Strategie analitiche per il controllo del detection bias. Anno accademico Andrea Arfè. Lab

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1 Lab Strategie analitiche per il controllo del detection bias Anno accademico Andrea Arfè

2 Introduzione Esempio: studio di coorte su associazione fra statine e Diabete Mellito di Tipo 2 N. individui N. Eventi osservati Tempo 10

3 Introduzione Esempio: studio di coorte su associazione fra statine e Diabete Mellito di Tipo 2 Controllo medico N. individui N. Eventi osservati Tempo 10 Supponiamo che gli utilizzatori di statine siano sottoposti a più controlli medici.

4 Introduzione Esempio: studio di coorte su associazione fra statine e Diabete Mellito di Tipo 2 N. individui 100 Controllo medico N. Eventi osservati 30 N. Eventi realmente insorti Tempo Supponiamo che gli utilizzatori di statine siano sottoposti a più controlli medici. Conseguenza: fra i non utilizzatori osservo meno casi di diabete di quelli realmente insorti

5 Introduzione Esempio: studio di coorte su associazione fra statine e Diabete Mellito di Tipo 2 N. individui 100 Controllo medico N. Eventi osservati 30 N. Eventi realmente insorti Tempo Supponiamo che gli utilizzatori di statine siano sottoposti a più controlli medici. Conseguenza: fra i non utilizzatori osservo meno casi di diabete di quelli realmente insorti Anche se la terapia con statine non ha alcun effetto, potrebbe comunque risultare associata ad un rischio maggiore di diabete!

6 Introduzione Definizione di detection bias:

7 Introduzione Detection bias negli studi di farmacoepidemiologia:

8 Argomenti della lezione Quali strategie analitiche potrebbero essere adottate in caso di sospetto detection bias?

9 Argomenti della lezione Quali strategie analitiche potrebbero essere adottate in caso di sospetto detection bias? Argomenti: 1. Esempio: studio di coorte su associazione fra aderenza a statine e rischio di diabete 2. Diagrammi causali per il detection bias 3. Due metodi analitici per il detection bias 3.1 Sensitivity analysis 3.2 Analisi condizionata

10 Argomenti della lezione Quali strategie analitiche potrebbero essere adottate in caso di sospetto detection bias? Argomenti: 1. Esempio: studio di coorte su associazione fra aderenza a statine e rischio di diabete 2. Diagrammi causali per il detection bias 3. Due metodi analitici per il detection bias 3.1 Sensitivity analysis 3.2 Analisi condizionata

11 Esempio: studio di coorte su aderenza a statine e rischio di diabete Studio di coorte sull associazione fra aderenza alla terapia con statine e rischio di Diabete Mellito di Tipo II Fonte dei dati: Archivio anagrafico Archivio prescrizioni farmaceutiche Archivio schede dimissione ospedaliere Popolazione target: circa 10 milioni residenti Archivio visite ambulatoriali Arfè A, Corrao G. Tutorial: Strategies addressing detection bias were reviewed and implemented for investigating the statins-diabetes association. J Clin Epidemiol 2014; 68:480-8

12 Esempio: studio di coorte su aderenza a statine e rischio di diabete Definizione della coorte: - Pazienti eleggibili: adulti (40-80 anni) con almeno una prescrizione di statine nel Data di ingresso: data prima prescrizione di statine nel Criteri di esclusione: o Prescrizioni di statine nei 3 anni prima dell ingresso o Storia di diabete (ospedalizzazioni o prescrizioni) nei 3 anni prima dell ingresso Arfè A, Corrao G. Tutorial: Strategies addressing detection bias were reviewed and implemented for investigating the statins-diabetes association. J Clin Epidemiol 2014; 68:480-8

13 Esempio: studio di coorte su aderenza a statine e rischio di diabete Durata del follow-up: - Dall ingresso della coorte fino al primo dei seguenti eventi: o Inizio terapia con farmaci anti-diabetici o Morte/emigrazione/fine della registrazione o Fine dello studio (31/12/2010) Arfè A, Corrao G. Tutorial: Strategies addressing detection bias were reviewed and implemented for investigating the statins-diabetes association. J Clin Epidemiol 2014; 68:480-8

