RICERCA OPERATIVA GRUPPO A prova scritta del 12 febbraio 2009
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- Ignazio Nigro
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1 RICERCA OPERATIVA GRUPPO A prova scrtta del febbrao 009. Dte se l vettore (, /4, /4) è combnazone affne, conca o convessa de vettor (, 0, ), (, ½, ½) e ( ½,, ). Il vettore (, /4, /4) è combnazone convessa de vettor (, 0, ), (, /, /) e ( /,, ) con coeffcent /, / e 0.. Rsolvete l seguente problema d programmazone lneare con l metodo d Fourer-Motzkn, esbendo la soluzone ottma (qualora essta) e l suo valore, ovvero classfcando l problema come nammssble o llmtato =,, z z z z Dall ultma tabella s ottene 0 e 0 7 che sono charamente ncompatbl. Dunque l problema è nammssble.. Dato l seguente problema (P) d programmazone lneare ma =,, sa y = (7/7, /7) una soluzone ammssble del suo duale. Scrvete l duale (D) d (P) e, usando le condzon d complementartà, dte se y è una soluzone ottma d (D). Il problema duale è:
2 Le condzon d complementartà sono: (/ / ) y = 0 ( + / + ) y = 0 (y /y /) = 0 (/y + y /) = 0 (y y ) = 0 y + y y y y + y y y y 0 =, Sosttuendo valor y = 7/7, y = /7 s ottene * = 0, * = /7 e * = /7. Essendo * una soluzone ammssble per l problema (P) s ha che y è soluzone ottma d (D). 4. Veccho West Al, Bll e Crag sono reduc da una rapna alla Natonal Bank che ha fruttato un bel malloppo: verdon. Al è l capo e vuole per sé almeno due terz d quanto prenderanno nseme Bll e Crag; Crag vuol prendere almeno due terz d quello che prenderà Bll; Bll vuole prendere pù che può. Qual è una soluzone che accontenta tutt? Trovatela rsolvendo un PL col metodo del smplesso. Semplce. Indcate con a, b e c le part d Al, Bll e Crag l PL s scrve ma b a + b + c = 00 b c < 0 a + b + c < 0 a, b, c > 0 Con due varabl d slack lo s porta n forma standard, e una varable auslara basta a defnre l problema auslaro per deterare una forma canonca: S ha: a + b + c + = 00 b c + y = 0 a + b + c + z = 0 a, b, c > 0 Con un pvot n rga e colonna s ottene a b c y z a b c y z corrspondente alla soluzone d base (degenere) a = 00, b = c = 0. La tabella canonca del problema è
3 Operando un pvot n rga e colonna s ha / ½ / ½ / ½ / / 00 Con un pvot n rga e colonna s rcava nfne la soluzone ottma / / / / / / / 4. Doo S voglono dsporre tessere del doo sulla scacchera raffgurata qu sotto. Ogn tessera occupa due celle quadrate della scacchera, e s guadagnano punt a seconda del colore delle celle coperte: una cella banca vale punto, una grga punt e una nera punt. Formulate l problema d dsporre le tessere senza farle ma sovrapporre e massmzzando l punteggo ottenuto. Po rsolvetelo col metodo del smplesso su ret. Basta assocare alla scacchera un grafo G con nod {,,, } corrspondent alle celle della scacchera. Ogn arco corrsponde a una coppa d celle adacent ed ha come peso la somma de relatv puntegg. Ad esempo, assocando numer crescent alle celle da snstra verso destra e dall alto n basso, l arco pesa + = 4, l arco 67 pesa = e così va. S not che l grafo è bpartto, dal momento che è prvo d ccl dspar: l nseme de nod par e quello de nod dspar sono evdentemente stabl
