LINEE CON CARICHI DISTRIBUITI

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1 Zeno Martini (admin) LINEE CON CARICHI DISTRIBUITI 19 January 2010 Prologo In questo messaggio del forum RenzoDF mi ha richiesto di riprodurre quanto i miei sacri testi riportavano per le linee ad anello. Ho allora preso il mio antico testo di Impianti, Lezioni di Impianti Elettrici di Antonio Paolucci Ed. CLEUP 1971 e l'ho fatto, inviando come allegato un file pdf con il paragrafo del testo del prof. Antonio Paolucci. Quello è però solo l'ultimo dei paragrafi che trattano le linee con carichi distribuiti e poiché, sembra almeno, è difficile trovare in Internet la trattazione teorica dell'argomento, ho deciso di scannerizzare virtualmente anche i paragrafi precedenti. Linea a sbalzo in continua Nella figura che segue, è schematizzata una linea alimentata ad una estremità, con carichi derivati lungo il suo percorso (linea a sbalzo). La linea è formata da due conduttori di lunghezza l dello stesso materiale di resistività ρ e della stessa sezione S. LINEE CON CARICHI DISTRIBUITI 1

2 Linea a sbalzo in continua Indicata con la caduta di tensione lungo un filo, tra l'alimentazione e l'ultimo carico derivato si ha da cui, noto il valore di, si ricava la sezione. ρ ovviamente è la resistività del materiale alla temperatura di funzionamento. Al risultato della (1) si può pervenire applicando il principio di sovrapposizione degli effetti. La caduta all'estremità di un filo, dovuta alla sola corrente I r è data da ed è Sostituendo si trova la (1). Nota: il prodotto forza. è detto momento elettrico per l'identità formale con il momento di una LINEE CON CARICHI DISTRIBUITI 2

3 Linea in continua alimentata alle due estremità La tensione alle due estremità è identica. Le due estremità iniettano le correnti I A ed I B Applicando il primo principio di Kirchhoff all'insieme di taglio evidenziato, si ha La tensione più bassa si ha in una posizione intermedia, S, detta sezione di inversione o di taglio. In tale sezione infatti si esaurisce la corrente proveniente da A, il che significa che tutti i carichi a monte di quella sezione sono alimentati da A, ed inizia quella proveniente da B, per cui tutti i carichi a valle, sono alimentati da B. In quel punto dunque la corrente è come si invertisse. Se quel punto corrisponde ad un tratto di linea tra i due carichi, quel tratto di linea potrebbe anche essere tagliato, senza che nulla cambi. Se invece coincide con un carico, ed è il caso più probabile, quel carico è alimentato sia da A che da B. Supponendo che la sezione di taglio si abbia immediatamente a valle del carico p, quindi nel tratto di linea tra i carichi p e p + 1, sarà Il valore della corrente I B si può determinare applicando la (1) tenendo conto che, in questo caso,, cioè che la caduta complessiva da A a p è uguale a quella da B a p. Quindi ponendo, con riferimento al disegno, si ha LINEE CON CARICHI DISTRIBUITI 3

4 da cui Quindi si può ricavare anche I A con Ora è possibile determinare l'indice p che corrisponde alla sezione di taglio. Esso infatti è il primo che verifica la disuguaglianza Individuata la sezione di taglio la linea può essere spezzata in due linee a sbalzo. Indicata allora sempre con la massima caduta di tensione ammessa, che si ha nella sezione di taglio, applicando la (1) si determina la sezione della linea Nota 1: Quando la sezione di taglio coincide con il carico p, è possibile suddividerlo e considerare come carico p, con cui termina il tronco di linea che parte da A, la corrente Se il carico non è suddiviso la sezione sarà ovviamente maggiore di quella teoricamente necessaria. La divisione è tanto meno necessaria quanto minore è la corrente I p rispetto alla somma delle correnti che precedono. Nota 2: sarà opportuno verificare anche la densità di corrente alle estremità LINEE CON CARICHI DISTRIBUITI 4

5 Nota 3Se (di poco), Le correnti I A ed I B calcolate supponendo uguali le due tensioni vanno modificate in base alla corrente di circolazione che interessa la linea dovuta alla differenza delle tensioni:, diventando I A' = I A + I C ed I B' = I B I C. Occorre però conoscere la R AB, resistenza totale della linea che si deve ancora calcolare, in quanto la sezione dipende dal valore delle correnti estreme che stabiliscono la sezione di taglio. Si considera allora dapprima la linea alimentata dai due estremi con tensioni uguali e pari alla media aritmetica: e si calcolano le correnti I A ed I B. In base ad esse si determina la sezione, quindi lar AB. A questo punto si calcola la I C. La sezione di taglio si sposterà e si dovrà verificare che la caduta di tensione sia inferiore al limite prefissato. In caso contrario si ripete il procedimento con sezione maggiore. Nota 4: la linea ad anello va trattata come la linea alimentata dalle due estremità con tensioni uguali Linea ad anello Linea a sbalzo in corrente alternata In alternata le cose si complicano in quanto alla caduta resistiva si aggiunge quella induttiva. Si usa comunque come base di calcolo la nota formula della caduta di tensione industriale, una formula approssimata già per un carico solo, e che risulta affetta da un'ulteriore approssimazione in presenza di più carichi. Ad ogni modo per le normali linee le approssimazioni sono piccole, quindi più che accettabili. Se si indicano con R U ed X U la resistenza e la reattanza unitarie di un conduttore, la caduta dovuta ad un carico che assorbe una corrente I con un fattore di potenza su un conduttore lungo L, vale LINEE CON CARICHI DISTRIBUITI 5

