Circuiti a tempo discreto Raffaele Parisi

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1 Circuiti a tempo discreto Raffaele Parisi Università di Roma La Sapienza Laurea Specialistica in Ingegneria Elettronica : Architetture di Circuiti TD Grafo di un circuito TD, validità di un circuito TD, teorema di Tellegen nel TD, architetture IIR (forme dirette, in cascata, in parallelo, forme trasposte), architetture FIR (fase lineare, traliccio), effetti della precisione numerica finita. 1

2 ARCHITETTURE DI CIRCUITI TD Grafo di un circuito TD Grafo! diagramma di flusso in cui: - i nodi coincidono con i sommatori e i punti di diramazione - i rami orientati coincidono con i moltiplicatori e gli elementi di ritardo Per ogni ramo viene indicato il valore della costante moltiplicativa o l operatore ritardo z -1 (inteso come coefficiente di trasmissione). 2

3 Esempio Circuito TD y[n] a z -1 b Grafo (o Signal Flow Graph, SFG) y[n] Ramo a guadagno unitario a z -1 b Sommatore Punto di diramazione 3

4 w k = N! j=1 Ad ogni nodo viene associata una grandezza. Ad ogni ramo (k, j), che unisce il nodo j al nodo k (da j a k), è associato un ingresso w j ed una uscita v kj =f kj (w j ). v kj w j v kj w k J K 4

5 Circuito TD valido Un circuito TD è valido (ovvero il suo grafo è calcolabile) quando non sono presenti percorsi chiusi privi di elementi di ritardo. y[n] Grafo non calcolabile L uscita y[n] non può essere calcolata in quanto dipende dall ingresso all istante n e dalla y[n] allo stesso istante. 5

6 Teorema di Tellegen per i circuiti analogici Nei circuiti analogici il teorema di Tellegen è una conseguenza delle leggi di Kirchhoff ed è una generalizzazione del principio di conservazione dell energia (principio dei lavori virtuali). Enunciato Il vettore delle tensioni e il vettore delle correnti di due circuiti distinti aventi lo stesso grafo sono ortogonali. v 1 T i 2 = N! v i = 0 1k 2k k=1 6

7 Teorema di Tellegen per i circuiti TD Per i circuiti TD si può dimostrare che si ha una proprietà simile: considerati due circuiti TD aventi lo stesso numero di nodi, vale la relazione: N N " j=1 " ( ) w v'! w' v = 0 k kj k kj k=1 in cui w k, w k ' sono le grandezze relative al nodo k e v kj, v kj ' le grandezze di uscita dei rami che congiungono il nodo j al nodo k (nel verso da j a k) rispettivamente nei due circuiti. 7

8 Esempio di applicazione del Teorema di Tellegen z -1 x'[n] b 0 b 1 y[n] a z -1 y'[n] y[n] = b 0 + b 1 x[n!1] y ' [n] = x ' [n!1] + ay ' [n!1] 1 2 x'[n] 1 z -1 b 0 b 1 y[n] a 2 z -1 y'[n] 3 8

9 I due grafi possono essere resi equivalenti con l aggiunta di rami fittizi (moltiplicatori per zero), in analogia con quanto avviene nel TC (aggiunta di rami di conduttanza nulla): 1 z -1 2 x'[n] b 1 a z -1 b 0 y[n] 0 y'[n] 3 3 Si può verificare che risulta: 9

10 ARCHITETTURE FONDAMENTALI DI CIRCUITI IIR Forme dirette Si considera l equazione alle differenze: corrispondente alla funzione di rete: 10

11 L equazione alle differenze può essere riscritta come un sistema di due equazioni: a cui si possono associare 2 funzioni di rete distinte: La funzione di rete complessiva si può scrivere: 11

12 Un circuito che realizza questa relazione è il seguente: x[ n] b 0 v!" n # $ 1 y!" n # $ b 1 a 1 b M-1 a N-1 b M a N che viene detto prima forma diretta (o forma diretta I). 12

13 Per la proprietà di linearità le due funzioni H 1 e H 2 possono essere invertite ( ) ed il circuito può essere ridisegnato nel seguente modo: 1 w[n] b 0 y[n] a 1 b 1 a N-1 b N-1 N.B. Si suppone per semplicità M=N a N b N 13

14 Le due linee di ritardo possono essere messe in comune: 1 w[n] b 0 y[n] a 1 b 1 Seconda forma diretta (o forma diretta II). a N-1 b N-1 N.B. Se M! N, alcuni rami non saranno presenti a N b N La seconda forma diretta minimizza il numero di elementi di ritardo ed è quindi una forma canonica (forma canonica diretta). N.B. Il minimo numero di elementi di ritardo è dato da max(m, N). 14

