Corso di. Docente: Massimiliano Bocciarelli. Corso di Meccanica Computazionale Docente Massimiliano Bocciarelli

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1 Corso di Meccanica Computazionale Docente: Massimiliano Bocciarelli

2 Definizione del tensore di sforzo STATICA DEI MEZZI CONTINUI P ΔR ΔΣ n α ΔM Si postula che: ΔR lim ΔΣ 0 ΔΣ ΔM lim 0 ΔΣ 0 ΔΣ α Il vettore α (P,n α ) è detto sforzo nel punto P; il suo valore dipende dalla posizione di P e dalla normale n α L insieme di tutti i vettori α al variare di n α individua lo stato di sforzo in P -α - α

3 Relazione di Cauchy - ΔΣ n Per equilibrio alla traslazione: x 3 αδσ ΔΣ + ΔΣ + 3ΔΣ3 ( n n n ) P - ΔΣ x + + ΔΣ α α 3 α3 n α α nα+ nα + 3nα3 x ΔΣ i n - 3 ΔΣ αi ΔΣα 3 cos(n i) α α ΔΣ α 3 n + n + n α α α 3 α3 n α i ij α j α 3 nα n 3 α n α 3

4 Stato di sforzo componenti normali ii ( i,, 3) componenti tangenziali τ ij ( i j) ij asse ortogonale al piano della sezione τ 3 asse nella direzione della componente

5 Simmetria del tensore di sforzo

6 Sforzi e direzioni principali α α α α n n ( I )n 0 τ τ3 nα 0 τ τ3 nα 0 τ 3 τ 3 33 n α33 0 n, I I 3 det( I ) 0 J + J J 3 0 n II, II n, simmetrica teorema algebra lineare assicura l esistenza di tre radici J dove: J + + τ τ τ τ τ τ J3 det( ) Invarianti di sforzo III III Sforzi e direzioni i i principali

7 Stato di sforzo: componente idrostatica e deviatorica p δ + S se i ij componente idrostatica di sforzo ij ij componente deviatorica di sforzo δ ij 0 se i j j p p 0 0 p τ τ3 + τ τ 0 p 0 p p τ3 τ3 33 Deviatore di Sforzo Pressione Idrostatica 33 J τ τ3 3 ( ) S τ τ3 3 ( I + II + III) + 33 τ τ p

8 Rotazione di un tensore col sistema di riferimento x 3 z xx τyx τ zx nx nx nx3 τ τ3 nx ny n z τxy yy τ zy ny ny n y3 τ τ 3 nx ny nz τ xz τyz zz nz nz nz 3 τ3 τ3 33 nx3 ny3 n z3 x y z x y z x3 y3 z3 (x,y,z) T ( 3,, ) N N

9 α α xx cos cos ) ( cos α α α α yx n α α xx n y x cos sin cos ) cos(90 ) cos( sin ) cos(90 ) cos( ) ( α α yx cos cos ) ( cos α α τ α α τ sin cos sin cos xy xx (x,y) T (, ) N N x n y n α α τ α α τ cos sin cos sin yy yx N N α α τ α+ α+ cos sin sin cos x T x xx n n α α τ α α+ cos sin cos sin y T y yy n n ) sin (cos cos )sin ( α α α+ τ α τ x T y xy n n

10 Equilibrio in forma forte e al contorno - x 3 Per equilibrio i alla traslazione: 3 +d 3 dxdx 3 + ( + d )dxdx3 + - dx dx + + d )dx dx + 3 ( 3 3dxdx + ( 3 + d 3)dxdx+ +d + Fdx dx dx 0 3 +d P x -3 F x F 0 x x x 3 F forze di volume [N/m 3 ] F 0 x x x F 0 x x x F3 0 x x x3 + F 0 ij,j i L equilibrio alla rotazione impone la simmetria del tensore: ij ji

11 Esempio: equilibrio in direzione x τ + ( τ dx dx xx dx dx dx3 ) dx dx3 τ dxdx3 dx dx + ( dx dx dx x 3 ) 3 τ + ( τ dx dx dxdx3 dx ) x 3 τ 3dx dx τ x F dx dx dx3 τ F x x3 0

12 L equilibrio al contorno impone che lo sforzo che affiora in superficie sia uguale alla forza di superficie imposta f; matematicamente ciò equivale ad isolare un tetraedro attorno ad un punto P in superficie e ad applicare la relazione di Cauchy: n + n + n f 3 3 n + n + 3n3 f n + n + n f n + n + n f n f ij i j Essendo n la normale alla superficie in P. NB. Ho in tutto 3 equazioni e 6 incognite, cioè il continuo generico è staticamente indeterminato, ovvero le sole equazioni di equilibrio non permettono di calcolare la sua risposta in termini di sforzo a certe e note azioni esterne.

13 Approccio lagrangiano CINEMATICA DEI MEZZI CONTINUI istante t t 0 istante t P u P X 3 X x X X coordinate lagrangiane g o materiali. x φ(x,t) moto el corpo. X x coordinate euleriane o spaziali. Due approcci possono essere utilizzati per descrivere lo stato deformativo di un corpo continuo:. Descrizione lagrangiana: le coordinate indipendenti sono quelle lagrangiane e il tempo t. Usato principalmente in meccanica dei solidi.. Descrizione i euleriana: le coordinate indipendenti d sono quelle euleriane e il tempo t. Usato principalmente in meccanica dei fluidi.

