Lezione PONTI E GRANDI STRUTTURE. Prof. Pier Paolo Rossi Università degli Studi di Catania

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1 Lezone PONTI E GRANDI STRUTTURE Prof. Per Paolo Ross Unverstà degl Stud d Catana

2 Il comportamento degl mpalcat da ponte

3 Modellazone Il modello d anals dovrebbe : Ⱶ Ⱶ Ⱶ Ⱶ Ⱶ Ⱶ Ⱶ Ⱶ rflettere la rsposta strutturale n termn d deformazon, resstenze e stabltà locale e globale. ncludere quanto pù element struttural possble (tela trasversal, rrgdment, appogg ) consderare tutt gl stad d costruzone e cas d carco consderare carch faclmente applcabl consentre l comportamento dnamco e ncludere pù sgnfcatv mod d vbrazone essere faclmente mplementable determnare rsultat che consentono faclmente la verfca d normatva essere supportato da programm d anals n commerco 3

4 Modellazone Il ponte, che è un sstema spazale, può essere rcondotto a : Ⱶ Ⱶ Ⱶ modello monodmensonale modello d calcolo bdmensonale pastra equvalente gratcco d trav modello d calcolo trdmensonale 4

5 modello monodmensonale 5

6 Modellazone monodmensonale Preg Ⱶ I modell monodmensonal sono supportat da programm commercal d anals strutturale che consderano le fas d costruzone, l nfluenza della temperatura, vscostà e rtro ed eseguono automatcamente le verfche struttural d normatva. Dfett Ⱶ I modell monodmensonal ben s adeguano al progetto per carch vertcal. Tuttava, ess non consderano tutt gl element struttural (ad esempo le trav trasversal, controvent orzzontal). Pertanto, alcune verfche (ad esempo l nstabltà laterale) vanno esegute a parte. Ⱶ I modell monodmensonal non sono accurat per pont curv o sbech. 6

7 Modellazone monodmensonale La soluzone del problema d De S. Venant può essere consderata se esste un pano, detto pano d sstema, che contene : l asse geometrco della trave uno degl ass prncpal d nerza della sezone retta B gl ent sollectant L z s x a λ 1 λ a y 7

8 Modellazone monodmensonale Problem : La conservazone della forma può non essere garantta vsto che la sezone è a paret sottl. Alla conservazone della forma tende l progettsta medante l uso d nervature trasversal. La garanza della conservazone della forma consentrebbe d sostture carch dstrbut con le loro rsultant. Gl ent sollectant non sono spesso concentrat n corrspondenza del pano d sstema. 8

9 Modellazone monodmensonale 1. Caso della sezone ndeformable (travers rgd) L unco elemento trascurato nella utlzzazone de rsultat della trave è l eccentrctà che l carco rsultante dstrbuto o le forze rsultant concentrate hanno rspetto al pano del sstema Il carco rsultante Q tot è caratterzzato da : Q tot Q ( ntenstà ) Q 1 Q Q 3 e Qe Q tot ( poszone ) e Problema da rsolvere : Ⱶ eccentrctà del carco y e 9

10 Modellazone monodmensonale. Caso della sezone deformable (travers non rgd) Lo stato d sollectazone e d deformazone del sngolo elemento della sezone non dpende solo dalle caratterstche del carco rsultante ma anche dalle caratterstche (ntenstà e poszone) de sngol carch Q 1 Q Q 3 Problema da rsolvere : e Ⱶ Ⱶ eccentrctà del carco rpartzone trasversale del carco y e 10

11 Modellazone della sezone trasversale Occorre defnre preventvamente la zona collaborante della soletta 11

12 Modellazone delle trav a cassone Trav a cassone semplce possono essere modellate medante una sola asta se le paret del cassone sono suffcentemente rrgdte da daframm (trav trasversal pene o controventate) alquanto ravvcnat da evtare la dstorsone della sezone trasversale. Questa condzone è usualmente soddsfatta se la spazatura degl element trasversal è tra 3.5 e 5m, n funzone delle dmenson del cassone. 1

13 Modellazone degl appogg ne pont a cassone Occorre porre attenzone nel poszonamento del vncolo alle ple al fne d determnare correttamente le reazon degl appogg. E opportuno realzzare de tratt rgd per rappresentare punt d contatto tra la trave e le ple. asse trave element rgd 13

14 modello monodmensonale: comportamento flessonale 14

15 Comportamento flessonale Le caratterstche della sollectazone M e V provocano tenson normal e tangenzal : M y I V b0 S ( formula d Jourawsky ) I 15

