TRACCIA DI STUDIO. Frequenze assolute, relative e percentuali

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1 TRACCIA DI STUDIO Frequenze assolute, relative e percentuali Le frequenze assolute sono le misurazioni ottenute tramite conteggi. Per un miglior valore informativo, una frequenza assoluta deve essere riferita al totale delle frequenze; si ricava così la frequenza relativa, che è sempre compresa tra 0 e 1. Altre indicazioni vengono dalle frequenze relative percentualizzate o percentuali (%) comunemente usate per la presentazione dei risultati. rapporto tra la variazione e il valore iniziale. Una elaborazione del principio di base porta a una semplice formula che, mediante un indice relativo di variazione, permette di calcolare la quantità. Il risultato di più variazioni percentuali consecutive si ottiene come prodotto dei corrispondenti indici relativi di variazione. In alternativa, una variazione percentuale può essere calcolata direttamente rapportando la frequenza (o la quantità) finale a quella iniziale. Errore di misura L errore commesso nella rilevazione di una misura può essere di tipo sistematico (inaccuratezza), da eliminare o ridurre, e di tipo casuale (imprecisione), controllabile statisticamente, ma non eliminabile. È opportuno segnalare l entità dell errore, che può essere espressa in forma assoluta (l errore prevedibile) oppure in forma relativa o percentuale (l errore assoluto rapportato alla misura). L errore relativo permette confronti tra rilevamenti ottenuti con unità di misura e/o con ordini di grandezza diversi. Rapporti di composizione Si tratta delle percentuali delle modalità o valori con cui si presenta una variabile. Il numeratore e il denominatore sono dati omogenei: il primo è una parte del secondo e la somma di tutte le percentuali deve ammontare al 100%. Variazioni percentuali La variazione di una misura quantitativa può essere espressa in forma relativa e/o percentuale facendo il Rapporti incrementali e numeri indice L indice di variazione relativo viene anche utilizzato come rapporto incrementale per valutare l evoluzione temporale di un fenomeno in relazione a vari sottoperiodi. Tali variazioni percentuali possono essere presentate anche come numeri indice usando un unico valore di riferimento, in genere uguagliato a 100. Percentuali di percentuali Una percentuale corrisponde a una frazione. Una percentuale di percentuale diventa una frazione di frazione, che matematicamente si risolve con il loro prodotto. Per evitare errori, è consigliabile effettuare i calcoli riguardanti le percentuali usando i corrispondenti valori relativi. Uso improprio di percentuali Occorre conoscere i criteri corretti di impiego delle percentuali per non utilizzarle impropriamente. In particolare, le percentuali sono corrette solo se derivate da valori numerici su scala di rapporto e riferite a frequenze non troppo piccole.

2 ESERCIZI 1. Come si può definire una frequenza assoluta? 2. È lecito confrontare tra loro le frequenze assolute? 3. A un paziente di 50 kg si devono somministrare 3 volte al giorno 25 mg di un farmaco per chilogrammo di peso corporeo. Avendo a disposizione una soluzione di farmaco alla concentrazione di 15 g/100 ml, quanti millilitri di soluzione occorrono per 10 giorni di terapia? 4. Fornire alcuni esempi di rapporti di composizione. 5. Il rilevamento dei gruppi sanguigni effettuato in tre località diverse ha dato i seguenti risultati: Gruppo sanguigno Località I Località II Località III A B AB a) Qual è il gruppo sanguigno più frequente? b) Qual è la frequenza relativa del gruppo sanguigno B nella località I? c) Rispetto al totale complessivo, che percentuale rappresenta il gruppo AB della località III? d) Tra i soggetti con gruppo 0, quale quota percentuale va attribuita alla località II? e) A quale tipo di rapporto possiamo attribuire le precedenti percentuali? soggetti sono stati sottoposti a una chemioterapia; di questi il 53.3% guarisce, come pure il 37.5% di quelli sottoposti a un secondo ciclo. Qual è la percentuale di soggetti guariti al termine dei due cicli? Quanti soggetti dovranno sottoporsi a un terzo ciclo di terapia? 7. Il 9% dei bambini di una determinata area geografica è affetto da anemia mediterranea; il 20% di questi non supera l adolescenza. Sapendo che tutti i bambini costituiscono il 30% di tale popolazione, qual è la percentuale di mortalità infantile per anemia mediterranea rispetto a quella popolazione? 8. Un individuo di 79.6 kg, dopo una dieta dimagrante, perde il 12% del proprio peso. Successivamente, durante una dieta di mantenimento, ne riacquista un 3%. Qual è il peso corporeo alla conclusione dei periodi di dieta? 9. Il numero di radiografie eseguite da uno studio radiologico in 5 settimane successive varia, nei riguardi della settimana precedente, rispettivamente delle seguenti quantità: 6%, 3%, 3%, 4%, 2%. a) Qual è la variazione complessiva al termine delle cinque settimane? b) Se le variazioni fossero state, nell ordine, 2%, 4%, 3%, 6% e 3%, quale risultato avremmo ottenuto?

