risulta essere la risposta esatta.

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1 1 Esercizi settimana 1 Esercizi applicati Esercizio 1 (Il problema dei punti). Si considerino due giocatori, P. e F.; P. e F. giocano a testa o croce, P. vince se esce testa, mentre F. vince se esce croce. I due giocatori concordano di concludere il gioco non appena uno dei due abbia vinto tre lanci di moneta, il vincitore vincerà 1 e. Supponiamo che P. e F. debbano fermarsi prima della fine della partita, come deve essere divisa la posta in palio? (Suggerimento: si consideri il caso in cui la partita viene fermata dopo 3 lanci, e che P. abbia vinto due volte mentre F. una). Soluzione. Questa è una versione semplificata del problema che ha spinto Pascal e Fermat a scriversi una serie di lettere, dando così origine al moderno calcolo delle probabilità. Risulta essere chiaro che nel caso in cui i giocatori si fermino dopo 2 o 4 lanci, nel caso in cui abbiano vinto la metà esatta dei lanci, la posta dovrebbe essere divisa a metà. Prendiamo invece in considerazione il più interessante caso in cui si fermino dopo 3 lanci, nella situazione in cui P. abbia vinto 2 lanci (ottenendo 2 teste) e F. 1 solo (ottenendo 1 croce). Elenchiamo tutti i possibili esiti successivi, in particolare potrebbero uscire le seguenti combinazioni: {(T, T ), (T, C), (C, T ), (C, C)}. Considerando questi possibili esiti si nota che nel caso uscisse (T, T ) P. vincerebbe con 4 teste a 1 croce; in maniera simile anche nel caso uscisse (T, C) oppure (C, T ) P. vincerebbe per 3 teste a 2. Infine nel caso in cui uscisse (C, C) allora F. vincerebbe con 3 croci a 2 teste. Possiamo dunque concludere che nel momento in cui i due giocatori abbandonano il gioco P. vincerebbe in 3 casi su 4 mentre F. in un solo caso. Dunque la posta andrebbe ripartita dandone i 3 4 a P. e il restante 1 4 a F. Molti, Pascal compreso, hanno obiettato che in realtà il precedente ragionamento sia sbagliato, infatti nel caso in cui il primo lancio dia come esito T il gioco verrebbe fermato in quanto P. avrebbe già vinto. In questo caso i possibili esiti sino solamente {(T ), (C, T ), (C, C)}, e dunque le possibilità di vittoria di P. sarebbero solamente 2 3 anziché 1 4. Tuttavia questo ragionamento risulta essere sbagliato. Considerando infatti le frequenze con cui si presentano le varie combinazioni, noteremmo che il primo caso T si presenta con la frequenza degli altri due casi messi assieme {(C, T ), (C, C)}, e dunque anche con questo ragionamento 3 4 risulta essere la risposta esatta. Esercizio 2 (Paradosso di Monty Hall). Si consideri un gioco in cui siano presenti 3 porte, dietro due delle quali è presente una capra mentre la terza presenta una macchina. Vi viene chiesto di scegliere una porta, vincendo il premio presente dietro ad essa. Supponiamo ora che il presentatore di tale gioco, che è a conoscenza dei vari premi nascosti dietro le porte, apra una delle due porte che non avete scelto. questo punto vi viene chiesto se volete cambiare porta, è conveniente cambiare porta? Soluzione. Nonostante possa sembrare indifferente cambiare porta o meno, in realtà conviene cambiare porta. Consideriamo infatti 3 porte,, e C, e supponiamo, senza perdita di generalità, che la macchina sia dietro la porta. Proviamo ad elencare i vari casi possibili tramite il diagramma ad