14 Segue che: ( t ) φ ( t ) ( t) φ( X, t) s( X, t) sx, x- X X, - X v X, s t t v( X, t) s( X, t) a( X, t ) v s t t Material time derivative Un cambiamento di configurazione si dice congruente se: φ(x,t) è continua (no lacerazioni); φ(x,t) è a un sol valore di X (no compenetrazioni); φ(x,t) rispettosa delle condizioni al contorno. Ipotesi piccoli spostamenti Spostamenti e deformazioni sono così piccoli da non influenzare il modo con cui l equilibrio si instaura nella struttura. Ciò consente di imporre le condizioni di equilibrio nella configurazione iniziale (istante t 0 ) F 0 X X X 3

15 Misura della deformazione locale Configurazione indeformata Configurazione deformata Incremento infinitesimo dello spostamento del punto P rispetto allo spostamento del gradiente di spostamento punto P 0 ds ΨdX ψ s s s ds dx + dx + dx s s s ds ds dx + dx + dx X X X3 s 3 s 3 s 3 ds dx dx dx X + X + X3 3 X X X grad ( s ) ds grad( s) grad( s3) s s s X X X3 ds dx s s s ds dx X X X3 ds 3 dx 3 s s s X X X3

16 Tensore delle piccole deformazioni s s s X X X3 s s s ψ X X X3 s3 s3 s 3 X X X3 Ψ ε+ϑ parte simmetrica parte emisimmetrica ε ( Ψ+Ψ T ) ϑ ( Ψ Ψ T ) ε s, + s, s, + s, s,3 + s s, + s, s, + s, s,3 + s s3, s,3 s3, + s,3 s3,3 + s 3, 3, + 3, 3 0 s, s, s,3 s ϑ s, s, 0 s,3 s s3, s,3 s3, s,3 0 3, 3,

17 ds Ψ dx ds εdx +ϑdx spostamento del punto P nell intorno di P 0 s s + ϑdx + εdx 0 + +

18 Spostamenti e deformazioni sono così piccoli da poter assimilare la cinematica finita a quella di un atto di moto a partire dalla configurazione iniziale (istante t 0 0) ); Lo spostamento di un punto P distante dx da P 0, il cui spostamento sia s 0, vale: + ds ds s s d X s s + dx s +ϑ dx +ε dx 0 0i 0 i 0i j 0i ij j d X dx j Traslazione rigida ψ ϑ+ε ij ij ij ij j Rotazione rigida Deformazione pura s s i j ϑ ij X X j i s i s ε j ij X + X j i ε ii variazione di lunghezza di una fibra originariamente orientata lungo l asse X i ε ij variazione d angolo tra due fibre originariamente orientate lungo gli assi X i e X j

19 Significato fisico delle componenti del tensore ε Nel piano X X con s 0 non nullo s s s s dξ dx + s + dx s + s + dx s dx + + X X X X dx s + s + s + s dx + dξ dx s ε, X X X X dx Misura la variazione di lunghezza di una fibra unitaria originariamente disposta come X. Analoghe considerazioni valgono per le fibre dirette come gli assi X e X 3.

20 α α ( α ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ε ) ( ) ( ε ) ( ) s + s X dx s s + s X dx s s X dx tan s X dx + s X dx dx + dx ( α ) ( ) s + s X dx s s + s X dx s s x dx tan s X dx + s X dx dx + dx s γ α + α + X s X ε γ /, metà dello scorrimento angolare tra fibre originariamente ortogonali e disposte secondo gli assi delle coordinate. Non necessariamente α α ma nel tensore ε si riporta in ε e ε la semisomma dei due angoli al fine di simmetrizzarla.

21 Deformazioni principali ε (I,II,III) T ( 3,, ) N ε N ( ε ei) n 0 α ε e γ γ3 nα 0 γ ε e γ3 nα 0 γ3 γ3 ε33 e nα e 0 e I e + I e I 3 0 det( ε I) 0 ε simmetrica teorema algebra lineare assicura l esistenza di tre radici autovalori: autovettori: tt n I, n II, n III Direzioni principali e I, e II, e III Deformazioni principali

22 Deformazioni e direzioni principali non dipendono dal sistema di riferimento originale assunto e 3 I e + I e I 3 0 Coefficienti dell equazione sono anche indipendenti dal sistema di riferimento assunto I I ε + ε ε ε I3 det( ε) + ε + ε ε ε ε 33 4 ( γγ + γ 3γ 3 + γ3γ 3)

23 Rosetta estensimetrica η ε ε cos α+ ε sin α+ γ sinαcosα ηη

24 η a ε η c ε η b ε a c b o o o o εcos (0 ) +ε sin (0 ) + γ sin(0 )cos(0 ) ε ε ε o cos (90 ) +ε o cos (45 ) +ε sin sin o (90 ) + γ o (45 ) + γ sin(90 o )cos(0 o ) ε o o ε sin(45 )cos(45 ) ε + + γ ε ε ε ε a c γ ε b ε a ε c

25 Variazione di volume dv dx dx dx i I II III { }{ }{ } dv dx ( + e ) dx ( + e ) dx ( + e ) d I I II II III III dvd ( e I )( e II )( e III ) I I I I dv i Per piccole deformazioni I >> dvd dvi dv 3 Variazione di volume indipendente dal sistema di riferimento I e + e + e >> I I3 I II III i L invariante i lineare I rappresenta la variazione i di volume nell intorno del punto

