Problema di Kepler classico: si risolve con la massa ridotta

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1 Entanglement Problema di Kepler classico: si risolve con la massa ridotta p1 p Se H(1,) = + + V( r) m M mr1+ Mr aricentro: =, moto relativo r = r r1 m+ M d d p = ( m + M) = ( mr1+ Mr) = p1+ p si conserva dt dt p (1,) = p H + r + Vr ( ), = + ( m+ M) µ µ m M Newton risolse il problema del moto relativo. Da esso si risale ai moti individuali r ( t), r(t) che orbitano attorno al baricentro. 1 Classicamente, uno puo assegnare l orbita della Terra e conoscere q(t),p(t),per esempio in uno stato in cui il c.m. e fermo. 1 1

2 Quantisticamente,la separazione del baricentro continua a valere: H(1,) Ψ (1,) = EΨ(1,) p = i p = i r r p i Ψ ( r, ) = ψ ( re ) Esistono una ψ del moto relativo e una Ψ del baricentro dell'atomo. Pero'... Non solo non esiste una traiettoria dell'elettrone, ma non esiste neppure una ψ dell'elettrone! Non esiste una ψ del nucleo! Sono entangled (ingarbugliati, intrecciati.) Ad essere separabili non sono i moti di elettrone e nucleo, ma il moto del baricentro e quello relativo. Non esiste la funzione d onda degli elettroni in una molecola, esiste quella della molecola!

3 Questa situazione e veramente esotica perche classicamente, per descrivere lo stato di un sistema, dobbiamo descrivere lo stato e la dislocazione delle sue parti. Nel motore di un auto ogni vite ha il suo posto! Invece quantisticamente lo stato del sistema possiamo conoscerlo, ma le parti hanno stati interdipendenti. Esempio: caso degli spin di un protone e di un elettrone 1 ase a corpi per spin : α(1) α() α(1) β() β(1) α() β(1) β() Se siamo nello stato entangled α(1) β()- β(1) α() SM>= 0,0 = S ± 0,0 = 0 (singoletto) Che succede quando misuriamo lo spin di una particella? 3 3

4 Supponiamo di preparareun protone e un elettrone in un singoletto α(1) β()- β(1) α() 0,0 = Se lo spin di 1 e' quello di e' Se lo spin di 1 e' quello di e' Se ci sono particelle identiche lo stato e' sempre entangled per il principio di Pauli! Fermioni (o bosoni identici ) in spin-orbitali ψ, ψ ψ (1) ψ () ± ψ (1) ψ () a b b a ψ (1,) = ab Sono non interagenti, ma ψ non si fattorizza ab a b 4 4

5 Mentre possiamo seguire quello che fa una persona in mezzo ad una folla, non possiamo seguire quello che fa un singolo elettrone in mezzo a altre particelle. Ci sono tante ampiezze che rappresentano storie diverse e interferscono fra loro, un po come succederebbe a un attore se si proiettassero insieme tanti film diversi. Se poi le particelle sono tutte elettroni, e come se lo stesso attore interpretasse tutte le parti in tutti i film. 5 5

6 Paradosso EPR Supponiamo di preparare due particelle in uno stato entangled α(1) β()- β(1) α() come due elettroni in un singoletto 0,0 = Se viene misurato lo spin della particella 1 lungo una certa direzione ed e α, allora quello di collassa su β. Il collasso e istantaneo! Prima della misura sulla particella 1 lo stato della particella e completamente indeterminato, ma dopo l asse di quantizzazione e fissato e la particella si trova in uno stato ben definito. Si puo pensare che la misura seleziona uno fra gli infiniti film... Sta di fatto che lo stato quantico della particella e stato alterato dalla misura fatta sulla particella 1, misura che definisce anche l asse di quantizzazione. 6 6

7 Dubbio Ma la misura sullo spin 1 potrebbe avvenire anche a grande distanza dalla particella. Se la misura produce un cambiamento che va ad influire sull'altra particella, non dovrebbe questo cambiamento subire un ritardo dipendente dalla distanza? Possiamo avere una azione istantanea? E la Relativita? 7

