Alcuni risultati dovuti a Girolamo Saccheri

Transcript

1 lcuni risultati dovuti a Girolamo Saccheri 1. efinizione. onsideriamo un quadrilatero Q. Se gli angoli in e in sono entrambi retti e se i lati e sono congruenti, Q si dice quadrilatero birettangolo isoscele (o di Saccheri) sulla base. Se invece sono retti gli angoli in,,, allora Q si dice quadrilatero trirettangolo (o di Lambert). = = 2. Esercizio/osservazione. Provare a dimostrare che entrambi i quadrilateri precedenti sono dei rettangoli, osservando che le dimostrazioni dipendono comunque dal V postulato (o da una sua formulazione equivalente). Proveremo a dedurre delle proprietà di questi quadrilateri nella geometria assoluta: nella geometria che assume tutti i postulati espliciti ed impliciti delle geometria euclidea (ed elencati in modo completo da Hilbert) con l eccezione del V postulato. 3. Proposizione. Sia un quadrilatero con gli angoli in e in sono entrambi retti. I lati e sono congruenti (ossia è un quadrilatero birettangolo isoscele) se e solo se gli angoli interni in e in sono congruenti. Se i lati e sono disuguali, anche gli angoli in e in lo sono ed è maggiore l angolo adiacente a lato minore e viceversa. im. onsideriamo un quadrilatero di Saccheri e siano M, N i punti medi dei lati e rispettivamente. onsideriamo poi i triangoli M e M: sono congruenti (per LL), di conseguenza M e M sono congruenti come anche gli angoli M M, allora sono congruenti (per LLL) i triangoli MN e MN sono congruenti ed in particolare lo sono gli angoli MN e MN. Si noti, di passaggio, che allora il segmento MN è asse di entrambi i lati e. N M llora gli angoli interni al quadrilatero in e in sono congruenti in quanto somme di angoli congruenti. Se invece i lati e sono disuguali (supponiamo > ), prolunghiamo il lato dalla parte di fino ad un punto E tale che E sia congruente ad. E 1

2 llora il quadrilatero di E è di Saccheri sulla base quindi, per quanto appena dimostrato, gli angoli E e E sono congruenti. Ma l angolo risulta così angolo esterno del triangolo E e pertanto per il teorema debole dell angolo esterno > E. Si conclude osservando che l angolo è minore dell angolo E in quando incluso in esso e quindi è maggiore l angolo adiacente a lato minore. Un argomento simile permette di dimostrare il viceversa della prima parte dell enunciato: infatti se ora gli angoli interni in e in sono congruenti ma non lo fossero i lati e allora, supponendo per fissare le idee > si potrebbe prolungare fino ad E come prima ottenendo di nuovo un quadrilatero di Saccheri E, allora per la prima parte della dimostrazione, per il teorema debole dell angolo esterno e per inclusione di angoli si avrebbe tra i corrispettivi angoli: < E E < mentre, per ipotesi, gli angoli e sono congruenti. Si conclude osservando che se se sono gli angoli ad essere disuguali allora per la prima parte della proposizione anche i lati devono essere disuguali con la relazione fra gli angoli opposta a quella fra i lati adiacenti. 4. Osservazione/notazioni. In un quadrilatero di Saccheri di base, gli angoli in ed in sono congruenti. llora si verifica uno dei seguenti casi: IR: = = un angolo retto (ipotesi dell angolo retto) IO: = > un angolo ottuso (ipotesi dell angolo ottuso) I: = < un angolo acuto (ipotesi dell angolo acuto) Saccheri dimostra (noi non lo faremo) che se vale una delle tre ipotesi in un particolare quadrilatero birettangolo isoscele, allora la stessa ipotesi vale in ogni altro quadrilatero birettangolo isoscele. Solo IR comporta che la somma degli angoli interni di sia 4 angoli retti, quindi è l unica coerente con il quinto postulato euclideo. Il lavoro di Saccheri è teso a dimostrare che sia IO sia I conducono ad una contraddizione: l obbiettivo è raggiunto solo per IO. 5. Osservazione. onsideriamo un quadrilatero di Saccheri sulla base. Nel corso della dimostrazione della proposizione 3 si è provato che il segmento che unisce i punti medi dei lati e è ortogonale ad entrambi N M Quindi entrambi i quadrilateri MN e MN sono trirettangoli pertanto le analoghe ipotesi sugli angoli possono essere fatte su di essi. Si noti in particolare che, sempre per la proposizione 3, IR comporta che N sia congruente M quindi che sia congruente ad, mentre IO comporta N < M, quindi < ed I comporta N > M, quindi >. Quindi, dato un quadrilatero di Saccheri con base, si ha: 2

