Breve storia della geometria non euclidea

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1 Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio 2017 Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

2 Cos è la geometria non euclidea? Le geometrie non euclidee (Segre): quelle che si svolgono logicamente quando dall insieme delle premesse dell edifizio euclideo se ne sopprima qualcuna. Dapprima quel nome s introdusse per quella geometria che si ha togliendo il postulato delle parallele: ed è appunto di quella che noi ci occuperemo. [Segre ( ), quaderno delle lezioni sulla geometria non euclidea] Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

3 Cos è la geometria non euclidea? I postulati di Euclide 1 da qualunque punto si può condurre una retta ad ogni altro punto; 2 ogni segmento si può prolungare per dritto a piacimento; 3 con ogni centro e ogni distanza si può descrivere un cerchio; 4 tutti gli angoli retti sono uguali; 5 se una retta, incontrando due altre rette, forma con esse da una medesima parte angoli interni la cui somma sia minore di due retti, quelle due rette, prolungate indefinitamente, si incontrano dalla parte da cui stanno gli angoli la cui somma è minore di due retti. Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

4 Cos è la geometria non euclidea? I postulati di Euclide 1 da qualunque punto si può condurre una retta ad ogni altro punto; 2 ogni segmento si può prolungare per dritto a piacimento; 3 con ogni centro e ogni distanza si può descrivere un cerchio; 4 tutti gli angoli retti sono uguali; 5 se una retta, incontrando due altre rette, forma con esse da una medesima parte angoli interni la cui somma sia minore di due retti, quelle due rette, prolungate indefinitamente, si incontrano dalla parte da cui stanno gli angoli la cui somma è minore di due retti. Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

5 Cos è la geometria non euclidea? I postulati di Euclide 1 da qualunque punto si può condurre una retta ad ogni altro punto; 2 ogni segmento si può prolungare per dritto a piacimento; 3 con ogni centro e ogni distanza si può descrivere un cerchio; 4 tutti gli angoli retti sono uguali; 5 se una retta, incontrando due altre rette, forma con esse da una medesima parte angoli interni la cui somma sia minore di due retti, quelle due rette, prolungate indefinitamente, si incontrano dalla parte da cui stanno gli angoli la cui somma è minore di due retti. Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

6 Cos è la geometria non euclidea? I postulati di Euclide 1 da qualunque punto si può condurre una retta ad ogni altro punto; 2 ogni segmento si può prolungare per dritto a piacimento; 3 con ogni centro e ogni distanza si può descrivere un cerchio; 4 tutti gli angoli retti sono uguali; 5 se una retta, incontrando due altre rette, forma con esse da una medesima parte angoli interni la cui somma sia minore di due retti, quelle due rette, prolungate indefinitamente, si incontrano dalla parte da cui stanno gli angoli la cui somma è minore di due retti. Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

7 Cos è la geometria non euclidea? I postulati di Euclide 1 da qualunque punto si può condurre una retta ad ogni altro punto; 2 ogni segmento si può prolungare per dritto a piacimento; 3 con ogni centro e ogni distanza si può descrivere un cerchio; 4 tutti gli angoli retti sono uguali; 5 se una retta, incontrando due altre rette, forma con esse da una medesima parte angoli interni la cui somma sia minore di due retti, quelle due rette, prolungate indefinitamente, si incontrano dalla parte da cui stanno gli angoli la cui somma è minore di due retti. Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

8 Cos è la geometria non euclidea? Le due questioni legate al quinto postulato Il quinto postulato può essere dimostrato a partire dai primi quattro? Se il quinto postulato è indipendente dai primi quattro, è possibile sostituirlo con uno equivalente ma più intuitivo? Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

9 Cos è la geometria non euclidea? Le due questioni legate al quinto postulato Il quinto postulato può essere dimostrato a partire dai primi quattro? Se il quinto postulato è indipendente dai primi quattro, è possibile sostituirlo con uno equivalente ma più intuitivo? Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