16 Comportamento flessonale Lo spostamento vertcale è ndpendente dalla coordnata x v z, x v z Lo spostamento assale nasce per effetto della rotazone flessonale ed è ndpendente dalla coordnata x : w( y, z) v'y B L z s a λ 1 λ a y x 16

17 Comportamento flessonale Per dervazone delle precedent equazon s ottene : w y v'' y v'' M EI e per successva dervazone v''' V EI B L z s x a λ 1 λ a y 17

18 Deformazon a taglo Nella maggor parte de cas, le deformazon a taglo sono alquanto pccole e pertanto la loro nfluenza può essere trascurata. L nfluenza delle deformazon a taglo deve essere consderata ne pont d pccola luce In tal caso, se s aggunge l contrbuto della deformazone da taglo, s ha : M V v' dz C EI GA dove χ è l fattore d taglo 18

19 modello monodmensonale: comportamento torsonale 19

20 Equlbro torsonale Ipotes: La sezone trasversale è rgda nel propro pano Oggetto : elemento d travata lungo dz e soggetto a momento torcente. Equazone d equlbro alla rotazone ntorno a z T dt m dz T z z z 0 O y Tz T z dz m T z mdz z x dt z (+) Da questa relazone s ottene. dtz dz m 0

21 Equlbro torsonale dtz dz m Per detto elemento d travata vale : (1) Tz GJ GJ ' dove : G J (1) modulo d elastctà tangenzale rgdtà torsonale prmara angolo untaro d torsone (rotazone relatva tra due sezon a dstanza untara) Dervando questa relazone, s ottene : GJ '' m Questa relazone può rteners valda se la sezone è compatta 1

22 Rpartzone del carco torcente Alla rotazone (z) della sezone corrspondono spostament vertcal, C F valutabl tramte la relazone : 0 1 e 3 v x Q tot m=q tot e La torsone globale della trave è fronteggata attraverso : Ⱶ Ⱶ torsone della sezone flessone delle nervature longtudnal v 0 v 1 x 0 m=q tot e v v 3

23 Rpartzone del carco torcente D questa nflessone delle nervature è possble tener conto : 1. trascurando la contnutà rotazonale tra soletta e nervature (teora d Engesser). consderando la contnutà rotazonale tra soletta e nervature (teora della torsone non unforme) 3

24 Metodo d Engesser A fn della rpartzone del carco torcente : Ⱶ la sezone è schematzzata come un nseme d trav longtudnal d eguale lunghezza Ⱶ la rgdtà torsonale prmara de var element è trascurata Il carco torcente è fronteggato dall nflessone delle sngole trav Le trav s oppongono allo spostamento con un carco reattvo : v 0 v 1 x 0 x 1 C m=q tot e v v 3 R EI v EI x '''' '''' R 0 R 1 R R 3 4

25 Metodo d Engesser I carch reattv devono : verfcare l equlbro alla traslazone vertcale (rsultante complessvamente nulla) verfcare l equlbro alla rotazone torsonale ovvero Da queste relazon derva : R EI x '''' '''' 0 R x EI x m m Q e '''' tot EIx EIx 5

26 Metodo d Engesser Per effetto del carco torcente per untà d lunghezza Q tot e, l carco reattvo sulla generca trave è : (carco torcente) EI x R EI x '''' Q e tot EIx Per effetto del carco centrato Q tot, l carco reattvo sulla generca trave è : (carco centrato) R Q tot EI EI 6

27 Metodo d Engesser Complessvamente, l carco reattvo della generca trave è : EI EI x EI EI x R Q Q e e Q Q tot, tot tot tot tot EI EIx EI EIx dove τ è un coeffcente d rpartzone ovvero dato l carco d ntenstà Q tot ed eccentrctà e, l coeffcente d rpartzone τ fornsce la quota d carco che compete alla generca trave. Per Q tot =1 ed eccentrctà e varable, la relazone precedente fornsce la lnea d nfluenza della reazone della trave esma 7

28 Metodo d Engesser Se le trav sono tutte ugual, ma con luc qualsas, l carco reattvo della generca trave è : F C 0 1 e 3 x x 1 x R e Q Q tot, tot tot n 1 x essendo : (n+1) l numero d nervature longtudnal 8

29 Metodo d Engesser Se le luc delle trav sono egual : x n Inoltre : essendo n n n n 1 n 1 n n 1 x 4 n 4n 4 n n n n n n n n n n n n 1 n n 6 e n 0 0 e n n n 1 x C F x 9

