ELETTRONICA E STRUMENTAZIONE PER INDAGINI BIOMEDICHE M ELETTRONICA M BIOFISICA APPLICATA M INFORMATICA

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1 ELETTRONICA E STRUMENTAZIONE PER INDAGINI BIOMEDICHE M ELETTRONICA M BIOFISICA APPLICATA M INFORMATICA

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3 Lezione n. 1i Equazioni Sistema di equazioni Definizione di funzione Esempi di funzioni Funzioni trigonometriche Segnali sinusoidali

4 Equazioni (1) L identità è una eguaglianza tra due espressioni che è verificata qualunque siano i valori assegnati alle lettere (variabili) che in essa figurano. Ad esempio (a + b) (a - b) = a 2 - b 2 a 2 ab + ab - b 2 L equazione è una eguaglianza tra due espressioni che è verificata solo per particolari valori attribuiti alle variabili (incognite) che in essa figurano. I valori da assegnare alle incognite per rendere vera l eguaglianza tra le due espressioni si chiamano soluzioni o radici dell equazione.

5 Equazioni (2) Risolvere un'equazione significa trovare tutte le soluzioni dell equazione. Così l eguaglianza: x = 1 + x/2 è verificata per x=2, ma non per x=5, x=8, x=0,. In un'equazione alcune delle lettere che vi figurano possono avere valori noti, altre hanno valori incogniti. In genere i valori noti sono indicati dalle lettere iniziali dell alfabeto a, b, c,... e i valori incogniti con ultime lettere x, y, z,... Un'equazione è caratterizzata dal numero delle incognite. Si dice con una, due, tre, incognite.

6 Equazioni (3) Una equazione si dice impossibile se non ha soluzioni. Un'equazione che è verificata per ogni valore delle incognite si dice indeterminata e costituisce una identità. Grado di un'equazione intera è il massimo esponente con cui figura I'incognita. Le equazioni di primo grado si dicono anche lineari e quando non sono impossibili, ammettono una sola soluzione. Un'equazione si dice intera se l'incognita non figura nel divisore, frazionaria o fratta nel caso contrario. Due equazioni sono equivalenti. Quando hanno le medesime soluzione o sono entrambe impossibili.

7 Equazioni (5) Si hanno i seguenti due principi : data un'equazione, aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri un numero uguale o una identica espressione contenente l'incognita si ottiene un'equazione equivalente. A=B è equivalente a A+C=B+C Dal I principio di equivalenza si deducono le seguenti due regole: Regola del trasporto: A=B+C è equivalente a A-C-B=0 Regola di cancellazione: A+C=B+C è equivalente a A=B

8 Equazioni (6) : data un'equazione, moltiplicando o dividendo ambedue i membri per un numero diverso da zero, o per un'espressione contenente l'incognita che non si annulli qualunque sia il valore dell'incognita stessa, e che non restringa le condizioni di esistenza, si ottiene un'equazione equivalente. A=B è equivalente ad A/C=B/C Dal II principio di equivalenza si deducono le seguenti due regole: Regola del cambiamento di segno: A=B-C è equivalente ad -A=-B+C Regola di rimozione dei coefficienti frazionari: A C A B D C B D A D C B B D B D

9 Equazioni (7) Risoluzione di un'equazione di primo grado 1) Si libera, se necessario, l'equazione dai denominatori e si eseguono gli eventuali prodotti indicati. 2) Si portano i termini con l'incognita in un membro e quelli senza I'incognita nell'altro, cambiando di segno i termini trasportati. 3) Si riducono i termini simili in modo che l'equazione assuma la forma equivalente ax=b, detta normale o tipica. Data l'equazione: x x 1 x ) 2) Moltiplicando i due membri per il m.c.m. dei denominatori, ossia per 12 si ottiene: x 12 x x 9x 10x x x 10x 6x ) 8 5x 8 x 5 In generale: se a 0, l equazione ammette l'unica soluzione, se a = 0 e b 0 l equazione è impossibile, se a = 0 e b = 0, l'equazione è soddisfatta da qualunque valore di x (identità).

