ARROTONDAMENTO TRASFORMAZIONE DEI DATI

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5 ricamente equivale a 5000 e fornisce contemporaneamente l indicazione che la misura è esatta alle decine; corrisponde ancora a 5000, ma segnala la presenza di due cifre significative, indice di una precisione solo alle centinaia. Ovviamente, l introduzione di potenze richiede la conoscenza delle regole elementari che ne regolano l uso. ARROTONDAMENTO L arrotondamento (o approssimazione), consistente in una riduzione del numero di cifre significative, viene utilizzato quando la precisione di una o più misure è eccessiva di per sé o rispetto ad altre coinvolte in una elaborazione. Si è detto che il numero di cifre significative di un risultato dipende da quello delle misure utilizzate, e in particolare da quello della meno precisa; ne deriva che, se i calcoli coinvolgono misure ottenute con diversa precisione, i dati possono essere semplificati, per comodità, arrotondandoli preventivamente al numero di cifre significative della misura che ne possiede meno. Il risultato finale deve, comunque, tener conto di una eventuale perdita di cifre nel corso dei calcoli. L arrotondamento si effettua per difetto o per eccesso, optando per l operazione che determina la minor differenza col dato originale: per eccesso, se la parte di numero da eliminare inizia con le cifre da 6 a 9, per difetto se inizia con le cifre da 0 a 4. Si può notare che l operazione per eccesso comporta l incremento di una unità dell ultima cifra da conservare; l operazione per difetto, invece, lascia inalterata l ultima cifra da conservare producendo di fatto una eliminazione, un troncamento delle cifre successive. Se si desidera arrotondare al primo decimale, si ottiene (per eccesso), se si vuole arrotondare all unità si avrà 489 (per difetto), se alle decine 490 (per eccesso), se alle centinaia 500 (per eccesso). Non esistono dubbi su questi arrotondamenti, in quanto è evidente che è più vicino a di quanto lo sia e così via fino a 500, che rappresenta meglio il valore di partenza di quanto lo possa fare 400. Un dubbio può sorgere se la prima cifra da eliminare è 5; in realtà, si arrotonda sempre in eccesso: per logica, se il 5 è seguito da cifre diverse da 0, in quanto si è più vicini al valore superiore; per equilibrare gli arrotondamenti negli altri casi in cui l errore sarebbe uguale, poiché operiamo per difetto già in cinque situazioni (0, 1, 2, 3, 4) e per eccesso solo in quattro (6, 7, 8, 9). Questa è la logica seguita dai calcolatori nell arrotondamento di un numero. Una diversa considerazione va fatta in presenza non di una singola misura, ma di una serie di misure nelle quali vi sia una preponderanza di valori che terminano con 5. Si tratta di una situazione frequente: nella misurazione effettuata con uno strumento, se non si osserva una coincidenza dell indicatore strumentale con una tacca della scala, si tende a leggere un valore intermedio (0.5) tra le due tacche. Arrotondare tali misure sempre in eccesso porta a introdurre un errore sistematico, con ripercussioni non indifferenti nell elaborazione dei dati. L inconveniente si supera lasciando al caso la decisione di arrotondare per eccesso o per difetto: si procede per eccesso se la cifra che precede il 5 è dispari e per difetto se è pari (o viceversa). In questo modo, gli errori nei due sensi tendono a compensarsi. Non si deve confondere tra arrotondamento e il già citato troncamento: nel primo caso, si opera riducendo al minimo l errore introdotto nella modifica del dato, nel secondo vengono semplicemente eliminate le cifre considerate in eccesso. Se l arrotondamento doveva essere per difetto, le due operazioni portano allo stesso risultato; lo stesso non può dirsi se l arrotondamento doveva essere per eccesso. Data la misura cm, troncare al secondo decimale significa eliminare le cifre eccedenti, ottenendo 1.13 cm; l arrotondamento al secondo decimale porta al valore 1.14 cm, che in effetti risulta più vicino a quello di partenza con un errore di cm, anziché di cm. Il troncamento è quindi un operazione normalmente da evitare, ma che da molti viene effettuata nella convinzione di aver arrotondato. TRASFORMAZIONE DEI DATI A volte capita di dover effettuare operazioni di trasformazione delle variabili. Le motivazioni, di genere diverso, si possono ricondurre essenzialmente a due: di comodo, per semplificare l elaborazione dei dati e consentire la presentazione dei risultati; di natura squisitamente statistica, allo scopo di poter applicare determinate tecniche e migliorare l affidabilità di taluni risultati statistici. Premesso che le trasformazioni più semplici richiedono conoscenze matematiche a livello elementare o l applicazione di opportune tecniche, alcune delle quali verranno prese in considerazione successivamente in occasione del loro utilizzo, si ri-