30 Metodo d Engesser Se le luc delle trav sono egual : R tot, e qund : Rtot, 1 n 1 x x e Q tot n 1 n n n n eq tot Q tot C x 0 e n x 1 6 n 1 e Q n1 nn tot Se =0 o n (trave d estremtà) : R tot, n 1 6e 1 1 n Q tot 30

31 Metodo d Engesser Rx EIx m '''' Dalle relazon rcavate n precedenza s ha : Q EI '''' e ev EI x tot EIx Data l affntà tra la rotazone torsonale e lo spostamento vertcale, lo spostamento totale della generca trave vale: '''' EI v v x 1 ex v v tot, m m EIx dove α è un coeffcente d amplfcazone dello spostamento medo. 31

32 Metodo d Engesser Se le luc delle trav sono egual : C F x v tot, m dove : v EI 1 ex EIx 6 1 n e n n n 0 essendo x nn 1n 1 0 e n x Se la trave è d estremtà : 0 6e 1 n n x n 3

33 Metodo d Engesser Poché spostament, caratterstche della sollectazone e tenson sono tra loro correlat da legam d proporzonaltà, lo stato tensonale della sngola nervatura longtudnale potrà essere dedotto da quello conseguente alla flessone retta amplfcato medante l coeffcente α, ovvero : b M y I 0 V I S Tenson normal Tenson tangenzal 33

34 Influenza del numero de camp Se la larghezza del ponte è varable le luc tra le trav sono egual l carco è eccentrco con e=b/ s ha 6e 3n n 1 1 n n All aumentare de camp, le nervature estreme sono sempre pù sollectate. n B=n C Q tot 0 n e = B/ x x Non v è alcun vantaggo nel creare mpalcat molto largh. n 34

35 Influenza del numero de camp 1 EI EIx ex Se la larghezza del ponte è fssa le luc tra le trav sono egual l carco è eccentrco con e=b/ ed noltre : n 1EI cost I cost (rgd. fless. globale) (nerza nervatura long.) s nota che l numero de camp ha una scarsa nfluenza sulla rpartzone. La scelta del numero d camp è prncpalmente condzonata dalla progettazone della soletta. B C 0 n =B/(n+1) e = n/ n 1 x x n 0 x B B Q tot n x 35

36 Torsone prmara e secondara Con l metodo d Engesser s è mostrato come è possble fronteggare un carco torcente esterno n assenza d rgdtà torsonale prmara. Se sono consderate entrambe le rgdtà torsonal (prmara e secondara), l equazone fondamentale della trave soggetta a momento torcente dventa : '''' m E (z) GJ '' (z) dove : GJ rgdtà torsonale prmara E = EI x è la rgdtà torsonale secondara dell mpalcato 36

37 torsone prmara: sezon aperte e chuse 37

38 Rgdtà torsonale prmara n sezon aperte La sezone aperta del ponte rsulta scomponble n una sere d rettangol allungat costtut da : Ⱶ Ⱶ soletta d mpalcato nervatura Per cascuna d queste part la rgdtà torsonale prmara s scrve : dove : L Ψ GJ 1 G L 3 lato maggore della sezone rettangolare lato mnore della sezone rettangolare coeffcente d forma 3 38

39 Rgdtà torsonale prmara n sezon aperte Il coeffcente Ψ s deduce dalla relazone : n 1 5 L n1,3,5 n tanh L Per L/δ.5 è lecto effettuare la seguente approssmazone : L L/ 39

40 Rgdtà torsonale prmara n sezon aperte Per un mpalcato con n+1 trav ugual s ha : 1 GJ G Bs ( n 1) h b B H s h 0 b 0 b 0 b n 40

41 Tenson da torsone prmara n sezon aperte Lo stato tensonale è quello della sezone rettangolare con valor massm agl estrem de lat mnor dove : T 3 L T alquota d momento torcente prmaro relatvo al sngolo rettangolo, ottenble scomponendo T tot n part proporzonal alla rgdtà delle sngole part secondo la relazone : GJ L T T T 3 tot tot 3 GJ L 41

42 Torsone prmara n sezon chuse Nel caso d sezon chuse, l elevato grado d connessone determna una certa dffcoltà d soluzone. 0 1 b n 0 s 1 G h s B/ B/ x 4

43 Torsone prmara n sezon chuse Una soluzone approssmata può essere determnata assumendo che l ntenstà de fluss (τb 0 ) var con la dstanza x dal pano d smmetra. Pertanto, detto (τb 0 ) l valore reattvo delle nervature estreme s ha : b0 b0 x b b 0 s1 G h b 0 b 0 s x b/ b/ 43