15 Esempio Forma Diretta I y[n] Forma Diretta II y[n]

16 Esercizio Data disegnare l SFG che implementa il filtro nella: 1. forma diretta I 2. forma diretta II 16

17 Esprimendo in modo diverso la H(z), è possibile ottenere architetture circuitali teoricamente equivalenti, in numero praticamente illimitato. I circuiti TD, infatti, rappresentano algoritmi e (nell ipotesi LTI) equazioni equivalenti si ottengono mediante trasformazioni lineari delle variabili. In pratica le architetture che si ottengono differiscono per: 1. Complessità topologica, cioè numero di componenti di un certo tipo (soprattutto moltiplicatori ed elementi di memoria). 2. Sensibilità agli errori di arrotondamento, dovuti alla precisione finita con cui si lavora (con prestazioni diverse se si opera in virgola fissa o mobile). 3. Modularità (importante nel VLSI). 17

18 Forma in cascata La H(z) è fattorizzata nel seguente modo: In genere viene implementata con celle modulari del II ordine del tipo: 18

19 Esempio Circuito del 6 ordine realizzato con celle del II ordine in forma diretta II w1[ n ] 1[ ] w2 [ n ] y2 n w3 [ n] y n [ ] b 01 b 02 b 03 y[n] a 11 b 11 a 12 b 12 b 13 a 13 a 21 b 21 a 22 b 22 a 23 b 23 19

20 Forma parallela Si utilizza lo sviluppo in frazioni parziali della H(z) : Presente se M N Se si raggruppano i poli reali a coppie, si possono considerare solo celle del II ordine : 20

21 Esempio: circuito del 6 ordine con celle del II ordine in parallelo a 11 w1[ n] e 01 e 11 y1[ n] a 21 a 12 w2 [ n] e 02 e 12 y2 [ n] y[n] a 22 a 13 w3 [ n] e 03 e 13 y3 [ n] a 23 21

22 Esercizio. Disegnare l SFG in forma parallela della funzione: Risoluzione 22

23 SFG con celle del I ordine 8 1/2 18 y[n] -25 Si hanno: 5 moltiplicatori 1/4 2 elementi di ritardo 23

24 Se si usano celle del 2 ordine: 8 Si hanno: -7 y[n] 5 moltiplicatori 2 ritardatori 3/4-1/8 8 24

25 Forme trasposte Il grafo trasposto di un grafo dato si ottiene: - invertendo tutte le direzioni dei rami del grafo; - scambiando tra loro le sequenze di ingresso e di uscita. Proprietà Il circuito ottenuto mediante la trasposizione ha la stessa funzione di rete del circuito originario. Esempio H 1 (z) y[n] y[n] H 2 (z) a a y[n] grafo trasposto disegnato con l ingresso a sinistra a 25

26 Esempio: cella del II ordine [ ] = [! 1] + [! 2] + [ ] + [! 1] + [! 2] y n a y n a y n b x n b x n b x n [ ] w n b 0 y[n] b 0 w n y[n] [ ] a 1 b 1 b 1 a 1 a 2 b 2 b 2 a 2 Forma diretta II Forma diretta II trasposta Le due architetture sono equivalenti. 26

27 ARCHITETTURE FONDAMENTALI DI CIRCUITI FIR Un filtro FIR causale ha solo zeri (e poli in z=0). I coefficienti a k (k 0) delle equazioni alle differenze sono nulli: L SFG delle forme dirette I e II si riduce al seguente: h [ 0] h [ 1] h [ 2] h[ M! 1] h[ M ] y[n] Filtro trasversale 27

28 Forma trasposta y[n] h[ M ] h[ M!1] h[ M! 2] h[ 1] h[ 0] Forma in cascata La H(z) viene fattorizzata: b 01 b 02 b 0Ms y[n] b 11 b 12 b 1Ms b 21 b 22 b 2Ms 28

29 Architetture per filtri FIR a fase lineare I filtri FIR a fase lineare sono simmetrici: h[ n] h[ M n] =! oppure h[ n] =! h[ M! n] n = 0, 1,, M La condizione di simmetria può essere sfruttata per ridurre il numero di moltiplicazioni nella convoluzione discreta M [ ] [ ] [ ] k = 0 n = 0, 1,, M y n = # h k x n! k " 29