8 Formulazione di orn del paradosso EPR: Azione istantanea a distanza Charlie produce singoletti e manda una particella ad Alice ed una a ob, che si trovano a grande distanza. I tre hanno sistemi di riferimento paralleli. Al momento della misura possiamo scrivere: ψ = + + A A y A y Charlie x A x 8

9 Se A decide di usare z come asse di quantizzazione, ψ = + + A z A A Supponiamo che il risultato di A sia σ =+ ; lo stato ψ collassa in e se misura con lo stesso asse z trova certamente σ = 1. z. z z z A Pero' se A misura σ =+, lo stato collassa in e misura σ = 1 x se misura con lo stesso asse x. Insomma, A sceglie uno fra gli infiniti 'film' e la scelta vale anche per, istantaneamente. A puo' scegliere quale osservabile misurare anche dopo che le particelle si sono separate da C, e modifica lo stato della particella di mentre questa e' in volo e non interagisce con nulla! x x 9

10 La misura fatta da A cambia istantaneamente lo stato della particella che arriva a. L azione fatta da A sembra evidentemente la causa del cambiamento che avviene dalle parti di ob. Pero per qualche osservatore, la misura di puo essere fatta prima di quella di A. Allora l effetto precede la causa! stazione A La luce arriva contemporaneamente su A e per il macchinista, arriva prima su A per il capostazione, arriva prima su per un aereo piu veloce del treno 10

11 Questo e il paradosso E.P.R. A. Einstein,. Podolsky and N. Rosen, Phys. Rev. 47, 777 (1935). Terra Giove Spooky action Einstein parlava di spooky action at a distance ( azione fantasma a distanza); era convinto che la teoria quantistica, di cui egli stesso era fra i principali artefici, desse una descrizione incompleta della realta fisica. Il fatto che la misura provoca un collasso istantaneo della funzione d onda si puo conciliare con la Relativita? 11 11

12 Per EPR erano irrinunciabili ed evidenti due principi: quello di realismo e quello di localita. Principio di realismo: una grandezza che ha un valore ben definito lo ha indipendentemente dal fatto che lo si misuri. Principio di localita : qualunque cosa faccia A non puo influenzare una misura eseguita da prima del tempo r A /c. 1

13 Di fronte ai grandi successi della Meccanica Quantistica non c e spazio per crederla sbagliata; molti come EPR hanno pensato che fosse corretta ma incompleta in modo da tenere insieme realismo, localita e quanti. Sono state proposte da vari autori teorie delle variabili nascoste secondo le quali la meccanica quantistica dice solo parte della verita, mentre ci sono altri parametri che sono ignorati dalla meccanica quantistica ma sono necessari per una descrizione completa. Per esempio potremmo sapere da quale fenditura passa l elettrone nell esperimento della doppia fenditura, anche se la MQ non lo dice. Per molto tempo questa sembro una disputa filosofica e quindi inconcludente. 13

14 Teorema di ell John S. ell, ( Physics 1, 195 (1964)) dimostro un teorema inatteso: nessuna teoria locale di variabili nascoste puo riprodurre tutti i risultati della Meccanica Quantistica. Se sono veri i principi di localita e realismo si devono verificare delle disuguaglianze che contrastano con la Meccanica Quantistica. Quindi si deve scegliere sulla base di opportuni esperimenti. Il teorema si presenta come una disuguaglianza che deve essere vera se sono veri localita e realismo, ma e violata dalla MQ 14

15 Riprendiamo la formulazione di orn del paradosso EPR: Charlie produce singoletti e manda una particella ad Alice ed una a ob, che si trovano a grande distanza. I tre hanno sistemi di riferimento paralleli. Modifichiamo l esperimento per mettere alla prova il principio di realismo. y A ψ = + + A A y Charlie x A x 15 15