44 Torsone prmara n sezon chuse I fluss nelle solette sono esprmbl n funzone de fluss (τb 0 ), ovvero : n 1 j j 0 b =j s s b x ( analoga drodnamca ) s 1 b/ s b/ = h b h x 6 b 4 b b 6 b b 6 5 b6 b5 b4 44

45 Torsone prmara n sezon chuse I fluss nelle solette sono esprmbl n funzone de fluss (τb 0 ), ovvero : n n s1 s b0 b0 x j j b =j =j b 0 s 1 s G h x B/ B/ 45

46 Torsone prmara n sezon chuse L equlbro tra l momento torcente esterno T e quello nterno mpone che valga la relazone : h T b hx s h b x n n n 0 j j1 b 0 x 6 Contrbuto nervatura T b x hx B T 0 h b 5 b 6 Contrbuto soletta TS s xh b0x xh B b

47 Torsone prmara n sezon chuse L equlbro tra l momento torcente esterno T e quello nterno mpone che valga la relazone : h T b hx s h b x n n n 0 j j1 b 0 Rsolvendo rspetto a (τb 0 ) s ottene: T b T b T 0 bh x x b Questa relazone può ntenders come la formula generalzzata d Bredt, a cu s torna n assenza d nervature ntermede ponendo l coeffcente correttvo =1. 47

48 Torsone prmara n sezon chuse L angolo untaro d torsone può otteners dall uguaglanza del lavoro esterno con l lavoro nterno Le L T 1 G c b() s ds Dall nverso dell angolo untaro d torsone s rcava la rgdtà torsonale prmara : GJ 4G h b b b 0 1 b x s s 48

49 torsone secondara d sezon aperte: 1 a modfca del metodo d Engesser 49

50 Modfche del metodo d Engesser sezon aperte Il metodo d Engesser non permette una valutazone rgorosa della torsone secondara. Infatt, nell potes d varabltà lneare degl spostament vertcal s ha : E EI x E x y da A e anche le tenson normal, a meno del valore medo del comportamento a trave, assumono una varabltà lneare con la coordnata x. 1 EI e EI x x M I y 50

51 Modfche del metodo d Engesser sezon aperte In vrtù del dverso grado d dffusone del materale della soletta e delle nervature s ha : equlbro alla traslazone longtudnale (soddsfatto) equlbro alla rotazone ntorno ad asse orzzontale (soddsfatto) equlbro alla rotazone ntorno ad asse vertcale (non soddsfatto) spostament vertcal G x y 51

52 Modfche del metodo d Engesser sezon aperte Per soddsfare l equlbro alla rotazone ntorno ad un asse vertcale è opportuno modfcare la poszone dell asse neutro. Se s trasla l asse neutro verso l alto d un segmento h, s ottene : K x y O G h y y x x 5

53 Modfche del metodo d Engesser sezon aperte Se s mpone l equlbro alla rotazone ntorno ad y ( xda 0 ) e s consderano separatamente l area d soletta e l area d nervatura, s ha : xyda xyda xyda x yh da x yh da A A A A A s n s n 3 B / B xdx 0 y h dy x y h da 1 ydy hdy x y h da s A s s A dove : S n S 1 n 3 B S 1 h s x S n h A n 0 1 momento statco d una nervatura rspetto ad x momento statco d una strsca d soletta d larghezza untara rspetto ad x n 53

54 Modfche del metodo d Engesser sezon aperte Se aggungamo e sottraamo la quanttà : ottenamo BSn n 1 1 B 1 B B 1 B S h s x Sn xh An n Sn n Sn ovvero : B 3 1 B B n Sn BS1 h s An x Sn n 1 x dove : (n+1)s n momento statco d tutte le nervature rspetto ad x. 54

55 Modfche del metodo d Engesser sezon aperte Poché l momento statco d tutta la sezone rspetto all asse neutro è nullo, s ha : B 1 n 1 Sn BS1 0 Pertanto, la dstanza h vale : h B n 1 x 1 3 B s A n x 1 S n 55

56 Modfche del metodo d Engesser sezon aperte La rgdtà torsonale andrà calcolata rspetto ad un asse x x e ad una dstanza y y, ovvero: EE x y da A (prma modfca del metodo d Engesser) 56

57 Esempo su modfche d Engesser h B n 1 x 1 3 B s A n x 1 S n Se B le nervature sono ugual e ugualmente spazate d luce λ, s ha: C x n e e x n B x nn 1 n 0 1 n 1 1/(n+1) qund : B 1 B n 1 x 1 n n x ovvero, all aumentare delle nervature y tende a concdere con y n 57

