Paolo Baldi Appunti di Metodi Matematici e Statistici, 1996, Ediz CLUEB. Giovanni Prodi Metodi Matematici e Statistici, 1992, Ediz.

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1 S.S.I.S. TOSCANA F.I.M. II ANNO STATISTICA BIBLIOGRAFIA DI RIFERIMENTO: Paolo Baldi Appunti di Metodi Matematici e Statistici, 1996, Ediz CLUEB Giovanni Prodi Metodi Matematici e Statistici, 199, Ediz. McGraw- Hill Giovanni Prodi- Maria Teresita Sainati Scoprire la Matematica: Probabilità e Statistica, 003, Ghisetti e Corvi Editori. Quaderno 8 L Insegnamento di Probabilità e Statistica nella Scuola liceale Seminario di formazione per Docenti, Liceo Scientifico G.Ricci Curbastro Lugo di Romagna, Marzo A.M. Mood, F.A. Graybill, D.C. Boes Introduzione alla statistica, 1997, McGraw-Hill Rivista Induzioni Home Page Prof. Carla Rossi, Università di Roma Tor Vergata

2 STATISTICA La Statistica si occupa dello studio di fenomeni collettivi conoscibili solo attraverso una pluralità di osservazioni. Ad esempio: studio della distribuzione territoriale di una certa malattia, variazione dei prezzi di un certo prodotto da un supermercato ad un altro ed in tempi diversi, risultato degli esami di maturità all interno di una data scuola,. In senso più tecnico una statistica è una quantità numerica calcolata a partire da osservazioni su qualche fenomeno di interesse. Ad esempio, la percentuale di studenti che, in una data scuola e in un dato anno, hanno riportato agli esami di maturità una votazione superiore a 80, è una statistica che si calcola contando quanti studenti hanno riportato una votazione superiore a 80, dividendo questo numero per il numero totale di studenti che in quella scuola hanno sostenuto l esame di maturità e moltiplicando per 100. L insieme dei dati osservati si dice campione, ed è, in genere, un sottoinsieme di un insieme più ampio e non direttamente osservabile che è detto popolazione. STATISTICA DESCRITTIVA Quel ramo della Statistica che si occupa di evidenziare, attraverso opportune sintesi numeriche o grafiche, le caratteristiche dei fenomeni collettivi di interesse che sono direttamente descritte dai dati. - Raccolta dati (Come campionare? Quali caratteri rilevare? ) - Codifica dei dati (Matrice dei dati, variabili quantitative, qualitative ) - Sintesi dei dati (Distribuzioni statistiche) - Calcolo di misure di localizzazione e dispersione, di asimmetria e curtosi. - Studio di eventuali correlazioni tra le variabili esaminate Tutto questo, come si è detto, ai fini di evidenziare le caratteristiche di interesse del fenomeno in esame direttamente descritte dai dati. IMPORTANTE! Fare uso di statistiche ufficiali, ma è anche opportuno che i dati da prendere in considerazione riguardino situazioni molto vicine all esperienza degli studenti e, se possibile, vengano direttamente rilevati da loro.

3 Ad esempio: La composizione delle loro famiglie e di quelle dei loro genitori STATISTICA INDUTTIVA O INFERENZIALE Quel ramo della Statistica che si occupa di interpretare le osservazioni in termini di modelli teoricic esplicativi del fenomeno, in modo da poter riferire il risultato relativo all insieme dei dati osservati all intera popolazione di provenienza valutando anche, probabilisticamente, gli errori di attribuzione. Dati sperimentali: i dati raccolti secondo uno schema pianificato da chi conduce l indagine statistica Dato osservazionali: i dati raccolti secondo un processo di rilevazione non predisposto dallo sperimentatore Di solito si procede dai dati osservazionali, a cui si applicano i metodi di statistica descrittiva per scoprire eventuali regolarità che suggeriscano ipotesi interpretative. Dalle ipotesi interpretative si procede alla costruzione di un modello matematico che consenta di effettuare previsioni sul fenomeno di interesse. Basandoci su queste previsioni, si possono strutturare esperimenti per la raccolta di opportuni dati per verificare la validità delle ipotesi. Unità statistica: il possessore del fenomeno individuale che costituisce il fenomeno collettivo Ad esempio, con riferimento all esito degli esami di maturità in una data scuola, ogni studente che sostiene l esame costituisce un unità statistica. Caratteri qualitativi: caratteristiche individuali non misurabili su scala numerica, ma contraddistinte mediante attributi detti modalità Ad esempio, i mezzi di trasporto utilizzati dagli studenti di una data scuola per recarsi a lezione (bicicletta, motorino, autobus, ) I caratteri qualitativi possono essere sconnessi, (ad esempio fumatore, non fumatore; maschio, femmina, ) oppure ordinati ( ad esempio, primogenito, secondogenito, ; titolo di studio posseduto, licenza di scuola dell obbligo, di scuola secondaria, laurea, dottorato )