10 Equazioni (8) Equazione di 1 grado a più incognite Ogni equazione di 1 grado o lineare nelle incognite x, y,.. si può sempre ridurre nella forma: ax by... c dove a, b, c sono numeri o espressioni algebriche non contenenti le incognite. Se a=b=c=0 l equazione diventa una identità. 0 x 0 y 0 Se a=b=0 e c 0 l equazione è impossibile. 0 x 0 y C Una equazione di 1 grado a due incognite che non abbia nulli ambedue i coefficienti delle incognite ammette infinite soluzioni, ossia è indeterminata. Le soluzioni si ottengono assegnando valori arbitrari ad una delle incognite e determinando, mediante la medesima equazione, i valori corrispondenti dell altra incognita.

11 Classificazione delle equazioni - equazioni di grado 1º, 2º, 3º,4º, grado Equazioni (9) Il è un'espressione algebrica costituita da un coefficiente ed una parte letterale dove compaiono solo moltiplicazioni. 2 2 x, 2 x y Un, cioè ridotto in forma normale, è la somma algebrica di alcuni monomi non simili tra loro, cioè con parti letterali diverse. : ottenute uguagliando a 0 un polinomio : non riconducibili a polinomi 2 x 3 y, 2 3x 4x equazioni trigonometriche, in cui almeno una incognita è l argomento di una funzione trigonometriche; - equazioni esponenziali, in cui almeno un'incognita è presente come argomento di funzioni esponenziali; - equazioni logaritmiche, in cui almeno un'incognita è presente come argomento di logaritmi.

12 Sistema di equazioni (1) Considerando due equazioni lineari ciascuna di esse ha infinite soluzioni. è l'insieme di due equazioni che devono essere soddisfatte dai medesimi valori delle incognite. Un sistema si rappresenta scrivendo le equazioni l'una sotto l altra ed e unendole con una parentesi graffa. La di un sistema è ogni gruppo di valori delle incognite che soddisfa tutte le equazioni del sistema.

13 Sistema di equazioni (2) Un sistema si dice quando non ammette alcuna soluzione se invece ammette delle soluzioni si dice. Un sistema possibile si dice limitato si dice se il numero delle sue soluzioni è se il numero delle sue soluzioni è infinito. Un sistema si dice di primo grado o lineare quando le sue equazioni sono di primo grado. che lo compongono. è il Due sistemi di equazioni con le stesse incognite si dicono equivalenti quando le soluzioni dell'uno sono soluzioni anche dell'altro e viceversa. Per risolvere un sistema di 1 grado a n equazioni e n incognite, si hanno quattro metodi : di sostituzione, confronto, addizione, sottrazione e regola di Cramer. Prima di risolvere l equazione è utile ridurre il sistema alla forma normale o tipica: ax by c a' x b' y c '

14 Metodo di sostituzione Sistema di equazioni (8) Si sceglie una incognita (x), si risolve una delle equazioni rispetto all'incognita scelta (x) e si sostituisce, nell altra equazione, l incognita scelta con l'espressione ottenuta. In tale modo si ottiene una sola equazione in cui compare una sola incognita (y). Si risolve ottenendo il valore della seconda incognita (y). Si introduce tale valore in una delle due espressioni e si calcola il valore di x. 2x5y 11 x 11 5y 2 x x2y y 3 2y y 4y 14 19y 19 y 1

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16 Piano cartesiano Definizione di Funzione E un sistema di riferimento formato da due rette ortogonali, che si intersecano in un punto denominato origine, su ciascuna delle rette è fissato un orientamento ed una unità di misura in tale modo è possibile identificare un qualsiasi punto dell'insieme mediante 2 numeri reali. y x Scala lineare: La parola lineare indica il fatto che ciascun intervallo di graduazione è costante. Scala logaritmica: la scala logaritmica si differenzia dalla scala lineare per il fatto che la proporzionalità tra le due grandezze non è costante ma ha un andamento logaritmico.

17 Asse verticale Una variabile y si dice funzione della variabile x, quando esiste una legge di natura qualsiasi (analitica, fisica, chimica, economica, demografica ) che fa corrispondere ad ogni valore di x un valore di y. Definizione di Funzione x X f f(x) Y x f(x) y y - variabile dipendente x - variabile indipendente y 1 a x 1 b x Asse orizzontale Rappresentazione grafica di una funzione definita nell intervallo (a,b)

18 Esempi di funzioni (1) Esiste una legge o formula matematica che lega x e y y c x Funzione costante y 1 y 0 y= m x 1 0 x 0 x 1 y -y m= x -x Funzione lineare m= coefficiente angolare=pendenza y= c+m x x 1 0 y 1 +c y 0 +c c x 0 x 1 Funzione lineare x

