Torsione di sezioni assialsimmetriche

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1 orsone d sezon assalsmmetrche S applca con un momento, che può anche essere rappresentato con un vettore (per dstnguerlo a doppa frecca), secondo la regola del cavatapp La barra è n torsone pura se ogn sezone è assoggettata a solo momento torcente (facle nelle sezon assalsmmetrche) Incastro Il calcolo parte da una assunzone: Per l assalsmmetra s presume che cascuna sezone ruot attorno all asse e s mantenga pana e ad esso ortogonale Ogn sezone ruota d un angolo = f(x)

2 Esamnamo un elementno d lunghezza assale dx Angolo d torsone per untà d lunghezza: d dx R Scorrmento fbra esterna: max bb' Rd atan ab dx R Dato che l angolo d torsone è uguale nella sezone, esso è ndpendente dal raggo e qund: r r r R max Varazone lneare n r Quanto fn qu svluppato s basa solo sulla geometra e qund vale per qualunque materale, lneare o non, elastco o plastco che sa Caso d materale elastco lneare max GR r Gr

3 Rfermento assale Rfermento nclnato d 45 Aspetto d una rottura per torsone su un materale a comportamento fragle Aspetto d una rottura per torsone su un materale a comportamento duttle

4 LEGAME RA IL MOMENO ORCENE APPLICAO E LA ENSIONE DI AGLIO Contrbuto elementno da: max d rda r da R R r Sommando tutt contrbut max max d r da I are A A R R I r rdr R D 0 R Per una sezone crcolare: 4 4 R max max 6 I D Crcolare pena ext max Dext Dnt D Crcolare cava Nella progettazone d alber d trasmssone d potenza, s usano n genere alber cav per un rsparmo d peso senza andare ad nfcare pesantemente l momento ammssble I r t med d 4 med t

5 Barra d torsone stablzzatrce Le barre d torsone possono sostture anche le tpche molle elcodal utlzzate nelle sospenson de vecol

6 LEGAME RA IL MOMENO ORCENE APPLICAO E ANGOLO DI ORSIONE max ; R GI L L GI GI L L GI Rgdezza torsonale Flessbltà torsonale Esempo Un albero d trasmssone trasmette un momento torcente = 00 Nm e G=78 GPa. Le due condzon da rspettare sono: massmo taglo ammssble = 40 MPa; massmo angolo torsone untaro = 0.75 /m. Confrontare le due soluzon d albero peno o cavo d cu è noto l rapporto dametro esterno / spessore Soluzone: 00 d m 5.5 mm d 0 6 mm 400 I 9 G * /80 amm 4 p 4 amm mm

7 d d t d 0. d 0.8d I d d 0.8 d d d d amm 4 I d 0.59 d d I d amm 6.7 mm amm = d mm GI G d G amm 4 Consderando le due condzon pù vncolant sul progetto d d = W W cavo peno d d d 0 = 0.47 Ingombro esterno appena maggorato Peso totale notevolmente rdotto

8 ORSIONE NON UNIFORME LUNGO L ASSE e.g. all albero con due sezon dverse sono applcat 4 moment torcent tratt sono soggett a moment dfferent S possono determnare valor medante equlbro dell elemento sezonato CD BC AB Come verso postvo del momento s scegle quello che fa uscre l vettore dalla sezone L GI p ot L n GI p I tratt vanno suddvs per ogn varazone d momento, d sezone, d materale

9 Se momento torcente e sezone varano con contnutà occorrerà ntegrare lungo l asse x L d 0 0 L x x G I p dx Come nel caso della aste, anche qu le formule sono affdabl se la varazone della sezone lungo l asse è lmtata a meno d crca 0 Eventual concentrazon d tensone hanno un effetto abbastanza lmtato sulla deformabltà torsonale dell albero e non vengono qund conteggate enson su rfermento nclnato Lo scopo è d descrvere l andamento d tensone e taglo su d un pano nclnato dl ab bc cd da Spessore untaro

10 Equlbro n dr. normale cos sen sen cos dl Equlbro n dr. tangenzale x y xy sen cos + sen cos sen + cos x y yx xy Nel caso n cu sano present solo component d taglo nel rfermento nzale sen cos La tensone presenta una perodctà dmezzata rspetto alla geometra E max max mn E max

11 S consder ora l elemento deformato da torsone max L h La stessa lunghezza può otteners dal teorema del coseno applcato al trangolo abd Utlzzandole entrambe bd max Lbd h h h cos max cos max max Se le deformazon sono pccole, s possono trascurare quadrat e confondere l seno con l angolo max Uguaglando le due espresson d max E E G Ossa la relazone tra le caratterstche elastche gà ndcata n precedenza