58 Modfche del metodo d Engesser sezon chuse Nel caso d sezon chuse : B h B S1 b S x Sn 1 1 B s b s A x S n n s 1 s b/ b/ h dove : S n S 1 S momento statco d una nervatura rspetto ad x momento statco d una soletta sup. d larghezza untara rspetto ad x momento statco d una soletta nf. d larghezza untara rspetto ad x In tal caso h rsulta sempre mnore d quello ottenuto nel caso d sezone aperte a causa della presenza della controsoletta. 58

59 torsone secondara d sezon chuse: a modfca del metodo d Engesser 59

60 Comportamento sezon aperte Il comportamento torsonale d una nervatura d una sezone aperta è assmlable a quello d un rettangolo allungato sul pano medo, dove rsultano nulle le tenson tangenzal ed relatv scorrment : w v w zy v ' 0 y z y w y v' ' x Nelle trav nflesse per effetto della torsone s ha, ntroducendo la dstanza y al posto d y : w w v' y ' x y e v'' y '' x y z 60

61 Rgdtà torsonale secondara n sezon chuse Passando alle sezon chuse, le non saranno pù nulle ne pan med delle nervature, b 0 s 1 poché s B T h b/ b/ b T b 0 0 b b x x b x b area racchusa dalla lnea meda dell anello esterno = b h 61

62 Rgdtà torsonale secondara n sezon chuse T b b x 0 x b Sulle trav d estremtà (x = b/) s ha : ovvero b 1 T b G Gb Gb x zy 0 zy 0 0 b 0 s 1 s B T b/ b/ b h 1 GJ ' b 1 b 4 zy Gb 0 x b0 x h b b b b0 x s1 s avendo sosttuto nel momento torcente le seguent espresson : ' T GJ ' con GJ 4G b x s s h b b b 0 1 6

63 Rgdtà torsonale secondara n sezon chuse Dopo alcune semplfcazon, sulle trav d estremtà (x = b/) s ha : e (potes d Engesser) : b zy x bb s s b h s1s ' w b b b zy ' ' 1 ' y x bb s s b h s1s 63

64 Rgdtà torsonale secondara n sezon chuse Per sezon chuse, la precedente relazone può scrvers n forma generale : w y ' x v' e da questa, rcordando che alla grandezza geometrca va sosttuta la grandezza rdotta xy,s ha : xy w w v' y ' x y v '' y '' x y z 64

65 Rgdtà torsonale secondara n sezon chuse Sezon aperte EE x y da A La rgdtà torsonale secondara per sezon chuse vale : e qund : E E x y da A E E (seconda modfca del metodo d Engesser) Se s pone μ=1, la relazone concde con quella rcavata per sezon aperte. Cò rspeccha una contnutà fsca d comportamento osservando che μ è drettamente legato all ngobbamento della sezone. 65

66 Rgdtà torsonale prmara e secondara I pont a sezone trasversale costante possono essere consderat lber da torsone secondara se: dove : GJ E L rgdtà torsonale prmara rgdtà torsonale secondara lunghezza della travata GJ T L 10 E I pont a sezone trasversale non costante possono essere consderat lber da torsone secondara se: GJ GJ T dl L E E L 10 =1,,3...segmento 66

67 ntegrazone dell equazone fondamentale della trave soggetta a torsone 67

68 Integrazone dell equazone fondamentale L equazone fondamentale della trave soggetta a torsone E ''''(z) GJ ''(z) m s può anche scrvere : ''''(z) ''(z)= m E essendo GJ E (equazone dfferenzale lneare a coeffcent costant) 68

69 Integrazone dell equazone fondamentale L ntegrale generale dell equazone omogenea assocata è del tpo e hz '''' '' 0 L equazone caratterstca è cheammettelesoluzon 4 h h 0 h 0 (doppa radce) h h L ntegrale generale è : C C z C e C e z con C 1 C 4 da determnare n funzone delle condzon a lmt z 69

70 Integrazone dell equazone fondamentale Essendo : snh z e z e z cosh z e z e z l ntegrale generale dell equazone omogenea assocata può anche essere scrtto : dove : C C C ' C C C ' C C z C cosh z C snh z ' '

71 Integrazone dell equazone fondamentale L ntegrale partcolare dell equazone fondamentale della trave soggetta a torsone E ''''(z) GJ ''(z) m è m k E z con k costante da determnars 71

72 Integrazone dell equazone fondamentale Se calcolamo le dervate dell angolo d rotazone torsonale m '' k E '''' 0 e le sosttuamo nell equazone dfferenzale, s ha : m m k E E e qund 1 k L ntegrale partcolare è. m E z 7