6 tiene qui utile richiamare l attenzione su due di queste: la trasformazione logaritmica e la trasformazione in ranghi. Logaritmi I logaritmi (log) rivestono particolare interesse in quanto comprimono i valori molto grandi di una variabile e ne espandono i valori molto piccoli. Da ciò derivano la capacità matematica di trasformare una funzione non lineare (funzione potenza del tipo y ax b e funzione esponenziale del tipo y ae bx ) in una lineare y a bxdi più semplice impiego e la possibilità di rappresentare su di un unico grafico valori di ordine di grandezza molto diversi tra loro. Per effetture una trasformazione logaritmica, è sufficiente conoscere alcune semplici regole di base riguardanti il logaritmo di un prodotto, di un rapporto e di una potenza e utilizzare una comune calcolatrice scientifica. I logaritmi decimali (Log) sono i più noti e il loro uso è giustificato per dati espressi tradizionalmente come potenze in base 10, quali il carattere acido/basico di una soluzione (ph) e i livelli di percezione a stimoli visivi e sonori (decibel), nello studio di associazioni genetiche (Lod score) e, naturalmente, per misure in notazione scientifica. La base 10 è comoda in quanto permette di identificare facilmente l ordine di grandezza del logaritmo. Dalla definizione di logaritmo risulta che l esponente di una potenza in base 10 è il logaritmo del numero stesso e costituisce la parte intera (caratteristica) del logaritmo (Tabella 7). Con una calcolatrice scientifica, il logaritmo decimale di 12 risulta , ma anche senza calcolatrice si poteva stabilire che la caratteristica è 1 in quanto la misura originale è dell ordine di grandezza delle decine ( ); analogamente, Log 120 sarà preve- DEFINIZIONE E PROPRIETÀ DEI LOGARITMI Per definizione, il logaritmo in base b di un numero a è quel valore x che, assegnato come esponente alla base b, dà il numero a: se log b a x allora b x a. Un logaritmo è costituito da una parte intera, o caratteristica, e una decimale o mantissa. Il dominio di una funzione logaritmica è costituito da tutti i numeri positivi (x > 0), il codominio da tutti i numeri reali. A ogni numero positivo o antilogaritmo corrisponde un solo logaritmo. In relazione alla base, i logaritmi di uso più frequente sono: logaritmi decimali (in base 10): log 10 x Log x, comodi per il calcolo di numeri espressi in notazione scientifica e per alcune misure biomediche (acidità, livelli di percezione sonora o luminosa, studio di associazioni geniche ecc.); logaritmi naturali (in base e), (e costante di Eulero): log e x ln x, necessari per elaborazioni statistico-matematiche; logaritmi in base 2, utili in informatica per i dati binari (potenze di 2). Fondamentali regole di calcolo sono: a log 1 0 log (a b) log a log b log log a log b log a n n log a. b Un logaritmo può subire una trasformazione di base: logb x log a x l og a b per cui esiste una relazione costante di proporzionalità tra i logaritmi, in basi diverse, di uno stesso numero. Tra logaritmo naturale e logaritmo decimale esiste la relazione ln x ln 10 ln (arrotondata per eccesso) lo g lo g x 10 che permette l interconversione tra le due forme.

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8 Al posto di i può essere usata qualunque altra lettera (j, k, m, n, p, q, r, s), comunque diversa dal simbolo (N, n, m, M o altro) adottata per indicare l ultima misura da considerare nell operazione. Con tale formalismo è possibile indicare una somma riguardante solo alcune misure, per esempio dalla quinta (i 5) alla ventiduesima (N 22). Se il segno di sommatoria non presenta indicazioni, si intendono interessate all operazione tutte le misure: x 1 x 1 x 2 x 3... x N 1 x N. PROPRIETÀ ED ESEMPI DI SOMMATORIA La sommatoria da 1 a N di una costante è uguale a N volte la costante N k N k i 1 e più in generale N k k k... k k [m (n 1)] k (m n 1) k. i 1 n n+1 m 1 m Una costante moltiplicativa può essere portata fuori dalla sommatoria (k x) k x 1 + k x 2 + k x k x n 1 + k x n k (x 1 x 2 x x n 1 x n ) k x. La sommatoria di una somma algebrica di più termini è uguale alla somma algebrica delle sommatorie dei termini N (x i y i ) (x 1 y 1 ) + (x 2 y 2 ) (x n y n ) (x 1 x 2... x n ) (y 1 y 2... y n ) N x i N y i 1 i 1 i 1 (x k) (x 1 k) (x 2 k)... (x N k) x N k. La sommatoria del prodotto di due variabili è uguale alla somma dei prodotti delle singole coppie di termini delle variabili xy x 1 y 1 x 2 y 2... x N y N. Per calcolare la sommatoria di una espressione algebrica, si sviluppa l espressione e poi si applica la sommatoria (x y) 2 (x 2 2xy y 2 ) x 2 2 xy y 2.