12 RASMISSIONE DI POENZA DA ALBERI CIRCOLARI La potenza vene trasmessa medante l applcazone s un momento su d un albero rotante Il lavoro computo: W La potenza trasmessa: dw d P dt dt Esprmendo la veloctà angolare n gr/mnuto, s ottene la P n 60 Dalle precedent s può anche evdenzare l legame tra potenza e tensone ammssble INPU D n P 6 60 amm A partà d potenza e d materale, gl alber pù veloc hanno mnor dametro Ad esempo n un RIDUORE l asse d ngresso ha l dametro pù pccolo INPU

13 Esempo: Grppaggo In un albero n accao d dametro d= 80 mm è fssata una massa volanca, anch essa n accao, con dametro D= 800 mm e spessore s= 50 mm. Mentre l albero ruota a 60 gr/m, s determna un grppaggo al cuscnetto destro. Calcolare la sollectazone conseguente. Massa ed nerza are del volano rsultano: 4 4 m s D kg D J m 5.68 kg m rascurando la massa dell albero, tutta l energa cnetca s trasforma n energa elastca mmagazznata nella torsone, una volta grppato l cuscnetto 60 Ec J Joule 60 Il lavoro d deformazone nvece vale W tors M GI tors p L con E.0 G I p d m Pa

14 Imponendo l uguaglanza delle due energe: M L J GI tors p M tors 0 6 G J I p L 60 Nm D conseguenza, consderando che l momento sa applcato statcamente, ossa che non s abbano effett dnamc dell albero sovrappost 6M tors 6477 max 4 N / mm d 0.08 A questa sollectazone massma, corrsponde una rotazone untara e totale par a 4 Gd max 5 unt / rad mm 5 unt l rad.448

15 ORSIONE DI COMPONENI SAICAMENE INDEERMINAI In questo caso bsognerà tener conto sa della condzone d equlbro al momento che s può scrvere su qualsvogla sezone 0 Sa della condzone sulla deformabltà che fornrà le condzon d congruenza GI L L G I L G I GI G I G I GI G I G I Ne rsulta che la maggore coppa è supportata dall albero pù rgdo

16 ENERGIA ELASICA IMMAGAZZINAA Nel caso d sezone unforme: U L GI GI L U Nel caso d sezon suddvse o carch varabl n modo dscreto: U L GI U : : G I L n n x Infne, nel caso d sezon varabl con contnutà lungo l asse du GI xdx x U L 0 GI xdx x S osserva che le energe non sono anche qu sommabl lnearmente: L energa totale non può essere rcavata dalla somma delle energe prodotte da cascun carco agente separatamente

17 Esempo È data una barra a sezone varable lnearmente sollectata con un momento torcente. Calcolare la rotazone massma. Soluzone: Il modo pù convenente d operare è uguaglare l lavoro esterno all energa mmagazznata W A U L 0 GI xdx x Bsogna esplctare la legge con cu vara l momento are della sezone + d d B A d x d A x L db da I x d A+ x L L dx 6 L U 4 G 0 d G db d A d B d A A db da+ x L L A G db d A d A db Notare che l caso n cu dametr estremal fossero ugual non è mmedatamente compreso 4

18 orsone d tub sottl s Nel caso d sezon sottl e chuse, ossa non semplcemente connesse, la teora d Bredt offre una soluzone basata sul flusso delle tenson che consente d rcavare una soluzone approssmata molto realstca. SI rchede anche che tutte le sezon assal sano ugual S consdera un elementno abcd d dmenson dx ds s b Il pccolo valore d s consente d potzzare che sa costante nello spessore s dx s dx L equlbro n drezone assale mpone che sa F b = F c b b c c Da tal potes rsulta che l flusso d tensone, n drezone d s è costante f s cost s c

19 S consdera l contrbuto che tale flusso dà al momento calcolato rspetto ad un generco punto O nterno al tubo dc c d r f dc r s dc complessvamente rs dc L m fdc s Il precedente ntegrale, se f = cost, può rsolvers faclmente s r dc s A L m m Somma delle aree d tutt trangoln = area della zona delmtata dalla lnea meda Lnea meda As m I formula d BRED s La formula adersce perfettamente al caso d tubo crcolare sottle quando s consdera l momento nerza calcolable come un unca areola crcolare sottle I r s rs Se lo spessore vara, l massmo della tensone s ha n corrspondenza della sezone pù pccola s mn

20 Per valutare la deformabltà torsonale s esprme l lavoro d deformazone d un tratto assale d lunghezza untara: Westerno Wnterno dv dv s dc Vol Vol L G G m 4 4 dc s dc s dc L G m G Lm A Lm m s G A m s dc ; c s 4 G A s II formula d BRED 4 G A L m m m Varazone contnua Varazone dscreta Operando una smltudne con le sezon assalsmmetrche, s può dedurre una costante torsonale J, affne al momento d nerza are J 4 L m Am dc s Varazone contnua J 4 Am c s Varazone dscreta J 4 m A s L m Costanza spessore