26 LEGAME COSTITUTIVO Crea un legame matematico tra mondo statico (sforzi ij ) e mondo cinematico (deformazioni ε ij ); Si tratta di un modello fenomenologico, che coglie il comportamento del materiale alla macroscala; non si tratta di una semplice interpolazione di dati sperimentali, ma del loro inquadramento in un modello basato su certi postulati fisico/meccanici (v. teoria assiomatica) e dipendenti da un certo numero di parametri, il cui valore è desunto da opportune prove sperimentali; Vi sono tre comportamenti fondamentali: elastico, il legame ij f(ε ij ) è reversibile, lo sforzo quindi dipende d solo dal valore corrente della deformazione; la maggior parte dei materiali presenta inizialmente un comportamento di questo tipo. plastico, la deformazione non è più totalmente reversibile, ma una parte di essa è irreversibile per effetto di una avvenuta modifica della microstruttura (reticolo cristallino nei metalli); lo sforzo dipende dal valore corrente della deformazione e dalla storia seguita per raggiungerla. viscoso, nei primi due la deformazione consegue istantaneamente all applicazione del carico; nei materiali viscosi sforzi e deformazioni variano nel tempo a condizioni esterne immutate; il creep è l aumento della deformazione a sforzo costante (calcestruzzo); il rilassamento è la diminuzione di sforzo a deformazione costante.

27 Comportamento elastico Comportamento elasto-plastico Comportamento viscoso

28 Aspetti energetici Il legame elastico Ipotesi: esistenza di un potenziale della deformazione (energia di deformazione ω). Il lavoro compiuto per deformare un solido è immagazzinato sotto forma di energia. Quando la causa è rimossa le deformazioni i vengono recuperate e l energia di deformazione viene rilasciata. (Energia per unità di volume)

29 Si ipotizza un legame lineare tra sforzo e deformazione (8 costanti): Simmetria del tensore di sforzo e deformazione (36 costanti) ω dipende solo dal valore finale di deformazione e NON dalla storia di carico: ij dε ij è un differenziale esatto ( costanti)

30 In forma matriciale: Dove:

31 Il legame elastico lineare isotropo

32 In forma matriciale: Costanti ingegneristiche:

33 Legame elastico lineare D ε ij ijkl kl ε ε 33 ε33 D6x6 ε 3 ε 3 3 ε3 ε D D è una matrice 6x6 simmetrica; quindi nel caso di materiale completamente anisotropo ho costanti indipendenti. Se il comportamento del materiale è simmetrico rispetto a tre assi mutuamente ortogonali, si parla di ortotropia (9 costanti). Se il materiale presenta anche simmetria di rotazione attorno ad uno di questi assi, si dice trasversamente isotropo (5 costanti). Se il comportamento del materiale è simmetrico rispetto a qualunque q asse, si parla allora di isotropia ( costanti). ν ν ν ν ν ν ν ν ν E ( ν ) ( +ν)( ν) ( ν) ( ν)

34 Alcuni valori:

35 Deformazioni termiche

36 Il legame elasto-plastico Aspetti fenomenologici nel caso mono-assiale: immaginiamo una storia di carico governata dal valore imposto di sforzo. B C F Ε F E A F D E C ε Si parte dal punto A ovvero sforzo e deformazione entrambi nulli. Facciamo crescere lo sforzo fino al valore Β, il corrispondente valore di deformazione è ε Β Β /Ε. Nel tratto AB il comportamento è elastico lineare e reversibile.

37 Raggiunto il punto B, corrispondente al fenomeno dello snervamento, facciamo crescere ulteriormente lo sforzo, la deformazione cresce seguendo il cosiddetto ramo incrudente e l aspetto più rilevante è che parte di questa deformazione è irreversibile. Infatti raggiunto il punto C se lo sforzo diminuisce, il percorso rappresentativo del punto materiale segue la direzione CD, avente la stessa pendenza del tratto elastico iniziale, iale fino a raggiungere il completo scarico (sforzoo nullo) nel punto D. Questo vuol dire che nel punto C la deformazione totale, pari al segmento AC, è data dalla somma di una componente elastica reversibile pari a DC, uguale a c /Ε e che è stata recuperata durante lo scarico, e ad una plastica irreversibile pari a AD. Raggiunto il punto D facciamo crescere ancora lo sforzo e si osserva un comportamento elastico reversibile fino al raggiungimento del punto C. Ad esempio raggiunto il valore di sforzo E nel punto E, la deformazione totale AE è data dalla somma della componente elastica DE pari a E /Ε e di quella plastica uguale alla lunghezza AD. La deformazione plastica è ancora la stessa che si era sviluppata raggiungendo il punto C. Un altro aspetto rilevante è quindi il fatto che l ampiezza del dominio elastico è variabile, crescente per effetto dello sviluppo di deformazioni plastiche (hardening).

38 Raggiunto il punto C, se facciamo crescere ulteriormente lo sforzo, avviene nuovamente il fenomeno dello snervamento. Da notare quindi è il fatto che ogni volta che mi trovo sul ramo plastico (ad esempio il punto C) si ha una doppia possibilità di comportamento: se scarico entro in campo elastico, vale la legge Εε e la deformazione elastica viene recuperata, mentre se carico si sviluppano ulteriori deformazioni elastiche e plastiche. Altro aspetto fondamentale che deve essere osservato è il fatto che, per effetto di eventuali scarichi, non esista un legame biunivoco tra sforzo e deformazione. Ad esempio si osservi come lo stesso valore di sforzo Ε corrisponda a due diversi livelli di deformazione, AE e AF. Questo implica la necessità di dovere imporre il legame costitutivo in termini incrementali, ovvero ad ogni incremento delle sollecitazioni esterne la risposta in termini di sforzo e deformazione deve essere valutata sulla base del punto della curva sforzo-deformazione a cui si era arrivati al passo precedente.