3 10. Indicare quale, fra le seguenti misure, è più accurata e per quale invece è maggiore l errore di misura: Misura Errore Misura Errore 220 cm 300 mm 8.5 mm 0.13 cm 14 dm 3 mm mg g 3.5 m 23 cm 492 mg 11 cg 7 l 10 ml 825 µg mg 11. Una popolazione di 2.4 milioni di individui si incrementa del 2.1% l anno, mentre una seconda di 3.6 milioni decresce dell 1.2%. Approssimativamente, dopo quanti anni le due popolazioni saranno ugualmente numerose? 12. Nel 1972, a fronte di una popolazione mondiale di unità, i soggetti sottonutriti erano Nel 1991, la popolazione è passata a 5.4 miliardi, mentre i sottonutriti sono diventati 726 milioni. Quali variazioni percentuali si sono verificate? 13. I dati ISTAT riportano i seguenti numeri indice dei prezzi al consumo per le famiglie di operai e impiegati (base ): Anno N. indice Quale informazione forniscono tali dati? È possibile calcolare la variazione tra due anni qualsiasi, per esempio tra il 2002 e il 1998? RISPOSTE 1. La frequenza assoluta è il numero di volte che si presenta un determinato carattere o una sua modalità. 2. Il confronto tra frequenze assolute ha significato scarso o nullo. Mancando un termine di riferimento, le frequenze assolute non evidenziano la reale consistenza di un fenomeno e impediscono un valido confronto. 25 mg 3. Essendo il peso del paziente di 50 kg, dovranno essere somministrati 50 kg mg di kg farmaco al giorno. La dose giornaliera è in milligrammi, mentre la concentrazione (assimilabile a una frequenza relativa) è in grammi. Avendo a disposizione una soluzione alla concentrazione di 15 g/100 ml occorre preventivamente uniformare le unità di misura tramite le conversioni: 3750 mg g oppure 15 g mg. Con una proporzione si può risalire alla quantità di soluzione che contiene la dose giornaliera necessaria: 3750 mg : x mg : 100 ml da cui x 3750 mg 100 ml 25 ml mg Quindi, per dieci giorni di terapia, occorrono 250 ml di soluzione.

4 4. Sono rapporti di composizione il numero di dipendenti femmine sul totale dei dipendenti di una ASL, le varie frazioni di colesterolo ematico rispetto al colesterolo totale, i gruppi sanguigni, la composizione dell aria ecc. In altre parole, un rapporto di composizione si riferisce a due termini in cui nel denominatore è compreso anche il numeratore. 5. Dal momento che vengono richieste delle frequenze relative e percentuali, occorre completare la tabella con i totali: Gruppo Località I Località II Località III Totale sanguigno f a f % f a f % f a f % f a f % A B AB Totale a) Il gruppo sanguigno più frequente, sia in valore assoluto sia in valore percentuale, è il gruppo b) f r c) P % d) P % 483 e) Si tratta di rapporti di composizione nei quali il numeratore è contenuto nel denominatore. Il totale delle percentuali risulta il 100%. 6. Dopo il primo ciclo di chemioterapia, i guariti risultano ; dei restanti 56 pazienti, al secondo ciclo di cura ne guariscono Quindi la percentuale di guariti nei due cicli risulta % e al terzo ciclo di terapia accedono 35 pazienti %. 8. Si applica la formula della variazione percentuale: 79.6 kg kg kg. 9. a) N 5 N N P 100 da cui risulta che la variazione complessiva è P % b) N 5 N N

5 Il risultato è uguale al precedente in quanto le variazioni sono identiche per entità e verso, anche se distribuite con una successione differente; cambia solo l ordine dei fattori. 10. Il confronto deve essere effettuato sull errore relativo, previa applicazione delle equivalenze per avere errori assoluti omogenei con le misure. È evidente che non è proponibile il confronto tra gli errori assoluti, soprattutto se i rilevamenti riguardano tipologie diverse (lunghezze, pesi, volumi ecc.). Errore assoluto Errore Misura Originale Convertito relativo 220 cm 300 mm 30.0 cm dm 3 mm 0.03 dm m 23 cm 0.23 m l 10 ml l mm 0.13 cm 1.3 mm mg g 15 mg mg 11 cg 110 mg µg mg 10 µg Confrontando gli errori relativi, si vede che nel caso della penultima misura è stato commesso l errore maggiore (22%), mentre la misura più accurata è la quarta, presentando un errore corrispondente allo 0.1%. 11. Si deve verificare l uguaglianza n n. Semplificando e applicando i logaritmi (l incognita è l esponente di una potenza): n n n ln 3.6 ln 2.4 ln ln anni. Si tratta della ripetizione dell esercizio 11 del capitolo precedente rivisto in un ottica applicativa. I 12. La frequenza di sottonutriti è diminuita in valore assoluto, ma per una corretta valutazione del fenomeno è necessario utilizzare le frequenze relative (o percentuali). Si tratta di semplici rapporti di composizione: nel 1972 la percentuale era p % ed è passata venti anni dopo a p %, evidenziando, anche in relazione alla popolazione, una effettiva diminuzione dei sottonutriti. È anche possibile determinare le variazioni percentuali sia della popolazione mondiale, sia dei soggetti sottonutriti, applicando la formula Q F P 1. Si riscontra che la popolazione globale è aumentata di circa il 40%, mentre con- Q 1 00 temporaneamente i sottonutriti sono diminuiti di circa il 20%. Infatti: per la popolazione n P 1.42 per cui e P 42% per i sottonutriti n P per cui e P 19.2%

6 13. I numeri indice sono il modo più razionale di presentare i dati quando le informazioni da evidenziare sono le variazioni di una serie di misure, piuttosto che le misure stesse. Essi sono facilmente interpretabili, poiché esprimono direttamente le variazioni percentuali: il del 1996 rispetto a 100 denuncia un incremento del 3.9%. È possibile anche desumere le variazioni tra singoli periodi rapportando i rispettivi numeri indice: tra il 2002 e 1998, i prezzi sono aumentati del 9.6% in quanto