14 Esempio: studio di coorte su aderenza a statine e rischio di diabete Durata del follow-up: - Dall ingresso della coorte fino al primo dei seguenti eventi: o Inizio terapia con farmaci anti-diabetici o Morte/emigrazione/fine della registrazione o Fine dello studio (31/12/2010) Outcome dello studio: - Inizio terapia con antidiabetici, come proxy dell insorgenza di Diabete Mellito di Tipo II Arfè A, Corrao G. Tutorial: Strategies addressing detection bias were reviewed and implemented for investigating the statins-diabetes association. J Clin Epidemiol 2014; 68:480-8

15 Esempio: studio di coorte su aderenza a statine e rischio di diabete Aderenza alle statine (esposizione in studio): - Valutata attraverso la Proportion of Days Covered (PDC): o Molto bassa (PDC<25%) RIFERIMENTO o Bassa (25% PDC<50%) o Intermedia (50% PDC<75%) o Alta (75% PDC) Arfè A, Corrao G. Tutorial: Strategies addressing detection bias were reviewed and implemented for investigating the statins-diabetes association. J Clin Epidemiol 2014; 68:480-8

16 Esempio: studio di coorte su aderenza a statine e rischio di diabete Aderenza alle statine (esposizione in studio): - Valutata attraverso la Proportion of Days Covered (PDC): o Molto bassa (PDC<25%) RIFERIMENTO o Bassa (25% PDC<50%) o Intermedia (50% PDC<75%) o Alta (75% PDC) Analisi statistica: - Stima Hazard Ratio (HR), con intervalli di confidenza al 95%, tramite modello di regressione di Cox con covariate tempo-dipendenti - Aggiustamento per covariate (e.g. età, genere, uso concomitante di altri farmaci, Charlson s comorbidity score, ) Arfè A, Corrao G. Tutorial: Strategies addressing detection bias were reviewed and implemented for investigating the statins-diabetes association. J Clin Epidemiol 2014; 68:480-8

17 Esempio: studio di coorte su aderenza a statine e rischio di diabete Risultati: associazione aderenza-rischio di diabete Membri della coorte: 567,122 nuovi utilizzatori di statine Arfè A, Corrao G. Tutorial: Strategies addressing detection bias were reviewed and implemented for investigating the statins-diabetes association. J Clin Epidemiol 2014; 68:480-8

18 Esempio: studio di coorte su aderenza a statine e rischio di diabete Risultati: sospetto detection bias Membri della coorte: 567,122 nuovi utilizzatori di statine Arfè A, Corrao G. Tutorial: Strategies addressing detection bias were reviewed and implemented for investigating the statins-diabetes association. J Clin Epidemiol 2014; 68:480-8

19 Argomenti della lezione Quali strategie analitiche potrebbero essere adottate in caso di sospetto detection bias? Argomenti: 1. Esempio: studio di coorte su associazione fra aderenza a statine e rischio di diabete 2. Diagrammi causali per il detection bias 3. Due metodi analitici per il detection bias 3.1 Sensitivity analysis 3.2 Analisi condizionata

20 Diagrammi causali: Definizioni Diagrammi causali: rappresentazione grafica di un insieme di relazioni causali fra determinati fattori Formati da un insieme di nodi legati da frecce: 1. I nodi rappresentano dei fattori di interesse 2. Le frecce rappresentano possibili meccanismi causali intercorrenti fra i fattori rappresentati dai nodi Greenland S, Pearl J, Robins JM. Causal diagrams for epidemiologic research. Epidemiology 1999; 10:37-48

21 Diagrammi causali: Definizioni Diagrammi causali: rappresentazione grafica di un insieme di relazioni causali fra determinate variabili Formati da un insieme di nodi legati da frecce: 1. I nodi rappresentano dei fattori di interesse 2. Le frecce rappresentano possibili meccanismi causali intercorrenti fra i fattori rappresentati dai nodi Esempio: Fattori: Diab Inc Osp (presenza diabete) (incidente stradale) (ospedalizzazione) Diab Osp Inc