39 Estensione al caso di stato di sforzo triassiale L estensione richiede la definizione di una superficie, nello spazio delle componenti di sforzo, che delimiti il dominio elastico. Tale superficie deve poi avere ampiezza variabile per tener conto del fenomeno dell incrudimento (hardening) introdotto prima in relazione al comportamento mono-assiale. Parlando di un materiale avente comportamento duttile e simmetrico come i metalli, la scelta più consueta consiste nel prendere la superficie di snervamento di Hencky-Huber-von Mises e definire un limite di snervamento varabile, ovvero crescente, ad esempio linearmente, con la deformazione plastica. Dove: eq pl ( ij pl ()) ( ij ) 0 eq () ( ) f, ε t φ ε t 0 ( ) pl y pl 0( eq ( t) ) 0 Hiso eq ( t) ij x y z x y x z y z 3 xy 3 xz 3 zy φ τ + τ + τ ε + ε t pl pl pl ε eq ( t) εij εij d τ 3 o

40 Adottando infine una legge di scorrimento associata, ovvero ipotizzando che le deformazioni plastiche si sviluppino ortogonalmente alla superficie di snervamento possiamo ora formulare il legame elasto-plastico incrudente. ε ε +ε el pl ij ij ij el ij Dijkl ε kl pl φ ε ε ij λ ij eq eq f( ij, ε pl () t ) φ ( ij ) 0 ( ε pl () t ) 0 f λ 0 λ 0 L ultima condizione scritta impone che se ad un certo istante sto caricando allora posso avere deformazioni plastiche λ > 0 e la superficie di snervamento deve evolvere (ovvero il limite di snervamento corrente 0 deve crescere in funzione della deformazione plastica) in maniera tale che il punto rappresentativo dello stato di sforzo si mantenga sulla superficie f0. Viceversa se scarico allora il punto rappresentativo dello stato di sforzo si sposta all interno della superficie f<0 e questa rimane congelata al passo precedente in quanto non si sviluppano deformazioni plastiche λ 0. Si noti infine che le deformazioni plastiche possono solo crescere λ > 0

41 In forma vettoriale il legame costitutivo si scrive: el + pl ε ε ε el Dε pl φ ε λ eq eq f(, ε pl ( t) ) φ ( ) 0 ( pl ( t) ) 0 ε f λ 0 λ 0

42 FORMULAZIONE DEL PROBLEMA ELASTICO LINEARE 3D S V V S F Noto: geometria; proprietà del materiale ; condizioni al contorno (in termini di spostamenti impressi e carichi applicati); eventuali deformazioni termiche θ ij (x); Si vuole determinare: campo di spostamenti s i (x) (3 campi incogniti); campo di deformazioni ε ij (x) (6 campi incogniti); campo di sforzi ij (x) (6 campi incogniti); Le equazioni governanti il problema sono: ij,j + Fi 0 in V ijni f j su SF 3 equazioni di equilibrio + c.c. s s i j ε ij in V [ si s i su S + V ] Xj X 6 equazioni di congruenza + c.c. i D ε θ in V 6 equazioni del leg. costitutivo ij ijkl ( kl kl ) NB: Si dimostra che la soluzione esiste ed è unica!

43 Con alcuni semplici passaggi il problema può essere formulato in termini di soli spostamenti (equazioni di Navier): ij,j + Fi 0 in V ijni f j su SF s s i j ε in V s s su S + Xj X i ij D ijkl ( ε kl θ kl ) in V [ ] ij i i V D s s + θ k l ij ijkl kl Xl Xk sk s l Dijkl kl Fi 0 i,,3 + θ + X l X k,j Sistema di tre equazioni differenziali alle derivate parziali nelle incognite s, s, e s 3 (problema ellittico) NB: La linearità delle equazioni assicura la sovrapponibilità degli effetti

44 Il problema piano y x

45

46 E quindi necessario esprimere il legame costitutivo con solo variabili nel piano: ε ε d ε ε a τ γ γ τ Anche se per ipotesi le azioni esterne sono tutte contenute nel piano, le componenti sia del tensore di sforzo che di deformazione fuori dal piano possono essere diverse da zero e quindi l espressione delle matrici d e a (di dimensione 3x3) cambia in funzione di certe ipotesi che vediamo nel seguito.

47 Il problema piano nelle deformazioni Ipotesi (valida per solidi infinitamente lunghi): ε ε ε ε3 ε ε3 sim. ε 33 ε ε ε sim. ε ( ν) ν 0 E ν ( ν) 0 D ( + ν)( ν) ν ν 0 ( ν) 0 0 ν ν 0 C ν ν 0 E E G St tato di sfo orzo non piano τ E ( +ν)( ν) E ( +ν)( ν) E ( +ν )( ν ) [( ν) ε +νε ] 33 Gγ [ νε + ( ν ) ε ] [ νε +νε ] ν[ + ]

48 Da cui, il problema diretto risulta già definito: D ( ν) E ν ( + ν)( ν) ν 0 ν ( ν) ν ( ν) Da cui:

49 Mentre per il problema inverso serve un po di algebra: 33 E [ νε +νε] ( 33) ( 33) ( )( ) ( )( ) ν ν ν +ν ν + ν +ν ν +ν ν E E ( +ν)( ν) E [ ν ν ν 33 ν +ν ν 33] [ ν ν ν +ν ] + [ ν ] ( +ν)( ν) ( +ν)( ν) 33 Da cui: ν ν ( )( ) +ν ν ( +ν )( ν ) ν +ν ν + ν ( +ν )( ν ) ( +ν )( ν ) ν ( +ν)( ν) ( +ν)( ν) ν + 33 ( ) 33 ν [ ν ( ν) +ν ( )] [( ν)( ν +ν )] [( ν)( ν +ν )]