4 Caratteri quantitativi: caratteristiche individuali misurabili. In tal caso parliamo di valori e non più di modalità. Tutti i valori che possono essere osservati per un dato fenomeno definiscono una variabile statistica Ad esempio, altezza, peso, tempi di attesa di un mezzo di trasporto, prezzi di un dato prodotto, numero dei petali dei fiori Per misurare i dati quantitativi continui, occorre definire una scala e un unità di misura ed il grado di precisione opportuno. Operazioni possibili: Per i dati qualitativi sconnessi : uguaglianza e disuguaglianza Per i dati qualitativi ordinati: uguaglianza e disuguaglianza, ordinamento. Per i dati quantitativi: uguaglianza e disuguaglianza, ordinamento, operazioni algebriche Una volta raccolti i dati vengono organizzati in tabelle La tabella che raccoglie i dati è la matrice dei dati grezzi Su ogni riga sono riportate le informazioni relative ad una unità statistica Ad ogni colonna corrisponde un carattere Si parla di analisi univariata, quando lo studio statistico si focalizza su un dato carattere, vale a dire su una singola colonna della matrice dei dati grezzi. Distribuzione di frequenza di un dato carattere Frequenza assoluta: il numero di unità statistiche che presentano una data modalità del carattere Frequenza relativa: rapporto tra il numero di unità statistiche che presentano una data modalità del carattere e il totale delle unità statistiche considerate Frequenza percentuale: la frequenza relativa moltiplicata per 100 Diremo distribuzione statistica univariata una coppia di insiemi di cui il primo è l insieme delle modalità o dei valori assumibili dal carattere considerato, il secondo è l insieme costituito dalle frequenze che ogni valore o modalità presenta nella matrice dei dati. INDICI STATISTICI INDICI DI POSIZIONE: Medie analitiche( ottenibili mediante operazioni algebriche su dati quantitativi), medie di posizione INDICI DI DISPERSIONE:Varianza, scarto quadratico medio o deviazione standard, scarto interquartile, coefficiente di variazione.

5 INDICI DI POSIZIONE: Moda: la modalità a cui è associata la massima frequenza La moda è utilizzabile per tutti i tipi di caratteri organizzati in distribuzioni di frequenza. Mediana: (Solo per caratteri ordinabili o quantitativi) è quel valore che, in un insieme ordinato di valori, divide l insieme in due parti che contengono lo stesso numero di osservazioni. Se il numero dei dati ordinati è dispari è il valore( o modalità) corrispondente all unità ((n- 1)/) + 1. Se il numero dei dati è pari si hanno valori mediani in corrispondenza delle unità n/ ed n/ +1, di cui si fa la media aritmetica se i dati sono quantitativi. Il p-quantile è quel valore che divide la distribuzione in due parti, lasciando una proporzione p di osservazioni a sinistra, e 1-p a destra. Molto usati sono i quartili che dividono la distribuzione in 4 parti (5%, 50%, 75%) Media aritmetica: (Solo per dati quantitativi) Si ottiene sommando i valori osservati e dividendoli per il loro numero µ x = (x 1 + x + +x n )/n che corrisponde a nµ x = x 1 + x + +x n pertanto µ x rappresenta il valore costante che dovrebbe avere ciascuno dei dati, perché la somma dei loro valori resti invariata Se il valore x i compare con frequenza f i (i=1,,,k), si può scrivere µ x = (x 1 f 1 + x f + +x k f k )/n si dice media aritmetica ponderata PROPRIETA DELLA MEDIA ARITMETICA - E sempre compresa tra il minimo e il massimo dei dati - Σ i (x i -µ x ) = 0 - min q Σ i (x i - q ) si ottiene per q = µ x - se operiamo una trasformazione della scala di misura traslando l origine e cambiando l unità di misura, y i = ax i + b per i=1,,,n, la media aritmetica delle misure x, subisce la stessa modifica subita da ogni singola misura µ y = aµ x + b Osservazione: Per distribuzioni poco omogenee (in presenza ad esempio di dati aberranti) è preferibile la mediana alla media