30 M pari! lunghezza del filtro L=M+1 dispari Caso simmetrico: M! 1 2 " M # " M # y[ n] = ) h[ k] ( x[ n! k] + x[ n! M + k] ) + h % $ x n! k = 0 ' 2 & ( % ' 2 & ( h[ n] tappo centrale n Caso antisimmetrico: M! 1 2 " M 2 ( ) [ ] = [ ] [! ]! [! + ] y n h k x n k x n M k k = 0 30

31 M dispari! lunghezza del filtro L=M+1 pari Caso simmetrico: ( M! 1) " 2 [ ] = [ ] [! ] + [! + ] k = 0 h[ n] ( ) y n h k x n k x n M k n Caso antisimmetrico: M 2 ( M! 1) " 2 ( ) [ ] = [ ] [! ]! [! + ] y n h k x n k x n M k k = 0 31

32 SFG nel caso M pari (simmetrico): y[n] h [ 0] h [ 1] h[ 2] M h! $ # 1 " & 2 % '! h# M " 2 $ & % SFG nel caso M dispari (simmetrico): y[n] h [ 0] h [ 1] h[ 2] " M! 3# h $ & 2 % ' " M! 1# h $ & 2 % ' 32

33 STRUTTURE FIR A TRALICCIO (o LATTICE, pronuncia lettis ) I filtri a traliccio sono molto usati nel modellamento, nella stima spettrale e nel filtraggio adattivo. La struttura a traliccio standard è realizzata mettendo in cascata stadi elementari del tipo seguente: X i-1 (z) X i (z) q i Struttura Lattice base Y i-1 (z) 1 q i 1 Y i (z) I termini q i rappresentano i coefficienti del traliccio 33

34 In genere la connessione in cascata delle celle elementari è del tipo: Sez.1 Sez.2 Sez.N-1 Struttura a traliccio con 1 ingresso U(z) e due uscite X N-1 (z) e Y N-1 (z) 34

35 Fino al generico i-esimo stadio, le funzioni di trasferimento sono così definite: Dalla figura precedente si può verificare che le funzioni di rete si possono esprimere nel seguente modo: 35

36 Esempio:

37 EFFETTI DELLA PRECISIONE NUMERICA FINITA Le varie architetture circuitali che realizzano la stessa H(z) teorica differiscono per il comportamento che le caratterizza quando realizzate con precisione numerica finita. La quantizzazione riguarda sia le sequenze numeriche che i coefficienti dei filtri. Un numero reale x può essere rappresentato con precisione infinita nella seguente forma: Notazione in complemento a 2 in cui X m è un fattore di scala e i coefficienti b i valgono 0 o 1 (b 0 è il bit di segno). b 0 =0 b 0 =1 37

38 In precisione finita a (B +1) bit si ha: e la più piccola differenza tra due numeri è In questo caso i numeri quantizzati sono compresi nell intervallo: e può essere rappresentato secondo la notazione posizionale: L errore di quantizzazione è definito dalla relazione: 38

39 La notazione in complemento a due può essere arrotondata o troncata. Notazione in complemento a 2 arrotondata (B=2) Notazione in complemento a 2 troncata (B=2) In ogni caso, la quantizzazione è una operazione non lineare e senza memoria. 39

40 Se un numero è più grande di X m si ha overflow. In complemento a due, questo succede quando la somma di due numeri è più grande di X m (per esempio con 4 bit la somma di 0111 e 0001 fornisce 1000, che in decimale è -8). Una soluzione alternativa all overflow aritmetico o naturale è la saturazione, di solito utilizzata nei convertitori A/D. In ogni caso, se per ridurre l overflow si aumenta X m (a parità di numero di bit) aumenta anche l errore di quantizzazione. Overflow naturale Saturazione 40

41 Esempio Circuito ideale : x c (t) C/D v[n] y[n] D/C y c (t) T a z -1 T Con la quantizzazione: x c (t) C/D Q B Q B D/C T N.B. la moltiplicazione produce 2B+1 bit (il risultato deve essere troncato o arrotondato) Q B z -1 T 41

42 Il circuito ottenuto è non lineare per la presenza della quantizzazione e per la possibilità di overflow nel sommatore. Il risultato è che si possono avere fenomeni tipici di circuiti non lineari, come la presenza di cicli limite in assenza di ingresso, in cui l uscita oscilla in modo periodico. Se gli errori introdotti sono ragionevolmente piccoli, il modello si può linearizzare con l introduzione di sorgenti additive di rumore, il cui effetto può essere analizzato utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti. Modello linearizzato: x c (t) C/D T z -1 D/C T 42