50 Da cui, nell ottica di formulare il problema con solo variabili nel piano: ε E E ( ) ( ν ν ν ) ( ν ν ) ν ν [ + ] 33 E +ν ( ( ν ) ν ( +ν ) ) ( ν ) ( ν ) ν E E +ν ε E... ( ν + ( ν ) ) Da cui:

51 Il problema piano negli sforzi Ipotesi (approssimativamente valida per piccoli spessori): τ τ 3 τ sim τ sim. E D ( + ν)( ν) ν C E ν 0 ν ν 0 ε E ν E ν E τ G ( ν ) ν ν 0 ε [ ν ] E G ν 0 ( ν) 0 ν 0 0 ( ν) non mazione n no o di deform pian Stato ε [ + ] ν ν [ ν ] [ ε +ε ] ε33 ε

52 Da cui, il problema inverso risulta già definito: C ν E ν 0 ν ν E G Da cui:

53 Mentre per il problema diretto serve un po di algebra: ε Da cui: 33 ε ε E [ ν ν ] E ν E ( +ν)( ν) νε +ν ε ν ε ν ε33 ν ε νε ( +ν)( ν) νε νε ν ε + 33 ( +ν)( ν) ( +ν)( ν) ν ε33 νε νε + ( +ν)( ν) ( )( ) +ν ν ( +ν ν ν + ν ) νε νε ( +ν)( ν) ( )( ) +ν ν ( ν) νε νε ε33 ( +ν)( ν) ( )( ) +ν ν ν ε33 ( ε +ε) ν E [( ν) ε +νε +νε ] ν [ νε + ( ν) ε +νε ] 33 +ν ε ( +ν)( ν) ν ε 33 νε 33 ν ε33 νε ν ε ( +ν)( ν) 33

54 Da cui, nell ottica di formulare il problema con solo variabili nel piano: E ( +ν)( ν) E ( )( ) ε +ν ν E ε ( )( ) +ν ν E ν ( ) ( )( ) ν ε +νε ε +ε +ν ν ν (( ν) ε +νε +νε ) [ ] νε νε E ε ( )( ) +ν ν E ε + νε ( +ν )( ν ) E ( ε +νε) ( ν ) +νε νε 33 ν ε +ν ε ν +ν ε +νε ν ν ε ν ε ν ε ( +ν)( ν) ε ( ν) +νε ( ν) νε ν ε + νε E ν ν E ( +ν)( ν ) ( νε + ( ν) ε +νε )... ( νε +ε ) 33 E ( ν )

55 Da cui:

56 PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI - Parte Data una statica equilibrata: sforzi ij, forze di volume F i e forze di superficie f j tali che: ij,j + Fi 0 in V ijni f j su S F i... 3 Data una cinematica congruente: deformazioni ε ij e spostamenti s i, tali che: ε s s + in V s s su S [ ] i j ij i i V Xj X i Si può dimostrare che vale la seguente identità ε ij ijdv Fs j jdv + fjsjds V V S F

57 PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI - Parte Data una certa statica: sforzi ij, forze di volume F j e forze di superficie f j ; si dimostra che imporre la seguente equazione: ε ij ijdv Fs j jdv + fjsjds V V S cinematica congruente, cioè deformazioni ε ij e spostamenti s i, tali che: F s ε si j + in V s 0 su S Xj Xi [ ] ij i V equivale ad imporre le equazioni di equilibrio: Segue la dimostrazione:

58 V ( ) ε ij ijdv ij si,j + sj,i dv V ( s s ) ( s s ) ( s s ) ( s s ) ( s s ),,,, 33 3,3 3,3,,,, V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s,3 s3, 3 s3, s,3 3 s3, s,3 3 s,3 s3, dv s, + s, +33 s 3,3 V (,, ) 3 (,3 3, ) 3 ( 3,,3 ) ( s ) ( s ) ( s ) s + s + s + s + s + s dv, +, ,3 + V ( ) ( ) ( ) s, + s, + 3 s,3 + s3, + 3 s3, + s,3 dv s, + s, + 33s3,3 + s, + s, + 3s,3 +3s3, + 3s3, +3s,3 dv V ij V sdv j,i Da cui: V ε dv s dv ij ij ij j,i V

59 ( ijs j ) V dv i ( is + is + i3s3 ) dv i,i s + is,i + i,is + is,i + i3,is3 + i3s3,i dv i V V,s +,s + 3,3s + is,i + i,is + is,i + i3,is3 + i3s 3,i dv V ( ij,i j ij j,i ) s + s dv V Posto g s, applico il teorema di Green ( g dv gnds) e segue che: ( ) i ij j i,i i i V S s dv snds snds ij j i ij j i ij j i V S S F F da cui: sdv sdv+ snds ij j,i ij,i j ij j i V V S F

60 da cui : ε dv s dv + s n ds ij ij ij,i j ij j i V V S F Sostituisco nell' equazione iniziale e trovo : sdv+ snds Fsdv+ fsds s ij,i j ij j i j j j j j V S V S F F da cui raccogliendo trovo: V ( ) ( ) Fj + ij,i sdv j + fj ij ni sds j 0 sj S F da c u: i + ij,i F j ijn i f j 0