9 TRACCIA DI STUDIO Unità di misura e ordine di grandezza Il valore numerico di un rilevamento deve essere sempre accompagnato dall unità di misura, definita e riconosciuta internazionalmente (metro, litro, secondo...). Di ogni unità di misura esistono multipli e sottomultipli. Talvolta, per uno stesso tipo di misurazione esistono criteri di interconversione tramite fattori di trasformazione. Precisione della misura: cifre significative e notazione scientifica La misurazione è tanto più precisa quanto più è sofisticato lo strumento con cui si ottiene. Qualsiasi misura costituisce comunque una approssimazione al valore vero. La notazione scientifica è il sistema migliore per presentare una misura in quanto mostra sia la precisione con cui è stata ottenuta, con le opportune cifre significative (tutte precise esclusa l ultima, il cui errore è inferiore allo 0.5 della sua unità), sia l ordine di grandezza espresso in potenze di 10. Il risultato di calcoli effettuati su misure deve tenere conto della precisione dei dati elaborati e di eventuali perdite di cifre significative. L eventuale arrotondamento di una misura comporta l introduzione di un errore; l operazione, quando necessaria, deve seguire il principio di minimizzare l errore. Trasformazione dei dati Le misure originali possono essere trasformate per una elaborazione e/o presentazione. Una trasformazione vantaggiosa in varie situazioni contempla l uso dei logaritmi, semplificato grazie alle calcolatrici scientifiche. È opportuno conoscere le proprietà fondamentali dei logaritmi e le motivazioni di un loro impiego. Altra trasformazione è quella in ranghi che consiste nell attribuire a ciascun valore la propria posizione, in una serie di misure. Sommatoria Alcune elaborazioni prevedono la somma di più elementi di uno stesso tipo. Viene introdotto il formalismo della sommatoria che, con semplici regole d uso, permette di segnalare in modo non equivoco gli elementi interessati all operazione. ESERCIZI 1. Completare le seguenti equivalenze: a) in cm m; b) ft cm km; c) 8.5 dm cm ft; d) µm mm dm; e) s min h; f) ml l dm 3 ; g) cm 3 µl nl; h) 2.2 lb kg hg; i) g kg lb; l) 50,0 km/h m/s ft/min; m) kg mg µg; n) h min s; o) 1.75 m 3 cm 3 mm 3 ; p) 10 2 cm 3 l ml; q) J cal kcal; r) 250 mm Hg Pa atm.

10 2. Definire il numero di cifre significative ed esprimere in notazione scientifica le seguenti misure (di cui viene omessa l unità di misura): Arrotondare i seguenti valori alla seconda cifra decimale: a) e) b) f) c) g) d) h) m 1.76 m 18.4 m 2 4. Calcolare: Calcolare: m 2.48 m/ s 87.6 s 6 6. A un paziente di circa 70 kg si devono somministrare 15 mg per chilogrammo di peso corporeo di un farmaco, due volte al giorno, per 15 giorni. Avendo a disposizione confezioni da 20 compresse da g ciascuna, quante scatole di farmaco occorrono per completare la terapia? 7. Date le due successioni di valori: x 1 : 3, 5, 8, 9 y 1 : 1, 2, 7, 6 calcolarele seguenti sommatorie: 3 x i ; x 2 i ; y i ; xy; 5(x 2 y 2). 8. Calcolare il valore di i 2 9. Le seguenti misure di perdita di sensibilità uditiva espresse in decibel (db, su scala logaritmica in base 10): quali ordini di grandezza avrebbero senza la trasformazione logaritmica in decibel? 10. Trasformare in ranghi i seguenti voti: L espressione n n per quale valore di n è rispettata?