16 Realismo o non realismo? Disuguaglianza del tipo di ell y A ψ = + + A A y Charlie x A x 16 A A A sceglie a caso se misurare σ oppure σ e ottiene risultati σ = ± 1 oppure σ = ± 1. x z x z Anche sceglie a caso se misurare σ oppure σ e ottiene risultati σ x = ± 1 oppure σ = ± 1. z Mettendo insieme i risultati di molte misure si cerca una correlazione fra i risultati. Qual'e' la quantita' che puo' mettere alla prova il realismo? x z

17 Per il Principio di realismo, una grandezza che ha un valore ben definito in un sistema lo ha indipendentemente dal fatto che la si misuri. Quindi le misure degli osservabili rappresentati indipendentemente dalla misura e valgono ± 1. A A da σ, σ, σ A A A A Quindi ( σ + σ ) = 0 oppure ±, ( σ σ ) = 0 oppure ±. Allora consideriamo z il principio di realismo x A A A A Se ( σ + σ ) = 0, quindi σ = 1 e σ = 1 o viceversa, z x z x z x x z x e σ z esistono A A A A M=( σ + σ ) σ + ( σ σ ) σ. z x z z z x A A allora il primo termine di M e' nullo, ma nel secondo termine ( σ σ ) =±, quindi M= ±. A A A A L'unica alternativa e' ( σ + σ ) =±, nel qual caso ( σ σ ) = 0, M = ±. z x x z Facendo la media su molte repliche dell'esperimento che ogni volta da' M = ± si deve trovare che M. x z 17

18 Calcolo quantistico di <M> Il calcolo quantistico richiede di med iare A ˆM=( + A ) ( A A ) σ σ σ + σ σ σ su 1A 1 11 A ψ =. σ σ σ σ z x z x z x Ricordando che 1 = 1, 1 = 1, 1 = 1, 1 = 1, z z x x e facendo agire le matrici di Pauli di, A A A A Mψ = ( σ + σ )( ) + ( σ + σ )( ). I quattro termini sono: z x A A z x A A A A ( σ + σ )( 1 1 ) = z x A A A A A ( σ + σ )( 11 ) = z x A A A A A ( σ + σ )11 = z x A A A A A A ( σ + σ )( 1 1 ) = z x A A A In tutto viene Mψ = ( ). ψ M ψ =. Questo risultato e al limite, ma ancora compatibile con la disuguaglianza di ell ψ M ψ. 18

19 Consideriamo un esperimento come sopra in cui pero gli assi di ob sono inclinati di 45 gradi ;gli operatori d i ob σ, σ hanno autovalori ± 1. x z y A ψ = + + A A Charlie x A 19 Come prima, A sceglie a caso se misurare σ oppure σ e ottiene risultati A A σ x= ± 1 oppure σ z= ± 1. sceglie a caso se misurare σ oppure σ (riferiti ai suoi assi) e ottiene risultati σ = ± 1 oppure σ = ± 1. x Mettendo insieme i risultati di molte misure si ottiene la media x sulle coppie fornite da Charlie della quantita' M=( σ A + σ A ) σ + ( σ A σ A ) σ. z z x z z x z x z x 19

20 y A ψ = + + A A Charlie x A 0 M=( σ A + σ A ) σ + ( σ A σ A ) σ. z x z z x x Per il Principio di realismo, resta vero che <M>. Che gli assi siano inclinati non cambia nulla. 0

21 Dato che ob ha un sistema di assi tali che, riferiti a quelli di Alice, sono n z Calcolo quantistico 1 1 = (1, 0,1), nx = ( 1, 0,1) conviene riferire anche le sue matrici di Pauli a un sistema orientato come quello di Alice, 1 1 σx = σ. nx = ( σ x + σ z), σz = σ. nz = ( σ x + σ z). 1

22 Sostituendo in M=( ˆ σ + σ ) σ + ( σ σ ) σ 1 1 σx = σ. nx = ( σ x + σ ), z σz = σ. nz = ( σ x + σ z) si trova (grazie alla scelta felice degli angoli) una comoda semplificazione: A A A A ˆM =( σ + σ )( σ + σ ) + ( σ σ )( σ σ ) z x z x x z z x = σ σ + σ σ + σ σ + σ σ + σ σ σ σ σ σ + σ σ A A A A A A A A z z z x x z x x z z z x x z x x A A ( σzσz σxσx ) = +. A A A A z x z z x x Charlie ha gli assi orientati come quelli di Alice e dice che 1A 1 11 A ψ =, cioe' e' un singoletto e una particella va da A mentre l'altra va da. (Ma comunque siano orientati gli assi ψ = un singoletto non cambia per rotazioni.) A A.