3 IR IO < I > Viceversa dato un quadrilatero trirettangolo con angoli retti in,,, prolungando i lati e fino ai punti EF in modo che E e F si ottiene il quadrilatero EF che è un quadrilatero di Saccheri sulla base E. Infatti i triangoli e F sono congruenti per LL, in particolare F e F da cui EF ed allora sono congruenti i triangoli e EF per LL. = = F E Ne segue che se vale una delle tre ipotesi sul quarto angolo in un particolare quadrilatero trirettangolo, allora la stessa ipotesi vale in ogni altro quadrilatero trirettangolo e che vale una delle tre ipotesi per i quadrilateri di saccheri se e solo se la stessa ipotesi vale per i quadrilateri di Lambert. i fini della verifica dell ipotesi euclidea lavorare con i quadrilateri di Saccheri equivale a lavorare con i quadrilateri trirettangoli. 6. Proposizione. Vale l ipotesi IR, oppure IO, oppure I se e solo se che la somma degli angoli interni di un triangolo è rispettivamente uguale, oppure maggiore, oppure minore di due angoli retti. im. ato che ogni triangolo è diviso in due triangoli rettangoli da una delle altezze, basta dimostrare il risultato per triangoli rettangoli. Sia ora un triangolo rettangolo in e completiamolo ad un quadrilatero tracciando il segmento congruente a e ad perpendicolare ad : è un quadrilatero di Saccheri sulla base. Se vale IR, i triangoli e sono congruenti (perché?) e la somma degli angoli interni al triangolo è due retti. 3

4 Nel caso IO è maggiore di, quindi l angolo è maggiore dell angolo : si tratta di angoli compresi fra copie di lati ordinatamente congruenti in due triangoli i cui lati opposti sono invece disuguali: allora a lato maggiore si oppone angolo maggiore. llora 2R = + = + + < + +, che è la somma degli angoli interni di. Il caso I procede in modo analogo, ma ora è maggiore di e l angolo è minore dell angolo e quindi 2R > Lemma. Se in un triangolo rettangolo rettangolo in, M è il punto medio dell ipotenusa e H il piede della perpendicolare condotta da M al cateto allora H risulta congruente, minore, maggiore di H a seconda che valga rispettivamente IR, IO, I. im. Infatti conduciamo da M entrambe le perpendicolari ai cateti MH, MK il quadrilatero HKM è trirettangolo e quindi (per l osservazione 5) l angolo HMK risulta retto, ottuso oppure acuto (e scriviamo HMK = R, HMK > R, HMK < R) a seconda che valga IR, IO oppure I e nelle stesse ipotesi MK risulta congruente, minore o maggiore di H. M K H onfrontiamo ora fra loro i triangoli rettangoli HM e MK con ipotenuse congruenti. asta dimostrare che H risulta congruente, minore o maggiore di MK a seconda di IR, IO, I e questo segue dal fatto che l angolo MH sia congruente, minore o maggiore dell angolo MK nelle tre ipotesi considerate. Nell ipotesi IR gli angoli considerati sono congruenti (è la condizione necessaria al parallelismo delle rette supporto di HM e entrambe perpendicolari alla stessa retta supporto di ). In altro modo possiamo osservare che la somma degli angoli interni del triangolo MK (come di ogni triangolo) vale due angoli retti (e scriviamo S(MK) = 2R). Tuttavia, indipendentemente dall ipotesi angolare considerata, è di due angoli retti la somma degli angoli MH, HMK, KM. llora in IR risulta MH + HMK + KM = 2R = S(MK) = KM + MK + KM, da cui MH + HMK = MK + KM. Ora KM = R (indipendentemente dall ipotesi angolare) mentre in IR anche KM = R. a cui MH = MK. Questa seconda dimostrazione si adatta anche alle altre ipotesi angolari. Infatti in IO si ha: MH + HMK + KM =2R < S(MK) = KM + MK + KM: infatti la somma degli angoli interni di un triangolo questa volta è maggiore di due angoli retti. Quindi MH + HMK < MK + KM ed ora KM = R < HMK, quindi MH < MK. Nel caso I si ha: MH + HMK + KM > KM + MK + KM, da cui MH + HMK > MK + KM e quindi MH > MK, dato che KM = R > HMK. 8. orollario. ate due rette incidenti oblique e considerando su una di esse dei segmenti consecutivi fra loro congruenti, le loro proiezioni sull altra retta risultano essere fra loro congruenti, crescenti o decrescenti a seconda di IR, IO, I. im. Segue dal lemma 7 (fare nei dettagli). 9. Osservazione. Grazie a questi risultati Saccheri dimostra che IR ed IO implicano il postulato dell obliqua, equivalente al quinto postulato euclideo, mentre solo IR è coerente 4