73 Integrazone dell equazone fondamentale In defntva, l ntegrale generale dell equazone dfferenzale è E ''''(z) GJ ''(z) m m C C z C cosh z C snh z z ' ' E 73

74 Integrazone dell equazone fondamentale Per determnare le costant d ntegrazone s pone : 0 ' 0 '' 0 E ''' GJ ' T E ''' T.... rotazone torsonale nulla vncolo ngobbamento mpedto (w = 0) sezon d smmetra o vncolo tenson normal nulle ( E y v '' 0 ) sezon d estremtà momento torcente nullo, sezon d estremtà o d smmetra momento torcente nullo e =0 74

75 Integrazone dell equazone fondamentale Nel caso d contnutà d pù tronch, s pone nelle sezon d contatto : s ' s '' s d ' d '' d s d contnutà delle rotazon torsonal nelle sezon d contatto contnutà degl spostament assal nelle sezon d contatto eguaglanza delle tenson normal nelle sezon d contatto rotazon torsonal nulle nelle sezon d contatto 75

76 la torsone del traverso 76

77 La torsone ne travers v x Gl spostament vertcal v defnscono nel pano longtudnale l angolo d rotazone : che rappresenta : Ⱶ Ⱶ v z ' x una rotazone flessonale delle nervature una rotazone torsonale per gl element trasversal. z* z v (z) v 0 v1 v v3 x 0 3 v 3 (z) 77

78 La torsone ne travers L angolo untaro d torsone de travers vale: x ' x ' x Pertanto, se s defnsce una rgdtà dstrbuta GJ rferta alla fasca d larghezza untara, (rgdtà torsonale d cortna) n una fasca d larghezza nfntesma dz, nasce l seguente momento torcente rferto a travers : dt GJ ' dz z 78

79 La torsone ne travers Il lavoro d deformazone dovuto alla torsone ne travers n una strsca d larghezza dz e lunghezza par a quella del ponte è 1 GJ d dtz' dz b' dz b mentre l lavoro d deformazone da torsone prmara della travata è 1 GJ ' ' d Tzdz dz Il lavoro d deformazone totale vale : 1 ' d GJ bgj dz 79

80 La torsone ne travers Pertanto, la presenza d una cortna resstente a torsone equvale ad una rgdtà prmara fttza : GJ GJ bgj f Tale valore va consderato nell equazone fondamentale della trave soggetta a torsone. Il momento torcente prmaro assume l espressone mentre quello sollectante una fasca untara d cortna vale Tz1 GJ ' Tz1 GJ ' e va rportato all nterasse Δz servto dal traverso. 80

81 calcolo delle tenson ndotte da torsone 81

82 Le tenson normal La conoscenza della (z) consente l calcolo delle corrspondent tenson normal medante la relazone essendo : w EE Ev'' y E'' x y z w y ' x v' w v' y ' x y w v '' y '' x y z 8

83 Le tenson normal La precedente relazone può essere posta n forma dversa moltplcando e dvdendo per : dove : M xy 1 x y x y E E BM '' '' B E '' è l b momento Se B M =0, anche μ=0 e s rcade nel problema d De S.Venant (solo torsone prmara). 83

84 Le tenson normal Lo stato tensonale complessvo sarà dovuto: comportamento trave nflessa (carco centrato) comportamento torsonale (carco eccentrco) M B M tot y I x y B/ (tenson normal dovute al b momento) O G x x y b/ 84

85 Le tenson normal S not che per h 0 s ha : M B B I M M xy x y y I M I I M M tot 1 Può defnrs ancora una volta un coeffcente d amplfcazone 1 B M M I x analogo a EIe 1 EI x x 85

86 Le tenson tangenzal nelle sezon aperte σ z bds ( b) bdz dzds s ds b(s) dz τ bdz bds b dzds z z s // z Le tenson tangenzal sono dovute al contrbuto della torsone prmara e secondara. Su una generca corda d una nervatura, l contrbuto dovuto alla torsone secondara è : d T b da E x yda E x yda E x S x S ''' ''' ''' z dove: A S y 0 y y dz A A A area della parte della sezone trasversale della nervatura posta al d sotto della corda momento statco rspetto ad x della parte della sezone trasversale della nervatura posta al d sotto della corda essendo Tz E ''' 86

