Introduzione al modello di Beltrami

Transcript

1 Introduzione al modello di Beltrami A cura di Luigi Tomasi luigi.tomasi@unife.it Un modello reale per la geometria iperbolica: la pseudosfera, superficie a curvatura costante negativa (es. -1) E. Beltrami ( ) 2 1

2 Il modello di Beltrami Beltrami parte da una curva detta trattrice: file della trattrice (GeoGebra) Ruotandola di un giro completo attorno al suo asintoto, si ottiene una superficie che si chiama pseudosfera o in maniera ironica, cuffia di Beltrami file (superficie di rotazione) I punti di questo modello sono i punti della superficie (tranne quelli sul bordo ). Più difficile è dire cosa sono le rette in questo modello. Vediamo una simulazione con Cabri. 3 Modello di geometria iperbolica β 4 2

3 Le geodetiche 5 In generale occorre fare riferimento alla nozione di curvatura gaussiana di una superficie. La definizione funziona per cilindri, coni, sfere (anche per il piano iperbolico): si ottengono davvero tutte le geodetiche. 6 3

4 Il concetto di curvatura 7 8 Le triangolazioni in geodesia permettono di fare mappe precise, conoscendo la forma della Terra. 4

5 Gauss fu un esperto geodeta e perfezionò le misure relative alla triangolazione. Ad esempio, su una sfera muovendosi verso Nord, la direzione verticale cambia della stessa quantità ovunque, non così su un ellissoide: verso il polo varia di meno, perché la superficie è più piatta. 9 L idea geniale di Gauss fu di rovesciare il problema: non come la forma della Terra influisca sul rilievo geodetico, ma come risalire da un rilievo geodetico alla forma della Terra (e in generale di una superficie); quindi senza vederla dal di fuori ma restandovi immersi. Esempio: dal rilievo geodetico si può dimostrare che la Terra non è piatta, né perfettamente sferica ma ellissoidale (le due crf equatore e meridiano di Greenwhich misurano rispettivamente km e km). 10 5

6 La nozione di curvatura per una curva è molto semplice POCO CURVA MOLTO CURVA 11 Su di una circonferenza R R R CURVATURA = 1/R 12 6

7 La lunghezza di una circonferenza rispetto al raggio varia con la superficie: r L = 2πr r r L > 2πr L < 2πr 13 Qui i filari di alberi si allontanerebbero all opposto di quello che capita sulla sfera. La curvatura è opposta a quella della sfera. 14 7

8 Forma fondamentale di una superficie Gauss riuscì a calcolare la curvatura (e molti altri dati) rimanendo sulla superficie, cioè senza doverla vedere dal di fuori : l idea fu di fare il conto del difetto o dell eccesso eccesso dell area del cerchio di raggior intorno al punto rispetto a quello (sempre di raggior) ) su di una superficie piana (Theorema egregium) 15 CURVATURA = 0 CURVATURA > 0 CURVATURA <

9 CURVATURA CURVATURA = 0 = 0 CURVATURA > 0 CURVATURA < 0 17 Il concetto di curvatura è inestricabilmente intrecciato con quello di linea che va diritta sulla superficie (i filari del frutteto vanno diritti sul piano come sulla sfera). Si chiama geodetica: la sua non rettilinearità è dovuta solo al contributo della superficie: non ci mette niente di suo. È (localmente) il percorso più breve tra due punti. Nel piano: geodetica = retta. 18 9

10 Geodetica sul collo di un fiasco particolare (chiamato ipersfera) 19 Quanto vale la curvatura 20 10

11 Su di una sfera Curvatura = 1/R 1/R= 1/R

12 Su di una sella è il prodotto con segno meno: -(1/R 1 ) (1/R 2 ) R 1 R 2 23 GEOM. EUCLIDEA GEOM. SFERICA GEOM. IPERBOLICA Rette trasportate parallelamente Rette che non si incontrano QPE - Non si intersecano - Sono equidistanti - Sono TP lungo tutte le trasversali Sono TP lungo tutte le trasversali Lo si assume - Si intersecano sempre - Sono TP lungo le trasversali che passano per il loro centro di simmetria Non esistono È dimostrabile in senso forte senza ipotesi - divergono in entrambe le direzioni - Sono TP lungo le trasversali che passano per il loro centro di simmetria A volte risultano da trasporti non paralleli È falso 24 12

13 PPP 2 punti Σα (triangolo) Teor. angolo esterno Criteri congruenza GEOM. EUCLIDEA Lo si assume Individuano un unico segmento Vale π Vale Cfr. 12 GEOM. SFERICA > π È falso Individuano almeno due segmenti Non vale Cfr. 12 Per un punto passano più rette non intersecanti una retta data Individuano un unico segmento < π Vale GEOM. IPERBOLICA Valgono LAL, ALA, LLL, AAA. Non vale ALL. AAA: non esistono triang. simili. 25 Modello di geometria iperbolica di Beltrami: i triangoli β γ α 26 13

14 β γ α Area = π - (α α + β + γ) 27 γ β g. iperbolica α A K= π - (α α + β + γ) 62 TORINO β A K= π - (α α + β + γ) γ g. ellittica α 28 14

15 29 15