gfurnari Considerando i triangoli EMH ed EMG, essi sono uguali per SAS, avendo

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1 Costruiamo adesso anche il triangolo AFD tale che AF = AE, con AD in comune con il triangolo AED ed uguali i corrispondenti angoli a in A. Allora i due triangoli sono uguali per SAS ed in particolare saranno uguali i lati ED e DF, i corrispondenti angoli a in D e sarà retto l angolo in F. Se poi consideriamo i due triangoli EAF ed EDF (angoli in A e D uguali perché somma di angoli uguali, EA=ED, AF=DF), risulteranno uguali gli angoli corrispondenti in E ed in F, e tali angoli saranno di 45 perché la loro somma è un angolo retto. Anche i triangoli EAG ed AGF sono uguali avendo uguali gli angoli in A, EA=AF ed AG in comune, e quindi risultano uguali i loro angoli in G, entrambi retti perché supplementari, come anche i lati EG=GF. Tutti gli angoli in G sono retti, come si può vedere facilmente. E considerando corrispondenti costruzioni sugli altri lati, tutti gli angoli in E saranno di 45 e gli angoli in H tutti retti, come quelli in G. Possiamo infine costruire il triangolo AFI tale che FI=GF ed il suo angolo in F sia di 45 ; esso sarà uguale al triangolo AGF sempre per il criterio SAS, il suo angolo in I sarà retto, l angolo in A sarà a e si avrà AI = AG = AH. AG = AH segue dall uguaglianza dei triangoli AEG ed EGD che hanno il lato EG in comune, uguali gli angoli di 45 ed AE = ED, per cui AG = GD = ½ l e similmente AH = HB = ½ l, dove l è il lato del nostro quadrato. A questo punto sembra che si riesca a dimostrare per tutti gli angoli costruiti che siano retti, eventualmente suddivisi in due angoli di 45, tranne che per gli angoli del nostro quadrato ABCD, che sono quelli che ci interessano. 6

2 Possiamo adesso considerare il quadrilatero EHIF sopra raffigurato, sempre che sia tale, perché a rigor di logica i segmenti HA ed AI potrebbero non giacere sulla stessa retta, ovvero potrebbero non essere collineari. Infatti non abbiamo ancora provato che gli angoli r = 2a in A siano retti: se non lo sono avremo un poligono pentagonale irregolare. Per inciso, tale quadrilatero somiglia notevolmente a quello considerato da Giovanni Gerolamo Saccheri ( ) nelle sue dimostrazioni che hanno portato alla nascita delle geometrie non-euclidee; il nostro quadrilatero presenta però caratteristiche differenti rispetto a quello del Saccheri: gli angoli in H ed in I sono retti ed il lato di base è doppio rispetto ai lati verticali; per converso è ancora da provare che i segmenti HA ed AI possano giacere sulla stessa retta, ovvero che gli angoli r in A possano essere retti (manca = 45, 2 = 90 ). Considerando i triangoli AHE ed AGE, essi sono uguali per SAS per avere AE in comune, HA=AG, perché entrambi metà dei lati uguali del quadrato, ed uguali gli angoli a = a in A; ne segue EH=EG. Considerando i triangoli EMH ed EMG, essi sono uguali per SAS, avendo EM in comune, EH=EG e gli angoli in E entrambi di 45. Quindi MH=MG e sono uguali e quindi entrambi retti gli angoli in M, anzi gli angoli in M risultano essere tutti e quattro angoli retti perché angoli opposti al vertice sono uguali. Attenendoci alle stesse considerazioni, simmetricamente, sul lato destro otteniamo che anche JG=JI, anzi MH=MG=JG=JI e che tutti e quattro gli angoli in J risultano essere retti. Adesso possiamo considerare, parallelamente al fatto che gli angoli in M ed in J sono tutti retti, che i segmenti MA e JA devono essere collineari rispettivamente ai segmenti ME e JF, ed in effetti sappiamo già che ME e JF sono parte rispettivamente dei segmenti AE=AF. Allora, poiché M e J devono essere i punti di mezzo rispettivamente di HG e di IG, il punto A sarà univocamente determinato: cioè, se esiste una soluzione che, senza fessure o sovrapposizioni tra i triangoli HMA, AMG, AGJ ed AJI individua A, essa dovrà essere unica. Questo si può vedere facilmente considerando il triangolo EAF che ha due angoli di 45 e quindi è isoscele; allora individua univocamente il punto A per il criterio ASA rispetto alla base EF: un criterio di uguaglianza applicato da un triangolo a se stesso dice che un triangolo è univocamente determinato dai tre componenti considerati (anche nel caso dei triangoli aperti iperbolici vedi Agazzi-Palladino Le geometrie non euclidee, pagg ). Si può constatare adesso che esiste una soluzione compatibile con i quattro angoli retti in M ed in J: è quella euclidea, simmetricamente ovvia, della figura che segue 7