4 Il problema è un matchng d peso massmo, che s rformula come flusso a costo mo aggungendo un nodo sorgente s e un nodo pozzo p, gl arch sj (j par) e jt (j dspar) con capactà untara, e un arco d rtorno ts con capactà llmtata (questa costruzone è necessara n quanto l grafo non ammette un matchng perfetto). L orentamento degl altr arch sarà da nod par a nod dspar (ved fgura). Il costo degl arch che convolgono s o t è par a 0, quello degl altr arch par alla somma de puntegg degl estrem cambata d segno, e l problema consste nel calcolare una crcolazone d costo mo. Sccome la matrce de vncol del problema è totalmente unmodulare ogn soluzone d base rsulterà ntera e, dal momento che gl arch aggunt hanno capactà untara, avrà valor 0-: come è facle verfcare, l sottovettore corrspondente agl arch della grgla è caratterstco d un matchng d G. Una base corrsponde a un qualunque nseme d arch che forma un albero rcoprente G. Ad esempo s può sceglere come base nzale l nseme B 0 corrspondente agl arch a tratto grosso nella fgura seguente (a snstra). Una soluzone ammssble d base s ha ponendo 6 =,6 = = 4 = =, =,4 = (arch colorat, varabl non fssate agl estrem) e = 4 = 6, = 6, = =, = 4, = 0 (arch ner, varabl fssate all estremo nferore). La dsposzone delle tessere assocata a questo matchng, d peso 46, è vsble nella fgura a destra Un operazone d pvot comporta l ntroduzone d un arco entrante n base, con conseguente formazone d un cclo da elare selezonando un opportuno arco uscente. L arco entrante va scelto n base a cost rdott: ad esempo rsulta favorevole nserre l arco {0, }. Il cclo ntrodotto è formato da quest arco e da {6, 7}, {7, 8}, {8, 9},{9, 0}, {6, }, {, }, {, }, {, 4}, {4, }. L operazone conduce alla nuova soluzone ndcata nella fgura successva, che, con un peso par a 48, rsulta charamente ottma. 6. Doo (la vendetta) Stavolta parlamo del doo classco: sulla solta scacchera voglamo dsporre le ben note tessere rettangolar, contrassegnate a due estrem da numer compres tra e 6. Ogn tessera a. occupa una coppa d celle adacent alla scacchera b. va poszonata accostando un suo lato a quello d un altra gà poszonata (due tessere possono anche avere lat lungh nteramente concdent) c. può essere accostata a un altra solo se numer corrspondent a uno degl estrem che s toccano sono ugual
5 La sola dfferenza col doo tradzonale è che, sccome numer sulle tessere sono quell arab, le tessere non possono essere capovolte: ognuna ha coè ben assocato l suo numero d snstra e l suo numero d destra, ed è qund dentfcata da una coppa ordnata (a, b). Indchamo le celle della scacchera con de numer nter (ved fgura) e supponamo d voler usare una varable 0- up per dre che la tessera u = (a, b) è stata poszonata sulla coppa d celle p = (, j) con l numero d snstra, a, posto sulla cella e l numero d destra, b, posto sulla cella j (per convenzone supponamo sempre < j) Come s esprme un vncolo che obblgh la varable assocata a p = (, ) e u = (, ) a rspettare l terzo requsto? Indchamo con Q(j) l nseme delle coppe d celle adacent q = (w, z) con z adacente a j, z, w < z Ad esempo, con rfermento alla fgura e alla coppa p = (, ) s ha Q() = {(7, 8), (9, 4), (7, 8)} Analogamente ndchamo con R(j) l nseme delle celle r = (w, z) con w adacente a j, w, w < z. Sempre con rfermento alla fgura s ha qund R() = {(8, 9), (4, 9), (8, 9)} Sano po S(k) e T(k) gl nsem delle tessere della forma s = (y, b) e t = (b, y), rspettvamente, con y qualsas. Nel nostro caso, b =, s ha S() = {(, ), (, ), (, ), (4, ), (6, )} T() = {(, ), (, ), (, ), (, 4), (, ), (, 6)}. Defnamo n modo analogo Q(), R(), S(a) e T(a) relatvamente all adacenza alla cella e a tessere della forma s = (y, a) e t = (a, y). Nel nostro esempo s ha qund Q() = {(6, 7), (6, ), (6, 7)} R() = {(7, 8), (, 6), (7, 8)} S() = {(, ), (, ), (, ), (4, ), (, ), (6, )} T() = {(, ), (, ), (, ), (, 4), (, ), (, 6)} Il vncolo deve costrngere up a valere 0 se non v è alcuna tessera s o t n poszone q o r opportuna: up < Σ q Q(j), s S(b) qs + Σ r R(j), t T(b) rt + Σ q Q(), s S(a) qs + Σ r R(), t T(a) rt
RICERCA OPERATIVA GRUPPO B prova scritta del 12 febbraio x2
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