87 Le tenson tangenzal nelle sezon aperte Le tenson tangenzal sono dovute al contrbuto della torsone prmara e secondara. Su una generca corda d una nervatura d T b da Ex yda E x yda E x S x S ''' ''' ''' z 0 y y dz A A A mentre su una corda della soletta, s ha n ''' ''' B n Tz s E xyda E xs j j h1 xda xjsj h1 S x A dove: h 1 S j S dstanza dell asse della soletta rspetto all asse neutro x moment statc rspetto ad x delle aree delle nervature ste alla destra della corda momento statco rspetto ad x della parte d soletta a destra della corda 87

88 Le tenson tangenzal nelle sezon aperte B xy Unendo le due relazon s ha : d d B da x y da dz dz A A A d 1 1 T dz '' '' z E xy da E xy da S A dove B/ S x y d - O x 0 1 b/ 3 88

89 Le tenson tangenzal nelle sezon chuse S mpongono delle sconnesson a ped d n nervature e s applcano le stesse formule delle sezon aperte, ovvero : d B d T x y da E xyda E xyda S '' ''' M z dz dz A A A In partcolare, per la controsoletta s ha : 1 b S x y d hs x 4 O b/ h x La determnazone rgorosa de fluss ncognt a ped delle n nervature dove è stata eseguta la sconnessone non è semplce y 89

90 Le tenson tangenzal nelle sezon chuse Pertanto, s adotta la formula d Bredt generalzzata : b b x b * * 0 0 * * * * 1 n 0 s s s b s b * * 0 n b essendo : x n n x x * * * T b0 bh b0 b b y O x 90

91 Le tenson tangenzal nelle sezon chuse L ncognta (τb 0 ) s ottene equlbrando le forze nterne total τda e l momento torcente secondaro T z. d dl * d dl T z (contrbuto sezone aperta) (contrbuto sezone chusa) I contrbut della sezone chusa all equlbro torsonale sono : 1 T z n d dl h1 x S x I 0 (nervature) 1 Tz d dl h his (controsoletta) dove d è la dstanza rspetto ad un polo arbtraro, n questo caso la soletta superore. 91

92 Le tenson tangenzal nelle sezon chuse Rsolvendo l equazone d equlbro torsonale s ha : dove * T T z 1 1 * hx S x I h hi * 1 s 9

93 esemp 93

94 Esemp Travata appoggata Caso: trave con vncol d estremtà che consentono rotazon flessonal ma non torsonal. m=a e L/ L/ z y La soluzone dell equazone fondamentale dell equlbro torsonale è : dove : m C1 Cz C3cosh z C4snh z z EI GJ E 94

95 Esemp Travata appoggata Condzon a lmt Ⱶ In mezzera (z=0), per smmetra, s ha : ' 0 ''' 0 ( ngobbamento mpedto ) ( momento torcente nullo ) Ⱶ Nella sezone d estremtà (z=l/) s ha : 0 '' 0 ( rotazone torsonale nulla ) ( tenson normal nulle ) 95

96 Esemp Travata appoggata Dalle le prme due condzon s ottene : C 3 4 C 0 C 4 0 e qund C C4 0 Se s admensonalzzano l ascssa e la tensone z L L dalle altre due condzon s ha : C 4 ml EI cosh / C 4 ml EI 8 96

97 Esemp Travata appoggata Sosttuendo le costant nell espressone della soluzone, s ha : cosh 1 EI cosh / 8 ml Le caratterstche della sollectazone valgono : 1 snh cosh / ' Tz1 GJ ml ''' Tz EI ml 1 snh cosh / '' 1 cosh BM EI ml 1 cosh / 97

98 Esemp Travata appoggata La caratterstca torcente s avrà per somma d due alquote : T T T ml z z1 z dove T z1 ml 1 snh cosh / Tz ml 1 snh cosh / T z1 ml/ z T z 98

99 Esemp Cas lmte per travata appoggata Passando a lmt, le relazon trovate n precedenza consentono d trovare cas d sola torsone secondara e d sola torsone prmara. Se s utlzzano le poszon GJ EI GJ L L EI 1 1 EI LGJ per σ 0, valgono seguent lmt: lmsnh lm cosh / 1 4 cosh lm 1 cosh /

100 Esemp Travata appoggata: cas lmte Per pura torsone secondara: GJ 0, 0 Per pura torsone prmara: EI 0, Introducendo lmt rportat n precedenza s ottene: 4 4 ml 5 EI ml GJ 1 8 Tz1 0 Tz Tz ml 1 B ml 8 Tz Tz1 ml Tz 0 B 0 100

