Corso di Radioastronomia 1

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1 Corso di Radioastronomia 1 Aniello (Daniele) Mennella Dipartimento di Fisica Quinta parte: interferometria

2 Parte 5, Lezione 2 Interferometria a sintesi di apertura

3 Il principio di ricostruzione dell immagine

4 Ricostruire l immagine di una sorgente dalla funzione visibilità (1)

5 Procedura per ricostruire un immagine estesa La sorgente viene osservata con un grande numero di configurazioni dell interferometro in modo da coprire il piano (u,v) in modo uniforme Per ogni configurazione l osservazione viene ripetuta a tempi diversi in modo da sfruttare la rotazione terrestre per aumentare ulteriormente il numero delle baseline L insieme delle visibilità viene calibrato mediante l osservazione di opportune sorgenti di calibrazione per correggere effetti strumentali e variazioni nel segnale atmosferico Le visibilità vengono trasformate per ottenere l immagine celeste. Poiché il piano (u,v) non potrà contenere un numero infinito di baseline misurate l immagine sarà soggetta ad artefatti che possono essere ridotti, in una certa misura, da procedure di pulizia dei dati

6 La calibrazione delle visibilità

7 Calibrazione delle visibilità (2)

8 Calibrazione delle visibilità condizioni sulle fasi

9 Calibrazione delle visibilità condizioni sulle fasi

10 Calibrazione delle visibilità condizioni sulle ampiezze

11 La copertura del piano uv

12 Come campionare le visibilità per ricostruire l immagine Ricordiamo che la ricostruzione della mappa di brillanza richiede il calcolo di una trasformata di Fourier Gli algoritmi di Fast Fourier Transform (FFT) che vengono utilizzati nel calcolo discreto richiedono che i dati siano campionati in una griglia regolare costituita da un numero di punti che sia una potenza di due In un interferometro la copertura del piano (u,v) viene effettuata sfruttando due gradi di libertà: la rotazione terrestre e la disposizione delle antenne sul terreno. In generale nessuno di questi gradi di libertà è in grado di generare griglie regolari.

13 Il campionamento dato da un interferometro a due antenne Un interferometro a due antenne può coprire il piano (u,v) con più di una baseline sfruttando la rotazione terrestre In questo caso la traccia delle coordinate dei vettori bλ è un ellisse Lx, Ly e Lz sono le coordinate del centro dell ellisse rispetto a un riferimento arbitrario e δ0 è l angolo di declinazione

14 Esempio di campionamento 2D SMA (Maunakea, Hawaii) Il Submillimeter Array (SMA) è un radio interferometro di 8 elementi situato sul monte Maunakea nelle Hawaii. Lavora a frequenze fra 180 GHz e 418 GHz. È costituito da specchi di 6 m che possono essere disposti in configurazioni con baseline di lunghezza variabile fino a 509 m. La risoluzione finale è inferiore all arcosecondo.

15 Configurazione very extended - δ0 = 22, f = 345 GHz

16 Configurazione extended - δ0 = 22, f = 345 GHz

17 Configurazione compact - δ0 = 22, f = 345 GHz

18 Copertura completa - δ0 = 22, f = 345 GHz

19 Dirty beam e dirty image

20 Il dirty beam e la dirty map La trasformata di Fourier della distribuzione delle baseline nel piano (u,v) (funzione di campionamento) è una funzione definita nello spazio reale definita dirty beam, in quanto è la funzione con cui viene convoluta la brillanza Se definiamo S(u,v) la distribuzione delle baseline nel piano (u,v) e disponiamo di N baseline localizzate nei punti (uk, vk), la funzione S(u,v) è definita come: La distribuzione della brillanza misurata (detta anche dirty map ) è la trasformata di Fourier della funzione visibilità per la funzione di campionamento: Dirty map Brillanza vera Dirty beam Prodotto di convoluzione

21 Il dirty beam e la dirty map Vediamo il percorso logico che porta alla definizione della dirty map, che è la mappa che otteniamo antitrasformando le visibilità misurate

22 Il dirty beam e la dirty map Vediamo il percorso logico che porta alla definizione della dirty map, che è la mappa che otteniamo antitrasformando le visibilità misurate Partiamo dalla mappa del campionamento, costituita dalle coordinate delle varie baseline

23 Il dirty beam e la dirty map La trasformata di Fourier della mappa di campionamento rappresenta il fascio di antenna dell interferometro, il cosiddetto dirty beam. Il dirty beam è il fascio con cui viene convoluta la distribuzione di brillanza, ovvero la mappa vera del cielo Trasf. Fourier

24 Il dirty beam e la dirty map Dirty beam Convoluzione Dirty map Mappa vera

25 Il dirty beam e la dirty map Dirty beam Convoluzione Dirty map Mappa vera La dirty map è anche la trasformata di Fourier del prodotto fra la funzione visibilità (antitrasformata della mappa vera) e la funzione di campionamento (antitrasformata del dirty beam)