2 2 Scelta porta : macchina : capra : capra Figura 1 cambio - perdo non cambio - vinco cambio -vinco non cambio - perdo cambio - vinco non cambio - perdo albero in Figura 1. Contando i possibili esiti si nota che cambiando si vince 2 volte su 3 mentre non cambiando si vince solo 1 volta su 3, di conseguenza è conveniente cambiare porta. Risolviamo ora lo stesso problema tramite il teorema delle probabilità totali. Chiamiamo V l evento vinciamo la macchina cambiando la porta, l evento la macchina è dietro la porta 1 (senza perdita di generalità assumiamo di scegliere la porta 1) e l evento la macchina è dietro la porta 2 o 3. Chiaramente abbiamo P() = 1 3 mentre P() = 2 3. llora utilizzando la formula delle probabilità totali otteniamo P(V ) = P(V )P() + P(V )P() = 2 3. Esercizio 3 (Il paradosso delle 2 carte). Si considerino 2 carte, una con entrambi i lati neri e una con un lato bianco e uno nero. Supponiamo che vi venga mostrato il lato di una carta, e tale lato è nero. Qual è la probabilità che anche il secondo lato sia nero? Esercizio 4. Una scatola contiene 3 biglie, 1 rossa, 1 blu e 1 verde. Si consideri l esperimento che consiste nell estrarre una biglia dalle scatole, reinserirla e quindi estrarre una seconda biglia. Si descriva lo spazio campionario Ω. Come cambia Ω nel caso in cui non vi sia reimmissione della biglia? Soluzione. Siccome la biglia viene reinserita nuovamente nella scatola, lo spazio campionario sarà composto da Ω = {(R, ), (R, V ), (R, R), (, ), (, V ), (, R), (V, ), (V, V ), (V, R)}. Nel caso invece non vi sia reimmissione lo spazio campionario diventerà Ω = {(R, ), (R, V ), (, V ), (, R), (V, ), (V, R)}. Esercizio 5. Si lancino 2 dadi. Si denotino con E l evento "la somma dei due dadi è un numero dispari", con F l evento "almeno uno dei due dadi ha come risultato 1 " e G l evento "la somma dei due dadi vale 5 ". Si descrivano (anche solo a parole) gli eventi E F, E F, F G, (E F ) c e E F G.

3 3 Soluzione. E F = {la somma dei due dadi è dispari e almeno dei due vale 1} = = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (4, 1), (6, 1)}, E F = {o la somma dei due dadi è dispari o almeno dei due vale 1}, F G = {almeno uno dei due dadi vale 1 e la somma dei due dadi è 5} = {(1, 4), (4, 1)}, (E F ) c = {non è vero contemporaneamente che la somma dei due dadi è dispari e almeno dei due vale 1}, E F G = {almeno dei due vale 1 e la somma dei due dadi è 5} = F G = {la somma dei due dadi è dispari, almeno uno dei due dadi vale 1 e la somma dei due dadi è 5} = = {almeno uno dei due dadi vale 1 e la somma dei due dadi è 5} = F G = {(1, 4), (4, 1)}. Esercizio 6. Sia l evento che un imputato sia colpevole di un dato crimine, e sia l evento che un testimone stia testimoniando il vero. L avvocato sostiene che sia valida la seguente P( ) = P( ). Si mostri che la precedente è valida se e solo se è vero che P() = P(). Esercizio 7. Si considerino n urne, sappiamo che l urna k esima contiene k 1 palline bianche e n k palline nere. Supponiamo di scegliere un urna a caso e di estrarre 2 palline. (i) qual è la probabilità che la seconda pallina sia bianca? (ii) qual è la probabilità che la seconda pallina sia bianca sapendo che la prima è bianca. Esercizio 8. causa di un incidente aereo siete dispersi su un isola sperduta nel mezzo dell oceano pacifico. Su quest isola vivono due popolazioni e. Sapete che la civiltà è i 2/3 della popolazione totale, mentre è 1 3. Sapete inoltre che un qualunque membro della civiltà risponderà dicendo il vero ad una vostra domanda con probabilità 3/4. Invece i membri della popolazione risponderanno sempre il falso. Dovete raggiungere un punto X da cui potete chiamare i soccorsi. (ia) incontrate una persona casualmente e gli chiedete se X sia ad est (E) o ovest (O); vi risponde E. Qual è la probabilità che sia la risposta corretta. (iia) supponete di richiedere alla stessa persona la stessa domanda e di ricevere la stessa risposta (e supponete che le riposte siano indipendenti). Quanto vale la probabilità che la risposta sia corretta? (iiia) come cambia la probabilità se chiedete una terza volta ricevendo la stessa risposta? E se chiedete una quarta con sempre la stessa risposta? E se invece la quarta risposta fosse stata (O)? p. Si supponga ora invece che avete ragione di credere che E sia la risposta corretta con probabilità (ib) come cambia la probabilità p se ricevete la risposta E? E se invece la risposta fosse O?

