Prova intercorso di laboratorio di Fisica I AA Matricole Pari 14 ott 16. Esercizi

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1 Prova intercorso di laboratorio di Fisica I AA Matricole Pari 14 ott 16 Esercizi 1. Un nonio cinquantesimale, piu sensibile di quelli che incontreremo in laboratorio, scorre lungo una scala con divisioni da 0,5 mm di cui permette quindi di apprezzare il 50 esimo di divisione. Quale e la sensibilita S dello strumento? 0,05 mm 100 div/mm 250 div/mm 500 div E quale l errore di sensibilita? Risposta: S= 50 div/0,5 mm= 100 div/mm e = 1/2 (1 div / S) = 0,005 mm 2. La pressione in un gasometro e misurata da due strumenti diversi, rispettivamente con un errore di sensibilita' di ± 1 e ± 0,5 Newton/m2 e una dispersione (stima S della deviazione standard ) di 3 e 7 Newton/m2. Quale dei due strumenti e piu preciso? Quale e' piu' sensibile? Risposta: il secondo e' piu' sensibile, il primo e' piu' preciso 3. Scrivere il numero di cifre significative con cui sono espressi i seguenti numeri 43, , , ,310 Risposta: 3, 3, 5, 4 4. Troncare alla seconda cifra decimale, arrotondando opportunamente, i seguenti numeri 4,396 7,994 6,687 3,998 Risposta: 4.40, 7,99, 6,69, 4,00 5. Con n= 64 misure ripetute della velocita' di rotazione ω d' una turbina, stimo la media aritmetica ω medio e la deviazione standard S(ω) rispettivamente 22,6732 e 0,4363 radianti /s. Scrivere, con corretto numero di cifre significative, il risultato della misura, indicando come errore la stima della deviazione standard della media S(ω medio ). Scrivere quanto vale l errore relativo. Risposta: La stima della deviazione standard della media sara S(ω)= 0,4363 / 64 0, radianti/s. Va data con 1 cifra significativa, salvo casi eccezionali, come ad es. moltissime misure, ben piu di 64 e anche di qualche centinaio, quindi 0,05 radianti/sec. Il risultato della misura sara quindi 22,67 0,05 radianti/sec. L errore relativo vale 0,002, qualche per mille. 6. Spiegate quale `e la differenza concettuale fra S(ω) e S(ω medio ). Risposta: Per questa differenza, si può riportare il ragionamento svolto nel Taylor, 5.4. e 5.7. Basta dire che esse misurano, rispettivamente, la fluttuazione tipica di ω e quella, N volte piu' piccola, di ω media. 7. E stato misurato ogni Km, su 10 Km, il flusso in di un oleodotto. L errore di sensibilita della misura e 0,25 m 3 /sec e si sono ottenuti i seguenti risultati ( in m 3 /sec ) 4758,5 4758,5

2 4759,5 Disegnare l istogramma di queste misure, con chiare scale e leggende sui due assi, e determinare la migliore stima del valore della flusso e della sua incertezza. Ci sono perdite, lungo i 10 Km? Risposta: Per l istogramma, scegliamo la larghezza naturale minima del bin dell'istogramma, il doppio dell errore di sensibilita', 0.5 m3/sec. La media aritmetica, 4758,9500 m3/sec, dara la migliore stima del flusso. Passando dalle misure agli esiti, abbiamo 4758,0 0 somma gli underflows 4758,0 4758, , ,0 0 somma gli overflows 4760,0 La stima della deviazione standard e 0,284 m3/sec, con deviazione standard della media 0,090 m3/sec. Si nota pero' che solo tre bins non sono vuoti, il numero di misure e piccolo, non siamo davvero in pieno regime statistico. Bisogna essere cauti. Il risultato finale, dopo troncamento, com 4758,95 0,09 m3/sec e' ottimistico. L incertezza potrebbe essere piu' grande di questa stima della deviazione standard della media, arrotondata per eccesso a 0,1 m3/sec. Ma non piu' dell errore massimo, 0,25 m3/sec, diciamo magari per difetto 0,2 m3/sec. La migliore stima sara ugualmente bene o 4758,9 m3/sec Ci serve piu' "statistica" per consolidare la nostra stima delll' incertezza.. 8. `E stato misurato con due strumenti diversi il campo elettrico in una cavita' risonante. `E significativa la discrepanza tra i due valori ottenuti ( cioe, sono consistenti i due valori? ) e V/m nel caso in cui gli errori siano di tipo statistico? E nel caso che siano di tipo massimo? Risposta: Se gli errori sono considerati di tipo statistico, cioe dati dalla stima delle deviazioni standard della media, per rispondere alla domanda si può seguire il Taylor, 5.8. il modulo della discrepanza deve essere almeno doppio dell' errore sulla discrepanza, perche la discrepanza sia significativa. La discrepanza in modulo vale d = 13 atomi/m3, con incertezza da somma quadratica 8,6 atomi/m3, il loro rapporto e 1,51 atomi/m3. La discrepanza non e' ancora significativa, per errori statistici. Se gli errori sono considerati di tipo massimo, il modulo della discrepanza deve essere maggiore dell'errore sulla discrepanza, perche' la discrepanza sia significativa. Il modulo e' > dell' errore massimo 12 atomi/m3, è quindi significativa. 9. Sono stati misurati l altezza h e il diametro d di un cono regolare. Determinare il volume del solido ed il suo errore, nel caso in cui gli errori su h e d siano di tipo massimo ( h d ) e in quello in cui siano di tipo statistico ( h e d. Risposta: Il volume del cono è V= d 2 h/12. Gli errori relativi si ottengono facilmente sommando i due errori relativi. Linearmente, se errori massimi Δ ΔV = V ( Δh/h + 2Δd/d ) quadraticamente, se errori statistici σ σ V = V [ (σ h /h) 2 + (2σ d /d) 2 ] 10. E stata misurata con errore di 0,2 s 2 il quadrato T 2 del periodo T di una pendolo al variare della sua lunghezza l, misurata con incertezza trascurabile, e si `e ottenuta la seguente tabella : l i (cm) T 2 i (s 2 ) x1= 20,0 y1= 0,80 40,0 1,61 60,0 2,41 80,0 3,22 100,0 4,02 120,0 4,82 140,0 5,63 x2= 160,0 y2= 6,43 Fare un grafico di T 2 in funzione di l, riportando l errore sulla ( sola ) variabile periodo quadro e scegliendo