26 Esempi di dirty beam due antenne, un campione Funzione di campionamento Dirty beam

27 Esempi di dirty beam due antenne, un campione Funzione di campionamento Dirty beam Ogni punto rappresenta le coordinate (u,v) di ciascuna baseline Per un sistema di due antenne ci sono due punti perché ogni baseline può essere caratterizzata da due coppie di coordinate a seconda del verso del vettore

28 Esempi di dirty beam tre antenne, un campione Funzione di campionamento Dirty beam

29 Esempi di dirty beam quattro antenne, un campione Funzione di campionamento Dirty beam

30 Esempi di dirty beam cinque antenne, un campione Funzione di campionamento Dirty beam

31 Esempi di dirty beam sei antenne, un campione Funzione di campionamento Dirty beam

32 Esempi di dirty beam sette antenne, un campione Funzione di campionamento Dirty beam

33 Esempi di dirty beam sette antenne, 10 minuti Funzione di campionamento Dirty beam

34 Esempi di dirty beam sette antenne, 20 minuti Funzione di campionamento Dirty beam

35 Esempi di dirty beam sette antenne, 1 ora Funzione di campionamento Dirty beam

36 Esempi di dirty beam sette antenne, 3 ore Funzione di campionamento Dirty beam

37 Esempi di dirty beam sette antenne, 8 ore Funzione di campionamento Dirty beam

38 Ricostruzione dell immagine vera L algoritmo CLEAN

39 Problemi di regolarizzazione della griglia (u,v) Per poter applicare gli algoritmi di Fast Fourier Transform (FFT) è necessario che le visibilità siano campionate su una griglia regolare, costituita da un numero di punti pari a una potenza di due La funzione di campionamento misurata, però, non è mai distribuita in modo regolare, per cui è necessario applicare opportune procedure di interpolazione per ricostruire le visibilità nella griglia regolare Poiché il campionamento presenta, generalmente, disuniformità, esisteranno comunque delle regioni dove non è possibile ricostruire la funzione visibilità per interpolazione. In questi punti la scelta più semplice che può essere fatta è di porre V = 0. Questa scelta consente di ricostruire una dirty map che viene denominata soluzione principale. La soluzione principale, però, è spesso un approssimazione molto grezza dell immagine vera a causa di artefatti dovuti all annullamento delle visibilità nei punti in cui non è possibile la ricostruzione per interpolazione

40 L algoritmo CLEAN idea di base Il metodo CLEAN è stato proposto per la prima volta nel 1974 ed è ancora oggi il metodo maggiormente utilizzato per ricostruire la brillanza dalle misure di visibilità Si basa sull assunzione che la dirty map possa essere rappresentata come la sovrapposizione dell emissione da N sorgenti puntiformi + un fondo di rumore statistico. In forma matematica: Dirty map Ampiezza della sorgente Dirty beam i-esima nella posizione (xi,yi) Residuo Lo scopo finale è quello di ricostruire le ampiezze Ai e un approssimazione del dirty beam reale, indicato con PD

41 L algoritmo CLEAN procedura Inizializzazione: definire una mappa residua uguale alla dirty map, creare una lista di componenti CLEAN inizialmente vuota 1) Identificare il picco di intensità nella mappa residua 2) Sottrarre una frazione di questo picco utilizzando una versione del dirty beam riscalata sull ampiezza della sorgente 3) Aggiungere le coordinate del picco e l ampiezza alla lista delle componenti CLEAN 4) Tornare al punto 1 e iterare 1 4 fino a che non si raggiunge una certa condizione Step finale: creazione dell immagine ricostruita Creare un immagine con tutte le sorgenti puntiformi presenti nella lista delle componenti CLEAN Convolvere le sorgenti puntiformi con un fascio gaussiano ellittico ricavato fittando il picco principale del dirty beam Aggiungere la mappa residua ottenuta dopo la rimozione di tutte le componenti CLEAN

42 L algoritmo CLEAN esempio STEP 0 - inizializzazione Dirty map Componenti CLEAN Mappa residua

43 L algoritmo CLEAN esempio Dopo 30 iterazioni Dirty map Componenti CLEAN Mappa residua

44 L algoritmo CLEAN esempio Dopo 100 iterazioni Dirty map Componenti CLEAN Mappa residua

45 L algoritmo CLEAN esempio Dopo 300 iterazioni Dirty map Componenti CLEAN Mappa residua

46 L algoritmo CLEAN esempio Dopo 583 iterazioni Dirty map Componenti CLEAN Mappa residua

47 L algoritmo CLEAN esempio Ricostruzione della mappa finale Componenti CLEAN Mappa ricostruita Convoluzione con fascio gaussiano e aggiunta mappa residua

48 La sensibilità di un interferometro

49 Sensibilità di un interferometro

50 Sensibilità di un interferometro