1 La Media Aritmetica.

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1 1 La Media Aritmetica. In questo paragrafo introduciamo uno dei concetti piu importanti della statistica e della teoria degli errori: quello della media aritmetica. Data una serie di N misure di una certa quantita che indicheremo col simbolo x: x 1,x 2,x 3,...x N la migliore stima del valore di questa quantita e data dalla media aritmetica, definita come: x = x 1 +x x Ni=1 N x i = N N Questo concetto e esemplificato nell animazione mostrata in figura 1. appletviewer figs/media.html Figure 1: Premendo Start si simula una misura. Premendolo ripetutamente si simulano diverse misure. Il pulsante Media calcola e visualizzata la media aritmetica. Il pulsante Clear azzera l istogramma. Qui viene sempre simulata la misura del periodo di oscillazione del pendolo. Le varie misure del periodo sono visualizzate numericamente e con un punto su una linea orizzontale. La distribuzione delle misure viene inoltre visualizzata con un istogramma. 1

2 Premendo Start si simula una misura. Effettuando diverse misure si osserva che esse tendono ad accumularsi intorno ad un certo valore. Premendo il pulsante Media viene calcolata e visualizzata la media aritmetica. Il pulsante Clear azzera l istogramma. 2 La Deviazione Standard. Come si pu osservare dalla simulazione delle varie misure del periodo di oscillazione del pendolo, i valori misurati si distribuiscono in un ampio intervallo attorno al valore della media. L accumulo maggiore avviene attorno al valore medio ma troviamo misure, sempre piu rare, anche a valori abbastanza lontani. Tutto cio dipende unicamente dalle leggi del caso agenti in questo tipo di misure. Vogliamo ora associare un valore alla precisione della misura, ovvero assegnare un errore alla misura effettuata. Definiamo ora una nuova quantita : la Deviazione Standard. Data la serie di N misure x 1,x 2,...,x N aventi come valor medio x, si definisce Varianza la seguente quantita : σ 2 = (x 1 x) 2 +(x 2 x) (x N x) 2 Ni=1 (x i x) 2 = N 1 N 1 Definiremo invece Deviazione Standard e la indicheremo col simbolo σ, la quantita σ = σ 2. Le deviazioni dei valori misurati dal volore medio x i x vengono definiti scarti. La deviazione standard al quadrato non e altro che la media degli scarti al quadrato. Notiamo che al denominatore compare N-1 invece che N in quanto per poter definire media e deviazione standard occorrono almeno due misure. Questo concetto e esemplificato nell animazione mostrata in figura 2. appletviewer figs/sigm.html Qui viene sempre simulata la misura del periodo di oscillazione del pendolo. Premendo Start si simula una misura. Premendo il pulsante Sigma viene calcolata e visualizzata la deviazione standard insisme alla media aritmetica. La deviazione standard e visualizzata con un segmento orizzontale da un lato e dall altro del valore medio. Il pulsante Clear azzera l istogramma. Nella figura e anche presente un cursore (d.s.) che permette di modificare il valore della deviazione standard. Premendo Clear e modificando il valore del cursore viene simulata una misura con una maggiore o minore deviazione standard. Si puo osservare come i dati si distribuiscano in modo diverso attorno al valore medio. Il concetto di deviazione standard e legato al concetto di errore sulla misura effettuata. Identifichiamo quindi come stima dell errore commesso sul valore medio di una serie di misure il valore della deviazione standard. La misura del periodo di oscillazione del pendolo si puo quindi esprimere nel seguente modo: 2

3 Figure 2: Premendo Start si simula una misura. Premendolo ripetutamente si simulano diverse misure. Il pulsante Media calcola e visualizzata la media aritmetica, il pulsante Sigma la deviazione standard. Il pulsante Clear azzera l istogramma. Il cursore s.d. modifica il valore della deviazione standard. Perche questa abbia effetto bisogna azzerare l istogramma. T = 35.5±5.4 Dove 35.5 e il valore medio di una certa serie di misure e 5.4 e il valore della deviazione standard. Aumentando o diminuendo il valore di σ aumenta o dimuisce l errore. Definiremo una misura piu accurata e lo strumento utilizzato per fare tale misura piu sensibile se l errore su tale misura e piu piccolo. Esempi di misure. sec 3

4 Figure 3: Esempi di misure bassa o alta sensibilita. Figure 4: Esempi di misure. Misura della lunghezza: 36 mm. Intervallo probabile: sa 35.5 a 36.5 mm. Misura di tensione: 5.3 volts. Intervallo possibile: da 5.2 a 5.4 volts. 4

5 3 Errore Massimo Una stima grossolana dellerrore la si puo ottenere utilizzando il concetto di errore massimo. Data una serie di misure x 1,x 2,...,x N Cerchiamo I valori minimo e massimo fra questi numeri: x min e x max Definiremo valore intermedio: x int = (x max +x min ) (1) 2 Definiremo errore massimo: dx = (x max x min ) (2) 2 Queste stime sono ovviamente molto grossolane e vengono utilizzate quando non si abbia la possibilita di effettuare calcoli complessi. 3.1 Esercizi. Istogrammi Figure 5: Esercizio 1. Un semplice istogramma. 5

6 Figure 6: Esercizio 2. Un semplice istogramma con piu dati. Calcolo della media e della deviazione standard. 6

7 3.2 Cifre significative Supponiamo di aver effettuato la seguente misura: g(misurato) = 9.82± m/sec 2 (3) Questa scrittura non ha senso, lerrore ha troppe cifre significative. Occorre scrivere: g = 9.82±0.02 m/sec 2 (4) Supponiamo di aver misurato la seguente velocita : V = ±30 m/sec (5) Le cifre 0.78 non hanno senso cosi come il 51. Scriveremo: V = 6050±30 m/sec (6) 7