23 ( ) A A z z + x x M = A A ψ σ σ σ σ. Ricordando che σ 1 = 1, σ 1 = 1, σ 1 = 1, σ 1 = 1, si verifica che z z x x A A σσψ= ψ, σσψ= ψ, z z x x ˆM e cosi' ψ= ψ. Dato che ψψ = 1, ψ M ψ = Questo e il risultato quantistico che contraddice i criteri di EPR. 3

24 Conclusioni: La questione posta dal paradosso EPR e sperimentalmente risolubile. La meccanica quantistica esclude il principio del realismo. Le grandezze che non sono misurate non hanno un valore a noi ignoto; il valore non c e. Non e che noi non sappiamo da quale fenditura passa l elettrone nell esperimento della doppia fenditura.questa scelta non viene fatta. Gle esperimenti fatti sono in accordo con la Meccanica Quantistica. Vedere su Wikipedia ell test experiments 4

25 Principio di localita. C e contrasto con la Relativita? Consideriamo un esperimento di tipo EPR in cui c e una sorgente di coppie di elettroni in stati di singoletto, e gli elettroni vengono mandati uno ad Alice e l altro a ob. Se Alice puo usare il collasso della funzione d onda per mandare un messaggio istantaneo a ob, addio Relativita. Ma puo? Quando Alice misura la componente x dello spin, la ψ collassa. Allora ob ha un autostato opposto della componente x. Pero Alice non puo decidere se mandare spin alto o spin basso. In questo modo, nessun messaggio e possibile. Alice potrebbe tentare di mandare un messaggio superluminale a ob fatto di zeri e uno; per ogni 0 Alice misura la componente x dello spin, e per ogni 1 misura la componente y. Cosi ob si troverebbe istantaneamente con elettroni che sono autostati o della componente x o di quella y. Se potesse capire in quale delle due e ciascuna particella, potrebbe leggere un messaggio superluminale. 5

26 Messaggio indecifrabile Solo, come potrebbe ob distinguerle? Misurando lo spin di un elettrone una volta lungo un qualsiasi asse, non puo arrivare a nessuna conclusione. Soltanto avendo tanti elettroni nello stesso stato uno potrebbe trovare l asse di quantizzazione. y A singolettificio x A 6

27 Facendo numerosi cloni di ciascun elettrone ob potrebbe facilmente distinguere quelli che danno sempre lo stesso valore di una componente. Se fosse possibile clonare lo stato, la trasmissione istantanea della informazione a qualsiasi distanza sarebbe possibile e la Relativita sarebbe violata. Il teorema di no cloning salva l accordo con la relativita. 7 7

28 Entanglement di fotoni 8

29 Teletrasporto L entanglement puo essere usato, insieme a dati classici trasmessi per via convenzionale, a trasportare informazione (teletrasporto) e riprodurre a distanza uno stato quantico senza conoscerlo,ma distruggendo l originale. Senza distruggere l originale non si puo (no cloning theorem). 9

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32 Alice ha uno spin da trasmettere a ob e una particella di una coppia di spinori Teletrasporto Alice puo fare una copia della terza particella No. Il No Cloning Theorem proibisce di fare una cosa del genere. Alice non conosce ψ ψ A e spedirla a ob? ob ha l altra particella con spin ingarbugliata α ψ = β da trasmettere a ob Coppia ingarbugliata A A ψ = ; coppia 0 significa particella in stato 0 in possesso di Alice,etc. 3