11 RISPOSTE 1. a) in cm m; b) ft cm km; c) 8.5 dm cm 2.8 ft; d) µm mm dm; e) s min 2.0 h; f) ml l dm 3 ; g) cm µl nl; h) 2.2 lb 1.0 kg hg; i) g kg 1.98 lb; l) 50.0 km/h m/s ft/min; m) kg mg µg; n) h min s; o) 1.75 m cm mm 3 ; p) 10 2 cm l 10 2 ml; q) J cal 1.19 kcal; r) 250 mm Hg Pa atm. 2. N. cifre Notazione N. cifre Notazione Misura significative scientifica Misura significative scientifica * * * Nell ipotesi che il conteggio (o la misura) sia effettivo e non arrotondato 3. a) 0.13 e) 2.22 b) f) c) g) 0.10 d) 0.09 h) La prima operazione da svolgere è il prodotto m 1.76 m m 2, il cui risultato deve essere arrotondato a 46.3 m 2 in quanto non può avere un numero di cifre significative superiore a quello della misura che ne ha il minor numero, 3. Ne consegue che: ( ) m m Il risultato conserva le tre cifre significative perché il denominatore, senza unità di misura, è una costante con un numero teoricamente infinito di cifre significative (potrebbe trattarsi del numero di settimane in un anno) e in notazione scientifica diventa: m m In questo caso, abbiamo una misura con 4 cifre significative, due misure con 3 cifre e una costante, il 6. Il valore finale può avere al massimo tre cifre. Tuttavia, dal momento che 2.48 m/ s 87.6 s m 36.2, 6

12 le quattro cifre di m diventano eccessive; conviene un arrotondamento a 40.2 m, per cui nella sottrazione 40.2 m 36.2 m 4.0 m viene perduta una cifra e il risultato finale ne ha solo due. 6. Si tratta di risolvere un problema elementare. Al paziente devono essere somministrati ogni volta 15 mg/kg 70kg 1050 mg di farmaco al giorno. Per una terapia di 15 giorni, con due somministrazioni giornaliere, occorrono pertanto 1050 mg mg g di farmaco. Poiché il contenuto di ogni confezione è di g 6 g, ne saranno necessarie 31.5 g/6 g 5.25, quindi almeno sei x i ; i 2 x ; y ; xy ; 5 (x 2 y 2) 5 (x 2 y 2) 5 ( x 2 y 2) 5 ( ) Applicando i logaritmi decimali: 2 Log Log (Log 9 Log 4) 1 ( ) per cui Applicando i logaritmi naturali: ln ln (ln 9 ln 4) 1 ( ) e Il risultato, naturalmente, è identico. 9. Osservando i dati, si può subito affermare che l ordine di grandezza della prima è 10 14, della seconda e così via, in quanto la parte intera di un logaritmo (caratteristica) deriva dall ordine di grandezza della notazione scientifica del valore originale. In particolare, il valore originale del primo è: ottenuto con una calcolatrice scientifica battendo il tasto della funzione inversa del logaritmo decimale. Come controprova: Log Log Log Gli altri valori sono nell ordine:

13 È evidente che la trasformazione logaritmica rende i dati più piccoli e più maneggevoli. Il discorso può essere esteso ad altre variabili, per esempio al ph. 10. Trasformare in ranghi significa attribuire a ciascuna misura un nuovo valore corrispondente alla graduatoria delle misure originali, in questo caso i voti. Primo passo è ordinare tutti i voti in ordine crescente: Se le 10 misure fossero state tutte diverse, i ranghi attribuiti sarebbero stati i valori da 1 a 10. In presenza di misure ripetute, si deve operare in modo da attribuire ranghi uguali a voti uguali nel modo seguente: ai due 5 che singolarmente avrebbero avuto rango 1 e rango 2 assegniamo rango R , 2 al voto 5.5 il rango successivo 3, ai tre 6 il rango R 4 5 6, e così di seguito fino a ottenere le trasformazioni seguenti: 3 voto rango L incognita n nell uguaglianza n n è l esponente di una potenza. Per tale motivo occorre applicare i logaritmi, cioè trasformare in logaritmi entrambi i membri dell espressione (per rispettare l uguaglianza): ln n ln n ; applicare le regole dei logaritmi: ln 2.4 n ln ln 3.6 n ln 0.988; e trovare l incognita: n ln n ln ln 3.6 ln 2.4 n (ln ln 0.988) ln 3.6 ln 2.4 ln 3.6 ln n ln ln ( )