APPELLO 8 FEBBRAIO 2018

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1 APPELLO 8 FEBBRAIO 018 1) Baricentro (vincolo) Calcolare la posizione del baricentro della struttura della Figura. Le aste AD,CD,DB hanno lunghezza b. G,F,E si trovano nella mezzeria delle aste. Tutte le aste hanno la stessa densita di massa per unita di lunghezza, tranne EF e CD che hanno densita meta. Origine nel punto medio di AB ) Statica (15 punti) A e B sono cerniere sferiche. C e un carrello che fornisce solo reazione verticale. Calcolare le reazioni a terra e le azioni nelle bielle. Sulla cerniera E e applicata la forza FE = (ex - ey - ez) Sulla cerniera F e applicata la forza FF = (ex - ey - ez) Cominciare col calcolare i GdV e i GdL. Cosa non torna? Come mai? Come si risolve? ) PPV (15 punti) Usando il PPV si calcoli la forze trasmessa dalla bialla EF alla cerniera F

2 TRACCIA DI SOLUZIONE Il tema d'esame è stato ispirato dall'esercizio a pagina 5 presente nella collezione di esercizi disponibile sulla pagina del corso. 1 Baricentro L'origine del sistema di riferimento è posizionato in O (mezzeria di AB). Per il calcolo del baricentro è utile considerare le proezioni della piaramide triangolare (equilatera) sui piani x-y e y-z. (a) Piano x-y (b) Piano y-z CORPO DENSITÁ MASSA x G y G z G Asta AD ρ ρb 1 b b b 1 Asta BD ρ ρb b b b ρ Asta CD ρb 0 b b ρ ρb Asta EF 1 4 b 5 1 b b 1 Asta EG ρ ρb 4 b 5 1 b b 1

3 La massa totale della struttura è: M T OT = 1 ρb Mentre le coordinate del baricentro risultano: Statica x G = 1 x j G M mj = 1 T OT 0 b j j y G = 1 y j G M mj = 47 T OT 15 b z G = 1 z j G M mj = T OT j b Il sistema di corpi rigidi ha 18 GdL ( per ogni asta) e 15 GdV ( dalle cerniere a terre, 1 per carrello e bielle e per la cerniera in D). Siamo nella situazione di GdV<GdL; le aste sono libere di muoversi lungo il loro asse. Tuttavia per l'assenza di coppie tali rotazioni sono del tutto ininuenti alla stabilità del sistema. Forze esterne: F E = (e x e y e z ) F F = (e x e y e z ) su E su F (1) Forze incognite: F A = (F Ax e x + F Ay e y + F Az e z ) F B = (F Bx e x + F By e y + F Bz e z ) F C = F Cz e z in C T EF = α(e x + e y ) su F T EG = β( e x + e y ) su G in A in B () N.B. Le forze nelle bielle saranno di trazione se i parametri incogniti saranno positivi, di compressione altrimenti. Considero il sistema globale M x (O) = F Cz b FF z b F Ez b + (F Ey + F F y ) b = 0

4 F Cz = 11 1 M z (A) = F By b F F y b F Eyb F F x b F Ex b = 0 F By = R y = F Ay + F By + F Ey + F F y = 0 F Ay = 8 4 M y (A) = F Bz b F Cz b + (F Ex + F F x ) b + F 1 Ezb + F F z b = 0 F Bz = R z = F Az + F Bz + F Cz + F Ez + F F z = 0 F Az = 14 + Considero il corpo DGB M x (D) = F Bz b + β b + F By b = 0 β = + 5 M y (D) = F Bz b + β 1 b F Bx b = 0 F Bx = Considero il sistema globale R x = F Ax +F Bx +F Ex +F F x = 0 F Ax = Considero il corpo DFA (compreso di cerniera F) M x (D) = F Az b + F Ay b + ( α F F y ) b + F F z b = 0 α =

5 Cinematica e PPV Per calcolare la forza trasmessa dalla biella EF alla cerniera F è necessario studiare il sistema senza la biella EF. Per le aste AD (1) e BD () scegliamo come polo le cerniere a terra, mentre per l'asta CD () scegliamo il carrello in C U (1) (M) = ω (1) AM U () (M) = ω () BM U () (M) = (U Cx e x + U Cy e y ) + ω () CM Rotazione nulla intorno alle aste ω (1) AD = 0 ω x (1) = ω () BD = 0 ω x () = ω(1) y ω() y + ω () CM = 0 ω y () = ω z () ω(1) z ω() z Cerniera in D U (1) (D) = U () (D) U (1) (D) = U () (D) ω () z = ω 1 y = 4 ω 1 ω (1) ω (1) z = ω 1 ω y () = 4 ω 1 ω z () = ω U Cx = ω b U Cy = ω 1 b ω x () = ω 1 Biella EG (U () (E) U () (G)) EG = 0 ω = ω 1 4

6 Atti di moto U (1) (M) = ( 4 e x 4 e y e z )ω 1 AM U () (M) = ( 4 e x + 4 e y + e z )ω 1 BM U () (M) = ( e x e y )ω 1 b + ( e x + e y + e z )ω 1 CM PPV P = F F U (1) (F ) + F E U () (E) + α(e x + e y ) (U (1) (F ) U () (E)) = 0 α =