3 con attenzione le scale sia in ascissa che in ordinata per sfruttare al meglio lo spazio disponibile. Tenendo conto che il grafico suggerisce un andamento di tipo lineare, stimando una retta di massima pendenza che passa per i punti ( 20,0 0,60 ) e ( 160 6,63 ) e una di minima pendenza che passa per i punti ( 20,0 1,00 ) e ( 160 6,23 ) ricavare l intercetta della migliore retta e il suo errore ricavare la pendenza della migliore retta e il suo errore tracciare questa migliore retta sul grafico. 7,00 Periodo quadro vs lunghezza Periodo quadro(sec2) 6,00 5,00 4,00 3,00 Periodo quadro vs lunghezza 2,00 1,00 0,00 0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 120,0 140,0 160,0 180,0 lunghezza pendolo (cm) Risposta: Cominciamo dunque con un ese mpio di un "buon grafico", co n un t i to l o, l e indicazi o ni delle grandezze sugli assi con le relative unita', scale "umane", senza indicazioni delle coordinate dei punti sperimentali. Possiamo gia' dire che la pendenza e' dell' ordine di (y2 y1)/(x2 x1)= b = 0,04020 e quindi l' intercetta dell' ordine di y1 b*x1= y1 b*x1= a = 0,00000 Vediamo di essere piu' precisi e di valutare anche le incertezze. Sia xmax1= 20,0 ymax1= 0,60 xmax2= 160 ymax2= 6,63 La retta di massima pendenza ha (ymax2 ymax1)/(xmax2 xmax1)= bmax = 0,043 C/sec e quindi l' intercetta ymax1 bmax*xmax1= amax= 0,257 C Sia xmin1= 20,0 ymin1= 1,00 xmin2= 160 ymin2= 6,23 La retta di minima pendenza ha (ymin2 ymin1)/(xmin2 xmin1)= bmin = 0,037 C/sec e quindi l' intercetta ymin1 bmin*xmin1= amin= 0,257 C Quindi le migliore stime dei parametri della miglior retta ottenibili con questo metodo sono della pendenza, la semisomma (media) b = (bmax+bmin)/2 = bbest= =1/2*((ymax1 ymax2)/(xmax1-xmax2)+ (ymin1 ymin2)/(xmin1-xmin2))= 0,040 C/sec della sua incertezza il modulo della semidifferenza (bmax bmin)/2 = =1/2*((ymax1 ymax2)/(xmax1-xmax2)- (ymin1 ymin2)/(xmin1-xmin2))= 0,003 C/sec. 7% dell'intercetta, la semisomma (media) a = (amin+amax)/2 = abest= =1/2*((ymin1-bmin*xmin1)+ (ymax1-bmax*xmax1))= 0,0 C

4 della sua incertezza il modulo della semidifferenza (amax amin)/2 = =1/2*((ymin1-bmin*xmin1)- (ymax1-bmax*xmax1))= 0,3 C ######## Periodo quadro(sec2) 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 Periodo quadro vs lunghezza Periodo quadro vs lunghezza 0,00 0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 120,0 140,0 160,0 180,0 lunghezza pendolo (cm) Le tre rette sono approssimativamente aggiunte sul grafico.

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7 C/sec C 0, ,02E 18 =sigmab= 3,229E 18 0,0000 amazingly 1 0,0000 close 1,55E , E 30

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