33 Dato che ψ coppia = A A ; Alice ha anche un q bit da trasmettere a ob α ψ = α 0 + β 1 ψ =. A A A A β Ne' Alice ne' ob conoscono ψ. Alice non puo' fare misure perche' modificherebbe il qbit. A A Stato delle 3 particelle ψ terna = ψ A A A 33

34 Espandendo lo stato delle 3 particelle, ψ = ψ = ( α 0 + β 1 ) terna A A A A A A A vengono 4 termini: ψ = α β α β terna A A A A A A A A Per procedere, esaminiamo la situazione locale di Alice. Se fa una misura sulla sua coppia di spinori, cosa puo trovare? 34

35 Stati entangled di spin distinguibili (o qbit) I due spin possono occupare stati ortogonali a particella singola 0 e 1 e possono formare i seguenti stati ortogonali (stati di John ell) a particelle: Φ = Ψ = Φ = Ψ = Da questi ovviamente si possono riottendere gli stati base: Φ +Φ Ψ +Ψ 0 0 = 0 1 = + + Φ Φ Ψ Ψ 1 1 = 1 0 =

36 Stato delle 3 particelle ψ = α β α β terna A A A A A A A A Analizziamo le paricelle di Alice (coppia A) in termini degli stati ingarbugliati di ell: Φ =, Ψ = ,. Φ = Ψ = ovvero: Φ +Φ Ψ +Ψ 0 0 =, 0 1 = A A A A + + A A A A Φ Φ Ψ Ψ 1 1 =, 1 0 = A A A A + + A A A A 36

37 ψ = α β α β terna si puo' riscrivere: A A A A A A A A + ψ =Φ ( α 1 β 0 ) +Φ ( α 1 + β 0 ) terna A A + +Ψ ( β 1 α 0 ) Ψ ( β 1 + α 0 ) A A Alice misura localmente la sua coppia A facendo collassare istantaneamente tutta la funzione d onda e puo trovare uno dei 4 risultati seguenti Φ =, Ψ = Φ =, Ψ =. Dopo aver fatto la misura, Alice non ha alcuna informazione su α e β. Alice conosce solo l'esito della sua misura,cioe' quale di questi casi si verifica. 37

38 Dato che lo stato era + ψ =Φ ( α 1 β 0 ) +Φ ( α 1 + β 0 ) terna A A + +Ψ ( β 1 α 0 ) Ψ ( β 1 + α 0 ) A A + Se viene Φ ob ha ( α 1 β 0 ) A Se viene Φ ob ha ( α 1 + β 0 ) A + Se viene Ψ ob ha ( β 1 α 0 ) A Se viene Ψ ob ha ( β 1 + α 0 ) A α Cosi ob nell'ultimo caso ha gia una copia : ψ = α 0 + β 1 β Dopo la misura fatta da Alice, lo spinore di ob non e piu intrecciato; ob puo misurare il suo spinore, ma non sa quale delle 4 possibilita si e realizzata. Alice telefona a ob e gli e lo dice. Il processo richiede la propagazione di un segnale e non viola la Relativita. 38

39 Abbiamo visto che ob nell'ultimo caso α ha gia una copia : ψ = α 0 + β 1 β Negli altri casi + β Φ ob ha ( α 1 β 0 ) A α β Φ ob ha ( α 1 + β 0 ) A α + α Ψ ob ha ( β 1 α 0 ) A β Avuta l informaziona da Alice, ob puo ottenere il qbit che prima aveva Alice con una trasformazione di spin

40 β 0 i β α σ = = i y α i 0 α β β 0 1 β α σ = = x α 1 0 α β α 1 0 α α σ = = z β 0 1 β β Alla fine ob non ha il qbit originale ma ha un qbit identico all originale. Alice non conosce lo stato della particella. Quindi Alice ha trasmesso a ob informazione che non aveva ma la Relativita e salvata dalla telefonata. ob puo fare la misura ma attenzione: per ricavare il qbit ha bisogno di un campione numeroso. Esperimenti sono stati fatti con fotoni. 40

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