6 Più in generale si dice che µ x è la media di n numeri x 1, x,, x n agli effetti di un problema in cui interessa una loro funzione f(x 1, x,, x n ) se la funzione ha lo stesso valore che avrebbe se tutti gli x i avessero il medesimo valore µ x, vale a dire f(x 1, x,, x n )= f(µ x, µ x,., µ x ). Si ottiene allora la MEDIA ARITMETICA se f(x 1, x,, x n )= x 1 + x + +x n, la MEDIA GEOMETRICA (definita per misure non negative) µ x = (x 1 x x n ) 1/n se f(x 1, x,, x n )= (x 1 x x n ), la MEDIA ARMONICA µ x = n/(1/x 1 + 1/x + +1/x n ) se f(x 1, x,, x n )= 1/x 1 + 1/x + +1/x n, la MEDIA QUADRATICA µ x = sqr((x 1 + x + +x n )/n) se f(x 1, x,, x n )= x 1 + x + +x n INDICI DI DISPERSIONE Varianza σ x = Σ i (x i - µ x ) / n = µ x (µ x ) La varianza non è un indice omogeneo, un cambiamento della scala delle misure y i = ax i + b, trasforma σ x in a σ x ; pertanto si fa uso della radice quadrata della varianza, detto scarto standard, scarto quadratico medio o deviazione standard che è un indice omogeneo Lo scarto semplice medio o scarto assoluto, relativo alla media S µ = Σ i x i - µ x / n Lo scarto semplice medio o scarto assoluto, relativo alla mediana S M = Σ i x i - M x / n Lo scarto inter p-quantile è dato dal valore assoluto della differenza tra il p-quantile e l (1-p)-quantile: s p = x p x 1-p Il range delle osservazioni è la differenza tra la massima e la minima osservazione Coefficiente di variazione CV= (σ x /µ x ) 100 esprime l ampiezza percentuale di σ x rispetto a µ x Utile per confrontare le dispersioni di due diverse distribuzioni, perché indipendente dall unità di misura.

7 INDICI DI FORMA si riferiscono a misure di asimmetria della distribuzione statistica, oppure misure relative al peso delle code della distribuzione rispetto alla parte centrale (a parità di dispersione) INDICE DI ASIMMETRIA SKEW =Σ i (x i - µ x ) 3 /[Σ i (x i - µ x ) ] 3/ Un valore negativo di skew indica la presenza di maggior contributo di osservazioni minori del valor medio e viceversa INDICE DI CURTOSI KURT=Σ i (x i - µ x ) 4 /[Σ i (x i - µ x ) ] -distribuzione leptocurtica (appuntita) se KURT<3 (code leggere) -distribuzione a forma gaussiana (circa) se KURT =3 -distribuzione platicurtica (piatta) se KURT>3 (code pesanti) ANALISI MULTIVARIATA quando lo studio statistico si focalizza su più caratteri e quindi più colonne della matrice dei dati grezzi INDICI DI CONFRONTO TRA DUE VARIABILI STATISTICHE COVARIANZA Cov x,y =[Σ i (x i - µ x )( y i - µ y )] /n = µ xy µ x µ y Dove (x i, y i ) sono i dati relativi al carattere x ed al carattere y dell unità statistica i-sima, per i=1,,,n ; µ x e µ y indicano le rispettive medie aritmetiche dei dati x e y. L indice di covarianza non è adatto per grandezze disomogenee, in quanto risente dell unità di misura. COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE r x,y =[Σ i ((x i - µ x )/ σ x )(( y i - µ y )/ σ y ] /n i dati sono stati standardizzati (si sottrae dal dato la media e si divide per la deviazione standard; si ottengono in questo modo dati a media 0 e varianza 1) r x,y non dipende dall unità di misura, si dimostra che r x,y 1