22 Diagrammi causali: Definizioni Diagrammi causali: rappresentazione grafica di un insieme di relazioni causali fra determinate variabili Formati da un insieme di nodi legati da frecce: 1. I nodi rappresentano dei fattori di interesse 2. Le frecce rappresentano possibili meccanismi causali intercorrenti fra i fattori rappresentati dai nodi Esempio: Fattori: Diab (presenza diabete) Inc (incidente stradale) Osp (ospedalizzazione) Diab Osp Inc Soffrire di diabete può portare ad una ospedalizzazione

23 Diagrammi causali: Definizioni Diagrammi causali: rappresentazione grafica di un insieme di relazioni causali fra determinate variabili Formati da un insieme di nodi legati da frecce: 1. I nodi rappresentano dei fattori di interesse 2. Le frecce rappresentano possibili meccanismi causali intercorrenti fra i fattori rappresentati dai nodi Esempio: Fattori: Diab (presenza diabete) Inc (incidente stradale) Osp (ospedalizzazione) Diab Osp Inc Subire un incidente può portare ad una ospedalizzazione

24 Diagrammi causali: Definizioni Diagrammi causali: rappresentazione grafica di un insieme di relazioni causali fra determinate variabili Formati da un insieme di nodi legati da frecce: 1. I nodi rappresentano dei fattori di interesse 2. Le frecce rappresentano possibili meccanismi causali intercorrenti fra i fattori rappresentati dai nodi Esempio: Fattori: Diab (presenza diabete) Inc (incidente stradale) Osp (ospedalizzazione) Diab Osp Inc Gli incidenti stradali NON causano il diabete!

25 Diagrammi causali: Tipi Tassonomia (parziale) dei diagrammi causali: Diagrammi diretti: Diagrammi misti: Lauritzen SL, Richardson TS. Chain graph models and their causal interpretations. J Roy Stat Soc B 2002; 64:321-61

26 Diagrammi causali: Tipi Tassonomia (parziale) dei diagrammi causali: Diagrammi diretti: Hanno solo frecce con un singolo verso ben definito A B A ha un effetto diretto su B Diagrammi misti: Lauritzen SL, Richardson TS. Chain graph models and their causal interpretations. J Roy Stat Soc B 2002; 64:321-61

27 Diagrammi causali: Tipi Tassonomia (parziale) dei diagrammi causali: Diagrammi diretti: Hanno solo frecce con un singolo verso ben definito A B A ha un effetto diretto su B A X B A ha un effetto indiretto su B (mediato da X) Diagrammi misti: Lauritzen SL, Richardson TS. Chain graph models and their causal interpretations. J Roy Stat Soc B 2002; 64:321-61

28 Diagrammi causali: Tipi Tassonomia (parziale) dei diagrammi causali: Diagrammi diretti: Hanno solo frecce con un singolo verso ben definito A B A ha un effetto diretto su B A X B A ha un effetto indiretto su B (mediato da X) A X B A ha un sia un effetto diretto che indiretto su B Diagrammi misti: Lauritzen SL, Richardson TS. Chain graph models and their causal interpretations. J Roy Stat Soc B 2002; 64:321-61

29 Diagrammi causali: Tipi Tassonomia (parziale) dei diagrammi causali: Diagrammi diretti: Hanno solo frecce con un singolo verso ben definito A B A ha un effetto diretto su B A X B A ha un effetto indiretto su B (mediato da X) A X B A ha un sia un effetto diretto che indiretto su B Diagrammi misti: Ammettono anche frecce bidirezionali o archi non direzionali A A B B A e B possono essere associate per motivi causali o non-causali Lauritzen SL, Richardson TS. Chain graph models and their causal interpretations. J Roy Stat Soc B 2002; 64:321-61