3 (è connessa e senza sovrapposizioni e la si può verificare applicando ripetutamente il criterio SAS ed osservando che diventano isosceli i triangoli AHE=EGA=AIF=AGF) secondo la quale gli angoli in A sono retti e suddivisi in coppie di angoli di 45. Essa sarà anche unica, infatti, se A fosse invece in A, come nella figura precedente, poichè M e J non possono che essere i punti di mezzo rispettivamente di HG e di IG, A formerebbe necessariamente un angolo e con il segmento ME e/oppure un angolo l con il segmento JF; questo però comporterebbe che la coppia di angoli individuati dal segmento A M sul segmento HG e/oppure quella individuata dal segmento A J sul segmento IG non possa più essere una coppia di angoli retti, differendo i due angoli di una coppia di 2e e/oppure quelli dell altra coppia di 2l, e ne resterebbe contraddetta la necessità che in M ed in J debbano contrapporsi quattro angoli retti. Tuttavia l unicità di una siffatta soluzione, che ha un senso se risulta costruibile il punto A (si tenga presente, come per i triangoli aperti sul piano iperbolico, la possibilità che risulti aperto il nostro quadrilatero, che diventa un pentagono irregolare se 2 90 ), può valere all interno di differenti geometrie che contemplino tutte al loro interno criteri di congruenza di segmenti e di angoli, e criteri di congruenza di triangoli SAS, ASA, SSS. Queste differenti geometrie conducono a soluzioni con 45. 8

4 Osserviamo la figura seguente, corrispondente alla geometria iperbolica sul piano di Poincaré (universo circolare di raggio R), che contempla una contrazione delle lunghezze pari ad 1 r 2 /R 2 per una distanza r dal centro. M e J possono ancora essere i punti medi di HG e GI? Evidentemente le coppie di triangoli AHE ed AGE, EMH ed EMG non sono tra di loro uguali (né congruenti né sovrapponibili) se considerati in senso euclideo, ma lo sono se si tiene conto del criterio SAS applicato al piano iperbolico, ove si tenga cioè conto delle distanze iperboliche individuate dal birapporto e delle proprietà delle riflessioni rispetto a rette iperboliche (che conservano angoli e distanze iperboliche: vedi Odifreddi Divertimento Geometrico pagg con rimando a pag. 134). Ovvero, lo sono dal punto di vista intrinseco alla geometria iperbolica e non così come direttamente rappresentata sul piano euclideo mediante linee curve come rette (punto di vista estrinseco). Sul piano iperbolico di Poincaré risulta evidente che 45 e che non si possa ottenere un quadrilatero EHIF: non risultando più collineari i segmenti HA ed AI, si ottiene un pentagono irregolare EHAIF, quando risulta chiuso. 9

5 Inoltre avremo EH = EG = GF = IF < AH = AG = AI, mentre nella figura qui sotto è rappresentato il caso del pentagono irregolare aperto. In definitiva, il valore di può essere messo in corrispondenza con il fattore di contrazione di Poincaré 1 r 2 /R 2 che è a sua volta direttamente collegato al raggio dell universo R. Si potrebbe infatti affermare che possono matematicamente esistere molteplici geometrie iperboliche individuate da differenti fattori di contrazione (e differenti valori di ) e che soltanto un esperimento fisico può determinare la geometria che caratterizza lo spazio in cui effettivamente viviamo. Ma, adottando il punto di vista che richiede di considerare lo spazio fisico, la si può determinare qui ed ora, perché la geometria dell universo potrebbe variare a distanze paragonabili alle sue dimensioni e potrebbe variare nel tempo. Inoltre saremmo sempre di fronte ad approssimazioni con margini di errore e non ad un risultato esatto. Quel che qui però interessa considerare sta in questa domanda: cosa si ottiene quando la contrazione di Poincaré si attenua fino a svanire, cioè il raggio R e la curvatura k dello specifico piano iperbolico ( vedi Agazzi-Palladino Le geometrie non euclidee, pag. 190 e pagg ) tendono ad infinito ed il fattore diventa 1? È di estrema evidenza che il piano di Poincaré si trasforma nel piano euclideo, tutti gli archi iperbolici diventano rettilinei e tende a