43 In generale l effetto della quantizzazione dei parametri del circuito viene studiato separatamente. L effetto della quantizzazione dei parametri si traduce in una H(z) diversa da quella desiderata: N.B. Architetture circuitali diverse hanno diverse sensibilità rispetto agli errori sui parametri. Le sorgenti di rumore introdotte nel modello linearizzato hanno caratteristiche diverse e vengono filtrate in modo diverso. 43

44 4 bit Quantizzazione dei poli I grafici rappresentano le posizioni possibili dei poli quantizzati del primo quadrante nel circuito IIR del II ordine sotto rappresentato nella forma diretta (2 poli complessi coniugati re ±jθ ). Le possibili posizioni dei poli sono conseguenza della quantizzazione operata sui coefficienti del filtro. 7 bit 2r cos θ -r 2 z -1 z -1 y[n] N.B. Se i poli vengono quantizzati con B+1 bit, ci saranno solo 2 B+1 possibili posizioni! 44

45 4 bit 7 bit In figura è rappresentata un architettura alternativa alla precedente, che ha la stessa funzione di rete con gli stessi poli nel caso di precisione infinita. In questo caso, quando i coefficienti vengono quantizzati, le posizioni dei poli corrispondenti hanno una distribuzione uniforme in tutto il piano z. -r sen θ r cos θ r cos θ z -1 r sen θ z -1 y[n] 45

46 L effetto della quantizzazione dei coefficienti è quello di spostare i poli e gli zeri rispetto a quelli desiderati. EFFETTI DELLA QUANTIZZAZIONE DEI COEFFICIENTI in cui: Si tratta di determinare lo spostamento di poli e zeri dovuto ai termini e. In particolare, si supponga di voler valutare lo spostamento dei poli. 46

47 Supponiamo di quantizzare i coefficienti del denominatore. Bisogna valutare le quantità cioè le. Supponendo che i poli siano tutti semplici si ha: Inoltre (in base alla regola della derivazione a catena ) si può scrivere: e quindi: 47

48 Si ha: e!a(z)!a k z = z i = "z i " k!a(z)!z i z = z i = "z i "1 N $ (1" z j z "1 " N i ) = "z i j=1, j#i N $ j=1, j#i (z i " z j ) Quindi risulta:!z i!a k = N $ j=1, j#i z i N " k (z i " z j ) 48

49 Si ha dunque: Un risultato analogo si ottiene per la dipendenza degli zeri dai coefficienti b k. Proprietà!z i = N Se i poli (o gli zeri) sono vicini, piccoli errori nei coefficienti possono generare grandi errori nei poli (o zeri). Im z i N " k %!a k k =1 (z i " z j ) N $ j=1, j#i Re 49

50 Osservazioni Nelle forme in cascata e in parallelo che usano celle del II ordine, ogni coppia di poli complessi coniugati viene realizzata indipendentemente dagli altri poli. In particolare, nella forma in cascata la stessa proprietà vale per gli zeri. Nella forma in parallelo gli zeri vengono realizzati in modo implicito, quindi la variazione di un coefficiente influisce su tutti gli zeri. In ogni caso le forme in cascata e parallelo sono caratterizzate da minore sensibilità alla quantizzazione dei coefficienti rispetto alle forme dirette. 50

51 QUANTIZZAZIONE DEI COEFFICIENTI NEI FILTRI FIR Nei filtri FIR ha interesse solo considerare gli zeri. Anche se solitamente le forme dirette non vengono usate, l effetto nei filtri FIR è più facile da trattare. Si ha infatti: H(z) = M M! b n z "n = h[n] n=0 n=0! z "n ĥ[n] = h[n] +!h[n]!h(z) = Ĥ(z) = M M! ĥ[n] z "n = H(z) + #H(z) n=0 "!h[n] z #n n=0 cioè si ha una relazione lineare tra la variazione dei coefficienti e la variazione della funzione di rete. 51

52 H(z)!H(z) Vale ancora per gli zeri z i una relazione del tipo già visto:!z i!b k = N $ j=1, j#i z i N "k (z i " z j ) Tuttavia nella maggior parte dei casi, i filtri FIR hanno zeri che sono distribuiti in modo uniforme nel piano z e quindi dipendono in misura minore da variazioni dei coefficienti. N.B. Nel caso di filtri a fase lineare, le varie celle componenti mantengono fase lineare anche con la quantizzazione. 52