30 Diagrammi causali: Usi I diagrammi causali forniscono uno strumento formale con una semantica precisa per rappresentare relazioni causali anche complesse. Figure tratta da: van Kampen D. The SSQ model of schizophrenic prodromal unfolding revised: an analysis of its causal chains based on the language of directed graphs. Eur Psychiatry. 2014;29:437-48

31 Diagrammi causali: Usi La teoria dei diagrammi causali è molto ricca e ha trovato vari usi in Epidemiologia (cf. referenze sotto). Da teoria diagrammi causali: Deduzione di indipendenze condizionate (regole di d-separazione) Selezione dei confondenti per l aggiustamento Rappresentazione formale di selection bias ed errori di misura Noi useremo dei diagrammi misti per descrivere formalmente il detection bias. Greenland S, Pearl J, Robins JM. Causal diagrams for epidemiologic research. Epidemiology 1999; 10:37-48 Pearl J. Causal diagrams for empirical research. Biometrika 1995; 82: Hernán MA, Hernández-DÍaz S, Robins JM. A structural approach to selection bias. Epidemiology 2004; 15: Hernán MA, Cole SR. Causal diagrams and measurement bias. Am J Epidemiol 2009; 70:959-62

32 Diagrammi causali per il Detection Bias Ipotetico studio di coorte: Esposizione (e.g. livello di aderenza alla terapia con statine) Outcome (e.g. insorgenza diabete)

33 Diagrammi causali per il Detection Bias Ipotetico studio di coorte: Esposizione (e.g. livello di aderenza alla terapia con statine) NON OSSERVATO Outcome (e.g. insorgenza diabete)

34 Diagrammi causali per il Detection Bias Ipotetico studio di coorte: Esposizione (e.g. livello di aderenza alla terapia con statine) NON OSSERVATO Outcome (e.g. insorgenza diabete) Proxy dell outcome (e.g. prescrizione di farmaci antidiabetici)

35 Diagrammi causali per il Detection Bias Ipotetico studio di coorte: Esposizione (e.g. livello di aderenza alla terapia con statine) NON OSSERVATO Outcome (e.g. insorgenza diabete) Misura della «identificabilità» dell outcome (e.g. frequenza controlli medici) Proxy dell outcome (e.g. prescrizione di farmaci antidiabetici)

36 Diagrammi causali per il Detection Bias Ipotetico studio di coorte: Esposizione (e.g. livello di aderenza alla terapia con statine) NON OSSERVATO Outcome (e.g. insorgenza diabete) DETECTION BIAS Misura della «identificabilità» dell outcome (e.g. frequenza controlli medici) Proxy dell outcome (e.g. prescrizione di farmaci antidiabetici)

37 Argomenti della lezione Quali strategie analitiche potrebbero essere adottate in caso di sospetto detection bias? Argomenti: 1. Esempio: studio di coorte su associazione fra aderenza a statine e rischio di diabete 2. Diagrammi causali per il detection bias 3. Due metodi analitici per il detection bias 3.1 Sensitivity analysis 3.2 Analisi condizionata

38 Sensitivity Analysis per il Detection Bias Derivazione algebrica dell effetto del detection bias:

39 Sensitivity Analysis per il Detection Bias Derivazione algebrica dell effetto del detection bias: RR Pr( Y Pr( Y 1 E 1 E 1) 0)

40 Sensitivity Analysis per il Detection Bias Derivazione algebrica dell effetto del detection bias: RR Pr( Y Pr( Y 1 E 1 E 1) 0) RR * Pr( Y Pr( Y * * 1 E 1 E 1) 0)

41 Sensitivity Analysis per il Detection Bias Derivazione algebrica dell effetto del detection bias: RR Pr( Y Pr( Y 1 E 1 E 1) 0) RR * Pr( Y Pr( Y * * 1 E 1 E 1) 0) RR * RR Bias Fattore di bias =?