10 Cos è la geometria non euclidea? Tentativi di risposta alla seconda domanda il luogo dei punti equidistanti da una retta è una retta (Posidonio ( a.c.) se una retta interseca una di due rette parallele, interseca anche l altra (Proclo ( )) dato un singolo triangolo, ne esiste uno simile a quello dato e grande a piacere (Wallis ( )) la somma degli angoli di un triangolo è uguale a due angoli retti (Saccheri ( ), Legendre ( )) per tre punti non allineati passa sempre la circonferenza di un cerchio (Bolyai Farkas ( ) per un punto fuori di una retta passa una e una sola parallela alla retta stessa (assioma di Playfair ( ) Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

11 Tentativi di dimostrarne esistenza o non esistenza Wallis e il suo postulato equivalente Wallis ( ): per ogni triangolo ne esiste un altro ad esso simile (con gli stessi angoli) e di grandezza arbitraria Ne consegue che in una geometria in cui non vale il quinto postulato necessariamente figure simili devo essere uguali. Nel triangolo sferico tre angoli determinano completamente il triangolo a meno di isometrie. Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

12 Tentativi di dimostrarne esistenza o non esistenza Saccheri precursore inconsapevole Saccheri ( ) esplora le conseguenze logiche della negazione del quinto postulato nella speranza di trovare delle contraddizioni, determinando però una serie di risultati di geometria non euclidea iperbolica. Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

13 Tentativi di dimostrarne esistenza o non esistenza Birettangolo isoscele la somma degli angoli di ogni triangolo è, nei tre casi, rispettivamente eguale, maggiore o minore di due retti Indipendentemente da Saccheri, Al Kayyam prima e Lambert poi considerarono la costruzione del quadrilatero trirettangolo (detto anche di Lambert ) Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

14 Tentativi di dimostrarne esistenza o non esistenza Lambert, Legendre e la diffusione dei risultati sul V postulato Lambert( ) è più critico nei confronti delle conseguenze tratte dall ipotesi dell angolo acuto; interessante l analogia tra le formule che legano l area di un triangolo ai suoi angoli: = r 2 (A + B + C π) (triangolo sferico) = ρ(π A B C) (triangolo iperbolico) dovrei quasi trarne la conclusione che la terza ipotesi si verifichi sopra una sfera di raggio immaginario! L influenza e la diffusione di risultati, in massima parte già noti a Saccheri e Lambert, è dovuta a Legendre ( ). Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

15 Tentativi di dimostrarne esistenza o non esistenza Lambert, Legendre e la diffusione dei risultati sul V postulato Lambert( ) è più critico nei confronti delle conseguenze tratte dall ipotesi dell angolo acuto; interessante l analogia tra le formule che legano l area di un triangolo ai suoi angoli: = r 2 (A + B + C π) (triangolo sferico) = ρ(π A B C) (triangolo iperbolico) dovrei quasi trarne la conclusione che la terza ipotesi si verifichi sopra una sfera di raggio immaginario! L influenza e la diffusione di risultati, in massima parte già noti a Saccheri e Lambert, è dovuta a Legendre ( ). Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

16 Tentativi di dimostrarne esistenza o non esistenza Le corrispondenze di Gauss Gauss ( ) fu il primo ad ammettere la possibilità di concepire una geometria non contraddittoria in cui non sia verificato il quinto postulato. 1792: primi tentativi di dimostrare il V postulato; 1816: tracce dello sviluppo di una geometria antieuclidea ; 1831: afferma in una lettera che la geometria non euclidea non ha in sé nulla di contraddittorio; Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

17 Tentativi di dimostrarne esistenza o non esistenza Le corrispondenze di Gauss Gauss ( ) fu il primo ad ammettere la possibilità di concepire una geometria non contraddittoria in cui non sia verificato il quinto postulato. 1792: primi tentativi di dimostrare il V postulato; 1816: tracce dello sviluppo di una geometria antieuclidea ; 1831: afferma in una lettera che la geometria non euclidea non ha in sé nulla di contraddittorio; Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