61 TEOREMI ENERGETICI DEL PROBLEMA ELASTICO

62 Teorema: La soluzione del problema elastico è caratterizzata dalla stazionarietà di questi funzionali nei rispettivi domini di definizione. L energia potenziale totale (EPT), definita sull insieme dei campi di spostamento congruenti, risulta stazionaria in corrispondenza di quella deformata che oltre a soddisfare le equazioni di congruenza soddisfa anche le equazioni di equilibrio. L energia complementare totale (ECT), definita sull insieme dei campi di sforzo in equilibrio con date forze esterne, risulta stazionaria in corrispondenza di quel campo di sforzi che oltre a soddisfare le equazioni di equilibrio soddisfa anche le equazioni di congruenza.

63 Principi ed applicazioni del metodo degli elementi finiti Formulazione base con approccio agli spostamenti

64 METODO DEGLI ELEMENTI FINITI PER UN PROBLEMA D Si consideri un problema piano, il cui dominio sia quello rappresentato sotto e si voglia determinare lo stato tenso-deformativo del solido indotto dai carichi e dai vincoli presenti.

65 PROCEDURA. Suddivisione: suddivido il mio dominio (bidimensionale) in un certo numero di parti, ad esempio triangolari, dette elementi finiti (mesh) e numero i nodi della griglia; Lo scopo è quello di trasformare un problema differenziale avente come incognite dei campi (funzioni), in un problema algebrico avente come incognite degli scalari. Più precisamente si passa dall avere come incogniteit primarie i le funzioni i s x (x,y) e s y (x,y) ad avere come incognite gli spostamenti U x eu y dei nodi della griglia.

66 . Approssimazione: approssimo linearmente il campo di spostamenti su ciascuno di questi elementi: (si noti l introduzione delle numerazione locale dei nodi a livello di elemento) ( ) ( ) sx x,y a+ bx+ cy s y x,y a + bx+ cy U 3y Cambio di parametri d interpolazione U y 3 U x U 3x U y U x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) s x,y N x,y U + N x,y U + N x,y U N x,y U s x,y N x,y U N x,y U N x,y U N x,y U x x x 3 3x i ix y y y 3 3y i iy

67 i ( ) dove : N x,y (,y ) vale che: N x,y i j j ij x y i i xy j m xmyj + ( yj ym) x+ ( xj xm) y Δ det x y j j Δ x y m m ( ) ( ) s x,y U δ s x,y U x j j jx y j j jy i i

68 Le tra funzioni di forma dell elemento triangolare

69 Dalla combinazione delle tre funzioni di forma si ha l approsimazione (lineare) del campo di spostamenti sul singolo elemento finito s x U x U 3x s x U x 3

70 In forma vettoriale ho: Ux U y sx N 0 N 0 N3 0 Ux s y 0 N U 0 N 0 N 3 y s U e Ne 3x U 3y U e Approssimazione del campo di spostamenti sul singolo elemento finito funzione dei soli spostamenti nodali Matrice delle funzioni di forma Vettore delle componenti di spostamento nodali dell elemento

71 Applicando l operatore differenziale di congruenza ho: caso piano U U y εx N,x 0 N,x 0 N3,x 0 U x y 0 N,y 0 N,y 0 N ε 3,y Uy xy N,y N,x N,y N,x N3,y N γ 3,x U 3x εe B e x U3y U e ε x x ε ε y 0 γ xy y 0 s y s x x y

72 3. Assemblaggio: sostituisco ora nell equazione dei lavori virtuali scritta in forma vettoriale: T T T dv dv + ds F forza di volume ε sf sf f forza di superficie V V S F T T T ε e edv sf e edv + sf e eds e V e V e S e e Fe U B dv U N Fdv + U N f ds T T T T T T e e e e e e e e e e V e V e S e e Fe Ma i gradi di libertà locali U e di ciascun elemento li posso esprimere in funzione di quelli globali U, attraverso le cosiddette matrice booleane di connettività: U U x x U y U y U e L U U. x. L e è una matrice di zeri e uno Uy U. 3x UNx U3y U Ny Ue U e

73 Esempio: x 6 gradi di libertà elemento 3 3 5x 0 gradi di libertà globali 3 4 U U Ux Ux U y U y Ux U y U 3x U5x U3y x U 5y L 6x0 0x

74 Segue che: U L B dv U L N Fdv + U L N f ds U T T T T T T T T T T e e e e e e e e e e V e V e S e e Fe [ ] U U... U U L B dv T T X X NX NX xn e e e e V e i i i i i [ ] + [ ] xn R int Nx X X NX NX L T T T T e e e X X NX NX xn e e e e e U U... U U dv U U... U U ds Ve i i i i i Nx R F est SFe i i i i i Nx R f est [ UX U X... UNX UNX ] xn

75 Dovendo valere U T congruente allora deve valere anche per la seguente scelta di U T U T T U [ ] xn Da cui: [ ] L B dv T T xn e e e e V e i i i i i Nx R int [ ] + [ ] xn L N F dv L N f ds e T T T T e e e xn e e e e Ve i i i i i Nx R F est SFe i i i i i Nx R f est Da cui, la prima equazione (scalare): ( ) F f ( ) + ( ) R R R int est est