42 Sensitivity Analysis per il Detection Bias Derivazione algebrica dell effetto del detection bias: RR Pr( Y Pr( Y 1 E 1 E 1) 0) RR * Pr( Y Pr( Y * * 1 E 1 E 1) 0) Assumendo l assenza di falsi positivi (i.e. può essere Y*=1 solo se Y=1) RR * RR S S 1 0 Fattore di bias S Pr( * 1 Y 1 Y 1, E 1) S Pr( Y * 1 Y 1, E 0) 0 (dimostrazione in appendice)

43 Sensitivity Analysis per il Detection Bias Derivazione algebrica dell effetto del detection bias: RR Pr( Y Pr( Y 1 E 1 E 1) 0) RR * Pr( Y Pr( Y * * 1 E 1 E 1) 0) Assumendo l assenza di falsi positivi (i.e. può essere Y*=1 solo se Y=1) RR RR * S S Formula per sensitivity analysis S Pr( * 1 Y 1 Y 1, E 1) S Pr( Y * 1 Y 1, E 0) 0

44 Sensitivity Analysis per il Detection Bias Applicazione a studio di coorte su aderenza a statine e rischio di diabete: Reference: very low adherence Bias factor (S 1 / S 0 ) Arfè A, Corrao G. Tutorial: Strategies addressing detection bias were reviewed and implemented for investigating the statins-diabetes association. J Clin Epidemiol 2014; 68:480-8

45 Sensitivity Analysis per il Detection Bias Applicazione a studio di coorte su aderenza a statine e rischio di diabete: Reference: very low adherence RR* RR Bias factor (S 1 / S 0 ) Arfè A, Corrao G. Tutorial: Strategies addressing detection bias were reviewed and implemented for investigating the statins-diabetes association. J Clin Epidemiol 2014; 68:480-8

46 Sensitivity Analysis per il Detection Bias Applicazione a studio di coorte su aderenza a statine e rischio di diabete: Reference: very low adherence Bias factor (S 1 / S 0 ) Arfè A, Corrao G. Tutorial: Strategies addressing detection bias were reviewed and implemented for investigating the statins-diabetes association. J Clin Epidemiol 2014; 68:480-8

47 Argomenti della lezione Quali strategie analitiche potrebbero essere adottate in caso di sospetto detection bias? Argomenti: 1. Esempio: studio di coorte su associazione fra aderenza a statine e rischio di diabete 2. Diagrammi causali per il detection bias 3. Due metodi analitici per il detection bias 3.1 Sensitivity analysis 3.2 Analisi condizionata

48 Analisi condizionata rispetto misure di «identificabilità» Analisi condizionata rispetto una misura di «identificabilità» D = condizionamento rispetto a D (i.e. stratificazione, restrizione o aggiustamento per regressione)

49 Analisi condizionata rispetto misure di «identificabilità» Analisi condizionata rispetto una misura di «identificabilità» D = condizionamento rispetto a D (i.e. stratificazione, restrizione o aggiustamento per regressione) Razionale: negli strati di D il detection bias è assente perché tutti i soggetti che sviluppano l outcome hanno la stessa probabilità che questo venga identificato Negli strati di D: RR * S1 RR RR 1 S 0 RR (dimostrazione in appendice)

50 Hazard ratio of diabetes Farmacoepidemiologia Analisi condizionata rispetto misure di «identificabilità» Esempio: HR per associazione aderenza statine diabete per numero di visite specialistiche nel primo anno di follow-up Adherence with statins very low low intermediate high PDC <25% 25% <= PDC <50% 50% <= PDC <75% PDC >= 75% >=3 Number of outpatient specialist visits D Arfè A, Corrao G. Tutorial: Strategies addressing detection bias were reviewed and implemented for investigating the statins-diabetes association. J Clin Epidemiol 2014; 68:480-8

51 Hazard ratio of diabetes Farmacoepidemiologia Analisi condizionata rispetto misure di «identificabilità» Esempio: HR per associazione aderenza statine diabete per numero di visite specialistiche nel primo anno di follow-up Adherence with statins very low low intermediate high PDC <25% 25% <= PDC <50% 50% <= PDC <75% PDC >= 75% >=3 Number of outpatient specialist visits Arfè A, Corrao G. Tutorial: Strategies addressing detection bias were reviewed and implemented for investigating the statins-diabetes association. J Clin Epidemiol 2014; 68:480-8