4 4 (a) (b) Figura 2: Esercizio 9 (iib) come cambia la probabilità p se ricevete due volte consecutive la stessa risposta (ovvero se ricevete la risposta EE oppure OO)? (iiib) come cambia la probabilità p se ricevete tre volte consecutive la stessa risposta (ovvero se ricevete la risposta EEE oppure OOO)? Esercizio 9. Si consideri un grafo come riportato in Fig. 2, le connessioni tra i punti e rappresentano le comunicazioni tra i due punti. Si assume che esse siano attive con probabilità p, indipendentemente l una dall altra. I nodi sono collegati se almeno uno dei due cammini è attivo. (i) si calcoli la probabilità che i nodi e siano collegati nel caso in cui il grafo sia come in figura 2a; (ii) si calcoli la probabilità che i nodi e siano collegati nel caso in cui il grafo sia come in figura 2b. Soluzione. (i) consideriamo ora il grafo in Figura 2a. Indichiamo con E 1 l evento la connessione superiore è attiva e con E 2 l evento la connessione inferiore è attiva. L esercizio ci richiede di calcolare l evento E 1 E 2. Dalle assunzioni abbiamo che P(E 1 ) = P(E 2 ) = p 2. Con un ragionamento simile abbiamo che l evento E 1 E 2 indica il caso in cui tutte e 4 le connessioni siano attive e dunque otteniamo P(E 1 E 2 ) = p 4.

5 5 Dalla formula per l unione di eventi compatibili segue immediatamente P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) P(E 1 E 2 ) = 2p 2 p 4. (ii) il caso riportato in Fig. 2b segue con considerazioni analoghe. La notazione è la precedente, a cui si aggiunge ora l evento E 3 indicante il caso in cui la connessione centrale sia attiva. Riportando la formula per l unione di 3 eventi compatibili, ovvero P(E 1 E 2 E 3 ) = P(E 1 )+P(E 2 )+P(E 3 ) P(E 1 E 2 ) P(E 1 E 3 ) P(E 2 E 3 )+P(E 1 E 2 E 3 ), (0.1) e calcolando le probabilità corrispondenti come al punto precedente, otteniamo P(E 1 E 2 E 3 ) = 2p 2 + p p 4 2p 3 + p 5. Esercizio 10. Quanti lanci di un dado dobbiamo effettuare affinché la probabilità di ottenere almeno una volta la faccia 1 sia maggiore di 1 2? Esercizio 11. Qual è la probabilità che, lanciando n dadi a sei facce, il punteggio totale ottenuto sia 6n 1? E 6n 2? Si descriva con precisione lo spazio di probabilità usato per descrivere la situazione. Soluzione. Si consideri lo spazio campionario Ω = {1, 2,..., 6} n, con = P(Ω) e associata misura di probabilità uniforme. Si noti che la richiesta equivale a ottenere la faccia 6 per n 1 dadi e la faccia 5 per l n esimo dado. Formalmente, indicando con ω j l esito del dado i esimo avremo che Segue che la probabilità di è data da = {(w 1,..., w n ) :!ω i = 5, ω j = 6 j i}. P() = Ω = n 6 n. Per quanto riguarda 6n 2, si noti che esistono due casi possibili 1 = {(w 1,..., w n ) : i kω i = ω k = 5, ω j = 6 j i, k}, 2 = {(w 1,..., w n ) :!ω i = 4, ω j = 6 j i}. L evento richiesto è dato da = 1 2, e vale 1 2 =, allora abbiamo che P() = P( 1 2 ) = P( 1 ) + P( 2 ).