76 Adottando le altre scelte per U T segue che: T T U U [ ] i xn F f ( i ) ( i ) + ( i ) R R R int est est Alla fine tutte le equazioni che posso scrivere possono essere espresse in termini vettoriali: F R R + R f int est est O equivalentemente: L B dv L N Fdv + L N f ds T T T T T T e e e e e e e e e e V e V e S e e Fe Equilibrio in forma debole e discretizzato per elementi finiti

77 4. Introduco il legame costitutivo. Cominciamo con l imporre il legame costitutivo elastico-lineare Applichiamo ora le equazioni del legame costitutivo e di congruenza in forma vettoriale: e Dεe DBU e e DBLU e e e Sostituisco nelle equazioni di equilibrio debole in forma discretizzata: L BDBLUdv L NFdv + L Nfds T T T T T T e e e e e e e e e e e e V e V e S e e Fe

78 e trovo: K e Matrice di rigidezza dell elemento finito di dimensione 6x6 per un elemento piano a tre nodi T T T T T T Le Be De Be Le U Le Ne Fe + Le Ne fe e V e V e S dv dv ds e e Fe e K R R F f e ext ext BDBdv U NFdv + Nfds T T T e e e e e e e Ve e Ve SFe K R ext KU R ext SISTEMA RISOLVENTE K matrice di rigidezza globale del solido di dimensione dipendente dal numero totale di nodi della discretizzazione ione Si osservi che adottando un legame costitutivo elastico lineare le equazioni finali risolventi sono un sistema di equazioni lineari.

79 Imponiamo ora il legame costitutivo elasto-plastico Il legame tra sforzi e spostamenti nodali non è più lineare: ( ( ) ) U ε BLU ε U e e e e e Ne consegue che anche le equazioni di equilibrio non sono più lineari: ( ) + T T T T T T Le Be e U Le Ne Fe Le Ne fe e V e V e S R ( U) dv dv ds R e e Fe int La necessità di dover imporre il legame costitutivo in termini incrementali, implica che anche le equazioni di equilibrio debbano essere imposte ad ogni istante n di un opportuna discretizzazione temporale della storia di carico: ( ) ext R U R n n n int ext n ext

80 Per risolvere le equazioni non lineari adottiamo il metodo iterativo di Newton- Rahpson: ( ) Ψ R U R n n t, n n Ui Ui K i Ψi tn, Ψ( U) Ki U U U i n n n n i int i ext n Dove: ( ) ( ) ( ) Ψ R U R L B ε U dv R n n n n T T n n i int i ext e e e e i ext e V e ( ) K L B U dv L B ε tn, T T e T T e e i e e e e e U e ε e U V V e e L B ε U dv L B B dv L e T T e e e T T e e e e e e e ε e n e e U V e U ε Ve e ε e ε e, i dv

81 Il seguente diagramma sintetizza il metodo iterativo: n U i congruenza n ε ei, legame costitutivo e n, n ei, ε Ψ i ε ε e e n ei, n n t, n n i i i i U U K Ψ no ii+ n Ψ i ε si nn+

82 Vediamo ora l imposizione del legame costitutivo, ovvero l aggiornamento dello stato di sforzo e il calcolo della matrice tangente consistente. Conosciamo la risposta della struttura al passo n- e la stima degli spostamenti al passo n e all iterazione i-. Cioè in ogni punto di ogni elemento finito conosciamo: ε, ε,, λ, ε n pl,n n n n e, e e e e,i Vogliamo calcolare le seguenti quantità: ε,, λ pl,n n n e,i e,i e,i

83 Procedura (per comodità non scriviamo più l indice e):. Ipotizzo che il passo sia elastico: ( ) D ε ε n,trial n pl,n i i n n,trial i i pl,n pl,n εi ε n,trial pl,n n n se f ( ε ) < λ λ i, eq 0 i D ε n ε ε ε i

84 ( ) n,trial pl,n. se f i, εeq 0 allora il passo è elasto-plastico e bisogna risolvere il seguente sistema di equazioni: n n pl,n i ( i i ) D ε ε n pl,n n pl,n f ( i, ε eq) φ( i ) 0( ε eq,i ) 0 pl,n n φ ε i λ i n i n T pl,n pl,n pl,n pl,n ε eq,i ε eq + ε i ε i dτ n 3 Da cui approssimando per differenze finite le derivate si ottiene: n n pl,n i ( i i ) n pl,n n pl,n ( i eq) ( i ) 0( eq,i ) pl,n pl,n n n ε ( i ) φ D ε ε f, ε φ ε 0 ε λ λ i Δt Δt n i pl,n pl,n T* pl,n pl,n pl,n pl,n ε i ε ε i ε ε eq,i ε eq + Δt 3 Δt Δt

85 Da cui: n n pl,n i ( i i ) n pl,n n pl,n ( i eq) ( i ) 0( eq,i ) D ε ε f, ε φ ε 0 pl,n pl,n n n φ εi ε + ( λi λ ) n i T* pl,n pl,n pl,n pl,n pl,n pl,n ε eq,i ε eq + i i 3 ε ε ε ε Sistema in cui ho tante equazioni quante incognite. La matrice tangente equazioni di cui sopra. ε ε ε n i Si omette per brevità lo sviluppo dei calcoli. si ottiene andando a derivare in maniera consistente le

86 5. Imposizione delle condizioni al contorno Vi sono due tipi di condizioni al contorno: carichi applicati (dette naturali), i quali compaiono nel vettore dei termini noti P; spostamenti imposti (essenziali), i quali vengono imposti direttamente sui nodi interessati e il sistema lineare viene ridotto alle sole righe colonne non interessate t da tali condizioni i i al contorno. NB: Se uno spostamento è assegnato la relativa forza esterna non può essere prescritta e rimane incognita. Esempio: y x 3 4 δ In questo esempio: U x 0; U y3 -δ; U y4 0; U x5 0