52 Hazard ratio of diabetes Farmacoepidemiologia Analisi condizionata rispetto misure di «identificabilità» Esempio: HR per associazione aderenza statine diabete per numero di visite specialistiche nel primo anno di follow-up Adherence with statins very low low intermediate high PDC <25% 25% <= PDC <50% 50% <= PDC <75% PDC >= 75% >=3 Number of outpatient specialist visits Arfè A, Corrao G. Tutorial: Strategies addressing detection bias were reviewed and implemented for investigating the statins-diabetes association. J Clin Epidemiol 2014; 68:480-8

53 Analisi condizionata rispetto misure di «identificabilità» Condizionare rispetto ad una variabile può introdurre una forma di bias detta collider stratification bias. A B C C è un collider Cole SR, Platt RW, Schisterman EF, Chu H, Westreich D, Richardson D, Poole C. Illustrating bias due to conditioning on a collider. Int J Epidemiol 2010; 39:417-20

54 Analisi condizionata rispetto misure di «identificabilità» Condizionare rispetto ad una variabile può introdurre una forma di bias detta collider stratification bias. A B C C è un collider Collider stratification bias: A B C A e B non sono associate Cole SR, Platt RW, Schisterman EF, Chu H, Westreich D, Richardson D, Poole C. Illustrating bias due to conditioning on a collider. Int J Epidemiol 2010; 39:417-20

55 Analisi condizionata rispetto misure di «identificabilità» Condizionare rispetto ad una variabile può introdurre una forma di bias detta collider stratification bias. A B C C è un collider Collider stratification bias: A B Condizionando rispetto a C A B C A e B non sono associate C A e B possono essere associate negli strati di C Cole SR, Platt RW, Schisterman EF, Chu H, Westreich D, Richardson D, Poole C. Illustrating bias due to conditioning on a collider. Int J Epidemiol 2010; 39:417-20

56 Analisi condizionata rispetto misure di «identificabilità» Esempio di collider stratification bias: Mangiato pollo Mangiato gamberi Salmonella (collider)

57 Analisi condizionata rispetto misure di «identificabilità» Esempio di collider stratification bias: Mangiato pollo Salmonella (collider) Mangiato gamberi Pollo (sì/no) Gamberi (sì/no) Salmonella (N) No salmonella (N) No No 1 99 Sì No No Sì Sì Sì 99 1

58 Analisi condizionata rispetto misure di «identificabilità» Esempio di collider stratification bias: Mangiato pollo Mangiato gamberi Pollo (sì/no) Gamberi (sì/no) Salmonella (N) No salmonella (N) No No 1 99 Sì No Salmonella (collider) No Sì Sì Sì 99 1 Associazione marginale pollo/gamberi: Gamberi Sì No Pollo Sì No OR = = = 1 No associazione

59 Analisi condizionata rispetto misure di «identificabilità» Esempio di collider stratification bias: Mangiato pollo Mangiato gamberi Pollo (sì/no) Gamberi (sì/no) Salmonella (N) No salmonella (N) No No 1 99 Sì No Salmonella (collider) No Sì Sì Sì 99 1 Associazione pollo/gamberi nello strato degli individui con salmonella: Gamberi Sì No Pollo Sì No OR = = < 1 Associazione negativa

60 Analisi condizionata rispetto misure di «identificabilità» Esempio di collider stratification bias: Mangiato pollo Salmonella Mangiato gamberi Pollo (sì/no) Gamberi (sì/no) Salmonella (N) No salmonella (N) No No 1 99 Sì No No Sì Sì Sì 99 1 Intuitivamente: fra chi ne ha subito l effetto (i.e. salmonella), la mancanza di una causa (e.g. pollo) rende più probabile la presenza dell altra (e.g. gamberi) Viceversa, fra chi non ne ha subito l effetto (i.e. no salmonella), la presenza di una causa (e.g. pollo) rende meno probabile la presenza dell altra (e.g. gamberetti)

61 Analisi condizionata rispetto misure di «identificabilità» Potenziale collider stratification bias in una analisi condizionata per il detection bias: Sottostimo associazione + visite mediche + visite mediche Prima di effettuare questo tipo di analisi occorre valutare la possibilità che la misura D di «identificabilità» sia un collider.