21 Esempo: rave a cassone Una trave a cassone d lunghezza L, è soggetta a momento torcente M t. S determn: ) Lo spessore mnmo de due patt orzzontal, sapendo che la amm = 60 MPa ) L angolo d torsone sapendo che una estremtà è lbera e l altra ncastrata In termn d, la sollectazone ammssble è 60 amm 9.4 MPa L area sottesa dalla lnea vale mm M M t t MAX smin s MIN adm 4.8 mm Utlzzando ora la II formula d Bredt per spessor non costant s ha unt. 0 Mt c G s rad 5 ot unt L rad

22 SEZIONI A SRUURA CELLULARE La presedente teora può essere anche applcata alle sezon a struttura cellulare Consderando l equlbro delle tenson alle gunzon R, N s s s Il momento torcente può essere pensato come somma de due contrbut fornt da fluss nelle due celle s A s A L angolo d rotazone della sezone è nvece lo stesso per le due celle (congruenza) A 4 G A s c A 4 G A c s s A m c c c A c c A 4 G A G A A c c c c A A GA S not nfne che un setto smmetrco non contrbusce alla rgdezza a torsone ( = c =c A =A ) =0

23 Sezon prsmatche Per sezon non crcolar l problema è assa pù complesso e rchede soluzon d tpo non monodmensonale che non saranno qu dscusse. Alcun soluzon notevol sono comunque accennate Il prmo problema rguarda l warpng per cu occorre abbandonare l potes che le sezon pane rmangono tal D partcolare nteresse è l analoga d Prandtl (96) con l problema d una membrana d contorno uguale alla sezone n torsone, assoggettata ad una pressone nterna V è nfatt una formale equvalenza tra le equazon dfferenzal alle dervate parzal che soddsfano la torsone e la membrana soggetta a pressone la torsone è proporzonale all angolo d assetto della membrana rspetto al pano ndeformato La drezone del taglo è ortogonale alla lnea d massma pendenza Il Volume all nterno della bolla è proporzonale al momento torcente applcato

24 Nel caso d sezon rettangolar la soluzone vene n genere fornta medante due coeffcent correttv, e a MAX ; a b G a b b.8 n ; n n 0.6 S not come per sezon allungate due valor convergano al numero Questo rsultato può essere esteso a tutte le sezon composte da tratt sottl, purché semplcemente connesse e avendo cura d conteggare tutt tratt J h s h s s J con MAX MAX ; Costante torsonale N.B. Massmo ove s è max G J

25 orsone non lneare n sezon crcolar L andamento lneare con l raggo dello scorrmento permane n quanto dervante dalla congruenza e ndpendente dal comportamento del materale MAX R r Supponendo d conoscere la legge costtutva non lneare Rsulta noto l andamento d d r r dr R r dr 0 0 d max I I altro non è che l momento d nerza dell equazone costtutva, rspetto all asse delle È qund possble procedere passo-passo nel seguente modo: ) s assume un valore d rotazone ) S calcola l valore assocato d max ) S calcola I 4) S determna assocato a

26 CASO DI MAERIALE ELASO PLASICO PERFEO Superato l valore d nzo plastczzazone d R 6 S assste allo svluppo dall esterno d una corona plastca, fno a che essa non raggunge l centro In plastczzazone totale, l momento torcente vale: R R p 0 r dr Il rapporto tra plastctà completa e ncpente dà la msura della capactà addzonale della barra a supportare carch oltre l elastctà p 4 S not che questa capactà d carco oltre l ncpente ervamento (margne d scurezza) non dpende dall ncrudmento del materale, ma dallo stato d sollectazone presente

27 Al d sopra del lmte d ervamento, ma non oltre la plastczzazone totale, s ha: R p zona elast zona plast R R 4 Rcordando anche la relazone d congruenza 4 R r R R 4 Al crescere d θ, tende atotcamente a p

28 ENSIONI RESIDUE Supponamo che la sezone sa completamente plastczzata avendo applcato un momento p p R Rmuovere l carco equvale a sovrapporre un momento uguale e contraro Solo che l sstema ora reagsce (n scarco) n regme completamente elastco R 4 R R p p max 4 Alla rmozone del carco s hanno le seguent tenson resdue al centro e al raggo esterno max S osserv nfne che l albero, una volta plastczzato e scarcato, rsulta n grado d oppors elastcamente ad un momento torcente pù elevato del precedente d prma plastczzazone