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21 Esempi di funzioni (2) Funzioni esponenziali x y a a =base x= esponente y y 10 x x y e x y 2 a=2 a=e=2.7183=numero di Eulero a=10 x

22 Esempi di funzioni (3) Funzione logaritmo y y Log b (x) b b=2 b=e b=10 y x All aumentare della base a la funzione cresce più lentamente. x y 1 b y b =x y b=2 b=e b=10 x

23 Angoli Funzioni trigonometriche La trigonometria e le sue funzioni si basano sul concetto di angolo. Si definisce angolo la parte di piano compresa tra due semirette uscenti da uno stesso punto. R Gli angoli possono essere specificati in gradi ( o ) o radianti. R Un radiante (rad) è l'angolo che si forma quando l'arco è uguale al raggio di un cerchio. Ci sono 360 o o 2p radianti in un giro completo. Poiché ci sono 2p radianti e 360 o in un giro completo si possono dedurre le seguenti relazioni tra angoli espressi in radianti e gradi: 2 rad rad p degrees deg rad 2 p rad

24 a C b b Funzioni trigonometriche Cerchio trigonometrico è un cerchio con raggio unitario ed è utilizzato per definire le funzioni trigonometriche. P TRIANGOLI SIMILI b a P b P a a b a P a a Sen( ) raggio b Cos( ) raggio a ' CP ' a'' ; CP '' b ' b'' ; CP ' CP '' a a ' a '' S in( ) Tan( ) b b ' b '' Cos( ) GRANDEZZE ADIMENSIONALI Tan()=PENDENZA=m C b raggio 1; Valore[ sen( )] a; Valore[cos( )] b;

25 Funzioni trigonometriche raggio= arco 0 2p raggio Per evidenziare la variabile tempo t 2p T 2p t T T = Tempo necessario affinché vari da 0 a 2p Tempo necessario affinché il punto effettui una rotazione completa

26 Funzioni trigonometriche sin(x)=cos(x-p/2) Funzioni Seno e Coseno cos(x) x 3 2 2

27 Segnali sinusoidali Un segnale sinusoidale è costituito da una grandezza che varia con legge descritta matematicamente dalla funzione seno. Analogamente, un segnale cosinusoidale è descritto mediante la funzione coseno. Tale segnale è ottenuto da quello sinusoidale sfasato di p/2. I parametri che descrivono tale segnale sono relativi all asse verticale e orizzontale A Valore picco picco A è l ampiezza di un'onda sinusoidale, indicata anche come valore di picco. L escursione di un'onda sinusoidale può essere specificata anche con il valore picco picco. T T è il periodo e rappresenta l'intervallo di tempo che trascorre prima che l'onda assuma la stessa ampiezza e la medesima pendenza. Il tempo necessario affinché l onda compia un ciclo.

28 Segnali sinusoidali Frequenza (f) è il numero di cicli che un'onda sinusoidale completa in un secondo. La frequenza è misurata in Hz. Se 3 cicli di un'onda si verificano in un secondo, la frequenza è 3Hz. 1.0 s Il periodo e la frequenza sono reciproci uno dell altro. f 1 T T 1 f

29 Equazione del segnale sinusoidale Con tale equazione sono indicati i valori istantanei y(t) di un segnale sinusoidale: Dove: y( t) Y p sen Y p = q = w = Segnali sinusoidali ( q ) Y sen 2p Y sen( 2p f t) Y sen( w t) p t T Tensione di picco Angolo in radianti o gradi Vel. angolare = Vel.di rotazione = Pulsazione Se il valore di picco è 25, il valore istantaneo a 50 gradi è 19.2 V Per f = 10 Hz, w = e t è circa uguale a ms p p Y=Y p sen(q) =19.2 Y p = 25 Y p = 25

30 Fase Angolo che specifica la posizione di un'onda sinusoidale rispetto ad un riferimento. Per mostrare che un'onda sinusoidale viene spostato a sinistra o a destra di questo riferimento, viene aggiunto un termine all'equazione vista in precedenza. Y P sin ( q ) y Dove: = Fase Esempio 1: ritardo di fase Segnali sinusoidali Y riferimento Y P y = Y P sin (q 45 o )

31 Esempio 2: Anticipo di fase Segnali sinusoidali riferimento V P y = Y P sin (q + 45 o )

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