DIETRO LE QUINTE DELLA MATEMATICA

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1 DIETRO LE QUINTE DELLA MATEMATICA TEKNOTRE Anno Accademico Lezione n. 12 ( ) PERUCCO Pieraldo

2 Richiami Matematica : insieme di DOGMI di FEDE o di OPINIONI? Metodo deduttivo, logica e processo di acquisizione della conoscenza matematica sono gli strumenti di cui l uomo si è servito per cogliere la vera natura delle cose. sviluppo di considerazioni teoriche e astratte tendenza alla generalizzazione ed alla formalizzazione in rigorosi schemi logici perfezionamento dello strumento logico in modo del tutto autonomo. costruire la matematica fondandola unicamente su un suo principio di coerenza logica interna.

3 La Scienza è vera Conoscenza? Rivedere criticamente i fondamenti su cui si basa lo sviluppo delle Scienze La nostra (in)capacità di teorizzare la conoscenza del mondo pone in dubbio la possibilità di una connotazione certa e oggettiva delle nostre conoscenze. Esempi : i principi di complementarità di Bohr, di indeterminazione di Heisenberg (per la fisica) e il teorema di Gödel (per la Matematica) hanno fatto cadere le illusioni sulla possibilità di ricondurre il sapere a verità assolute.

4 Che cosa sappiamo veramente? Dobbiamo sapere, sapremo! D. Hilbert So che non so quasi niente, e a malapena lo so. K.R. Popper

5 La fine delle illusioni Hilbert: in Matematica esistono dei problemi di cui si può dimostrare che sono insolubili. Ma si considera «risolto» quando si può dimostrare, in un determinato sistema di assiomi, l insolubilità. L obiettivo è conseguire la certezza che in teorie costruite assiomaticamente siano impossibili delle contraddizioni Gödel: per mezzo del sistema di assiomi posto alla base della teoria formale dei numeri, cioè l Aritmetica, non si può dimostrare la non-contraddittorietà della teoria

6 La congettura di Goldbach Ogni numero pari (2N 4) è rappresentabile, in almeno un modo, come somma di due numeri primi 16= 11+5= 13+3, 18= 13+5= = = = = N n N n N n N n N n

7 La congettura di Goldbach 14 Scomposizione numeri pari in numeri primi f(2n) N

8 Attenzione alle apparenze Il matematico è interessato alle dimostrazioni e non si accontenta di un numero di esempi per quanto grande. La funzione di Eulero n f(n) = n 2 n +41 fornisce numeri primi per tutti i numeri naturali n? 41, 43, 47, 53, 61, Una funzione più efficiente n g(n) = n 2-79n fornisce numeri primi fino a n =79 compreso

9 Altre ipotesi false Il «problema cinese» : il numero n è un numero primo se è divisore di 2 n - 2 ; per n = 341 non è vero. (341 è divisore di , ma il numero 341 non è un numero primo: 341 =11 31) Ogni numero naturale è rappresentabile al massimo in un modo come somma di due numeri cubi (Es.: 35 = = ) Ma 1729 = = La proposizione è vera per tutti i numeri naturali fino al 1728 incluso!!!!. Per ogni numero naturale n (> 1) esistono numeri naturali x, y, z con la proprietà 4/n = 1/x + 1/y + 1/z. Questa proposizione è valida per tutti i numeri naturali n <

10 Paradossi e Antinomie paradosso : dal greco para (contro) e doxa (opinione). Opinione contraria a quella comune o a idee che si ritengono definitivamente stabilite. Ragionamento che in apparenza è logico e coerente ma che in sostanza è contraddittorio e contro l'opinione comune. Azione o cosa che è in contrasto con l evidenza logica, che costituisce un controsenso. antinomia In ambito filosofico: presenza contemporanea di due affermazioni contraddittorie, ma che possono essere entrambe dimostrate o giustificate. Si ha un antinomia quando un procedimento o un ragionamento (in termini sia filosofici sia logico-matematici A non-a ), produce in modo corretto e con eguale livello di consistenza e affidabilità due soluzioni. Occorre fare una netta distinzione fra le contraddizioni che nascono dalle antinomie e gli errori logici insiti nei paradossi.

11 Sembra paradossale Paradosso di Galileo n 2n = 1 x = 1 x = x x 2 = x 2 sottrarre x 2 da entrambi i membri x 2 - x 2 = x 2 - x 2 (x-x) (x+x) = x (x-x) dividere per (x-x) (x+x) = x ma x = 1 2 = 1

12 Altri esempi Achille e la tartaruga Tre enunciati falsi Qui ci sono tre enunciati falsi. a. 1+1 = 2 b. 2 : 2 = 3 c = 7 d = 9 e. 27 : 3 = 9 Paradosso della dicotomia

13 Antinomia del barbiere Un villaggio ha tra i suoi abitanti uno ed un solo barbiere, uomo ben sbarbato. Sull'insegna del suo negozio è scritto il barbiere rade tutti - e unicamente - coloro che non si radono da soli. La domanda : chi rade il barbiere? Antinomia mentitore del tutti i cretesi sono mentitori. ( questa frase è falsa ) Nessuno riuscirà mai a dimostrare se tale affermazione sia vera o falsa.

14 Altre elaborazioni del paradosso del Mentitore : - è possibile giurare di rompere il giuramento che si sta prestando? - è possibile ordinare di disobbedire all ordine che si sta impartendo? - che tipo di risposta, vera o falsa, si può ottenere domandando ad un bugiardo se è bugiardo? I paradossi sono asserzioni vere che sembrano false al principiante, errore che porta a generalizzare in modo illecito i risultati riscontrati in ambiti particolari. I paradossi sono un ausilio importante per portare all assurdo errori di pensiero.

15 I pericoli delle Antinomie Quando in una teoria si ammette una sola antinomia (ossia la validità al tempo stesso di un affermazione A e della sua negazione non-a ) si può dimostrare qualsiasi affermazione B a piacere. Gli studi di Bertrand Russell sulle antinomie portano alla introduzione di un insieme definito come l insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi come elemento. Chiedendosi se tale insieme contiene se stesso come elemento, si va incontro ad un antinomia riconducibile al caso del Barbiere

16 Conclusioni. provvisorie!!! La ricerca scientifica ha per sua natura la caratteristica di mettere in discussione, continuamente, le proprie radici e i propri fondamenti. L individuazione di «limiti» è essa stessa una conoscenza, in quanto ci fa guadagnare in consapevolezza delle possibilità e dei modi di cui disponiamo per affrontare quel problema fondamentale che ci sta di fronte : la comprensione del mondo in cui viviamo ossia la comprensione di noi stessi. Dobbiamo ammettere che non siamo in grado di risolvere i problemi del nostro tempo semplicemente con deduzioni razionali. Ma il metodo che la matematica insegna ci ha aiutati e ci aiuta a disperdere le nubi che offuscano il sapere.

17 CONCLUSIONI Perché la matematica è applicabile al mondo fisico? Il mondo al quale si applica la matematica è inquadrato nello spazio e nel tempo. Ne consegue che la matematica deve essere applicabile al mondo come esso ci appare (indipendentemente dall essere da noi percepito). In che cosa consiste la differenza tra matematica e filosofia? Mentre la matematica si serve dei numeri per svolgere espressioni, equazioni, sistemi e quant altro, la filosofia si chiede se i numeri esistano o meno.