6 Linea a sbalzo in corrente alternata Se ci sono n carichi derivati lungo la linea, applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, ed indicando con λ r la distanza del carico r-simo dall'origine, si ha, per la caduta su un conduttore: avendo indicato con rispettivamente la caduta attiva, dovuta cioè alla componente attiva della corrente, in fase con la tensione, e la caduta reattiva, dovuta alla componente in quadratura. Per determinare la sezione, si fissa il valore massimo ammesso per, si sceglie un valore per la reattanza e si calcola con la (6). Ricordiamo che con ω pulsazione della tensione (314 rad /s a 50 Hz) ed L induttanza unitaria del filo. L dipende fondamentalmente dalla distanza tra i conduttori e, per linee aeree in MT ed AT, non varia molto essendo compresa tra 1 ed 1,4 mh/ km (quindi la reattanza avrà un valore compreso tra. Quindi si ricava e si calcola la sezione con LINEE CON CARICHI DISTRIBUITI 6

7 e si sceglierà la sezione commercialmente disponibile immediatamente superiore. A questo punto occorre una verifica della reattanza ipotizzata. Se la reattanza con la sezione calcolata è inferiore a quella ipotizzata il calcolo va bene. Altrimenti occorre ripeterlo con un nuovo valore di reattanza. Nel caso in cui risulti o che sia impossibile trovare commercialmente una sezione sufficientemente grande, in modo che sia, significa che si è raggiunta la massima capacità di trasporto della linea. Linea alimentata alle due estremità in corrente alternata Siano note le n correnti derivate riferite alla tensione di alimentazione. Linea alimentata alle due estremità Per determinare la differenza di potenziale tra A e B, si può usare il principio di sovrapposizione degli effetti considerando i carichi come generatori di corrente e considerando pure il punto B come un punto cui è collegato un generatore di corrente di valore I B che è opposta a quella dei carichi. Quindi avremo per la generica corrente con impedenza del tratto di linea tra A ed r e per la corrente con impedenza di tutta la linea linea. LINEE CON CARICHI DISTRIBUITI 7

8 Sommando le cadute parziali si ha, essendo quindi Se la resistenza e la reattanza per unità di lunghezza sono costanti (se cioè i conduttori sono sempre dello stesso materiale ed hanno diametro costante e distanze mutue costanti) le impedenze sono proporzionali alle lunghezze. Se è allora l'impedenza per unità di lunghezza avremo: avendo λ Ar,l AB il significato rispettivamente di distanza del carico r-esimo da A e di lunghezza totale della linea. Possiamo allora scrivere Sostituendo ora le espressione di e di nella (8) si ha: perciò LINEE CON CARICHI DISTRIBUITI 8

9 In un punto intermedio della linea, ad esempio a valle o nel carico p-esimo, la caduta di tensione rispetto al punto A è data da La (12) possiamo definirla caduta dovuta alle componenti attive delle correnti; la (13), caduta dovuta alle componenti reattive. Le due precedenti espressioni hanno i loro massimi che si verificano in posizioni diverse della linea, essendo due espressioni indipendenti. Il massimo della caduta delle componenti reattive, a valle del carico p 1 che verifica l'uguaglianza, si ha in corrispondenza o immediatamente Quello delle componenti attive,, nel punto p 2 che verifica la Stabilito un valore massimo accettabile per la caduta complessiva,, occorre che la somma espressa dalla (11) sia inferiore in ogni punto. Se si tracciano su un grafico i singoli andamenti, l'uno ribaltato rispetto all'altro, in un riquadro di altezza pari a, non deve esserci intersezione, come illustrato in figura LINEE CON CARICHI DISTRIBUITI 9

10 cadute attive e reattive In genere comunque si impone che sia la somma dei valori massimi ad essere inferiore alla caduta prefissata. Si sceglie allora un valore per la reattanza della linea e si calcola la, dopo aver determinato il carico il carico P1 che corrisponde alla sezione di taglio per le componenti reattive. Si ha allora e si determinana la sezione con ( ) La sezione risulta risulta leggermente maggiore di quella che sarebbe strettamente necessaria. Il grafico che segue mostra che in tal caso si ha una caduta attiva minore di quella che si sarebbe potuto avere. cadute di tensione attive e reattive Occorre a questo punto verificare se, in base al diametro della sezione, la reattanza ipotizzata è corretta. Altrimenti occorre rifare il calcolo con un nuovo valore della reattanza. APPENDICE Un utente, mazzini88, in una nota ha chiesto di vedere l'indice del testo del Paolucci. Eccolo LINEE CON CARICHI DISTRIBUITI 10

11 Indice LINEE CON CARICHI DISTRIBUITI 11

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