6 6 Esercizi teorici Esercizio 12. Si provino (graficamente) le seguenti relazioni (E F ) E (E F ), E F F c E c, F = (E F ) (E c F ), F F = E E c F. Esercizio 13. Data una successione di eventi (E 1,..., E n ), si definisca una nuova successione di eventi disgiunti (F 1,..., F n ), ovvero tali per cui F i F j = per i j, tale per cui, per ogni n 1, valga n n E i = F i. (0.2) Soluzione. Definiamo la successione (F n ) n nella seguente maniera ricorsiva n 1 F 1 := E 1, F 2 := E 2 \ F 1, F n := E n \ F i. La successione così definita (F n ) n è una successione di eventi disgiunti tale per cui valga (0.2). Esercizio 14. Siano, e C tre eventi. Si trovino le espressioni insiemistiche, con la relativa rappresentazione grafica, dei seguenti eventi: (a) si verifica solo ; (b) si verificano sia che ma non C; (c) almeno uno dei tre si verifica; (d) almeno due si verificano; (e) tutti e tre si verificano; (f) nessuno si verifica; (g) al più uno si verifica; (h) al più due si verificano; (i) esattamente due si verificano; (l) al più tre si verificano. Soluzione. (a) c C c ; (b) C c ; (c) C; (d) ( ) ( C) ( C);

7 7 C C (a) c C c (b) C c C C (c) C (d) ( ) ( C) ( C) Figura 3 (e) C; (f) c c C c ; (g) ( c C c ) ( c C c ) ( c c C) ( c c C c ); (h) ( C) c ; (i) ( C c ) ( c C) ( c C); (l) Ω. Esercizio 15. Siano e due eventi indipendenti, si mostri che anche c e sono indipendenti. Si mostri che anche c e c sono indipendenti. Soluzione. Dalla definizione di eventi indipendenti sappiamo che due eventi e sono indipendenti se e solo se vale P( ) = P()P().

8 8 Siccome vale = ( ) ( c ), segue dagli assiomi della probabilità e dall indipendenza di e P() = P( ) + P( c ) = P()P() + P( c ). Da quest ultima relazione, e dalla probabilità per il complementare di un insieme, segue P( c ) = P() P()P() = P()(1 P()) = P()P( c ). Un ragionamento analogo vale per c e c. Esercizio 16. Si mostri che, dati due eventi e, la probabilità che esattamente uno tra e avvenga è data da P() + P() 2P( ). Soluzione. La probabilità che esattamente uno tra e avvenga è dato dall insieme ( ) \ ( ) = ( c ) ( c ), siccome ( c ) ( c ) =, otteniamo dagli assiomi della probabilità P (( ) \ ( )) = P (( c ) ( c )) = = P ( c ) + P ( c ) = P() P( ) + P() P( ). Esercizio 17. Si dimostri che, dati 1,..., n eventi indipendenti, allora ( n ) n P i = 1 P ( c i). Esercizio 18. Dati, eventi incompatibili con C, allora, P ( C ) = P ( ). Esercizio 19. Si dimostrino le disuguaglianze di oole ( n ) n P i P ( i ), ( n ) P i 1 n P ( c i). Esercizio 20. Si sa che 1 10 della superficie di una sfera è colorato di blu, il restante è verde. Si mostri che, indipendentemente dalla distribuzione dei colori. è sempre possibile inscrivere un cubo nella sfera in modo tale che abbia tutti i vertici blu. (Suggerimento: si usi la disuguaglianza di oole.)