5 con esso. Nel caso quindi di IO perviene correttamente ad una contraddizione usando la consequentia mirabilis, ossia la tautologia ( P P) P, ed enuncia quella che nel suo trattato è la proposizione XIV: Hypothesis anguli obtusi est absolute falsa, quia se ipsam destruit (l ipotesi dell angolo ottuso è completamente falsa perché distrugge se stessa) e che segue quindi dal 10. Teorema. In IR ed in IO una perpendicolare ed un obliqua ad una retta data si incontrano. im. Siano e rispettivamente un obliqua ed una perpendicolare alla stessa retta t con e punti distinti di t come illustrato nel disegno t Prendiamo un punto 1 su e sia H 1 la sua proiezione ortogonale su t. Prendiamo poi su i segmenti consecutivi 1 2, 2 3, 3 4 tutti congruenti ad 1. I corrispondenti segmenti H 1, H 1 H 2, H 2 H 3 sono tutti congruenti in IR e crescenti in IO per il corollario 8. In entrambi i casi (in una assiomatizzazione esplicita come quella hilbertiana per l assioma di rchimede) esiste un intero n tale che H include il segmento. n H 1 H 2 H 3 H n t bbiamo così un triangolo H n n con una retta che entra nel triangolo passando per un punto interno del lato H n. Nelle assiomatizzazioni esplicite viene postulato (o dimostrato a partire da uno dei sui equivalenti) un assioma che viene detto assioma di Pasch, indipendente dal V postulato ed implicito nel trattato euclideo: se retta che attraversa un lato di un triangolo che non sia un estremo, deve necessariamente attraversare un altro dei due lati o il vertice in comune tra esse. La retta deve quindi intersecare uno degli altri lati del triangolo, ma non può intersecarlo nel lato H n n : infatti la rette e H n n sono perpendicolari alla medesima retta t e quindi, se si intersecassero, avremmo un triangolo con due angoli retti, contro il teorema debole dell angolo esterno. In definitiva la retta sostegno di deve intersecare il lato n in un punto interno e quindi la retta supporto di esso. 5

6 11. Osservazioni. La dimostrazione di Saccheri della contraddittorietà dell ipotesi dell angolo ottuso nella geometria assoluta (ossia nella geometria che ammette tutti i postulati espliciti ed impliciti della geometria euclidea con l eccezione del quinto) consente di poter enunciare il seguente risultato attribuibile, appunto, fra i molti anche a Saccheri: Nella geometria assoluta la somma degli angoli interni di un triangolo non è superiore a due angoli retti. L argomento sviluppato nel teorema 10 funziona correttamente in IR, IO, ma non in I. Infatti per il corollario 8 i segmenti sulla retta t sono tutti congruenti o sono crescenti in IR e in IO e questo è sufficiente per superare da un certo indice in poi il punto, ma nel caso I, essendo decrescenti, non possiamo dedurlo. orrettamente Saccheri usa il corollario in questione solo per IR ed IO. Per I svolge considerazioni diverse dimostrando innanzitutto una serie di risultati che, contro le sue aspettative, sono veri e propri teoremi validi in una diversa geometria detta iperbolica. Egli ne deduce un comportamento asintotico per le rette parallele che, se così si può dire, può essere descritto come l esistenza all infinito di una perpendicolare comune alle due rette parallele e passante per il punto all infinito al quale asintoticamente tendono entrambe le rette. ato che due rette che passano per uno stesso punto (al finito) e sono perpendicolari ad una stessa retta per quel punto coincidono, Saccheri ne trae quella che nel suo trattato è la proposizione 33: Hypothesis anguli acuti est absolute falsa; quia repugnans naturae lineae rectae. (l ipotesi dell angolo acuto è assolutamente falsa perché ripugna alla natura della linea retta) La diversa formulazione di questa proposizione rispetto alla XIV del suo trattato può far supporre che Saccheri stesso, rendendosi conto del diverso statuto epistemologico delle due argomentazioni, non fosse perplesso di fronte a quest ultima. conforto di ciò c è il fatto che egli nelle successive proposizioni cerca di contraddire l ipotesi dell angolo acuto in altro modo: in base al concetto di equidistanza e con argomenti vicini al calcolo infinitesimale, ma commette degli errori: tuttavia è bene ricordare che il calcolo era stato introdotto e cominciava ad essere sviluppato solo da pochi decenni. Saccheri riassume queste ulteriori argomentazioni nella proposizione XXXVIII del suo trattato e nuovamente nella stessa forma della XIV: Hypothesis anguli acuti est absolute falsa, quia se ipsam destruit 6