62 Conclusioni 1. Un possibile detection bias và sospettato ogniqualvolta l outcome in studio viene identificato tramite proxy, e.g. negli studi di farmacoepidemiologia basati su healthcare utilization databases (HCU). 2. Nessuno dei due metodi illustrati può essere considerato superiore agli altri: Sensitivity analysis: Facile da implementare Richiede conoscenza range plausibile per fattore di bias Analisi condizionata: Fornisce misure non distorte Potenziale collider stratification bias 3. Considerare molteplici approcci può risultare la strategia ottimale. 4. I diagrammi causali possono aiutare nel comprendere la natura del problema e a valutare la validità dei metodi analitici considerati.

63 Appendici

64 Dimostrazione formula per sensitivity analysis Assunti: 1) Tutte le variabili sono dicotome (1=presenza, 0=assenza) 2) No falsi positivi, i.e. Y=1 ogniqualvolta Y*=1 RR = P Y = 1 E = 1 P Y = 1 E = 0 = P Y = 1, Y = 1 E = 1 P Y = 1, Y = 1 E = 0 = P Y = 1 Y = 1, E = 1 P Y = 1 E = 1 P Y = 1 Y = 1, E = 0 P Y = 1 E = 0 = S 1 P Y = 1 E = 1 S 0 P Y = 1 E = 0 Per definizione Per l assunto (2) Per definizione Per definizione = S 1 S 0 RR RR = RR S 1 S 0 Per definizione RR = RR S 1 S 0 1

65 Dimostrazione razionale analisi condizionata parte 1 Assunti: 1) Tutte le variabili sono dicotome (1=presenza, 0=assenza) 2) No falsi positivi, i.e. Y=1 ogniqualvolta Y*=1 3) Le relazioni fra le variabili E, D, Y, ed Y* sono correttamente rappresentate dal diagramma causale a destra. Se le relazioni fra le variabili E, Y, Y* e D sono rappresentate dal diagramma causale a sinistra, allora è possibile dimostrare (usando il criterio di moralizzazione, c.f. Dawid, 2002) che E ed Y* sono condizionatamente indipendenti date D ed Y: P Y = 1 Y = 1, E = e, D = d = P Y = 1 Y = 1, D = d per ogni e, d = 0,1 Intuitivamente: D e Y bloccano tutti i meccanismi che rendono E ed Y* associate. Dawid P. Discussion on the paper by Lauritzen and Richardson. J Roy Stat Soc Ser B 2002; 64:348-61

66 Dimostrazione razionale analisi condizionata parte 2 Assunti: 1) Tutte le variabili sono dicotome (1=presenza, 0=assenza) 2) No falsi positivi, i.e. Y=1 ogniqualvolta Y*=1 3) Le relazioni fra le variabili E, D, Y, ed Y* sono correttamente rappresentate dal diagramma causale a destra. Dato che P Y = 1 Y = 1, E = e, D = d = P Y = 1 Y = 1, D = d per ogni e, d = 0,1 nello strato D=d vale: RR = P Y = 1 E = 1, D = d P Y = 1 E = 0, D = d = P Y = 1 Y = 1, E = 1, D = d P Y = 1 Y = 1, E = 0, D = d P Y = 1 E = 1, D = d P Y = 1 E = 0, D = d Per definizione Per l assunto (2) = P Y = 1 Y = 1, D = d P Y = 1 Y = 1, D = d P Y = 1 E = 1, D = d P Y = 1 E = 0, D = d Per indipendenza condizionata P Y = 1 E = 1, D = d P Y = 1 E = 0, D = d = RR Per definizione