18 Tentativi di dimostrarne esistenza o non esistenza Influenze di Gauss Schweikart ( ): geometria astrale, in cui la somma degli angoli di un triangolo è minore di π e diminuisce quando l area aumenta; Taurinus ( ): nelle formule di trigonometria sferica se si cambia il raggio R della sfera in R 1 si ottengono relazioni tra lati e angoli che assumono forma reale usando funzioni iperboliche che corrispondono a quelle relative all ipotesi dell angolo acuto. Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

19 La scoperta delle geometrie non euclidee Lobačevskij( ): l approccio empirista Geometria immaginaria : idea dell esistenza di un unità naturale per la distanza nella geometria iperbolica; proprietà dell angolo di parallelismo : il minimo angolo che una retta s parallela a una retta data r e passante per un punto A forma con la normale a r passante per A. E funzione decrescente della lunghezza c del segmento ortogonale condotto da A a r. formule per il volume del tetraedro iperbolico, per cui introduce la funzione che porta il suo nome L(x) = x log sec ydy 0 Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

20 La scoperta delle geometrie non euclidee Bolyai: geometria assoluta elementare Bolyai ( ) sviluppa la geometria iperbolica nello stesso spirito con cui Euclide sviluppa quella euclidea. Deriva la trigonometria del piano iperbolico non facendo uso delle relazioni stereometriche; a differenza di Lobačevskij non dimostra la consistenza della geometria iperbolica, considerandola banale. Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

21 La scoperta delle geometrie non euclidee Diffusione delle geometrie non euclidee Baltzer Elementi di geometria ; Hoüel (traduzioni in francese di Lobačevskij e Bolyai); Battaglini (traduzioni in italiano dal francese); Beltrami (costruzione di modelli della geometria iperbolica). Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

22 I modelli per la geometria non euclidea Modelli geometrici immersi Modello immerso: una superficie dello spazio tridimensionale con metrica indotta dalla restrizione della metrica euclidea in cui 1 i segmenti sono archi di curva geodetica; 2 i cerchi sono luoghi di punti equidistanti a un punto dato (centro del cerchio). Tre esempi (euclidea, iperbolica,sferica): (a) cilindro (b) pseudosfera (c) semisfera Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

23 I modelli per la geometria non euclidea Modelli geometrici intrinseci 1 Modello di Beltrami-Klein (modello proiettivo); 2 modello di Beltrami-Riemann-Poincaré (disco di Poincaré); 3 modello di Beltrami-Liouville (semipiano di Poincaré). Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

24 I modelli per la geometria non euclidea Alcuni oggetti interessanti per la geometria sono: le geodetiche: curve che descrivono localmente la traiettoria più breve fra due punti nello spazio; gli orocicli (o cerchi limite):curve perpendicolari a delle geodetihe che passano tutte in un punto all infinito; gli ipercicli: curve tali che i loro punti hanno la stessa distanza ortogonale da una data retta. Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

25 I modelli per la geometria non euclidea Modello proiettivo (d) Geodetiche nel modello di Beltrami-Klein. (e) Cerchi nel modello di Beltrami-Klein. Distanza finita: d(u, v) = 1 2 log(b(u, v, v, u )). Metrica:. ds 2 = dx 2 (x dx)2 + 1 x 2 (1 x 2 ) 2. Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

26 I modelli per la geometria non euclidea Modello del disco di Poincaré Geodetiche (in verde) orociclo (in rosso) e ipercicli (in blu) nel modello di Riemann-Beltrami-Poincaré. Distanza finita: ( u v 2 ) d(u, v) = arcosh (1 u 2 )(1 v 2. ) Metrica: ds 2 dx 2 + dy 2 = 4 (1 x 2 y 2 ) 2. Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20

27 I modelli per la geometria non euclidea Modello del semipiano di Poincaré Geodetiche (in verde), orocicli (in rosso)e ipercicli (in blu) nel modello di Beltrami-Liouville. Distanza finita: Metrica: d(u, v) = arcosh( 1 + (u u) 2 + (v v) 2 2vv ) ds 2 = dx 2 + dy 2 y 2 Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio / 20