87 L imposizione dei vincoli si effettua nel sistema assemblato, per prima cosa eliminando le equazioni relati------ve ai gradi di libertà vincolati. K K K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 K 0 0 R K K K K K K K K K U F y K33 K34 K35 K36 K37 K38 K39 K U 30 x F3 K44 K45 K46 K47 K48 K49 K U 40 y F4 K 55 K56 K57 K58 K59 K U 50 3x F 5 K66 K67 K68 K69 K60 δ R6 K K K K U 4x F Sym K88 K89 K80 0 R8 K99 K 0 R 90 9 K 00 U5y F0

88 0 U y K K U F K K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 K 0 x K3 K3 K33 K34 K35 K36 K37 K38 K39 K U 30 y F 3 K4 K4 K43 K44 K45 K46 K47 K48 K49 K F 40 U 3x 4 K5 K5 K53 K54 K55 K56 K57 K58 K59 K50 δ F5 K7 K7 K73 K74 K75 K76 K77 K78 K79 K 70 U F 4x 7 K F 0 K0 K03 K04 K05 K06 K07 K08 K09 K U 5y Quindi bisogna portare al secondo membro i termini noti legati al valore imposto dello spostamento.

89 K y K3 K4 K5 K7 K U F 0 0 K K U 33 K34 K35 K37 K30 x F 3 0 K K 44 K45 K47 K U 40 y F 4 0 K δ + + K F 55 K57 K50 U3x 5 0 K K F K 0 K U 7 4x K F 00 U 76 5y 0 0 K SISTEMA RISOLVENTE con le CONDIZIONI AL CONTORNO imposte

90 Una volta risolto il sistema posso determinare le reazioni vincolari nel seguente modo (ovvero usando le equazioni cancellate prima): 0 U y U x R K K K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 K0 Uy R 6 K6 K6 K63 K64 K65 K66 K67 K68 K69 K 60 U 3x R8 K8 K8 K83 K84 K85 K86 K87 K88 K89 K80 δ R 9 K9 K9 K93 K94 K95 K96 K97 K98 K99 K 00 U4x 0 0 U 5y

91 6. Risoluzione del sistema lineare Metodi diretti: metodo di eliminazione di Gauss; Metodi iterativi (calcolano la soluzione come limite di una successione di vettori): metodi di Richardson stazionari e non; 7. Ricostruzione della soluzione: una volta calcolata la soluzione in termini di spostamenti nodali, per un materiale elastico-lineare lineare, posso calcolare il campo deformativo e di sforzi locali con le seguenti relazioni già viste prima: ( x,y ) B ( x, y ) U ( x,y ) ε B L U e e e e e ( x, y) D ( x, y) ε ( x, y) D( x,y) B ( x, y) U D ( x, y) B ( x,y) e e e e e e e LU Se invece il comportamento del materiale è elasto-plastico, abbiamo già visto prima che deformazioni e sforzi si calcolano durante la fase di imposizione del legame costitutivo.

92 Osservazione : Il prodotto con le matrici booleane non viene mai eseguito (sarebbe troppo oneroso dal punto di vista computazionale); semplicemente le matrici di rigidezza e i vettori dei carichi di ciascun elemento vengono assemblati nellamatricedirigidezzaenelvettore dei carichi globali. Ad esempio: x 6 gradi di libertà elemento 5x 0 gradi di libertà globali U 3 U 4 Ux U x U y U y Ux U y U 3x U5x U y 6 6x U 5y L 6x0 0x

93 K K K K3 K4 K5 K 6 K K3 K4 K5 K6 K33 K34 K35 K 36 K44 K45 K46 Sym K55 K 56 K66 Loc. x Glob. ( ) X( ) ( ) Y( ) ( ) X( ) ( ) Y ( ) ( ) X( ) ( ) ( ) 3 4 y 3 x 4 y x y Y Tabella delle incidenze per l elemento K33 K34 K3 K3 0 0 K35 K K44 K4 K4 0 0 K45 K K K 0 0 K5 K6 0 0 K 0 0 K5 K6 0 0 T T K L K L + + L K L K55 K Sym K LT K L

94 Osservazione : Gli integrali, che definiscono la matrice di rigidezza e il vettore dei carichi nodali dell elemento, non sono mai calcolati analiticamente, ma numericamente e solitamente con la tecnica di Gauss: G T T e e e edv ej ej ejh j V j K B D B B D B e G V T T e e edv ej ejhj V j F N F N F e G s T T e e eds ej ejhj S j F N f N f Fe L indice j è un indice che va da al numero di punti di Gauss utilizzati per calcolare numericamente l integrale. In genere per un elemento triangolare si usano G o G3 punti di Gauss. I valori di H j sono i corrispondenti pesi.

95 Tra le tante tecniche di integrazione numerica, una delle più efficienti è quella di Gauss, in quanto la posizione dei punti di Gauss ξ j e dei relativi pesi H j sono determinati in modo tale che con n punti di Gauss, un polinomio di ordine n- possa essere integrato esattamente. G G f ( ξ) dξ f ( ξ ) H f H j j j j j j

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97 Osservazione 3: Esistono altre tipologie di elementi finiti, ad esempio quello a 4 nodi o più nodi:

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99 Osservazione 4: di seguito la tipica struttura di un codice che implementa il metodo degli elementi finiti