101 Esemp Travata a sbalzo Caso: trave a sbalzo, con carco torcente dstrbuto m e coppa torcente T concentrata all estremo. T=A e m=a e z y L La soluzone dell equazone fondamentale dell equlbro torsonale è : m C1 Cz C3cosh z C4snh z z EI 101

102 Esemp Travata a sbalzo Condzon a lmt Ⱶ All estremo lbero (z=0) s ha : '' 0 ( tenson normal nulle ) ''' ' EI GJ T ( momento torcente ) Ⱶ All estremo ncastrato (z=l) s ha : 0 ( rotazone torsonale nulla ) ' 0 ( ngobbamento mpedto ) 10

103 Esemp Travata a sbalzo Per le prme due condzon s trova: C m EI 4 ml EI C T EI TL EI Le altre due costant s possono rcavare dalle altre condzon : C C 4 3 ml 1 snh cosh 1 ml 1 1 snh snh 1 cosh cosh 1 EI EI ml 1 snh ml 1 1 cosh cosh EI EI 103

104 Esemp Travata a sbalzo La caratterstca torcente s avrà per somma d due alquote: T T T ml z z1 z T T z z m T z1 104

105 Esemp Travata appoggata: cas lmte Per pura torsone secondara: GJ 0, 0 Per pura torsone prmara: EI 0, Introducendo lmt rportat n precedenza s ottene: ml 1 TL 1 EI EI 3 Tz1 0 Tz Tz mlt ml 1 TL 1 GJ GJ Tz Tz1 mlt Tz 0 B ml B 0 105

106 Ulteror consderazon Rsulta utle estendere la soluzone ottenuta mponendo GJ=0 al caso n cu non possa pors tale condzone. Rapporto tra rotazone torcente corrspondente a GJ 0 e rotazone torcente con GJ=0 : cosh senhsenh 1 cos h 1 8 cos h 4 4 Trave appoggata: carco rpartto m Trave a sbalzo: carco rpartto m senh 1 3 cosh 3 3 Trave a sbalzo: carco concentrato M 106

107 Ulteror consderazon Il coeffcente d amplfcazone d Engesser può essere calcolato nel seguente modo per tener conto anche della rgdtà torsonale prmara : 1 EI EIx ex 107

108 Esemp Travata a pù luc Il problema va affrontato suddvdendo la soluzone n quella relatva a sngol tronch. S consderano cas lmt d pura torsone prmara (estensone del problema d De S. Venant) e d pura torsone secondara (Engesser) L 1 L a a e e z y 108

109 Esemp Travata a pù luc Nel caso d sola torsone prmara non s consderano gl ngobbament e l unco vncolo d tpo torsonale è quello che mpedsce la torsone. Ogn tratto compreso tra due vncol torsonal s trova nella condzone d trave appoggata, ndpendentemente da vncol flessonal ntermed m m L 1 L S è consderato un carco costante a e, per e, le possbltà ndcate. Nel caso pù generale l valore estremo del momento vale ml 1 / ml / 1 T T1 ml L 1 / L / 109

110 Esemp Travata a pù luc Consderando l caso lmte d sola torsone secondara (Engesser), l equazone fondamentale della torsone dventa : '''' m EI Il suo ntegrale generale, valdo per cascuno tronco, s scrve: 4 ml C C C C EI

111 Esemp Travata a pù luc Il problema è rcondotto a quello della trave nflessa con le seguent equvalenze : Carco = m (momento torcente) Rgdtà flessonale = EI (rgdtà secondara) Abbassamento = (rotazone torsonale) Taglo = T z (momento torcente) Momento flettente = B M (bmomento) In questo caso bsognerà tener conto della contnutà e la mutua nfluenza tra le condzon d carco ne sngol tratt. 111

112 Esemp Travata a pù luc m m L 1 L T= T T= T e 1 = e e = e e = e B M e 1 = e e 1 = e e = e e = e B M e 1 = e 11

113 Esemp Suggerment per le verfche Le condzon d carco che conducono a valor massm e mnm d T e B M non concdono n generale con quelle che fornscono valor massm e mnm d V e M. Cò non semplfca la rcerca de valor massm delle tenson : M I y B M x y V T b S xs I 0 y 113

114 Esemp Suggerment per le verfche I valor che possono assumere T e B M sono condzonat da valor modest dell eccentrctà d carco. S evnce che prm termn saranno pù condzonant de second. S opererà, pertanto, determnando le massme sollectazon d V e M e consderando per la stessa condzone d carco, con opportuna eccentrctà, valor corrspondent d T e B M. 114

115 Prncpal rferment Aldo Rathel.. Lguor edtore ISBN X 115

116 FINE 116