Divisione in tre parti uguali

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1 Divisione in tre parti uguali ) Il metodo più pratico per dividere un quadrato in tre parti uguali è quello di trisecare ad occhio il foglio ed aggiustare la parte in eccesso o in difetto con piccoli spostamenti laterali (Fig. ). Una volta raggiunta una soddisfacente sovrapposizioni degli estremi del foglio con le terze parti, fissare la piega, aprire e piegare con cura. ) Un metodo più preciso ma meno pratico è il seguente: Metodo di Sidney French D C M N C) Metodo di Kazuo Haga Un terzo metodo è il seguente: Piegare su DC per trovare il punto medio di C. Riaprire e piegare facendo in modo che contemporaneamente vada a cade su DC e passi per punto medio di C. Il segmento DP = / DC D P C Dimostrazione: I triangoli C e D (Fig. ) sono simili. llora : C = D : D / : C = / : da cui C = DM = /. Stessa cosa per i due segmenti MN ed N che risultano essere uguali ad / di D D / P / C

2 D P Q C D P Q C D P Q C /9 R /9 Facendo unicamente la prima piega e la diagonale, è possibile più agevolmente, dividere in parti uguali C. Non solo! anche possibile dividere in 9 parti uguali il lato C in quanto il segmento R risulta /9 di C. Fig. e Fig. 6. D P C 6 L Dimostrazione: I triangoli DPL PC R risultano simili. R Si ha che DP = x, DL = y, PC = -x, C = ½ quindi x : y = ½ : ( - x) e y = x( - x) pplicando il teorema di Pitagora al triangolo DPL si ha: x + x ( - x) = [ - x(-x)] x + x ( + x -x) = ( -x + x ) x + x + x - 8x = + x + x - x + x - 8x x - x + = 0 x = [ ± - ] / e in definitiva x = (soluzione non accettabile) x = / (soluzione accettabile) e pertanto DP = / DC DL = y = /( - /) = /9 mentre PL = - /9 = /9. Il triangolo PDL ha i lati proporzionali alla terna pitagorica,,. Perciò gli altri due triangoli considerati hanno le seguenti dimensioni: C = ½ (cioè /6); PC = / (cioè /6); P = /6 riferendosi al triangolo PC. = - /6 = /6 (cioè /8); R = /8; R = /8 riferendosi al triangolo R. Da ciò risulta, infine, che essendo R = /8 = /9 è possibile avere un riferimento per poter dividere il foglio in 9 parti uguali.

3 Divisione in parti uguali Metodo di K. Kasahara / / / Dimostrazione visiva M D P C P T P M / / / / / C Il segmento C = + = (,, terna pitagorica). La bisettrice dell angolo C ^ passa per il punto medio M, di D (provate a dimostrarlo in modo rigoroso!!). Lo si deduce dalle figure,, e dal fatto che i segmenti M e MD coincidono nel punto P ottenuto dalle due piegature (Fig.,,). Il punto P divide C in due parti / e / e quindi per il Teorema di Talete mandando per P una parallela ad e successivamente un fascio di altre tre parallele si ottiene una suddivisione di C in parti uguali. (Fig. ) ssendo infine PM = TM = ( - /) si ha per il Teorema di Pitagora: PT = - ( - /) = - 6/ = 6/ = 8/ risulta essere doppio della quinta parte del segmento.

4 Teorema di Talete applicazioni b D Per dividere un foglio qualsiasi in n parti uguali rispetto al lato a si può procedere nel seguente modo: Si divide b in un numero di parti equivalenti alla potenza di immediatamente superiore ad n. Si congiunge quindi la n-esima suddivisione con il vertice (ovviamente piegando), Le intersezioni di questa traccia con le suddivisioni fatte sul lato b danno i riferimenti per poter dividere a nelle n parti stabilite. C a Dimostrazione: Sia a da suddividere in n parti. Divido b in parti con n <. Dalla figura e dalla similitudine dei triangoli D e C si ha b/ : x = n(b/ ) : a da cui x = (ab/ ) * ( /nb) = a/n. Cvd. possibile dividere un segmento o un lato di un quadrato usando uno strumento di semplicissima costruzione ed utilizzabile da alunni di scuola elementare e media. Occorre un rettangolo di cartoncino rigido o plastica diviso in un numero pari (più facile secondo le potenze di ) di parti uguali. R Q Ho diviso il quadrato Q in 7 parti uguali utilizzando il rettangolo R diviso in 8 parti uguali. parti uguali parti uguali 6 parti uguali 7 parti uguali

5 Convergenze e approssimazioni Metodo di S. Fujimoto Tramite piegatura è possibile dividere un segmento o un angolo in parti uguali con metodi convergenti e quindi approssimazioni. Si può dividere (Fig. ) in parti uguali con la seguente procedura che può essere ripetuta per ottenere un approssimazione migliore. Si scelga un punto P0 qualunque su P P0 su P0 P P0 su P P P P0 su P P P P0 su P PP P P P0 su P / / / Scegliendo il punto iniziale P0 nelle vicinanze di / il metodo converge più velocemente e quindi occorrono meno pieghe per avere un soddisfacente /

6 Convergenze e approssimazioni Metodo di S. Fujimoto Procedura per ottenere /. Si scelga un punto P0 qualunque su P P0 su P0 P P0 su P P P P0 su P P P0 P su P PP P P0 P su P P6 PP P P0 P su P / / / / / Scegliendo il punto iniziale P0 nelle vicinanze di / il metodo converge più velocemente e quindi occorrono meno pieghe per avere un soddisfacente /

7 pprossimazioni di angoli 60 Metodo di S. Fujimoto Per ottenere una rapida convergenza alla misura di un angolo, è possibile usare il seguente metodo dovuto a S. Fujimoto e J. Pedersen. Si prenda una striscia di carta e volendo, ad esempio, approssimare un angolo di 60, si scelga un arbitrario angolo ^ individuato da una trasversale P e si prosegua con le istruzioni seguenti: P P P * * P P P P P P P P P P P7 P8 # # P Dopo pochi passaggi le pieghe formano con notevole precisione angoli di 60.

8 pprossimazioni di angoli 6 Metodo di S. Fujimoto Si scelga un arbitrario angolo ^ individuato da una trasversale P ottenuta piegando una striscia di carta partendo da un vertice. Proseguire seguendo le istruzioni. P â â P â * * â â P P P P â â â P P P P â â P â â P P P â â P P P P P Dopo pochi passaggi le pieghe formano con notevole precisione angoli di 6.

9 Convergenza e trisezione Di J. Pedersen Il metodo di bisezione precedente può anche essere utilizzato con rette non parallele. t0 Z x x t Z t x x Z0 0 0 Z x isecare l'angolo Z^ 0O facendo sovrapporre il lato Z0 su Z0O. Proseguire bisecando Z Z^ 0 O facendo sovrapporre ZoO su ZoZ facendo perno su Z. Proseguendo in questo modo si avrà che a ciascun passo il triangolo delimitato da O ed OZ 0 e da ciascuna t avrà gli angoli che soddisfano alla seguente condizione: x t t Z t Ð - O x + x + (ð - ) = ð ( > ) - Per cui si ha: x + x = - Pertanto come detto precedentemente x si esprime come serie geometrica x = / + (-/) [x 0 - /] La quale converge ad / in quanto (-/) tende a zero. Quindi le rette t n approssimano (per parallelismo) le due rette che trisecano l'angolo (a condizione che l'angolo ^ sia compreso tra 0 e ð). ^ Tratto da Le dossiers du plot Settembre 98