiunge una popolazione di batteri che diminuisce del? Δ Δ : = Δ : 15 Δ = 181,5 = -Δ = 1028,5 1

2 PROBLEMA 1 PROBLEMA 2 Quanti individui raggiunge una popolazione di batteri che aumenta del? 85% (pop. iniziale) Δ : = : 85 = 1028,5 (pop. finale) PROBLEMA 2 PROBLEMA 2 Quanti individui raggiunge una popolazione di batteri che aumenta del? Δ Δ : = Δ : 15 Δ = 181,5 = + Δ = 1391,5 2

3 PROBLEMA 2 PROBLEMA 3 1 Riscaldando una sbarra di alluminio, questa aumenta del 3%0e raggiunge una lunghezza di 2,526 m. Quanto era lunga la sbarra? 3%0 : = : 115 = 1391,5 0%0 (lung. iniziale) 2,526(lung. finale) 3%0 PROBLEMA 3 PROBLEMA 4 0%0 3%0 3%0 Se il mio stipendio aumenta dell i% e poi diminuisce dell i%, alla fine ho lo stipendio di prima? E svolgendo le operazioni in ordine inverso? 2,526 +i% i% -i% i% : 0 = 2,526 : 3 = 2,518 S(stip. iniziale) S (stip. dopo aum. e riduz.) S (stip. dopo l aumento) S (stip. dopo l aumento) 1 fase (aumento) 2 fase (riduzione) 3

4 PROBLEMA 4 +i% S S S : = S : +i i% -i% S S S : = S : -i i% 1 1 (diminuisce!) PROBLEMA 4 Intuitivamente: dopo un aumento e una diminuzione, lo stipendio diminuisce perché un aumento calcolato sullo stipendio inizialeè minore di una riduzione (della stessa percentuale) calcolata sullo stipendio aumentato. Aumentare una quantità Q dell i%: 1 Diminuire una quantità Q dell i%: 1 Invertendo l ordine (prima la riduzione e poi l aumento) il risultato è sempre lo stesso: 1 1 Aumentare e poi diminuire una quantità Q dell i%: 1 Diminuire e poi aumentare una quantità Q dell i%: PROBLEMA 5 Il soluto A occupa in volume il 2% di una soluzione di 50 ml. Se aggiungo 2 ml ad A, che percentuale occupa il volume di A? % 2% y% (A iniz.) 2 ml 50 ml (soluzione) PROBLEMA 5 % 2% y% 2 ml 50 ml 50 : = 2 : y y = 4% % = 2% + y% = 6% 4

5 PROBLEMA 6 Se il latte contiene panna per l 11% del suo peso, e la panna produce burro per il 27% del suo peso, quanti kg di latte devo avere per produrre 15 kg di burro? 11% PROBLEMA 6 11% 27% 15 kg 27% 15 kg(burro) (panna) (latte) In questo problema le percentuali 11% e 27% si riferiscono a totali diversi: la panna è l 11% del latte, mentre il burro è il 27% della panna. : = 15 : 27 = 55,5 kg PROBLEMA 6 PROBLEMA 6 11% 27% 15 kg 55,5 kg y Il 27% dell 11% è pari al 2,97% del totale: ,27 0,11 0,0297 2,97 2,97% L i% del j% di Q è pari ai di Q 15 kg y : = 55,5 : 11 y = 504,5 kg y : = 15 : 2,97 y y = 504,5 kg 5

6 PROBLEMA 7 Il soluto A occupa il del volume della soluzione B, che a sua volta occupa il 41% del volume della soluzione C. Che percentuale di volume di C occupa la soluzione A? (A) % (B) 41% (C) Il dell 41% è pari al 6, del totale: 0,15 0,41 0,0615 Quanti ml di soluto devo aggiungere a di soluzione, se voglio che la sua concentrazione in volume passi dal al? (soluto aggiunto) (soluto iniziale) (soluto finale) (soluzione finale) (soluzione iniziale) 90% 90% : = : 90 = : = : 90 = 2 6

7 85% 85% 2 z 2 y 39,7 ml 225 : 85 = y : 15 y = 39,7 ml 225 : 85 = y : 15 y = 39,7 ml z = 39,7-25 = 14,7 ml 250 : = : 10 = 250 : = : 10 = 7

8 y y + y + (y+250): = (y+25): 15 (y+250) 15 = (y+25) 15y = y y = 14,7 ml PROBLEMA 9 Che percentuale di solvente devo aggiungere ad una soluzione, se voglio che la concentrazione di soluto passi dal 12% al 9%? n ml (solvente aggiunto) 9% 12% (soluto iniziale) (soluzione finale) n ml(soluzione iniziale) PROBLEMA 9 PROBLEMA 9 9% 9% n ml 12% n ml n ml 12% 0,12n ml n ml n : = : 12 = 0,12n ml n : = : 12 = 0,12n ml 8

9 PROBLEMA 9 PROBLEMA 10 9% La molarità di una soluzione è 0,2 M. Voglio abbassarlaa 0,15 M aumentando la quantità di solvente. In che percentuale devo aumentare il solvente? n ml 0,12n ml n ml n+n ml La molarità di una soluzione è k se moli Moli soluto Litri soluzione = k 0,12n : 9 = n+n : 12n = 9n + 9n n = 0,33n (il 33% di n) n = 0,2 n litri(solvente aggiunto) n litri(soluzione iniziale) = 0,2n (numero di moli in n litri di soluzione) PROBLEMA 10 PROBLEMA 10 La molarità di una soluzione è 0,2 M. Voglio abbassarlaa 0,15 M aumentando la quantità di solvente. In che percentuale devo aumentare il solvente? La molarità di una soluzione è k se 0,2n moli Moli soluto Litri soluzione = k La molarità di una soluzione è k se 0,2n moli n litri = 0,2 = 0,2n n Moli soluto Litri soluzione = k n litri n litri Molarità della soluzione finale = 0,2n n + n = 0,15 0,2n = 0,15n + 0,15n 0,15n = 0,05n n = 0,33n n litri Bisogna aggiungere il 33% di solvente (rispetto alla soluzione iniziale). 9